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高中数学必修2的内容分析与教学思考及案例

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 12:05
tags:高中数学必修二

高中数学讲的最好知乎-高中数学教材种类


高中数学必修2的内容分析与教学思考及案例
一.内容分析
在本模块中,学生将学习立体几何初步、平面解析几何初步。
几何学是研究现实世界中物体的 形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、
操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识 和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存
的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生的空间想像 能力、推理论证能力、运用图形语
言进行交流的能力、以及几何直观能力,是高中阶段数学必修系列课程 的基本要求。在立体
几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方 体为载
体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能用数学语言表述有关平行、垂直的性质
与判定,并对某些结论进行论证。学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
解析几 何是17世纪数学发展的重大成果之一,其本质是用代数方法研究图形的几何性质,
体现了数形结合的重 要数学思想。在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的
代数方程,运用代数方法研究它们 的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决 几何问题的能力。
一)新课程标准中本模块的内容标准
1.立体几何初步(约18课时)
(1)空间几何体
① 利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及 其简单组合体的
结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
② 能画出简 单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识
别上述的三视图所表示的立 体模型,会使用材料(如:纸板)制作模型,会用斜二侧法画出
它们的直观图。
③ 通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不
同表示形式。
④ 完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、
线条 等不作严格要求)。
⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。
(2)点、线、面之间的位置关系
① 借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的 位置关系的基础上,抽象出空间
线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理:
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4:平行于同一条直线的两条直线平行。
定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
②以立体几何的 上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认
识和理解空间中线面平行、垂 直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。
一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明:
一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。


两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
垂直于同一个平面的两条直线平行。
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
2.平面解析几何初步(约18课时)
(1)直线与方程
①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角 和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直
线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方 程的几种形式(点斜式、两点式及一般
式),体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。
(2)圆与方程
①回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
(3)在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。
(4)空间直角坐标系
①通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐 标系,会用空间直角
坐标系刻画点的位置。
②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行 )顶点的坐标,探索并得出空间两点间的
距离公式。
说明与建议
1).立体几何初 步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力。本部分内容的设计遵循
从整体到局部、具体到抽象的原 则,教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空
间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特 征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物
体的结构,巩固和提高义务教育阶段有关三视图学习和理解 ,帮助学生运用平行投影与中心
投影,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。(参见例1)
2).几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识,学会将自然语言转化为图形语言和
符号 语言。教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知的基
础上,认识空间中 一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、实验和说理,使
学生进一步了解平行、垂直关系 的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几
何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理 论证及应用问题。(参见例2)
3).立体几何初步的教学中,要求对有关线面平行、垂直关系的性质 定理进行证明;对相
应的判定定理只要求直观感知、操作确认,在选修系列2中将用向量方法加以论证。
4).有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形,为理解和掌握
图形 几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持,提高学生的几何直观能力。教师可以指
导和帮助学生运用 立体几何知识选择课题,进行探究。
5).在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的 过程:首先将几何问题代
数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题; 处理代数问
题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始
终,帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。


