高中数学必修二2.1.1 平面

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2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面

【选题明细表】
知识点、方法
三种语言的转换
公理的基本应用
共点、共线、共面问题

1. 文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条直线上的点必在这个平
面内”改成符号语言是( B )
(A)a∈α,A?a?A?α
(B)a?α,A∈a?A∈α
(C)a∈α,A∈a?A?α
(D)a∈α,A∈a?A∈α
解析:直线在平面内用“?”,点在直线上和点在平面内用“∈”,故
选B.
2.给出下列说法:(设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示点)
①若A∈l,A∈α,B∈α,B∈l,则l?α;
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题号
1,6
2,3,4,5,9
7,8,10,11,12,13

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②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;
③若l?α,A∈l,则A?α,则正确的个数是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:③中点A可以是直线与平面的交点,所以错误.①,②正确.故
选B.
3.下列图形中不一定是平面图形的是( D )
(A)三角形 (B)平行四边形
(C)梯形 (D)四边相等的四边形
解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形 、梯形一定是平面图形,
而四边相等的四边形不一定是平面图形,
故选D.
4.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间
分成( C )
(A)5部分 (B)6部分 (C)7部分 (D)8部分
解析:如图所示,三个平面α,β,γ两两相交,

交线分别是a,b,c且a∥b∥c,
观察图形,
得α,β,γ把空间分成7部分.
故选C.
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5.(2018·昆明一中高一测试)如图平面α∩平 面β=直线l,点A,B∈
α,点C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定平面γ, 则γ与β
的交线必过( D )

(A)点A (B)点B
(C)点C但不过点D (D)点C和点D
解析:因为C∈β,D∈β,且C∈γ,D∈γ,
所以γ与β的交线必过点C和D.
6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.

(1)A?α,a?α
(2)α∩β=a,P?α且P?β
(3)a?α,a∩α=A
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .
解析:考查识图 能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意
点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写 字母表示线,希腊字
母表示平面.
答案:(1)C (2)D (3)A (4)B
7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②
三条两两相交的直线在同一平面 内;③有三个不同公共点的两个平面
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重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数
是 .
解 析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故
①错;若三条直线相交于一点时,不一 定在同一平面内,如长方体一角
的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③< br>错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.
答案:0
8. 如图,已知正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1的棱长为8 cm,M,N,P分别是AB,
A
1
D
1
,BB
1
的中点.

(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A
1
B
1
C
1
D
1
的交线以及与平面BB
1
C
1
C
的交线; (2)设过M,N,P三点的平面与B
1
C
1
交于点Q,求PQ的长.
解:(1)如图,设M,N,P三点确定的平面为α,

则α与平面ABB
1
A
1
交于MP.
设MP∩A
1
B
1
=R,
则RN是α与平面A
1
B
1
C
1
D
1
的交线.
设RN∩B
1
C
1
=Q,
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则PQ是α与平面BB
1
C
1
C的交线.
(2)因为正方体的棱长为8 cm,M,P分别为AB,BB
1
的中点,
所以B
1
R=BM=4 cm.
在△RA
1
N中,=,
所以B
1
Q=×4=(cm).
在Rt△PB
1
Q中,
PB
1
=4 cm,B
1
Q= cm,
所以PQ==(cm).

9.(2018·保定九校联考)长方体的12条棱所能确定的平面个数为
( C )

(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
解析:在长方体中由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面,共
12个面.
1 0.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点
不共面的一个图是( D )
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解析:在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,
所以P,Q,R,S共面;
在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;
在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为
异面直线,
所以四点不共面,故选D.
11.求证:两两相交且不共点的四条直线a,b,c,d共面.
证明:(1)无三线共点情况,如图(1).

设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.
因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,
所以NQ?α,即b?α.
同理c?α,所以a,b,c,d共面.
(2)有三线共点的情况,如图(2).

设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K?a,
因为K?a,所以K和a确定一个平面,设为β.
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因为N∈a,a?β,所以N∈β.
所以NK?β,即b?β.
同理c?β,d?β.
所以a,b,c,d共面.
由(1),(2)知a,b,c,d共面.
12.如图,空间四边形ABCD中,E,H分别 是AB,AD中点,F,G分别是
BC,CD上的点,且==.

求证:三条直线EF,GH,AC交于一点.
证明:因为E,H分别是AB,AD中点,
所以EH
因为=
BD,
=,
所以GF∥BD,GF=BD,
所以EH∥GF且EH≠GF,
所以四边形EFGH为梯形,
所以两腰EF,GH交于一点,记为P.
因为EF?平面ABC,
所以P∈平面ABC,
同理P∈平面ADC,
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所以P在平面ADC和平面ABC的交线AC上,
所以三条直线EF,GH,AC交于一点.

13.如图,已知正方体ABCDA< br>1
B
1
C
1
D
1
的棱长为3,M,N分别是 棱AA
1
,AB上
的点,且AM=AN=1.

(1)证明:M,N,C,D
1
四点共面;
(2)平面MNCD
1
将此正方体分为两部分,求这两部分的体积之比.
(1)证明:连接A
1
B,

在四边形A
1
BC D
1
中,A
1
D
1
∥BC且A
1
D
1
=BC,
所以四边形A
1
BCD
1
是平行四边形,
所以A
1
B∥D
1
C,
在△ABA
1
中,AM=AN=1,
AA
1
=AB=3,
所以=,
所以MN∥A
1
B,
所以MN∥D
1
C,
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所以M,N,C,D
1
四点共面.
(2)解:记平面MNCD
1
将正方体分成两部分的下面部分体积为V
1,上面
部分体积为V
2
,连接D
1
A,D
1
N ,DN,则几何体D
1
AMN,D
1
ADN,D
1
CDN均 为三
棱锥,
所以V
1
=++
=S
△AMN
·D
1
A
1
+S
△ADN
·D
1
D+S
△CDN
·D
1
D
=××3+××3+××3
=.
从而V
2
=-=27-=,
所以=,
所以平面MNCD
1
分此正方体的两部分体积的比为.


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