高中数学必修四历年真题-高中数学作业本主编
人教A版高中数学必修二模块综合测试卷
满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题:(共10小题,每小题5分)
1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )
A. 圆柱
B. 圆锥 C. 四面体 D. 三棱柱
2.直线
l
1
与
l
2
垂直,则( ) A.
l
1
与
l
2
的斜率之积等于
?1
B.
l
1
与
l
2
的斜率互为相反数
C.
l
1
与
l
2
的斜率互为倒数
D.以上答案都正确
3.圆
x
2
?y
2
?4x?0
的圆心坐标和半径分别为( )
A.
(0,2),2
B.
(2,0),4
C.
(?2,0),2
D.
(2,0),2
4.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.
若m∥α,n∥α,则m∥n
C. 若m⊥α,m⊥n,则n∥α
B.
若m⊥α,n?α,则m⊥n
D. 若m∥α,m⊥n,则n⊥α
5.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为( )
A.
2
?
B.
4
?
C.
8
?
D.
16
?
6.下列四个命题中错误的是( )
...
A.若直线
a
、
b
互相平行,则直线
a
、
b
确定一个平面
B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线
C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线
D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面
7.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-
y-m+3=0交于点P(x,y),则
|PA|?|PB|的最大值是( )
A.3
B.10 C.
10
D.5
8.
在平面直角坐标系中,A、B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线
2x+y-4=
0相切,则圆C面积的最小值为( )
A.
435
?
B.
?
C.
(6?25)
?
D.
?
544
9. 直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠BCA=90°,M,N分别是A
1
B
1
,A
1
C
1
的中点,BC=CA=CC
1
,则BM与AN
所成角的余弦值为( )
A.
12
302
B. C. D.
105
102
1
0.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体
的三视图,则该多面体的各条棱中,
最长的棱的长度为( )
A.6
2
B.6
C.4
2
D.4
二、填空题:(共4小题,每小题5分)
11.已知直线ax+y-2=0与圆心为
C的圆(x-1)
2
+(y-a)
2
=4相交于A,B两点,且△ABC为等
边
三角形,则实数a= .
12.三棱锥P-
ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为
V
1
,
P-ABC的体
积为
V
2
, 则
V
1
=
.
V
2
13.圆
x
2
?y
2
?2x?
0
和圆
x
2
?y
2
?4y?0
的位置关系是___
____.
14.
如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,点O为线段BD的中点.
设点P在线段CC
1<
br>上,直线OP与平面A
1
BD所成的角为α,
则sin
α的取值范围是
___ ____.
三、解答题:(共6小题)
15.(本小题满分12分)如图四边形
ABCD
为梯形,
ADBC
,
?ABC?90?
,求图中
阴影部分绕AB旋
转一周所形成的几何体的表面积和体积。
A 2
D
16.(本小题满分12分)已知直
线
l
经过两点
(2,1)
,
(6,3)
.
4
C
B
5
(1)求直线
l
的方程; <
br>(2)圆
C
的圆心在直线
l
上,并且与
x
轴相切于<
br>(2,0)
点,求圆
C
的方程.
17.(本小题满分14分)
AC?BC
,点
D
是
AB
的中点. 如图,在直三棱柱ABC?A
1
B
1
C
1
中,
求证:(1)AC?BC
1
;(2)
AC
1
平面
B
1
CD
.
18.(本小题满分14分)如图,在四棱锥
P?ABCD
中,
A
BCD
是正方形,
PD?
平面
A
C
D
B
A
1
C
1
B
1
ABCD
,
PD?AB?2
,
E,F,G
分别是
PC,PD,BC
的中点.
(1)求证:平面
PAB
平面
EFG
;
(2)在线段PB
上确定一点
Q
,使
PC?
平面
ADQ
,并
给出证明;
(3)证明平面
EFG?
平面
PAD
,并求出
D
到平面
EFG
的距离.
19.(本小题满分14分)已知
?ABC
的顶点
A(0,1)
,<
br>AB
边上的中线
CD
所在的直线方
A
B
P
F
D
E
C
G
程为
2x?
2y?1?0
,
AC
边上的高
BH
所在直线的方程为
y?0
.
(1)求
?ABC
的顶点
B
、
C
的坐标;
(2)若圆
M
经过不同的三点
A
、
B
、
P(m,
0)
,且斜率为
1
的直线与圆
M
相切于点
P
,求圆
M
的方程.
20.(本小题满分14分)设有半径为
3km
的圆形村落,
A,B
两人同时从村落中心出发,
B
<
br>向北直行,
A
先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进
,
后来恰与
B
相遇.设
A,B
两人速度一定,其速度比为
3
:1
,问两人在何处相遇?
参考答案
一、选择题:(共10小题,每小题5分)
1. A; 2. D;
3. D; 4. B 5. B; 6. C; 7. D; 8. A 9. C;
10. B .
二、填空题:(共4小题,每小题5分)
11.
4±
三、解答题:
15.
S?108
?
V?108
?
3
16、解:(1)由已知,直线
l
的斜率
k?