参考案例
例1 如图是一个奖杯的三视图,请你画出它的直观图,并求出这个奖杯的体积。
例2 观察自己的教室,说出观察到的点、线、面之间的位置关系,并说明理由。
二)必修2内容解读与教学思考
1. 必修2内容的变化
(1). 几何的内容按三个层次设计
1)必修课程中的几何,主要包括:立体几何初步、解析几何初步、平面向量,解三角形等.
2)选修系列1、系列2中的几何,主要包括:圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何.
3) 选修系列3、系列4(专题)中的几何.主要包括:球面上的几何、坐标系与参数方程、
几何证明选讲等 .
(2). 立体几何内容的变化
1)《标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图 形的能力、空间想像与几何直觉的
能力、逻辑推理能力等.
2)在处理方式上,与以往点、线 、面、体,即从局部到整体展开几何内容的方式不同,《标
准》按照从整体到局部的方式展开几何内容, 并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量
计算等探索研究几何的过程.
3)立体几何内容 分层设计,在必修课程中,主要是通过直观感知、操作确认,获得几何图
形的性质,并通过简单的推理发 现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修系
列2中用向量处理.
(3). 解析几何内容的变化
突出了用代数方法解决几何问题的过程,同时也强调代数关系的几何意义.解析几 何的内容
也是分层次设计的:在必修课程中,主要是直线与方程、圆与方程;圆锥曲线与方程的内容则放在选修系列1、系列2中.
(4). 削弱的内容
1)立体几何削弱的内容:逻辑 推理能力的要求(如判定定理的证明);三垂线定理与逆定
理及其应用;简单几何体的面积与体积公式的 推导等.
2)解析几何削弱的内容:两条直线的位置关系(删除了两条直线的夹角)等.
(5). 增删的内容
1)立体几何增加的内容:三视图;简单几何体的面积和体积(球除外)及其应用.
解析几何增加的内容:直线与圆、圆与圆的位置关系;空间直角坐标系.
2)立体几何删除的内容:多面体欧拉定理的发现.
解析几何删除的内容:简单的线性规划;曲线与方程;圆的参数方程;圆锥曲线.
2. 知识结构
《课程标准》中立体几何内容安排在两个部分学习:必修中的《数学2》、选修中的《空间向量与立体几何》(系列2)。这两部分内容和要求是:
《 数学2》主要是介绍立体几何初步 知识,培养和提高学生的空间想象力及把握图形的能力。
它的基本内容是通过三视图、直观图,让学生认 识空间图形,以长方体模型为载体,让学生
认识点、线、面的位置关系,并介绍体积公式、表面积公式的 简单应用。
在《空间向量与立体几何》中,利用学生已有的平面向量和解析几何知识,以向量为工 具
进行计算、论证,进一步定量的计算点线面的关系
《课程标准》中对解析几何的学习目标同 样安排为两段:必修中的《数学2》及选修中的《圆
锥曲线与方程》。


数学 2中“平面解析几何初步”主要是让学生学习直线、圆这两种最常见、最基本的图形,
研究确定它们的要 素及相应的方程,研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系;同时
建立空间直角坐标系,引入空间 两点间距离公式。
《圆锥曲线与方程》中,学习椭圆、抛物线、双曲线等圆锥曲线的有关知识
3.特点
重视几何直观
从整体到局部
从具体到抽象
提供丰富的图形背景
突出解析几何的思想
引入直线斜率的新视角
重视几何直观
把培养学生空间想象力、把握图形的能力作为教材设计的基点。
帮助 学生学会用图形描述问题、学会用图形探索解决问题的过程、学会用图形来表示问题的
结果。
在立体几何初步中,长方体是揭示空间图形性质的基本载体。长方体贯穿始终。
解析几何中,突出图形的作用。
利用信息技术探索图形性质
从整体到局部
认识几何图形的两个视角:
局部——整体:这是传统学习几何的一种思考方法,即由点线面出发,展开对图形性质的研
究。
整体——局部:认识几何图形首先是一个整体的感受,然后再具体认识几何元素之间的关系。
在本教材中,我们特别强调从整体到局部,从空间到平面,从长方体到其中的点、线、
面之间的位置关系 。
从具体到抽象
认识点、线、面的位置关系经历以下过程:
从具体的长方体(例 如教室)中点、线、面之间的位置关系,抽象为空间中点、线、面之间
的位置关系。
从用自然 语言叙述长方体中点、线、面之间的位置关系,抽象为用数学语言(符号语言)描
述一般的点、线、面之 间的位置关系。
在探索点、线、面之间位置关系的判定定理和性质定理时,经历以下过程:
先从具体的长方体中探索和认识这些定理,在此基础上抽象成为空间中的一般结果。
提供丰富的图形背景
在教材中,提供了丰富的几何图形和生动的现实图形,通过这些图形加深 对数学概念和结论
的认识。
突出解析几何的思想
我们的教材在处理解析几何问题中,突出以下过程:
首先要学会建立适当的坐标系,用代数语 言描述几何要素,然后把几何问题转化为代数问题。
通过解决代数问题来解决几何问题。
对一个问题,不仅要注意它的代数方程及相应的运算,而且要注意它有什么几何意义,突出
图形 与直观,不少问题利用几何特征还可以简化运算。
引入直线斜率的新视角
有三种引入直线斜率的方法:


