高中数学必修2第二章空间点,直线与平面的位置关系练习试题6篇合集

2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1、给出的下列命题中,正确命题的个数是( )
①梯形的四个顶点在同一平面内 ②三条平行直线必共面 ③有三个公共点的两个平面
必重合 ④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
主要考察知识点:空间直线和平面
2、如图2-1-17,空间四边形SABC中,各边 及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,
那么异面直线EF与SA所成的角等于( )
A. 90° B. 60° C.
45° D. 30°

图2-1-17

3、如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )
A. 一条直线不相交
B. 两条直线不相交
C. 无数条直线不相交
D. 任意一条直线不相交
4、若点M在直线α上，α在平面α内，则M、a、α间的上述关系可记为( )
A.
M∈a,a
C. M
Ma,a
M∈a,a∈α
α
a,a
α
α D.
B.
5、在空间四边形ABCD的边A B、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF与HG交
于点M，则( )
A. M一定在直线AC上
B. M一定在直线BD上
C. M可能在AC上，也可能在BD上
第 1 页 共 50 页

D. M不在AC上，也不在BD上
6、下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形
D. 平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
7、若点M在直线a上,a在平面α内，则M，a,α间的上述关系可记为（ ）
A.
M
∈
a
,
a
∈α B.
M
∈
a
,
C. , D. ,

8、异面直线是指( )
A. 空间中两条不相交的直线
B. 分别位于两个不同平面内的两条直线
C. 平面内的一条直线与平面外的一条直线
D. 不同在任何一个平面内的两条直线
9、若a∥α,b∥α,则直线a、b的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. A、B、C均有可能
10、下列命题:
①若直线
l
平行于平面α内的无数条直线,则
l
∥α;
②若直线
a
在平面α外,则
a
∥α;
③若直线
a
∥
b
,直线,则
a
∥α;
④ 若直线
a
∥
b
,
b
?α,那么直线
a
就平 行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C.
3 D. 4
参考答案与解析:
解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面 α内,∴l不一定平行
于α. ∴①是假命题.
对于②,∵直线
a
在平 面α外包括两种情况:
a
∥α和
a
与α相交,∴
a
和α不一 定平行.
∴②是假命题.
对于③,∵直线
a
∥
b
, ,则只能说明
a
和
b
无公共点,但
a
可能在平面α内,∴< br>a
不一
定平行于α. ∴③是假命题.
第 2 页 共 50 页

对于④,∵
a
∥
b
,
∴④是真命题.
,那么
a
?α或
a
∥α,∴
a
可以与平面α内的无数条直线平行.
综上所述,真命题的个数为1.

二、填空题
1、空间三条直线两两相 交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确
定的平面的个数为_________ _.
参考答案与解析:解析：(1)当题中三条直线共点但不共面相交时，可确定3个平面；而P点
与每条直线又可确定3个平面，故共确定6个.
2、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_______.
参考答案与解析:思路解析:由公理4可知不可能平行,只有相交或异面.
答案:相交或异面
主要考察知识点:空间直线和平面
3、看图填空.

(1)
AC
∩
BD
=_______;
(2) 平面
AB
1
∩平面A
1
C
1
=________；
(3)平面
A
1
C
1
CA
∩平面
AC=________；
(4)平面
A
1
C
1
CA∩平面
D
1
B
1
BD
=_________;
(5)平面
A
1
C
1
∩平面
AB
1
∩平 面B
1
C=_________；
(6)
A
1
B
1
∩
B
1
B
∩
B
1
C
1
=_________.
参考答案与解析:解析：两个面的两个公共点连线即为交线.
答案：（1）
O
（2）
A
1
B
1
（3）
AC
（4）
OO
1
（5）
B
1
（6）
B
1

4、已知平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在 交线上,这四点能确定平面_______
个.
参考答案与解析:
解析：分类 ,如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面,如果这四点不共面,则任意三点可
确定一个平面,可确 定四个.
答案：1或4

三、解答题
第 3 页 共 50 页

1、如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在 直线分别交平面α于点P、Q、R，求证：
P、Q、R三点共线.


参考答案与解析:
解析：本题是一个证明三点共线的问题，利用公理3，两平面相交时，有且只有一条公共直
线. 因此只需证明P、Q、R三点是某两个平面的公共点，即可得这三个点都在两平面的交线
上，因此是共线 的.
证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直 线AC
交平面α于点R,则P、Q、R三点都在平面α内，
又因为P、Q、R三点都在平面ABC内，
所以P、Q、R三点都在平面α和平面ABC的交 线上，而两平面的交线只有一条，所以P、Q、
R三点共线.

2、如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.


①哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
②直线BA′和CC′的夹角是多少？
③哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
参考答案与解析:
解析：①由异面直线的 定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′,B′D′所在直线分别与直线BA′
是异面直线 .
②由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′=4 5°，所以
BA′与CC′的夹角为45°.
第 4 页 共 50 页

③直线AB，BC，CD，DA，A′B′,B′C′,C′D′,D′A′分别与直线AA′垂直.

3、已知直线b∥c,且直线a与b、c都相交,求证:直线a,b,c共面.
参考答案与解析:证明:∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α.
设
a
∩
b
=A,
a
∩
c
=
B
,
∴
A
∈
a
,
B
∈
a
,
A
∈ α,
B
∈α,即
主要考察知识点:空间直线和平面


. ∴三线共面.
（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[提高训练C组]
一、选择题
1 设
m,n
是两条不同的直线 ，
?
,
?
,
?
是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若
③若
，
，
，则
m?n
②若
，则
，，，则
④若
?
?
?
，
?
?
?
，则
?

?

其中正确命题的序号是 ( )
A ①和② B ②和③ C ③和④ D ①和④
2 若长方体的三个面的对角线长分别是
a,b,c
，则长方体体对角线长为（ ）
A
a
2
?b
2
?c
2
B
1
2
a?b
2
?c
2

2
C
23
2
a
2
?b
2
?c
2
D
a?b
2
?c
2

22
3 在三棱锥A?BCD
中,
AC?
底面
BCD,BD?DC,BD?DC,AC?a ,?ABC?30
0
,
则点
C
到平面
ABD
的距离是( )
A
5
a
B
5
153
a
C
a
D
55
15
a

3
E
是
AC
CE
垂直于（ ） 4 在正方体< br>ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，若
11< br>的中点，则直线
A
AC
B
BD
C
A
1
D
D
A
1
D
1

5 三棱锥
P?ABC
的高 为
PH
，若三个侧面两两垂直，则
H
为△
ABC
的（ ）
A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心
第 5 页 共 50 页

6 在四面体
ABCD
中， 已知棱
AC
的长为
2
，其余各棱长都为
1
，则二面角
?

