高中数学必修2《立体几何初步》单元测试

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高中数学必修2《立体几何初步》单元测试一


一、填空题（每小题5分，共70分）

1. 如图是长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_ _ 块木块堆成。
2、给出下列命 题：（1）直线a与平面
?
不平行，则a与平面
?
内的所有直线都不平行；（ 2）直线a与平面
?
不垂直，则a
主
与平面
?
内的所有直线 都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，
视
则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a 和b共面，直
图
线b和c共面，则a和c共面
其中错误命题的个数为

3．已知a、b是直线，
?
、
?
、
?
是 平面，给出下列命题：
左
视
图
①若
?
∥
?
，a
?
?
，则a∥
?
②若a、b与
?
所成角相等，则a∥b
③若
?
⊥
?
、
?
⊥
?
，则
?
∥
?
④若a⊥
?
, a⊥
?
，则
?
∥
?

其中正确的命题的序号是________________。
4.设
?
和
?
为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1 ）若
?
内的两条相交直线分别平行于
?
内的两条直线，则
?
平行于
?
；
（2）若
?
外一条直线
l
与
?
内的一条直线平行，则
l
和
?
平行；
（3）设
?
和
?
相交于直线
l
，若
?
内有一条直线垂直于< br>l
，则
?
和
?
垂直；
（4）直线
l
与
?
垂直的充分必要条件是
l
与
?
内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）
．．．5、一个体积为
8cm
3
的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 .
6、已知二面角
?
—l—
?
为60°，若平面
?
内有一点A到平面
?
的距离为
3
，那么A在
平面
?
内的射影B到平面
?
的距离为 .
D
1
C
1
7、如图长方体中，AB=AD=2
3

俯
视
图
第1题图

A
1
D
A
B
，CC
1
=
2
，则二面角 B
1
C
C
1
—BD—C的大小为
< br>8、以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC
折成二面角
C?A D?B
等于 .时，在折成的图形
中，△ABC为等边三角形。 9、如图所示,E、F分别是正方形SD
1
DD
2
的边D
1D、、DD
2
的中点,
沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D
1
,D,D
2
重合,记作D。
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给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF; ③DF⊥SE;
④EF⊥面SED,其中成立的有: .
10.如图，
AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体，下面 结论错误的序号
．．
是 .
①
BD
∥平面
CB
1
D
1

；

②
AC
1
?BD
；
③
AC
1
⊥平面
CB
1
D
1

；


④ 异面直线
AD
与
CB
1
所成角为60
0

2
，则AC与平面α所成角的大小是 。
11．边长为2的正方形 ABCD在平面α内的射影是EFCD，
如果AB与平面α的距离为
12．一个圆柱和一个圆锥 的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_________.
13.在侧棱长为1的正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=40°过点A作截面A EF与PB、
PC侧棱分别交于E、F两点，则截面的周长最小值为 .
14.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线,
给出四个论断：
① m
?
n ②α
?
β ③ m
?
β ④ n
?
α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 正确的一个命题：______________________________________.
二、解答题(
本大题共5题，合计70分，请在题后的空白处，写出相应的解答过程)
15、如图，在四边形ABCD中，，，，，
AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体 的表面积及体积.






16.如图，已 知
?BAC
在平面
?
内，
P?
?
，
?PA B??PAC
，
求证：点
P
在平面
?
上的射影在
?BAC
的平分线上．








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P
E< br>A
?
F
O
B
C

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17.如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1< br>C
1
中，点
D
在
B
1
C
1
上，
E,F
分别是
A
1
B,A
1
C
的中点 ，
A
1
D?B
1
C

求证：（1）
EF
∥
平面ABC

（2）
平面A< br>1
FD?平面BB
1
C
1
C





















F
B
1
A
D
C
1
E
A C
B
18、已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
，
O
是底
ABCD
对角线的交点. < br>D
1
求证：（１）C
1
O∥面
AB
1
D1
；
A
1
C
1
B
1
（2 ）面BDC
1
∥面
AB
1
D
1
．














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A
D
O
B
C

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19． （本题满分16分）如图，
E
、
F
分别为直角三角形
ABC
的直角边
AC
和斜
边
AB
的中点，沿
EF
将
?AEF
折起到
?A'EF
的位置，连结
A'B
、
A'C
，
P
为
A'C
的中点．
（1）求证：
EP
平面
A'FB
；
（2）求证：平面
A'EC?
平面
A'BC
；
（3）求证：
AA'?
平面
A'BC
．
A'


P


E

C
A




F



B









20．如图，已知
ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为3的正方体 ，
点
E
在
AA
1
上，点
F
在
CC
1
上，且
AE?FC
1
?1
，
（1）求证：
E,B,F,D
1
四点共面；
（2）若点
G
在
BC
上，
BG?
2
3
D
1
C
1
A
1
B
1
M


E
A

F

D


，点
M
在
BB
1
上，
C
H


B
G


GM?BF
，垂足为
H
，求证：
EM?
面
BCC
1
B
1
；



（3）用
?
表示截面
EBFD
1
和面
BCC
1
B
1
所成锐二面角大小，求
tan
?。







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高中数学必修2《立体几何初步》单元测试一参考答案
一、填空题
1．4
2．3
3．（1）（4）
4．（1）（2）
wwwk
5.
12
?
cm
2

6．
0
3
2

7．30
8. 90°
9．①与③
10. ④
11.
30?

