高中数学必修二直线与圆方面的知识点 ()

高中数学必修2知识点——直线与圆
整理 徐福扬
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0
度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α ＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这 条直
线的斜率。直线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当
?
?
?
0
?
,90?
?
时，
k?0
； 当
?
?
?
90< br>?
,180
?
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。
②过两点的直线的 斜率公式：
k?
y
2
?y
1
(
x
1
?x
2
)

x
2
?x
1

注意 下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不
存在，倾斜角为90°；
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无 关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由
直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k
(
x?x
1
)
直线斜 率k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y
1
。
当直线的 斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不
能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x< br>1
，所以它的
方程是x=x
1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点 式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式：
x
?
y
?
1

ab
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴
的截距分别为
a,b
。

⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如： 注意：○
平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?
0
（< br>A
0
,B
0
是不全为0的常数）
的直线系：
A
0
x?B
0
y?C?
0
（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：
y?y
0
?k< br>?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
（ⅱ）过两条直线
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
，
l< br>2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的 交
点的直线系方程为
?
A
1
x?B
1
y?C1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y ?C
2
?
?0
（
?
为参数），其中直线
l
2
不在直线
系中。
（6）两直线平行与垂直
当
l
1:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1< br>?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与
否。
（7）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
相交
?
A
1
x? B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
Ax?By?C?0
22
?
2
方程组无解
?l
1< br>l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重
合 Bx
2
,y
2
）
（8）两点间距离公式：设
A(x1
,y
1
)，（
是平面直角坐标系
中的两个点，
（9 ）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?到直线
22
则
|AB|?(x
2
?x
1
)?( y
2
?y
1
)

l
1
:Ax?By?C ?0
的距离
d?
（10）两平行直线距离公式
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求
解。
二、圆与方程
圆的标准方程
1、圆的标准方程：
(x?a)
2< br>?(y?b)
2
?r
2

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
2
0,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法：
（1）
(x
0
?a)
2
? (y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外 （2）(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
2
，点
在圆上
（3）
(x
2
0
?a)?(y
0
?b)
2
<
r
2
，点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0

2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二
次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求
出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，
代数特征明显，圆的标准方程 则指出了圆心坐标与半径大小，
几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线
l
：圆
C
：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0
，圆的半径为
r
，
ax?by?c?0
，
圆心
(?
D
,
2
?
E
则判别直线与圆的位置关系的依据
)
到直线的距离为
d
，
2
有以下几点：
（1）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相离；（2）当
d?r
时 ，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d?r
时，直线
l
与圆
C
相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为
l
，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下
几点： （1）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相离；（2）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与
圆
C
2
外切；
（3）当< br>|
r
1
?
r
2
|?
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相交； < br>（4）当
l?
|
r
1
?r
2
|
时， 圆
C
1
与圆
C
2
内切；（5）当
l?|r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题 中
的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点 M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
，
x
、
y
、
z
分
别是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
，对应着空间直角坐标系中的一点 < br>3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，该数
组 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M
(x,y,z)
，
x
叫做点M< br>的横坐标，
y
叫做点M的纵坐标，
z
叫做点M的竖
坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
(x
1
,
y
1
,
z
1
)
到点< br>P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的
距离公式
N
1
x
O
M
1
MM
2
H
N
2
y
N
z
x
PR
M
O
Q
M'
y
P
1
P
2< br>P
1
P
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2