A?CD
A
B
的余弦值为（ ）
11
3
2
B C D
3
2
3
3
7 四面体
S?ABC
中，各个侧面都 是边长为
a
的正三角形，
E,F
分别是
SC
和
AB
的中
点，则异面直线
EF
与
SA
所成的角等于（ ）
A
90
B
60
C
45
D
30

0000
二、填空题
1 点
A,B
到平面
?
的距离分别为
4cm
和< br>6cm
，则线段
AB
的中点
M
到
?
平面的
距离为_________________
2 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______
3 一条直线和一个平面所成的角为
60
，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的
0
角中最大的角是____________
4 正四棱锥（顶点在底面的射影是底面 正方形的中心）的体积为
12
，底面对角线的长为
26
，则侧面与底面所成的 二面角等于___________________
AB?4,PA?8
,5 在正 三棱锥
P?ABC
（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，
过
A作与
PB,PC
分别交于
D
和
E
的截面，则截面
?ADE
的周长的最小值是________

三、解答题
M
是
AA
1
的中点

求证：平面
MBD?
平面
BDC
1

1
正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，


2 求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直



3 在三棱锥
S?ABC
中，△
ABC
是边长为
4
的正三角
第 6 页 共 50 页

形 ，平面
SAC?
平面
ABC,SA?SC?23
，
M
、N
分别为
AB,SB
的中点
（Ⅰ）证明：
AC
⊥
SB
；
（Ⅱ）求二面角
N
-
CM
-
B
的大小；
（Ⅲ）求点
B
到平面
CMN
的距离



数学2（必修）
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练C组]
参考答案
一、选择题
1 A ③若，，则，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系
④若
?
?< br>?
，
?
?
?
，则
?

?
，而 同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交
2 C 设同一顶点的三条棱分别为
x,y, z
，则
x
2
?y
2
?a
2
,y
2
?z
2
?b
2
,x
2
?z
2
?c
2

得
x?y?z?
222
1
2
1
222
2
222
(a?b
2
?c
2
)
， 则对角线长为
(a?b?c)?a?b?c

2
22
3 B 作等积变换
V
A?BCD
?V
C?ABD

4 B
BD
垂直于
CE
在平面
ABCD
上的射影
5 C
BC?PA?BC?AH

6 C 取
AC
的中点< br>E
，取
CD
的中点
F
，
EF?
123

,BE?,BF?
222
cos
?
?
EF3

?
BF3
a
2
a
，
?EFG?45
0 ，在△
SFC
中，
EF?
2
2
7 C 取
SB
的中点
G
，则
GE?GF?
二、填空题
1
5cm
或
1cm
分
A,B
在平面的同侧和异侧两种情况
2
48
每个表面有
4
个，共
6?4
个；每 个对角面有
4
个，共
6?4
个
3
90
垂直时最大
0
第 7 页 共 50 页

0
4
30
底面边长为
23
，高为
1
，
tan
?
?
1

3

'
5
11
沿着
PA
将正三棱锥
P?AB C
侧面展开，则
A,D,E,A
'
共线，且
AABC

三、解答题：略

（数学2必修）第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[综合训练B组]
一、选择题
1 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其 底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为
4
，
体积为
16
，则这个球 的表面积是（ ）
Ａ
16
?
Ｂ
20
?

Ｃ
24
?
Ｄ
32
?

2 已知在四面体
ABCD
中，
E,F
分别是
AC,BD
的中点，若
AB?2,CD?4,EF?AB
，
则
EF
与
CD
所成的角的度数为（ ）


Ａ
90
Ｂ
45

Ｃ
60

Ｄ
30

3 三个平面把空间分成
7
部分时，它们的交线有（ ）
Ａ
1
条 Ｂ
2
条
Ｃ
3
条 Ｄ
1
条或
2
条

24
4 在长方体
AB CD?A
1
BC
11
D
1
，底面是边长为的正方形，高为，
则点
A
1
D
1
的距离为( )
1
到截面
AB
8
B
3
4
C D
3
A
3

8
3

4
5 直三棱柱ABC?A
1
B
1
C
1
中，各侧棱和底面的边长均为< br>a
，点
D
是
CC
1
上任意一点，
连接A
1
B,BD,A
1
D,AD
，则三棱锥
A?A
1
BD
的体积为（ ）
A
1
3
3
3
a
B
a

6
12
C
1
3
3
3
a

a
D
12
6
6 下列说法不正确的是（ ）
．．．．
第 8 页 共 50 页

A 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B 同一平面的两条垂线一定共面；
C 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

二、填空题
1 正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分
2 空间四边形
A BCD
中，
E,F,G,H
分别是
AB,BC,CD,DA
的中点， 则
BC
与
AD
的
位置关系是_____________；四边形
EFGH
是__________形；当___________时，四边形
EFGH
是菱形；当___________时，四边形
EFGH
是矩形；当________ ___时，四边形
EFGH
是正方形
3 四棱锥
V?ABCD
中，底面
ABCD
是边长为
2
的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为
5
的等腰三角形，则二面角
V?AB?C
的平面角为_____________
4 三棱锥
P?ABC,PA?PB?PC?73,AB?10,BC?8,CA?6,
则二面角
P?AC?B
的大小为___________________
5
P
为边长为
a
的正三角形
ABC
所在平面外一点且
PA? PB?PC?a
，则
P
到
AB
的距离为___________________
三、解答题
1 已知直线
bc
，且直线
a
与
b,c
都相交， 求证：直线
a,b,c
共面






2 求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；





3 如图：
S
是平行四边形
ABCD
平面外一点，
M,N
分别是
SA,BD
上的点，且
AMBN
=， 求证：
MN
平面
SBC

SMND
第 9 页 共 50 页

S
M
D
A
N
B
C








数学2（必修）
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B组]
参考答案
一、选择题
1 C 正四棱柱的底面积为
4
，正四棱柱的底面的边长为
2
，正四棱柱的底面的对角线为
22
，正四棱柱的对角线为
26
，而球的直径等 于正四棱柱的对角线，
即
2R?26
，
R?6,S
球
?4
?
R
2
?24
?

?2,EF?
2 D 取
BC
的中点
G
，则
E G?1,FGF
则
G,
EF
与
CD
所成的角
?EF G?30
0

3 C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线
4 C 利用三棱锥
A
1
?AB
1
D
1
的体积变换：
V
A
1
?AB
1
D
1
?V
A?A
1
B
1
D
1
，则
?2?4?
1
3
1
?6?h

3
5 B
V
A?A
1
BD
?V
D?A
1
BA
11a
2
3a3 a
2
?Sh????

332212
6 D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了
二、填空题
1
27
分上、中、下三个部分，每个部分分空间为
9
个部分，共
27
部分
2 异面直线；平行四边形；
BD?AC
；
BD?AC
；
BD?AC
且
BD?AC

3
60

0
第 10 页 共 50 页

4
60
注意
P
在底面的射影是斜边的中点
0
5
3a

2
三、解答题
1 证明 ：
?bc
，
?
不妨设
b,c
共面于平面
?
，设
a?b?A,a?c?B


?A?a,B?a,A?< br>?
,B?
?
，即
a?
?
，所以三线共面
2 提示：反证法
3
略
第1题. 下列命题正确的是（ ）
Ａ. 经过三点确定一个平面
Ｂ. 经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ. 四边形确定一个平面
Ｄ. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

答案：Ｄ.



第2题. 如图，空间四边形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别
是
AB
，
BC
，
CD
，
DA
的中点.
求证：四边形
EFGH
是平行四边形.

