最新人教新课标A版高中数学必修二全册教案

备课人
课题

授课时间
§
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

能根据几何结构特征对空间物体进行分类
知识与技能
通过实物操作，增强学生的直观感知概述棱柱、棱锥、圆柱、
圆锥、棱台、圆台、球的结构特征
过程与方法
情感态度价值观
启发引导，充分发挥学生的主体作用
使学生 感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习
的积极性，同时提高学生的观察能力。
教
学
目
标
重点
难点
让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征
柱、锥、台、球的结构特征的概括
教学内容

（一）创设情景，揭示课题
1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特
色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑 的几何结
构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对
学生的活动及时给予评价。
教学环节与活动设计





















教

学

设

计
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而
成的，（展示具有柱 、锥、台、球结构特征的空间物体），
你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类
吗 ？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知
1.棱柱、棱锥的结构特征：
① 提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行
的形象？
② 讨论：给一 个长方体模型，经过上、下两个底面用
刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何
体 用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？

1
教 教学内容

教学环节与活动设计
1

学

设

计
③ 定义：有两个面互相平行，其余各
面都是四边形，且每相邻两个四边形的
公共边都互相平行，由这些面所围成的
几何体叫棱柱.
→ 列举生活中的棱柱实例
（三棱镜、方砖、六角螺帽）.
结合图形认识：底面、侧面、
侧棱、顶点、高、对角面、对角线.
④ 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、
四棱柱、五棱柱等.
表示：棱柱
ABCDE-A’B’C’D’E’

⑤ 讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？
⑥ 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一
个公 共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫
棱锥.
结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高.
→ 讨论：棱锥如何分类及表示？
⑦ 讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共
同的性质？
棱柱：两底 面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面
都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与
底面全等的多边形
棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底
面相似， 其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
2. 圆柱、圆锥的结构特征：
① 讨论：圆柱、圆锥如何形成？
② 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转
所 成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直
角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成 的几何体叫
圆锥.
→ 列举生活中的棱柱实例 →结合图形认识：底面、轴、
侧面、母线、高. → 表示方法
③ 讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？ → 柱体、
锥体.
④ 观察书P2若干图形，找出相应几何体； 举例：生活中的
柱体、锥体.
3.教学棱台与圆台的结构特征：
① 讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几
何体有何特征？
结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.
讨论：棱台的分类及表示？ 圆台的表示？圆台可如何旋转
而得？
2







































教 教学内容

教学环节与活动设计
2

学

设

计

② 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底
面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截
圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.
→列举生活中的实例
③ 讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？
棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平
行的相似多
边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.
圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是 等腰梯形；任
意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.
④ 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台
与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？
（以台体的上底面变化为线索）
4.教学球体的结构特征：
① 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周
形成的几何体，叫球体.
→列举生活中的实例
结合图形认识：球心、半径、直径.
→ 球的表示.
② 讨论：球有一些什么几何性质？
③ 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）
棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）
（三）、布置作业
课本P8 练习题1.1 B组第1题
课外练习 课本P8 习题1.1 B组第2题


教
学
柱、锥、台、球的结构特征的概括
小
结

课

后
反
思




备课
人


授课时间
3

课题
§1.1.2简单组合体结构
能根据几何结构特征对空间物体进行分类，通过实物操
教
学
目
标
知识与技能
作，增强学生的直观感知概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、
棱台、圆台、球的结构特征
过程与方法
情感态度价值观
启发引导，充分发挥学生的主体作用
使学生 感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学
习的积极性，同时提高学生的观察能力。
重点
难点
让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征
柱、锥、台、球的结构特征的概括
教学内容

（一） 知识回顾：几何体的结构特征及图例
1.棱柱：（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边
形；（2）侧棱平行且相等
圆柱：（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于
圆柱的轴；
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余
三边旋转形成
曲面所围成的几何体.
F
A
B
侧棱
侧面
F
B
C
E
D
顶点
E
C
底面
D
教学环节与活动设
计























教

学

设

计
A
母线
O
B
轴
侧面
A
O底面
B
2.棱锥：（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）
各侧面有一个 公共顶点.
圆锥：（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直
角边所在的直线为旋转轴 ，其余两边旋转形成
的曲面所围成的几何体.
S
侧棱
侧面
F
A
B
E
C
底面
D
顶点

S
轴
母线
侧面
A
O
底面
B



1

教 教学内容

教学环节与活动设计
4

学

设

计
3.棱台：（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底
面的平面去截棱锥，底面和截面之间 的部分.
圆台：（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底
面的平面去截圆锥，底 面和截面之间的部分.
O
F
E
D
B
C
E
C
侧棱
侧面
A
侧面
母线
底面
D
顶点
轴
A
O
底面
B
F
A
B

4.球 ：（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直
径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成 的几何体.
半径
圆心

（二）简单组合体的结构特征：（学生阅读教材并讨论）
① 定义：由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫
简单组合体.
②讨论：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？
→列举生活中的实例
(三)例题讲解
【例1】请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.
（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，
其它面都是全等的矩形；
（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.
解：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，
底面是正五边形. 几何体为正五棱柱.
（2）由两个同心的大球和小球,大球里去掉小球剩下的
部分形成的几何体,即空心球. 【例2】若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱
长为2,底面周长为9,求棱锥的高 .
33
解：底面正三角形中，边长为3，高为
3?sin60??
，
2
中心到顶点距离为
332
??3
，则棱锥的高为
2
2
?(3)
2
?1
.
23