正切三角函数 向量 导数
本教材利用导数的思想,引入直线斜率。并利用射影定理,解释直线垂直的条件。
这样的方式 反映了直线斜率的数学本质。我们在其他内容中会反复认识直线斜率。以突出直
线斜率是一个重要的数学 概念。
4.教学中应注意的问题
立体几何初步:
(1)注意与义务教育阶段课程的衔接
本章的教学内容中的空间几何体的结构、三视图、表面 积、体积等都与义务教育阶段的学习
的“空间与图形”内容相关,区别在于学习的深度和概括程度上。前 面是对具体的棱柱(如正
方体、长方体等)进行研究,对圆柱、圆锥和球的认识比较具体。本章对它们的 研究更加深
入,给出了它们的结构特征。同时,还学习了台体的有关知识,简单组合体涉及柱体、锥体、
台体以及球体,比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多。另外,本章还
要 求学生会在平面上画出空间几何体的直观图.
(2)严谨适度,把握教学要求
立体几何内容 的体系结构有重大改革。过去常从研究点、直线和平面开始,再研究由它们组
成的几何体,遵循部分到整 体的原则;现在先从对空间几何体的整体感受入手,再研究组成
空间几何体的点、直线和平面。这种安排 有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力,
降低立体几何学习入门难的门槛,提高学生学习立体几 何学习的兴趣。
由于没有点、直线与平面的有关知识,本章的学习不能建立在严格的逻辑推理的 基础上,
这与以往教科书有相当大的区别,教师在实际教学中要充分注意到这一点。
了解 空间几何体的表面积和体积的计算公式(不要求推导,也不要求记忆公式),能够
计算基本几何体及它们 的简单组合体的表面积和体积。
(3)重视现代信息技术的应用
在本章,利用信息 技术工具,可以给我们展现丰富多彩的图形世界,帮助学生从中抽象
出空间图形。动态演示空间几何体的 三视图和直观图,认识立体图形与平面图形的关系,帮
助学生建立空间观念,提高空间想象能力和几何直 观能力。学好立体几何需要学生能够多动
手画一画、做一做.从不同的角度观察空间图形,体会空间几何 体在不同的视角下的结构特
征。因此,在教学中,应尽可能使用信息技术,帮助学生更好地学习,达到较 好的教学效果。
解析几何初步:
(1)认真把握教学要求
教学中,注意控制 教学的难度,避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练,避免在
解题技巧上做文章。
(2)关注重要数学思想方法的教学
重要的数学思想方法不怕重复。《标准》要求“ 坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终,
帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。在教学中应自 始至终强化这一思想方法,这是
解析几何的特点。教学中注意“数”与“形”的结合,在通过代数方法研 究几何对象的位置关系
以后,还可以画出其图形,验证代数结果;同时,通过观察几何图形得到的数学结 论,对结
论进行代数证明,即用解析方法解决某些代数问题,不应割断它们之间的联系,应避免只强调“形”到“数”的方面,而忽视“数”到“形”的方面。
(3)关注学生的动手操作和主动参与
学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。教学中,注意提供充分的数学活动和交流的
机会,引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。
(4)关注信息技术的应用
平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科,信息技术在加强几 何直观,促使数与形结合