E



B



答案：证明：连接
BD
.
因为
EH
是
△ABD
的中位线，
A

H

D

G

C

F

1
BD
.
2
1
同理，
FG∥BD
，且
FG?BD
.
2
因为
EH∥FG
，且
EH?FG
.
所以四边形
EFGH
为平行四边形.
所以
EH∥BD
，且
EH?


试题号：4658 知识点：空间平行线的传递性——公理4。 试题类型：解答题 试题难度：
容易 考查目标：基础知识 录入时间：2006-1-6

第 11 页 共 50 页

第3题. 如图，已知长方体
ABCD?A
?
B
?
C
?
D
?
中，
AB?23
，
AD?23
，
AA
?
?2
.
（１）
BC
和
A
?
C
?
所成的角是多少度？
（２）
AA
?
和
BC
?
所成的角是多少度？


D
?



A
?



D



A





C
?

B
?

C

B

?
；
?
. 答案：（１）
45
（２）
60



第4题. 下列命题中正确的个数是（ ）
①
若直线
l
上有无数个点不在平面
?
内，则
l∥
?
.
②
若直线
l
与平 面
?
平行，则
l
与平面
?
内的任意一条直线都平行.
③
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
④
若直线
l
与平面
?
平行，则
l
与平面
?< br>内的任意一条直线都没有公共点.
A.
0

答案：Ｂ.



Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ. 3
第5题. 若直线< br>a
不平行于平面
?
，且
a?
?
，则下列结论成立的是 （ ）
Ａ.
?
内的所有直线与
a
异面
Ｂ.
?
内不存在与
a
平行的直线
Ｃ.
?
内存在唯一的直线与
a
平行
Ｄ.
?
内的直线与
a
都相交

答案：Ｂ.



第 12 页 共 50 页

第6题. 已知
a
，
b
，
c
是三条直线，角a∥b
，且
a
与
c
的夹角为
?
，那么
b
与
c
夹角
为 .

答案：
?
.



第7题. 如图，
AA
?
是长方体的一条棱，这个长方体中与
AA
?
垂直的棱共 条.

C
?

D
?



A
?


B
?


C

D



A

B






答案：8条.



第8题. 如果
a
，
b
是异面直线，直线
c
与
a
，< br>b
都相交，那么这三条直线中的两条所确定
的平面共有 个.

答案：2个.



第9题. 已知两条相交直线
a
，
b
，
a∥
平面
?
则
b
与
?
的位置关系是 .

答案：
b∥a
，或
b
与
a
相交.



第10题. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可 以确定几个平
面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？





第 13 页 共 50 页

答案：3个，3个.



第11题. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
N

D

C

M
①
BM
与
ED
平行.
②
CN
与
BE
是异面直线.
E
③
CN
与
BM
成
60?
角.
④
DM
与
BN
垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
Ａ.
①
，
②
，
③

Ｃ.
③
，
④

Ｂ.
②
，
④

A

B
F

Ｄ.
②
，
③
，
④


答案：Ｃ.


第12题. 下列命题中，正确的个数为（ ）
①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；
②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；
③过空间四边形
ABC D
的顶点
A
引
CD
的平行线段
AE
，则
? BAE
是异面直线
AB
与
CD
所成的角；
④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形
Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ. 3
答案：Ｂ.


N
，
M
分别是BC
，
AD
的中点，第13题. 在空间四边形
ABCD
中， 则
2MN
与
AB?CD
的大小关系是 .
答案：
2MN?AB?CD
.


第14题. 已知
a，b
是一对异面直线，且
a，b
成
70
角，
P< br>为空间一定点，则在过
P
点的
直线中与
a，b
所成的角都为< br>70
的直线有 条.
第 14 页 共 50 页

?
?

答案：
4
.



第15题. 已知平面
?

?
，< br>P
是平面
?
，
?
外的一点，过点
P
的直线< br>m
与平面
?
，
?
分
别交于
A，C
两 点，过点
P
的直线
n
与平面
?
，
?
分别交 于
B，D
两点，若
PA?6，AC?9，PD?8
，
则
BD
的长为 .

答案：
24或



第16题. 空间四边形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别是
AB
，
BC< br>，
CD
，
DA
的中点，
?
若
AC?BD?a
，且
AC
与
BD
所成的角为
90
，则四边形
EFGH
的面积是 .
24
.
5
答案：


1
2
a
.
4< br>E
，
F
分别为
D
1
C
1
，
C
1
B
1
的中点，第17题. 已知正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，
AC?BD?P
，
A C
11
?EF?Q
. 求证：
（１）
D
，
B，
F
，
E
四点共面；
DBFE
于
R
点，则
P
，
Q
，
R
三点共线. （２）若
AC
1
交平面
答案：证明：如图.
（１）
?E F
是
△D
1
BC
11
的中位线，
?EF∥B
1
D
1
.
在正方体
AC
1
中，
B< br>1
D
1
∥BD
，
?
EF∥BD
.
?EF
确定一个平面，即
D
，
B
，
F
，
E
四点共面.
BDEF
为
?
. （２）正方体
AC< br>1
中，设
A
1
ACC
1
确定的平面为
?，又设平面
?Q?AC
11
，
?Q?
?
. 又
Q?EF
，
?Q?
?
.
则
Q
是?
与
?
的公共点，
?
?
?
?
?PQ< br>.
又
AC
1
?
?
?R
，
?R? AC
1
.
第 15 页 共 50 页

E

C
1

Q
F

A
1
B
1
R

D

C

P

A

?R?
?
，
且R?
?
，则
R?PQ
.
故
P
，
Q
，
R
三点共线.




第18题. 已知下列四个命题：
① 很平的桌面是一个平面；
② 一个平面的面积可以是
4
m
2
；
③ 平面是矩形或平行四边形；
④ 两个平面叠在一起比一个平面厚.
其中正确的命题有（ ）
Ａ.
0
个 Ｂ.
1
个 Ｃ.
2
个 Ｄ.
3
个
答案：Ａ.


第19题. 给出下列命题：
和直线
a
都相交的两条直线在同一个平面内；
三条两两相交的直线在同一平面内；
有三个不同公共点的两个平面重合；
两两平行的三条直线确定三个平面.
其中正确命题的个数是（ ）
Ａ.
0
Ｂ.
1
Ｃ.
2
Ｄ.
3

答案：Ａ.


第20题. 直线
l< br>1
∥l
2
，在
l
1
上取
3
点，l
2
上取
2
点，由这
5
点能确定的平面有（
Ａ .
9
个 Ｂ.
6
个 Ｃ.
3
个 Ｄ.
1
个
答案：Ｄ.


第21题. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ）
Ａ.
1
个 Ｂ.
2
个 Ｃ.
3
个 Ｄ.
1
个或
3
个
答案：Ｄ.


第22题. 下列命题中，不正确的是（ ）
①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；
②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；
③两条相交直线上的三个点确定一个平面；
第 16 页 共 50 页

）

④两条互相垂直的直线共面.
Ａ. ①与② Ｂ. ③与④
答案：Ｂ.


Ｃ. ①与③ Ｄ. ②与④
第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）
Ａ. 异面直线 Ｂ. 相交直线 Ｃ. 不相交直线 Ｄ. 不平行直线


答案：Ｄ.