所以,直线
l
的方程为
x?2y?0
. <
br>(2)因为圆
C
的圆心在直线
l
上,可设圆心坐标为
(2a,
a)
,
因为圆
C
与
x
轴相切于
(2,0)
点,所以圆心在直线
x?2
上,
所以
a?1
,
所以圆心坐标为
(2,1)
,半径为1,
所以,圆
C
的
方程为
(x?2)
2
?(y?1)
2
?1
.
17. 证明:(1)在直三棱柱
ABC?A
CC
1
?<
br>平面
ABC
,
1
B
1
C
1
中,所以,
CC
1
?AC
,
又
AC?BC
,
BC
A
1
C
1
B
1
; 12.
1
;
13.相交; 14.
4
.
3?11
?
,
6?22
CC
1
?C
,
C
O
所以,
AC?
平面
BCC
1
B
1
,
所以,
AC?BC
1
.
(2)设
BC
1
与
B
1
C
的交点为
O
,连结
OD
,
A
B
D
BCC
1
B
1
为平行四边形,所以
O
为
B
1
C
中点,又D
是
AB
的中
点,
所以
OD
是三角形
ABC
1
的中位线,
ODAC
1
,
又因为
A
C
1
?
平面
B
1
CD
,
OD?
平
面
B
1
CD
,所以
AC
1
平面
B
1
CD
.
BCD
E,F
分别是线段
PC,PD
的中点,18
(1)所以
EFCD
,又
AABCD
,为正方形,
所以
EFAB
,
又
EF?
平面
P
AB
,所以
EF
平面
PAB
.
因为
E,G
分别是线段
PC,BC
的中点,所以
EGPB
,
又
EG
?
平面
PAB
,所以,
EG
平面
PAB
.
所以平面
EFG
平面
PAB
.
(2)
Q
为线段
PB
中点时,
PC?
平面
ADQ
.
取
PB
中点
Q
,连接
DE,EQ,AQ
,
由于
EQBCAD
,所以
ADEQ
为平面四边形,
由
PD?
平面
ABCD
,得
AD?PD
,
又
AD?CD
,
PD
所以
AD?PC
,
A
H
P
E
Q
C
G
B
F
O
D
CD?D
,所以
AD?
平面
PDC
,
又三角形<
br>PDC
为等腰直角三角形,
E
为斜边中点,所以
DE?PC
,
ADDE?D
,所以
PC?
平面
ADQ
.
PD?D
,所以
CD?
平面
PAD
, (3)因为
CD?AD
,
CD?PD
,
AD
又
EFCD
,所以
EF?
平面
PAD
,所以平面
EFG?
平面
PAD
.
取
AD
中点
H
,连接
FH,GH
,
则
HGCDEF
,平面
EFGH
即为平面
EFG
,
在平面
PAD
内,作
DO?FH
,垂足为
O
,则
DO?
平面
EFGH
,
DO
即为
D
到平面
EFG
的距离,
在三角形<
br>PAD
中,
H,F
为
AD,PD
中点,
DO?FDs
in45?
2
.
2
即
D
到平面
EFG
的距离为
2
.
2
19、解:(1)
AC
边
上的高
BH
所在直线的方程为
y?0
,所以,
AC:x?0
,
又
CD:2x?2y?1?0
,所以,
C(0,?),
设
B(b,0)
,则
AB
的中点
D(,)
,代入方程
2x?2y?1?0
,
解得
b?2
,所以
B(2,0)
.
(2)由
A
(0,1)
,
B(2,0)
可得,圆
M
的弦
AB
的
中垂线方程为
4x?2y?3?0
,
注意到
BP
也是圆
M
的弦,所以,圆心在直线
x?
设圆心
M
坐标为
(
1
2
b1
22
m?2
上,
2
m?2
,n)
,
2
因为圆心
M
在直线
4x?2y?3?0
上,所以
2m?2n?1?0
…………①,
又
因为斜率为
1
的直线与圆
M
相切于点
P
,所以
k<
br>MP
??1
,
n
??1
,整理得
m?2n?2?0
…………②,
m?
2
?m
2
5
由①②解得
m??3
,
n??
,
2
即
所以,
M(?
14950
15
??
,?)
,半径
MA?
,
22
442
所以所求圆方程为<
br>x
2
?y
2
?x?5y?6?0
。
20、解:如图建立平面直角坐
标系,由题意可设
A,B
两人速度分别为
3v
千米小时,
v
千
米小时,再设出发
x
0
小时,在点
P
改变方向,又经过<
br>y
0
小时,
在点
Q
处与
B
相遇.
则
P,Q
两点坐标为
?
3vx
0
,0
?
,
?
0,vx
0
?vy
0
?
222
由
OP?OQ?PQ
知,
?
3vx
0<
br>?
2
?
?
vx
0
?vy
0
?
?
?
3vy
0
?
,
即
?
x
0<
br>?y
0
??
5x
0
?4y
0
?
?0
.
22
x
0
?y
0
?0,?5x
0?4y
0
……①
3
x
0
?y
0
,得
k
PQ
??
4
3x
0
将①代入
k
OQ
??
又已知
PQ
与圆
O
相切,直线
PQ
在
y
轴上的截距就是两个相遇的位置.
设直线
y??
3
x?b
与圆
O:x
2
?y
2
?9
相切
,
4
则有
4b
3
2
?4
2
?3,?b?
15
。
4
3
千米处。
4
答:
A,B
相遇点在离村中心正北
3