方面有着特殊的作用。借助信息技术,可以形象、直观地帮助学 生认识所研究的直线。在动
态演示中,观察直线的性质,在直观了解的基础上,寻求形成这些性质的原因 以及代数表示。
通过对方程的研究,了解直线与直线的关系时,运用信息技术,可以进一步验证得到的结 果,
为抽象的认识增添形象的支持。在探究点的轨迹时,可以借助信息技术,探究轨迹的形状等
等。
特别注意:
1)因材施教
对不同的学生有不同要求给教师留下较大的自主处理教材的空间
2)教学中应注意学法指导培 养学生把握图形、欣赏图形、空间想象能力培养学生推理能力,
要重视几何直观,培养合情推理,“几何 是可视逻辑” 注意几何学习中所包含的数学文化在
解析几何教学中重视几何背景,不仅注意它的代数方 程及相应的运算,而且要注意它有什么
几何意义,几何证明是几何学习中重要的内容,但不是唯一内容( 代数学习中也有证明)处
理好整体与局部的关系由特殊——一般,具体——抽象,(教材栏目“实例分析 ”、“抽象
概 括”) 推理能力逐步形成与提高对几何问题的认识需几个反复,多角度认识,(“ 斜率”
的处理通常有三种方式:tan,向量,变化率。教材是从变化率的角度去处理的,而学生在学< br>习三角函数、向量时还可以进一步加深对其理解)
3)关于立体几何初步教学
重视几何模型的应用(教材中突出了长方体)
在线面关系研究中对判定定理只要求直观感知、操作确认。
三视图是一难点,对于未教过三视 图的教师,对于在初中没有学过最简单的三视图的学生,
可以设置三视图“欣赏”。
4)关于解析几何初步教学
直线的斜率——渗透导数的思想。
关于圆,直接从图形到方程,由于设有学 习曲线与方程的关系,这里不讨论曲线方程的纯
粹性、完备性。
帮助学生经历形与数转化的过程体会数形结合的思想。
空间坐标系对教师是新内容,要控制难度,但要探索空间两点间距离公式。
5)关于作业
教材作业分三类:即随堂练习,课后作业(a、b),复习题(a、b、c)。
对不同学生提不同要求。
补充的练习、例题,不要“越位”。
二.几个思考
1.高中学习几何学的目的是什么?
(1)几何学主要是研究空间形式的,比如,各种不同的 几何体的差异,特点等。学习几何
学的一个基本目标是培养学生把握图形的能力,培养空间想象能力。
几何学能够给我们提供一种直观的形象,通过对图形的把握,可以发展空间想象能力。这种
能力 是非常重要的,无论是数学本身、数学学习本身,还是在其他方面,都是一种基本能力。
搞艺术的人就经 常说,这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊
途同归的感觉。
英 国著名数学家m.阿蒂亚曾说过,几何是数学中这样的一个部分,其中视觉思维占主导地
位,而代数则是 数学中有序思维占主导地位的部分,这种区分也许用另外一对词更好,即?洞
察?与?严格?,两者在真 正的数学研究中起着本质的作用。即,几何是直观逻辑,代数是有序
逻辑。这表明,几何学不只是一个数 学分支,而且是一种思维方式,它渗透到数学的所有分
支。因此,培养学生的几何直观能力、把握图形的 能力就成为高中学习几何的主要目的。