ABCD
，
A< br>1
B
1
C
1
D
1
的第24题. 在长方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，点
O< br>，
O
1
分别是四边形
对角线的交点，点
E
，
F
分别是四边形
AA
1
D
1
D
，
BB1
C
1
C
的对角线的交点，点
G
，
H
分
别是四边形
A
1
ABB
1
，
C
1
CDD
1
的对角线的交点.
求证：
△OEG≌△O
1
FH
.
答案：证明：如图，连 结
AD
1
，
AC
，
CD
1
，
C< br>1
A
1
，
C
1
B
，
BA
1
.
D
1

A
1
E

D

O
1

B
1
G
H

C
1

1
1
∥

CD
1
，
OF

∥
BA
1
. 由三角形中位线定理可知
OE

1
2
2
∥
CD
，
∴OE

∥
OF
. 同理可证
EG

∥
FH
. 又
BA
1

1
1
F
由等角定理可得
?OE G??O
1
FH
.
C

∴
△OEG≌△O
1
FH
.




A

O

B

第25题. 若
a
，
b
是异面直线，
b
，
c
也是异面直线，则< br>a
与
c
的位置关系是（ ）
Ａ. 异面 Ｂ. 相交或平行 Ｃ. 平行或异面 Ｄ. 相交或平行或异面
答案：Ｄ.


第26题.
a
，
b
是异面直线，
A
，
B
是
a
上两点，
C
，
D
是
b
上的 两点，
M
，
N
分别
是线段
AC
和
BD的中点，则
MN
和
a
的位置关系是（ ）
Ａ. 异面直线 Ｂ. 平行直线 Ｃ. 相交直线 Ｄ. 平行、相交或异面
答案：Ａ.
第 17 页 共 50 页

第27题. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中
①
BM
与
ED
平行；
②
CN
与
BE
是异面直线；
③
CN
与
BM
成
60?
角；
④
DM
与
BN
垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
Ａ. ①②③ Ｂ. ②④ Ｃ. ③④ Ｄ. ②③④
答案：Ｃ.


第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）
Ａ. 一条直线不相交
Ｂ. 两条直线不相交
Ｃ. 任意一条直线不相交
Ｄ. 无数条直线不相交

答案：Ｃ.



第29题. 如果直线
a
平行于平面
?
，则 （ ）
Ａ. 平面
?
内有且只有一直线与
a
平行
Ｂ. 平面
?
内有无数条直线与
a
平行
Ｃ. 平面
?
内不存在与
a
平行的直线
Ｄ. 平面
?
内的任意直线与直线
a
都平行

答案：Ｂ.



第30题. 已知直线的倾斜角为
?
，若
sin
?
?
3
5
，则此直线的斜率为（
Ａ.
3
4
Ｂ.
4
3
Ｃ.
?
3
4
Ｄ.
?
4
3


答案：Ｃ.





第 18 页 共 50 页

N

D

C

M

E

A

B

F


）

2. 2直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )
A. 平行 B. 异面 C. 相
交 D. 平行或异面
2、下列结论中，正确的有( )
①若aα,则a∥α
α则a∥b
α,bβ,则a∥b
α
②a∥平面α,b
③平面α ∥平面β,a
④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则a
A. 1个 B. 2个 C. 3
个 D. 4个
解析：若aα，则a∥α或a与α相交，由此知①不正确
α,则a与b异面或a∥b，∴②不正确
α，bβ，则a∥b或a与b异面，∴③不正确 < br>若a∥平面α,b
若平面α∥β，a
由平面α∥β，点P∈α知P?β过点P而平行平β 的直线a必在平面α内，是正确的.
证明如下：假设aα，过直线a作一面γ，使γ与平面α相交，则γ与平面β必相
交. 设γ∩α=b,γ∩β=c,则点P∈b. 由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c,
则a∥b,这与a∩b=P矛盾，∴aα. 故④正确.
3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶ FB=1∶3，则对角
线AC和平面DEF的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交
内 D. 不能确定
参考答案与解析:解析：在平面ABC内.
∵AE：EB=CF：FB=1：3，
∴AC∥EF. 可以证明AC
若AC平面DEF，则AD
平面DEF.
平面DEF，BC平面DEF.
平面DEF.
C. 在
由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC
∵AC∥EF ，EF平面DEF.
∴AC∥平面DEF.
主要考察知识点:空间直线和平面

4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )
A. 过A有且只有一个平面平行于a,b
第 19 页 共 50 页

B. 过A至少有一个平面平行于a,b

C. 过A有无数个平面平行于a,b
D. 过A且平行a,b的平面可能不存在
参考答案与解析:解析：如当A与a确定的平面与b平行时，过A作与a,b都平行的平面不
存在.
答案：D
主要考察知识点:空间直线和平面

5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )
A. b∥α B. bα
C. b与α相交 D. 以上都有可能
参考答案与解析:思路解析:a与b垂直,a与b的关系可以平行、相交、异面, a与α平行,所以
b与α的位置可以平行、相交、或在α内,这三种位置关系都有可能.
答案:D
主要考察知识点:空间直线和平面
6、下列命题中正确的命题的个数为( )
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;
②若直线a在平面α外，则a∥α;
③若直线a∥b,直线b
④若直线a∥b,b
α,则a∥α;
平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
A. 1 B. 2 C.
3 D. 4
参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α
内(若改为l与α内任何直线都平行，则必有l∥α),∴①是假命题. 对于②，∵直线a在平面
α外 ，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平行，∴②为假命题. 对于③,∵a
∥b,bα,只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α. ∴③
α. 那么aα,或a∥α. ∴a可以与平面α内的无数条直线平也是假命题. 对于④,∵a∥b,b
行. ∴④是真命题. 综上，真命题的个数为1.
答案：A

主要考察知识点:空间直线和平面
7、下列命题正确的个数是( )
(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α
(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行
(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥α
第 20 页 共 50 页

A. 0个 B. 1个 C. 2
个 D. 3个
参考答案与解析:解析：由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题.
答案：A
主要考察知识点:空间直线和平面
8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两 两不重合的平面，给出下列四个命
题：
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;
α,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β. ④若m、n是异面直线，m
其中真命题是( )
A. ①和② B. ①和③ C. ③和
④ D. ①和④
参考答案与解析:解析：利用平面平行判定定理知①④正确. ②α与β相交且均与γ垂直的情
况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件
答案：D
主要考察知识点:空间直线和平面
9、长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E为AA
1
中点,F为BB
1
中点,与EF平行的长方体的面有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3
个 D. 4个
参考答案与 解析:解析：面A
1
C
1
,面DC
1
,面AC共3个.
答案：C
主要考察知识点:空间直线和平面
10、对于不重合的两个平面α与β， 给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；
②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有 不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直
线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.
其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3
个 D. 4个
参考 答案与解析:解析：取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相
交，不平行 ，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面
β的距离相等，所以排除 ③. 容易证明②④都是正确的.
第 21 页 共 50 页

答案：B

主要考察知识点:空间直线和平面
二、填空题 【共4道小题】
1、在棱长为a的 正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中， M、N分别是棱A
1
B
1
、B
1
C
1
的中 点，P是棱AD上一
点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.
参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩
平面AC，∴MN∥PQ). 易知DP=DQ=. 故.
答案：
主要考察知识点:空间直线和平面
2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上， 那么这些点在空间的位置是
__________.
参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内
主要考察知识点:空间直线和平面
3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.
参考答案与解析:相交或平行或异面
主要考察知识点:空间直线和平面
4、正方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为D D
1
中点，则BD
1
与过点A，C，E的平面的位置关系是
____ _____.
参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD
1
，在△BDD
1
中，E为
DD
1
的中点，O为BD的中 点，

∴
OE
为△
BDD
1
的中位线. ∴
OE
∥
BD
1
.
第 22 页 共 50 页

又平面
ACE
，
OE
平面
ACE
，
∴
BD
1
∥平面
ACE
.
答案：平行
主要考察知识点:空间直线和平面
三、解答题 【共3道小题】
1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.
①是否一定有AD∥BE∥CF；
②求证：.

