高中数学最全导数找点技巧-高中数学类似洋葱数学
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
本章知识结构概述
平面
点、直线、平面
直线与直线之间的位置关系
之间的位置关系
直线与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系
点、直线、
判定
平面之间 直线与平面平行 性质
的位置关系
直线、平面平行 判定
的判定及性质 平面与平面平行 性质
判定
直线与平面垂直 性质
直线、平面垂直
判定
的判定及性质 平面与平面垂直 性质
一 空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面
1）含义：平面是无限延展的
2）画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边
D
形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ
等表示，如平面α、
平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相
对的两个顶点
的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
3）平面的基本性质——三大公理及其作用
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
_____________________________________
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
α
·
C
·
·
符号表示为：A、B、C三点不共线 =>
有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
A B
0
C
α
A B
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公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共
β
直线。
符号表示为：_______________________________
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2 空间中直线与直线之间的位置关系
1）空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2）平行公理：______________________________________
符号表示为：_______________________________
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
平行公理作用：判断空间两条直线平行的依据。
3） 等角定理：____________
___________________________________
3
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1）直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 ——
有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
直线在平面外a α
α
·
L
P
a
α a∩α=A a∥α
2）平面与平面之间的位置关系
（1）两平面平行——没有公共点 α∥β
（2）两平面相交——有一条公共直线 α∩β=l
二
直线、平面平行的判定及其性质
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1
直线与平面平行的判定
1）判定定理：____________________________
_________________________
2）记忆方法：线线平行，则线面平行 3）符号表示：_________________________________________
2 直线与平面平行的性质
1）性质定理：_____________________
______________________
2）记忆方法：线面平行，则线线平行。
3）符号表示：
___________________________________
_________________________________
3
平面与平面平行的判定
1）
判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
2）符号表示：
__________________________
3）推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内两条相交直线，那么
这两个平面平行
推论2：垂直于同一直线的两个平面平行
4
平面与平面平行的性质
1）定理：______________________________
________________________
2）符号表示：
_______________________________________
三 直线、平面垂直的判定及其性质
1 直线与平面垂直的判定
1）定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，
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记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α
叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂
直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
α
L
2）判定定理：_________________________________
__________________
符号表示：______________________
_______________________
注意点： 1）两条相交直线 2）线线垂直
3）直线与平面所成的角、点到直线的距离
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面
上的射影所成的锐角叫做这条直线与
平面所成的角，取值范围__________
点到直线
的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的线段长叫做点到
平面的距离
2
直线与平面垂直的性质
1）
性质定理：___________________________________
符号表示：_____________________________
2）
推论：如果两条平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
推论的证明：___________________
3 平面与平面垂直的判定
1） 二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
棱 l β α、β是二面角的面
B
α
判断：两个相交平面形成一个二面角
半平面：平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一部分叫做半平面
2）
二面角的记法：二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q或P-AB-Q
3）
二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面内分别
做垂直于棱的
射线OA和OB，∠AOB叫做二面角的平面角，取值范围____________。
线面垂直
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注意：（1）二面角的大小=二面角的平面角的大小
（2）直线与平面所成角—平面与平面所成角
（3）二面角为90°的时候称为直二面角，两平面垂直
4）两个平面互相垂直的判定定理：____
____________________________________
符号表示:__________________________________________
4 平面与平面垂直的性质
性质定理：_______________________
_________________________________
符号表示:_____________________________________