(2)实现这些目标的途径是:直观感知,操作确认,思辩论证,度量计算。
在中学阶段,几何仍然是培养学生推理论证能力的重要载体,但是,我们还应该认识到几何
更本质的作用 。
高中数学课程中,更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力;关注在空间
想象能力培养中人的认识规律,概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规
律,建议通过 “直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算”等学习过程,培养和发展空间想
象能力,这对几何课程的 学习应该是有帮助的。例如,在立体几何的学习中,建议从对空间
几何体的整体观察入手,认识整体图形 ,再以长方体为载体,直观认识空间点、线、面的位
置关系,抽象出有关概念,用数学语言表述有关性质 与判定。事实上,相关研究表明,个体
的认识是先从对整体的认识开始的。大家知道,在立体几何的学习 中,异面直线和异面直线
之间的距离是比较难理解的两个概念,如果先讲平行平面,那么,异面直线就是 两个平行平
面中的两条不平行的直线,而异面直线之间的距离问题,也会因为平行平面间距离的确定性< br>而变得容易理解了。在生活中,我们在做事的时候也一样,你首先要有一个整体的安排,你
才能把 握各个方面在其中的作用和地位。
(3)把握图形和空间想象能力不仅仅是几何课程的任务,而是整个 数学课程的基本任务,
因此,在其他的数学内容学习中,也要强调通过直观,通过图形来认识相关内容的 数学本质。
2.为什么“几何思想(把握图形)”是高中数学课程主线之一?
(1)在这次 数学课程标准研制过程中,几何是我们花费心思最多的内容之一。在数学课程
中,几何是“图”“文”并 茂的内容,它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合
起来。几何思想主要体现在把握图形的能力 。把握图形的能力包括空间想象力、直观洞察
力、用图形的语言来思考问题的能力。借助几何这个载体, 可以培养学生的逻辑推理能力。
(2)几何课程的设计分为两部分,一部分是几何本身;另一部分是运 用几何思想、把握图
形的能力去思考其他的数学问题。重视几何内容本身是共识,但是,在学习其他数学 内容时,
如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学,没有引起足够的重视。最近,我们听了很多课,最令我们感到遗憾的,教师不太喜欢“画图”,讲解析几何也不画图,在思考一
些问题 时,学生常常容易“漏掉”一些解。如果教师在解决问题时,引导学生画个图,则就会
一目了然。当代著 名数学atya说过?代数是有序逻辑,几何是直观逻辑。?这是非常有道理的。
逻辑推理是数学特别关 注的,所有数学都应该关注,几何也不例外,但是,我们必须重视培
养学生把握图形的能力,包括空间想 象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力。
“图”可以帮助思考,把抽象地东西变得直观,把 难的变得容易。
(3)在高中数学课程中,几何内容分为立体几何和解析几何。立体几何分为必修课程 中的“立
体几何初步”和选修2-1中的“空间向量与立体几何”。解析几何分为必修课程中的“解析几 何
初步”和选修1-1和选修2-1中的“圆锥曲线”。每一部分的定位我们将在必修、选修课程的定< br>位中给予详细的说明。
(4)我们应该把几何思想(把握图形的能力)渗透到高中数学学习的各 个方面。例如,在
函数的学习中,一定要突出函数图形的地位。又如,在思考数学问题的时,能画图尽量 画图,
目的是把抽象的东西直观的表示出来,把本质的东西显现出来。在数学学习时,应该帮助学
生养成一种用直观的图形语言,刻画、思考问题习惯。
3.如何理解几何课程的整体设计思想? < br>几何课程的设计分为两部分。一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想,贯穿在整个数学
课程 的始终。另一部分是设计了专门的几何内容。
将“把握图形”的能力作为指导思想,贯穿在整个数学课 程的始终,是设计几何课程的基本思
想。