参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE.
同理不总有BE∥CF.
②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF. 过两条平行线AH，DF的平面，
交平面α,β,γ于AD，GE，HF. 根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.
AGED为平行四边形. ∴AG=DE.
同理GH=EF.
又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH. 根据两平面平行的性质定理，
有BG∥CH.
在△ACH中，.
而AG=DE，GH=EF，∴.
主要考察知识点:空间直线和平面
2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.
第 23 页 共 50 页

求证：SA∥平面MDB.
参考答案与解析:解析：要说明SA∥平面MDB，就要在平面 MDB内找一条直线与SA平行，
注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位 线，再说明此中位线在
平面MDB内，即可得证.
证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点. 又因为M是SC
的中点，所以MN∥SA. 因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.
主要考察知识点:空间直线和平面
3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的两棱A
1
A与A
1
B
1
的中点，P是正方形ABCD
的中心，
求证：
MN
∥平面
PB
1
C.

参考答案与解析:证明：如图，连结AC，
则
P
为
AC
的中点，连结
AB
1
，

∵
M
、
N
分别是
A
1
A
与
A
1
B
1
的中点，
∴
MN
∥
AB
1
.
又∵

平 面
PB
1
C，平面
PB
1
C，故
MN
∥面
PB
1
C.
2. 2《直线、平面平行的判定及其性质》测试
第1题. 已知
?
?
?
?a
，
?
??
?m
，
?
?
?
?b
，且
m
?
，求证：
ab
.

第 24 页 共 50 页

答案：证明：
?
?
?
?m
??
??
m

?
?
?m

a
?
?a

b
.
?
?
?
?
?a< br>?
?
同理
?m

b
?













?
b

?

a
?

m

第2题. 已知：
?
?
?
?b
，
a
?< br>，
a
?
，则
a
与
b
的位置关系是（ ）
Ａ.
ab

Ｃ.
a
，
b
相交但不垂直

答案：Ａ.





Ｂ.
a?b

Ｄ.
a
，
b
异面
第3题. 如图，已知点
P
是平行 四边形
ABCD
所在平面外的一点，
E
，
F
分别是
PA
，
BD
上的点且
PE
∶
EA?BF
∶
FD
，求证：
EF
平面
PBC
.


P


E



D


C


F


A


B


答案：证明：连结
AF
并延长交
BC
于
M
. 连结
PM
，
BFMFPEBFPEMF
???
，又由已知，
∴
.
F DFAEAFDEAFA
由平面几何知识可得
EF
PM
，又
EF?P BC
，
PM?
平面
PBC
，
∴
EF
平面
PBC
.
∵ADBC
，
∴
第 25 页 共 50 页

第4题. 如图，长方体< br>ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，
E
1
F
11
上的线段，求证：
E
1
F
1
< br>1
是平面
AC
平面
AC
.









D
1

A
1

F
1

C
1

B
1

C

B

E
1

D

A

答案：证明：如图，分别在
AB
和
CD
上截取
AE?A
1
E
1
，
DF?D
1
F
1
，连接
EE
1
，
FF
1
，
EF
.
∵
长方体
AC
1
的各个面为矩形， < br>∴A
1
E
1
平行且等于
AE
，
D
1
F
1
平行且等于
DF
，
故四边形
AEE
1
A
1
，
DFF
1
D
1
为平行四边形.
∴EE
1
平行且等于
AA
1
，
FF
1平行且等于
DD
1
.
∵AA
1
平行且等于
DD
1
，
∴EE
1
平行且等于
FF
1
，
四边形
EFF
1
E
1
为平行四边形，
E
1
F
1
EF
.
∵EF?
平面
ABCD
，
E
1
F
1
?
平面
ABCD
，
∴
E
1
F
1

平面
ABCD
.










D
1

A
1

F
1

C
1

B
1

E
1

D

F

C

B

A

E

第 26 页 共 50 页

?
的圆心是
A
，半径为
AB
，
BD是正方形
ABCD
第5题. 如图，在正方形
ABCD
中，
B D
的对角线，正方形以
AB
所在直线为轴旋转一周. 则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体
的体积之比为 .

D


A



Ⅰ

Ⅱ





答案：
1
∶
1
∶
1




第6题. 如图，正方形
ABCD
的边长为
13
，平面
ABCD
外一点
P
到正方形各顶点的距离
都是
13
，
M
，
N
分别是
PA
，
DB
上的点，且< br>PM
∶
MA?BN
∶
ND?5
∶
8
.
（１） 求证：直线
MN
平面
PBC
；
（２） 求线段
MN
的长.

P






M










Ⅲ
B

C

D

C

N

E

A

B

（１） 答案：证明：连接
AN
并延长交
BC
于
E
，连接
PE
，
BNNE
?
.
NDAN
BNPMNEPM
∵??
，
∴
.
ND MAANMA
∴MNPE
，又
PE?
平面
PBC
，
MN?
平面
PBC
，
则由
ADBC
，得
第 27 页 共 50 页

∴
MN
平面
PBC
.
?
； （２） 解：由< br>PB?BC?PC?13
，得
?PBC?60
BEBN5565
??< br>，知
BE??13?
由，
ADND888
918
PE?7
. 由余弦定理可得
PE?
，
∴MN?
813



第7题. 如图，已知
P
为平行四边形
ABCD
所在平面外一点，
M
为
PB
的中点，
求证：
PD
平面
MAC
.











C




P

M

B

A

D

BD
交点为
O
，
∴
PDMO
. 答案：证明：连 接
AC
、连接
MO
，则
MO
为
△BDP
的 中位线，
∵PD?
平面
MAC
，
MO?
平面
MAC
，
∴
PD
平面
MAC
.


P





M




B


A



C

O


D




第 28 页 共 50 页

E
，
F
分别是棱
BC
，
C
1
D
1
的中 点，求第8题. 如图，在正方体
ABCD?A
1
BC
11
D1
中，
证：
EF
平面
BB
1
D
1D
.














D
1

A
1

F

C
1

B
1

D

C

B

A

E

答案：证明：如图，取
D
1
B< br>1
的中点
O
，连接
OF
，
OB
，
11
∵OF
平行且等于
B
1
C
1
，BE
平行且等于
B
1
C
1
，
22
∴OF
平行且等于
BE
，则
OFEB
为平行四边形，
∴EF
BO
.
∵EF?
平面
BB
1
D
1
D
，
BO?
平面
BB
1
D
1< br>D
，
∴
EF
平面
BB
1
D
1
D
.














D
1

A
1

O

F

C
1

B
1

D

C

B

A

E

第 29 页 共 50 页

第9题. 如图，在正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中， 试作出过
AC
且与直线
D
1
B
平行的截面，
并说明 理由.