12．2：1
13.
3

14．若②③④则①
二、解答题
15. S=60
?
+4
2
?
;V=52
?
-
8
?
33
16. 证明：作
PO?
?
，
PE?AB,PF?AC
，垂足分别为
O,E,F
，连结
OE,OF,OA
，
=
148
?

?
PE?AB,PF?AC?
?Rt?PAE?Rt?PAF?AE?AF
， ∵
?
?PAE?? PAF
?
PA?PA
?
?
PO?
?
?
?< br>?AB?PO
，又∵
AB?PE
，∴
AB?
平面
PE O
，
A
AB?
?
?
?
∴
AB?OE．同理
AC?OF
．
在
Rt?AOE
和
Rt?AOF
，
AE?AF,OA?OA
，
P
E
F
O
B
C
∴
Rt?AOE?Rt?AOF
，∴
?EAO??FAO
，
即点
P
在平面
?
上的射影在
?BAC
的平分线上．
17. 证明：（1）因为
E,F
分别是
A
1
B,A
1
C
的中点，所以
EFBC
，又
EF?面ABC
，
BC?面ABC
，所以
EF
∥
平面ABC
；
?面ABC
1
（2）因为直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，所以
BB
，
BB
1
?A
1
D
，又
111
A
1
D?B
1
C
，所以
A< br>1
D?面B
1
B
1
C
，
C
又
A
1
D?面A
1
FD
，所以
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平面A
1
FD?平面BB
1
C
1
C
。

18. 证明：（1）连结
A
1
C
1
，设
A
1
C
1
?B
1
D
1
?O
1< br>
连结
AO
1
，
?

ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体
?A
1
ACC
1
是平行四边形
?A
1
C
1
?AC
且
A
1
C
1
?AC

又
O
1
,O
分别是
A
1
C
1,AC
的中点，
?O
1
C
1
?AO
且
O
1
C
1
?AO

?AOC
1
O
1
是平行四边形
?C
1
O?AO
1
,AO
1
?
面
AB
1
D
1
，
C
1
O?
面
AB< br>1
D
1

?
C
1
O?
面
A B
1
D
1

（2）证明：
ABDCD'C'
?
?
?ABC'D'
是平行 四边形
AB?DC?D'C'
?
?BC'AD'
BC'平面AB'D'?
?
?
?
?
BC'?平面AB'D'
?

同理，C'D平面AB'D'
?

?
BC'
?
C' D?C'
AD'?平面AB'D'
?
?
?
?
平面
C 'DB
平面
AB'D'
．
19．（本小题满分14分）
(1)证明：
?
E、P分别为AC、A′C的中点，

?
EP∥A′A，又A′A
?
平面AA′B，
EP
?
平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB
(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC
BC
?
平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC
(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，
∴EP⊥A′C，
在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
由(2)知：BC⊥平面A′EC 又A′A
?
平面A′EC
∴BC⊥AA′
∴A′A⊥平面A′BC

A
A'
P
E
C
F
B
20. 解：（1）证 明：在DD
1
上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD
1
N是
平行四边形，所以D
1
FCN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENA D，且EN=AD，
又
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BCAD，且AD=BC，所以ENBC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CNBE，所以D
1
FBE，所以
E,B,F,D
1
四点共面。
2
MB
3
（2）因为
GM?BF
所以
?BCF∽
?
MBG，所以
MB
BC
?
BG
CF
，即
?
3
，所以MB=1，
2
因为AE=1，所以四边形ABME 是矩形，所以EM⊥BB
1
又平面ABB
1
A
1
⊥平面BC C
1
B
1

，且EM在平面ABB
1
A
1
内，所以
EM?
面
BCC
1
B
1

（3）
EM?
面
BCC
1
B
1
，所以
E M?
BF，
EM?
MH，
GM?BF
，所以∠MHE就是截
面
EBFD
1
和面
BCC
1
B
1
所成锐二 面角的平面角，∠EMH=
90?
，所以
tan
?
?
ME= AB=3，
?BCF
∽
?
MHB，所以3：MH=BF：1，BF=
2?3?
ME
MH
22
ME
MH
，
，所以MH=< br>13
，
3
13
所以
tan
?
?


=
13










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