例如,在函数有关内容的学习中,强 调函数图形的作用是贯穿始终的,要求把函数思想的认
识、函数性质的理解、函数的应用与函数图形的掌 握有机地联系起来。
又如,讨论统计问题时,描述和表示数据是反映统计规律的重要手段,图形和图表 是呈现统
计规律的基本方式。高中数学课程,介绍了直方图、扇形土、茎叶图,等等。实际上,并不限于这些图形,我们还可以选择其它的图形,选择的原则只有一个,根据具体问题,直观地
反映统计 数据的规律,尽量一目了然。
在讨论线性规划问题时,有两个关键环节,一个是对可行域(目标函数的 定义域)的理解,
另一个认识目标函数的变化趋势。平面区域图形非常清晰地表达了可行域(目标函数的 定义
域)的特征,等高线直观地给出了目标函数的变化趋势。
框图(包括算法框图)虽然是几 何研究的对象,但是,它利用最简单的图形直观地反映了完
成一项工作的逻辑关系和顺序,这正是几何给 我们的一种帮助。
我们可以举出很多这样的实例,它们属于其它的数学领域,但是在研究的过程中,“ 几何思
想”发挥了重要作用。实际上,越抽象的数学,越需要直观图形的支持。在高层次的思考中,有人说“抽象思维”和“形象思维”是密不可分的,“形象思维”在数学上的体现就是“用图形说
话 ”,用图形描述问题,用图形讨论问题,这是基本的数学素质。如果仅仅把几何理解为培
养形式推理的载 体,这就小看了几何的作用。
几何内容的设计,包括三大部分。一部分在必修课程中,一部分在选修2 课程中,一部分在
选修3、4的课程中。
必修课程的几何内容由三块内容组成,立体几何初步 ,解析几何初步,平面向量。立体几何
初步放在必修部分,其重点是在于培养学生的空间想象能力,定性 地把握图形;我们通过三
视图、直观图、长方体为载体,去认识基本的图形的点、线、面的基本关系和基 本性质;立
体几何初步的重点放在定性地理解图形的性质、位置关系,帮助学生建立起空间想象能力、< br>直观能力。比较严格地论证和定量的分析图形放在选修2中。
在教学中,三视图,直观图是定性 认识、把握图形的一个很好的载体,要把握好“度”,无论
三视图还是直观图都会有很难的题目。以长方 体为载体认识点线面位置关系,可以通过具体
的模型过渡到抽象定义,可以从自然语言过渡到数学语言, 逐步习惯用图形的语言进行表达
和思考。多角度地认识图形,从整体到局部,从局部到整体,从外到里, 从里到外,特别是
从整体到局部,长方体是非常好的载体。不严格地说,高中立体几何都可以体现在长方 体中。
老师可以设计一些可操作的案例,比如,切萝卜、切土豆等,这些操作可以帮助一些学生建
立空间直观。在条件允许的情况,可以利用信息技术,帮助学生建立空间直观,利用信息技
术制作图形 ,既可以建立空间直观,也可以提高逻辑推理,制作一个图形,就是设计一个算
法,让学生操作。希望教 师能把这部分内容当作培养学生兴趣的一个载体,创造一些办法,
让立体几何变得有趣一些。
解析几何初步的重点是帮助学生理解解析几何的基本思想,“坐标系”是解析几何思想的主要
组成部分, “数轴”是学习“坐标系”思想的第一个概念,它可以帮助我们刻画直线上的点的位
置,把直线上的点与 数之间建立起联系。当我们在直线上确定了原点和单位长度,直线上的
点与实数之间就建立起一一对应的 关系。“直角坐标系”是在数轴的基础上形成的概念,它可
以帮助我们用“数对”表示平面上的点,建立 起“点”与“数对”之间的一一对应关系,形成一座
代数与几何之间的桥梁。解析几何的另一个主要思想 是建立方程与曲线之间的联系,在解析
几何初步中,我们是以直线与圆为载体,帮助学生理解:在直角坐 标系中,每一条直线可以
用形如ax+by=c的方程表示,满足方程ax+by=c的解组成的图像是 一条直线,对于圆也有同
样的性质。这些内容可以帮助学生初步形成如下的观念:可以用“方程”表示“ 曲线”,反之,
“曲线”是“方程”的图像。在此基础上,可以用代数的方法讨论几何的问题,可以用几 何图形
表示代数的性质。