D
1

A
1

B
1

C
1

D

C

B

A

答案：解：如图，连接
DB
交
A C
于点
O
，取
D
1
D
的中点
M
， 连接
MA
，
MC
，则截面
MAC
即为所求作的截面.












D
1

A
1

M

D

C
1

B
1

C

A

O

B

∵MO
为
△D1
DB
的中位线，
∴D
1
BMO
.
∵D< br>1
B?
平面
MAC
，
MO?
平面
MAC，
∴D
1
B
平面
MAC
，则截面
MAC为过
AC
且与直线
D
1
B
平行的截面.



第10题. 设
a
，
b
是异面直线，
a?
平面
?
，则过
b
与
?
平行的平面（ ）
Ａ. 不存在 Ｂ. 有1个
Ｃ. 可能不存在也可能有1个 Ｄ. 有2个以上

答案：Ｃ.

第 30 页 共 50 页

第11题. 如图，在正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，求证：平面
A< br>1
BD
平面
CD
1
B
1
.













D
1

A
1

B
1

C
1

C

A

D

B


?
?
B
1
B
∥
A
1
A

∥
DD
答案：证明：
?
?BB
11

∥
AADD
?
11
?
?
四边形
BB
1
D
1
D
是平行四边形
?
D
1
B
1
DB
?
?

?
DB?
平面
A
1
BD

?
DB ?
平面
ABD
1
?
11
?
D
1
B
1

平面
A
1
BD
?
?
?
同理
B
1
C
平面
A
1
BD

?< br>DB
?
BC?B
11
?
11
?
平面
B
1
CD
1

平面
A
1
BD
.



第12题. 如图，
M
、
N
、< br>P
分别为空间四边形
ABCD
的边
AB
，
BC
，
CD
上的点，且
AM
∶
MB?CN
∶
NB?C P
∶
PD
.
求证：（１）
AC
平面
MNP，
BD
平面
MNP
；
（２）平面
MNP
与平面
ACD
的交线
AC
.


A




M

E

第 31 页 共 50 页

B

D

N

P

答案：证明：（１） < br>AMCN
?
??MNAC
?
MBNB
?
AC?平面M NP
?
?AC平面MNP
.
?
MN?平面MNP
??
CNCP
?
??PNBD
?
NBPD
?
BD ?平面MNP
?
BD平面MNP
.
?
PN?平面MNP
?
?
（２）
设平面
MNP< br>?平面
ACD?PE
?
?
AC?平面ACD

??PEAC，
?
AC平面MNP
?
即平面MNP与平面ACD的交线AC
.



第13题. 如图，线段
AB
，< br>CD
所在直线是异面直
线，
E
，
F
，
G，
H
分别是线段
AC
，
CB
，
BD
，
DA
的中点.
（１） 求证：
EFGH
共面且
AB∥< br>面
EFGH
，
CD∥
面
EFGH
；
（２） 设
P
，
Q
分别是
AB
和
CD
上任意一点， 求
证：
PQ
被平面
EFGH
平分.



答案：证明：（１）
∵E
，
F
，
G
，< br>H
分别是
AC
，
CB
，
BD
，
DA
的中点. ，
A

E

H

P

C

M

Q

F

N

G

B

D

∴EHCD
，
FGCD
，
∴EHFG
. 因此，
E
，
F
，
G
，
H
共面.
第 32 页 共 50 页

∵CDEH
，
CD?
平面
EFGH
，
EH?
平面
EF GH
，
∴CD
平面
EFGH
. 同理
AB
平面
EFGH
.
（２）设
PQ?
平面
EFGH
＝
N
，连接
PC
，设
PC?EF?M.
△PCQ
所在平面
?
平面
EFGH
＝
M N
，
∵CQ
平面
EFGH
，
CQ?
平面
PCQ
，
∴CQMN
.
∵EF
是
△ABC
是的中位线，
∴M
是
PC
的中点，则
N
是
PQ
的中点，即
PQ
被平面
EFGH
平分.


第14题. 过平面
?
外的直线
l
，作一组 平面与
?
相交，如果所得的交线为
a
，
b
，
c，
…
，
则这些交线的位置关系为（ ）
Ａ. 都平行
Ｂ. 都相交且一定交于同一点
Ｃ. 都相交但不一定交于同一点
Ｄ. 都平行或都交于同一点

答案：Ｄ.



第15题.
a
，
b
是两条异面直线，
A
是不在
a
，
b
上的点，则下列结论成立的是（ ）
Ａ. 过
A
且平行于
a
和
b
的平面可能不存在
Ｂ. 过
A
有且只有一个平面平行于
a
和
b

Ｃ. 过
A
至少有一个平面平行于
a
和
b

Ｄ. 过
A
有无数个平面平行于
a
和
b


答案：Ａ.



第16题. 若空间四边形
ABC D
的两条对角线
AC
，
BD
的长分别是8，12，过
AB< br>的中点
E
且平行于
BD
、
AC
的截面四边形的周长为 .
答案：20.



第17题. 在空间四边形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别为
AB
，
BC
，
CD
，
DA
上的一点，且
EFGH
为菱形，若
AC
平面
EFGH
，BD
平面
EFGH
，
AC?m
，
BD?n
，< br>则
AE：BE?
.

第 33 页 共 50 页

答案：
m
∶
n
.


?
的角，且
AD?BC?a
，平第18题. 如图， 空间四边形
ABCD
的对棱
AD
、
BC
成
60行于
AD
与
BC
的截面分别交
AB
、
AC、
CD
、
BD
于
E
、
F
、
G
、
H
.
（１）求证：四边形
EGFH
为平行四边形；
（２）
E
在
AB
的何处时截面
EGFH
的面积最大 ？最大面积是多少？


A



E



F


D

B


H






G

C

答案：（１）证明：
∵BC
平面
EFGH
，< br>BC?
平面
ABC
，
平面
ABC?
平面
EFGH
?EF
，
∴BCEF
. 同理
BCGH
，
∴EFGH
，同理
EHFG
，
∴
四边形
EGFH
为平行四边形.
?
角， （２）解：
∵AD
与
BC
成
60
∴
?HGF?60?
或
120?
，设
AE:AB?x
，
∵
EFAE
?? x
，
BCAB
BC?a
，
∴
EF?ax
，由得
EH?a(1?x)
.
EHBE
??1?x
，
ADAB
∴
S
四边形EFGH
?EF?EH?sin60
?

?ax?a(1?x)?
3

2
?
3
2
3
2
?
11
?
a(?x
2
?x)
?a
?
?(x?)
2
?
?
.
2
224
??
1
3
2
a
， 时，
S
最大值
?
2
8
当
x?
第 34 页 共 50 页

即当
E
为
AB
的中点时，截面的面积最大，最大面积为


3
2
a
.
8
第19题.
P为
△ABC
所在平面外一点，平面
?

平面
ABC
，
?
交线段
PA
，
PB
，
PC
''C'
，
PA'
∶
AA'?2
∶
3
，则
S
△ABC
于
AB
'''
∶
S
△ABC
?
.
答案：
4
∶
25




第20题. 如图，在四棱锥
P?ABCD
中，
ABCD
是平行四 边形，
M
，
N
分别是
AB
，
PC
的中点.
求证：
MN
平面
PAD
.


P







D




A


M



N

C

B

答案：证明：如图，取
CD
的中点
E
，连接
NE
，
ME

∵M
，
N
分别是
AB
，
PC
的中点，
∴NEPD
，
MEAD
，
可证明
NE
平面
PAD
，
ME
平面
PAD
.
又
NE?ME?E
，
∴
平面
MNE
平面
PAD
，
又
MN?< br>平面
MNE
，
∴
MN
平面
PAD
.
第 35 页 共 50 页

P

N

D

E

A




C

M

B


第21题. 已知平面
?

平面
?
，
AB
，
CD
是夹在两平行平面间的两条线段，
A
，
C
在
?
内，
B
，
C
在
?
内，点
E
，
F
分别在
AB
，
CD
上，且
AE
∶
EB?CF
∶< br>FD?m
∶
n
.
求证：
EF
平面
?
.
答案：证明：分
AB
，
CD
是异面、共面两种情况讨论.
（１） 当
AB
，
CD
共面时，如图（
a
） ∵
?

?
，
∴ACBD
，连接
E
，F
.
∵AE
∶
EB?CF
∶
FD
，
∴EFACBD
且
EF?
?
，
AC?
?
，
∴
EF
平面
?
.



















A

C

?
E

F

D

?

图（
a
）
B

A

C

?
G

E

F

H

B

D

?

b
）
第 36 页 共 50 页
图（

（２） 当
AB
，
CD
异面时，如图（
b
），过点
A
作
AHCD

交
?
于点
H
.
∶
n
在
H上取点
G
，使
AG
∶
GH?m
，连接
EF，由（１）证明可得
GFHD
，又
AG
∶
GH?AE
∶
EB
得
EGBH
.
∴
平面
EFG
平面
?

平面
?
.
又
EF?
面
EFG
，
∴
EF
平面
?
.


第22题. 已知
?
?
?
?a
，
?
?
?
?m
，
?
?
??b
，且
m
?
，求证：
ab
.

答案：证明：
?
?
?
?m
??
??
m< br>
?
?
?m

a
?
?a

b.
?
?
?
?
?a
?
?
同理
?m

b
?














?

b

?

a
?

m

第23题. 三棱锥
A?BCD
中，
AB?CD?a
，截面
MNPQ
与
AB
、
CD
都平行，则截面
MNPQ
的周长是（ ）.
Ａ.
4a

Ｃ.

第 37 页 共 50 页

Ｂ.
2a

Ｄ. 周长与截面的位置有关
3a

2

答案：Ｂ.



第24题. 已知：
?
?
?
?b
，
a
?
，
a
?
，则
a
与
b
的位置关系是（ ）.
Ａ.
ab

Ｃ.
a
、
b
相交但不垂直

答案：Ａ.





Ｂ.
a?b

Ｄ.
a
、
b
异面
F
分别是
PA
、
E
、
BD
第25题. 如图，已知点
P
是平行四边形
ABCD
所在平面外的一点，
上的点且
PE:EA?BF:FD
，求证：
EF
平面
PBC
.

P


E



D


C


F


A

B




答案：证明：连结
AF
并延长交
BC
于
M
.
连结
PM
，
BFMF
?
，
FDFA
PEBFPEMF
??
又由已知，
∴
.
EAFDEAFA
由平面几何知识可得
EF
PM
，
又
EF?PBC
，
PM?
平面
PBC
，
∴
EF
平面
PBC
.
∵ADBC
，
∴



第26题. 如图，长方 体
ABCD?A
求证：
E
1
F
1

1
BC
11
D
1
中，
E
1
F
11
上的线段，
1
是平面
AC
平面
ABCD
.




D
1

A
1

F
1

C
1

B
1

C

B

E
1

D

第 38 页 共 50
A
页

答案：证明：如图，分别在
AB
和
CD上截得
AE?A
1
E
1
，
DF?D
1
F
1
，连接
EE
1
，
FF
1
，
E F
.
∵
长方体
AC
1
的各个面为矩形，
∴E E
1
平行且等于
AA
1
，
FF
1
平行且等 于
DD
1
.
∵AA
1
平行且等于
DD
1
，
∴EE
1
平行且等于
FF
1
，
四边形
EFF
1
E
1
为平行四边形，
E
1
F
1
EF
.
∵EF?
平面
ABCD
，
E
1
F
1
?
平面
ABCD< br>，
∴
E
1
F
1

平面
ABCD
.











D
1

A
1

F
1

C
1

B
1

E
1

D

F

C

B

A

E

第27题. 已知正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
， 求证：平面
AB
1
D
1

平面
C
1BD
.










D
1

A
1

B
1

C
1

D

C

B

A

第 39 页 共 50 页

答案：证明：因为
ABCD?A
1
BC
11
D
1
为正方体，
所以
DC
11
A
1
B
1
，
DC
11
?A
1B
1
.
又
ABA
1
B
1
， 1
B
1
，
AB?A
所以
D
1
C
1
AB
，
D
1
C
1
?AB
，
所以
DC
11
BA
为平行四边形.
所以
D
1
AC
1
B
. 由直线与平面平行的判定定理得
D
1
A
平面
C
1
BD
.
同理
D
1
B
1

平面
C
1
BD
，又
D
1
A?D
1
B
1
?D
1
，
所以，平面
AB
1
D
1

平面
C
1
BD
.




第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这
个平面.
如 图，已知直线
a
，
b
平面
?
，且
ab
，< br>a
?
，
a
，
b
都在
?
外.
求证：
b
?
.



?

b


a




c

?





答案：证明：过
a
作平面
?
，使它与平面
?
相交，交线为
c
.
因 为
a
?
，
a?
?
，
?
?
?
?c
，
所以
ac
.
第 40 页 共 50 页

因为
ab
，
所以
bc
.
又因为
c?
?
，
b?
?
，
所以
b
?
.



'
，
BO?B'O
，
CO?C'O
. 第29题. 如 图，直线
AA'
，
BB'
，
CC'
相交于
O
，
AO?AO
''C'
. 求证：
ABC
平面
AB

C'



B'

A'



O



A

B



C




''
，
ACAC''
. 答案：提示：容易证明
ABAB
''C'
. 进而可证平面
ABC
平面
AB




第30题. 直线
a
与平面
?
平行的充要条件是（ ）
Ａ. 直线
a
与平面
?
内的一条直线平行
Ｂ. 直线
a
与平面
?
内两条直线不相交
Ｃ. 直线
a
与平面
?
内的任一条直线都不相交
Ｄ. 直线
a
与平面
?
内的无数条直线平行

答案：Ｃ.







2. 3 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
第 41 页 共 50 页

1、二面角指的是( )
A. 两个平面相交所组成的角
B. 经过同一条直线的两个平面所组成的图形
C. 一条直线出发的两个半平面组成的图形
D. 两个平面所夹的不大于90°的角
2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( )
A. α∥β且γ∥ω
B. α∥β或γ∥ω
C. 这四个平面中可能任意两个都不平行
D. 这四个平面中至多有一对平面平行
3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.
其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1

C. 2 D. 3
4、如图2-3-15, 设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面
PAD的位置 关系是( )

图2-3-15
A. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B. 它们两两都垂直
C. 平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BC. 又
∵BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.
第 42 页 共 50 页

∵AD平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PAB.
5、如图2-3-16,等边三角形ABC的边长为1,BC 边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A到
BC的距离是……( )

图2-3-16
A. 1 B. C.
D.