在解析几何的教学中,有两点值得注意,一个是不能 忽视“可以用几何图形表示代数的性质”
这一环节,能画图,一定画图,头脑中有图形的观念,对于思考 解析几何问题是非常重要的。
另一个方面,在解析几何教学中,可以适当地与“函数”作一个呼应。y= ax+b是一个函数,
同时,它又是一个二元一次方程,它们都反映了变量x与变量y之间的关系,它们 的图像都
是直线。实际上,每一个函数y=f(x),都可以看作一个二元方程y-f(x)=0,这是 问题的一个
方面。另一方面,x
2
+y
2
=4是一个二元方程,它的 图像是圆,它也反映了变量y与x之间的
关系。但是,在这里y与x之间不是函数关系,因为,对于x= 1,y=与y=-都满足方
程。其实,对于每一个x都有两个y满足方程x
2
+y2
=4,y与x之间不能构成函数关系。但
是,从另一个角度看,方程x
2
+y
2
=4又可以看作二元函数z= x
2
+y
2
-4的 局部性质。函数、方
程都是刻画规律的数学模型,需要结合不同的内容不断地加深对它们的理解。 平面向量是几何的一个基本内容。它既是代数的对象,也是几何的对象。在代数的内容中,
也会介绍 向量。需要说明的是,很多内容究竟是属于代数还是属于几何,仅仅是看我们强调
的方面。
在 向量教学中,需要注意以下几个方面:它是代数对象,代数的基本特征就是运算。向量作
为一个新的运算 对象,蕴含非常丰富的的运算。不仅包括向量与向量的运算,还包括向量与
数的运算,分配律是反映不同 运算联系的法则,是需要特别注意的;向量是几何对象,这一
点常常容易被忽视。点、直线、平面等都可 以用向量表示,这是非常重要的。在选修2中的
空间向量与立体几何的学习中,这是思考问题的基点,在 大学数学学习中也会发挥更大的作
用。对于每一个代数运算规律,都需要仔细解读它们的几何意义,这是 掌握向量和利用向量
的基础;向量是连接几何和代数的一座天然“桥梁”,它进一步地体现了解析几何的 思想。向
量是体会数形结合思想的重要载体,在将来的学习中,这座“桥”会发挥出更大的作用;向量< br>与物理的联系是必须重视的。矢量是向量的背景,力、位移、速度、转动惯量等等都是认识
向量的 基础。在目前的中学数学教学中,数学和物理越离越远,更多的责任在数学教学。多
提供一些有物理背景 的数学问题,这应该成为数学教育工作者认真思考的问题,在考试特别
是高考应该有所体现。
在选修1、2中,都延续了解析几何的内容,设计了“圆锥曲线”。圆锥曲线一直是中学课程
一个重要内 容,有两个背景支持着圆锥曲线的地位。一个背景是,在我们生活的宇宙中,物
体的运动轨迹大多可以用 圆锥曲线近似的表示;另一个背景是光学性质,几乎所有的光学仪
器都是圆锥曲线(面)的应用。这些都 是圆锥曲线不可替代的理由。在数学上,研究圆锥曲
线有两种方法,综合几何的方法和解析几何的方法。 我们选择解析几何的方法。圆锥曲线(面)
又称作二次曲线,它是体现解析几何本质的最好载体。二次曲 线的代数表示是二元二次方程,
如何利用方程的系数确定曲线的形状,揭示这个规律成为数学的经典内容 。在大学数学系的
课程中,以这个内容为核心的解析几何是最基础的课程。
在高中阶段,主要 介绍了三类圆锥曲线的标准方程,强调从几何性质到建立方程的过程。例
如,从几何来说,椭圆是到两个 定点距离之和为定长的点的集合。我们从直角坐标系的选择,
到椭圆标准方程的建立;从对标准代数方程 的分析,得到一系列椭圆的几何性质,等。全面
地展示了解析几何研究问题的过程。在高中,对圆锥曲线 的讨论是初步的,主要目的是进一
步理解解析几何的思想。
在选修2中,设计了空间向量与立 体几何的内容。希望在“理工和经济”方面发展的学生需要
学习这部分内容。这部分内容的定位是“定量 地”思考立体几何问题。“定量”包含两个含义。
一方面,比较严格地讨论基本图形的位置关系,即反映 点与点、直线与直线、直线与平面、
平面与平面等的一些性质;另一方面,从距离、角定量地讨论基本图 形的关系。我们知道讨
论立体几何问题有两种基本思路。一个是综合几何的方法,一个是向量的方法。在 这里,特


别强调使用向量的方法,这种方法将来应用的面更大一些。这是高中数学课程的 一个变化。
综合几何的方法也是很重要的,在“几何论证选讲”专题中,能更好地体现综合几何的方法。
在选修1、2几何内容中,突出了利用解析结合的思想讨论几何问题。这样,在高中阶段,
学生 就初步地了解了讨论几何问题的两种方法:综合几何方法,解析几何的方法。
选修3课程有两个专题与 几何有直接的关系,它们是“球面几何”与“欧拉公式与闭曲面分类”。
选修4中,与几何有直接关系的 有以下专题:“几何论证选讲”,“坐标系与参数方程”,“矩
阵与变换”,“统筹与图论初步”等。在 其它一些专题中,例如,在“对称与群”中,对称性主
要是通过图形展示的。正如前面反复强调的,几何 直观,空间想象,把握图形,运用图形语
言等等都是贯穿在任何数学课程的基本思想。
4.如何处理立体几何的证明?
与以往高中数学课程中的立体几何内容相比,《标准》中立体 几何内容的变化主要表现在几
何定位的变化,几何内容处理方式的变化以及几何内容的分层设计等方面。 《标准》中的立
体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能 力
等。在处理方式上,与以往点、线、面、体,从局部到整体展开几何内容的方式不同,《标
准 》按照整体到局部的方式展开几何内容,并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计
算等探索研究几 何的过程。立体几何内容分层设计,在必修课程中,主要是通过直观感知、
操作确认,获得几何图形的性 质,并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。对于进一步
的论证与度量则放在选修系列2中用向量处 理。在处理立体几何的证明问题时,老师应从以
下几个方面把握。
(1)立体几何中的证明始终是高中数学中的难点。
标准对立体几何内容是分层设计的。因此,立体几何中的证明也要分层,不能一步到位。
在立 体几何初步中,首先,以长方体作为载体,给出了点、直线、平面的位置关系,以及一
些基本的概念。通 过直观感知、操作确认,归纳出了四个判定定理和四个性质定理,还有一
个从平面拓展到空间的角相等或 互补的判定定理。本部分明确给出的定理共有九个。
四个判定定理:
①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行。
③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直。
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理:
空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
四个性质定理:
①一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
②两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
③垂直于同一平面的两条直线平行。
④两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
标准只要求对于四个性 质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理,在选修2的“空
间向量与立体几何”中利用向量的 方法予以证明。



(2)立体几何初步这部分,我们希望能使学生初步 感受综合几何的证明。在处理证明时,
要充分发挥几何直观的作用,而不是形式上的推导。例如,平行于 同一平面的二直线平行
的证明方法,有的老师就是采用了一种很直观的证明方法(如下图所示)。



直线a、b垂直于同一平面,只有两种情况,直线a、b共面或者异面。如果是共面 则直接转
化为平面几何的问题,结论易证。如果是异面,则过b点作直线c与直线a平行,可得,直线c与直线a共面,且直线c也垂直于平面。因为直线b和直线c相交于点b,所以直线b
和直线c 也在同一个平面内。又因为过b点有两条直线b和c都垂直于平面,这与公理矛盾。
所以原命题得证。


反证法使学生比较难理解的方法,老师可以通过上述这种直观的方法,来帮助 学生理解这个
定理的证明。
(3)要把握好立体几何初步中证明的“度”。
在立体 几何初步部分,标准只要求用综合几何的方法证明四个性质定理和运用已获得的证明
结论证明一些空间关 系的简单命题。对于一些复杂的证明问题,则在选修2系列中用向量的
方法来处理。

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本文更新与2020-09-15 12:05,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/396910.html

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