参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=
BDC=90°,

,且∠BDC为二面角的平面角,∠
∴BC=. 取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离.
∵AD=,DE=BC=,
∴AE=
答案:C
.
主要考察知识点:空间直线和平面
6、下列命题正确的是( )
A. 垂直于同一条直线的两直线平行
B. 垂直于同一条直线的两直线垂直
C. 垂直于同一个平面的两直线平行
D. 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
参考答案与 解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,
第 43 页 共 50 页

所以A,B错,垂直于同一直线的直线和 平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,
所以D错.
答案:C
主要考察知识点:空间直线和平面
7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A. 垂直且相交 B. 相
交但不一定垂直
C. 垂直但不相交 D. 不垂
直也不相交
参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE.
∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD.
∴BD⊥平面AEC.
又AC面AEC，∴BD⊥AC.
答案：C
主要考察知识点:空间直线和平面
8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（ ）
A. 30° B. 45° C.
60° D. 120°
参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.
答案：C
主要考察知识点:空间直线和平面
9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
①若α∥β,
②若,
,则
l
∥β;
,
M
∥β,
n
∥β，则α∥β；
③若
l
∥α,
l
⊥β,则α⊥β;
④若,,且
l
⊥
M
,
l
⊥
n
,则
l
⊥α.
其中正确命题的序号是( )
A. ①③④ B. ①②③ C.
①③ D. ②④
参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误;由线面垂直的判定定理知④错误.
答案：C
主要考察知识点:空间直线和平面
10、下列说法中正确的是( )
第 44 页 共 50 页

①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直
②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直
③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行
④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
A. ①②③ B. ①②③④ C.
②③ D. ②③④
参 考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外
一点作平面 与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.
答案：A
主要考察知识点:空间直线和平面

二、填空题
1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.

参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图. 过m上一点P
作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B. 又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、
β的交线l交于点C.

∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.
∴l⊥AC，l⊥BC.
∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.
由m⊥n,显然PA⊥PB，
∴∠ACB=90°,∴α⊥β.
由①③④②成立.
反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.
答案：②③④①或①③④②.
主要考察知识点:空间直线和平面
2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：
第 45 页 共 50 页

①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.
参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图. 过m上一点P
作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B. 又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、
β的交线l交于点C.

∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.
∴l⊥AC，l⊥BC.
∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.
由m⊥n,显然PA⊥PB，
∴∠ACB=90°,∴α⊥β.
由①③④②成立.
反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.
答案：②③④①或①③④②.
主要考察知识点:空间直线和平面
3、设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：
①若
PA
⊥
BC
，
PB
⊥
AC
，则
H
是△
ABC
的垂心；
②若
PA
、
PB
、
PC
两两互相垂直，则
H
是△
ABC
的垂心；
③若∠ABC
=90°，
H
是
AC
的中点，则
PA
=
PB
=
PC
；
④若
PA
=
PB
=
PC
，则
H
是△
ABC
的外心.
请把正确命题的序号填在横线上:______________.


参考答案与解析:解析：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心.
②∵
PA
⊥
PB
，
PA
⊥
PC
,
∴
PA
⊥面
PBC
.
∴
PA
⊥
BC
.
第 46 页 共 50 页

又
PH
⊥面
ABC
，
∴
PH
⊥
BC
. ∴
BC
⊥面
PAH
.
∴
AH
⊥
BC
.
同理
BH
⊥
AC
，∴
H
为垂心.
③∵
H
为
AC
中点，∠
ABC
=90°,
∴
AH
=
BH
=
CH
.
又
PH
⊥面
ABC
，
由勾股定理知
PA
=
PB
=
PC
.
④ ∵
PA
=
PB
=
PC
，又
PH
⊥面
ABC
，同③可知?
AH
=
BH
=
CH
，∴H
为外心.
答案：①②③④
主要考察知识点:空间直线和平面
4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN ，
如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB- β的大小是___________.


参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO，
设
PM
=
PN
=
a
,
又∠
BPM
=∠B
PN
=45°,
∴△
OPM
≌△
OPN
.
∴
ON
⊥
AB
.
∴∠
MON
为所求二面角的平面角.
连结
MN
，∵∠< br>MPN
=60°,∴
MN
=
a
.
又
∴
MO
+
NO
=
MN
.
∴∠
MON
=90°.
答案：90°

,
222
主要考察知识点:空间直线和平面

三、解答题
1、如图 ，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，EF⊥A
1
D，EF⊥AC，求证：EF∥BD
1
.
第 47 页 共 50 页

参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD
1
，可构造与它们都垂直的一个平面. 由于A
1
D，AC均
为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系. < br>证明：连结A
1
C
1
，由于AC∥A
1
C
1
，EF⊥AC，

∴EF⊥A
1
C
1
. 又EF⊥A
1
D，A
1
D∩A
1
C
1
＝A
1
,
∴EF⊥平面
A
1
C
1
D. ①
∵BB
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，A
1
C
1
∴BB
1
⊥A
1
C
1
.
又A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体,
∴A
1
C
1
⊥B
1
D
1
.
∵BB
1
∩B
1
D
1
＝B
1
,
∴A
1
C
1
⊥平面BB
1
D
1
D .
而BD
1
平面BB
1
D
1
D,∴BD
1
⊥A
1
C
1
.
平面A
1
B
1
C
1
D
1
, 同理，DC
1
⊥BD
1
，DC
1
∩A
1
C
1
＝C
1
,
∴BD
1
⊥平面
A
1
C
1
D. ②
由①②可知EF∥BD
1
.
主要考察知识点:空间直线和平面 2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上
开, 这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？
参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行 驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈
费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险. 日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的
角度看,可作如下解释.
第 48 页 共 50 页

图2-3-22 < br>如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD.
现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力.
在Rt△BAD中,sinα=. ①
在Rt△BCD中,sinβ=. ②
比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB,
所以＞.
又因为α、β都是锐角,所以α＞β.
因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力. 山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个
道理.
主要考察知识点:空间直线和平面
3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且
BC= 2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.
，

参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE，?

∵
AB
=
AC
，
∴
AE
⊥
BC
.
第 49 页 共 50 页

又∵△
ABD
≌△
ACD
，
AB
=
AC
，
∴
DB
=
DC
.
∴
DE
⊥
BC
.
∴∠
AE
D为二面角
A-BC-D
的平面角.
又∵△< br>ABC
≌△
DBC
,且△
ABC
为以
BC
为 底的等腰三角形，故△
DBC
也是以
BC
为底的等腰三
角形，
∴
又△
ABD
≌△
BDC
，
∴
AD
=
BC
=2.
在Rt△
DEB
中，
∴
同理.
,
AD
=2,
，
BE
=1，
,
.
在△
AE
D中，∵
AE
=
DE
=
∴
AD
=
AE
+
DE
.
∴∠
AE
D=90°.
222
∴以面
BCD
和 面
BCA
为面的二面角的大小为90°.
主要考察知识点:空间直线和平面

第 50 页 共 50 页