2


































l







教 教学内容

教学环节与活动设计
r
l< br>O
4
r
SS
r
l
A
O
4
r
A

5

【例3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台
学
上、
下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是

3cm，求圆台的母线长.
设
解：设圆台的母线为
l
，截得圆台的上、下底面半径分别

为
r
，
4r
.
计
3r
根据相似三角形的性质得，

3?l
?
4r
，解得
l?9
.
所以，圆台的母线长为9cm

点评
：
用平行于底面的平面去截柱 、锥、台等几何体，注意
抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中
的轴截面（ 经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角
形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.
（四）巩固练习 :
1. 练习：书P8 A组 1～4题.
2. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为
26cm, 则长、宽、高分别为多少？
3. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这
棱台的原棱锥的高
4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面
体的高.
（五）作业讲解A-31
教
学
学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类
小

结

课

后
反
思




备课人

6
授课时间

课题
知识与技能
§1.2.3空间几何体的直观图
（1）掌握斜二测画法画水平设置的 平面图形的直观图.
（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中
心投影下面空间 图形两种方法的各自特点.
教
学
目
标
过程与方法
情感态度价值观
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直
观图.
（1）提高空间想象力与直观感受.（2）体会对比在学习中
的作用.（3）感受几何作图在生 产活动中的应用.
重点
难点
用斜二测面法画空间几何值的直观图.
用斜二测面法画空间几何值的直观图.
教学内容

一、创设情景，揭开课题
教学环节与活动设计






















教

学

设

计
三视图用三个角度的正棱影图反映空 间几何体的形
状和大小，我们能否将空间图形用一个平面图形来表示

呢？
二、探索新知

1．水平放置的平面图形的直观图的画法.
（1）例1 用 斜二测法画水平放置的正六边形的直
观图.
画法：（1）如图（1），在正方边开ABCDEF 中，取
AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴
相交于点O′，使∠x′O′y ′ = 45°.
（2）在图（2）中，以O′为中点，在x′ 轴上取A′D′=AD，
在y′ 轴上取M′ N ′ =MN. 以点N ′ 为中点，画B′C′ 平
行于x′ 轴，并且等于BC；再以M ′为中点，画E′F′平行
于x′ 轴，并且等于EF.
（3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′ 轴和
y′ 轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图
A′B′C′D′E′F′（图（3））

1
2

教 教学内容

教学环节与活动设计
7

学

设

计
2） 斜二测 画法基本步骤.
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交
于点O.画直观图时， 把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交
于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们 确定的平
表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分
别画成 平行于x′轴或y′轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度
不变 ，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
2．简单几何体的直观图画法
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm
的长方体ABCD – A′B′C′D′的直观图.
画法：（1）画轴. 如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点
O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°






























（2）画底面. 以点O为中点，在x轴上取线段MN，使
2

3
2
教 教学内容

教学环节与活动设计
8

学

设

计
2．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，
错误的画“×”.
（1）角的水平放置的直观图一定是角. （ √ ）
（2）相等的角在直观图中仍然相等. （ ×）
（3）相等的线段在直观图中仍然相等. （ × ）
（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平
行. （ √ ）
3．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图是三角形.
②平行四边形的直观图是平行四边形.
③正方形的直观图是正方形.
④菱形的直观图是菱形.
以上结论，正确的是（ A ）
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
4．用斜二测画法画出五棱锥P – ABCDE的直观图， 其中
底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中
心O（尺寸自定）.




























教
学
小
结


1．平面图形斜二测画法.
2．简单几何体斜二测画法.
3．简单组合斜二测画法.
4．注意事项.
课
后
反
思
4


教 教学内容

教学环节与活动设计
9

学

设

计
点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体 的底面
ABCD.
（3）画侧棱. 过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，
并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段A′A，B′ B，C′C，D′D.
（4）成图，顺次连接A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助
线，将被 挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图.
3．简单组合体画法
例3 已知几何体的三视图说出它的结构特征，并用斜
二测画法画它的直观图.
画法：（1）画轴. 如图(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90°.
（2）画圆的柱的下底面. 在x轴上取A，B两点，使AB
的长度等于俯视图中圆的直径，且OA = OB. 选择椭圆模板中< br>适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱
的下底面.
（3）在Oz上 截取点O′，使OO′ 等于正视图中OO′ 的
长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆 柱下底面的作
法作出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点. 在Oz上截取点P，使PO′ 等于正
视图中相应的高度.
（5）成图. 连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三 视图
表示的几何体的直观图.（如图(2)）































三、随堂练习
1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图
（尺寸自定）：
（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形.

3



10

备课人
课题
教
学
目
标
重点
难点

授课时间
§1.2中心投影和平行投影及空间几何体的三视图
知识与技能
过程与方法
情感态度价值观
了解中心投影和平行投影的原理，画出简单几何体的三视
图，能识别三视图所表示的立体模型
培养学生空间想象能力。
通过绘制三视图，教育学生要多角度看待事物。
投影的概念及三视图的画法。
三视图的画法。
教学内容

一、创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一
物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我
们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习中心 投影
与平行投影及空间几何体的三视图。
教学环节与活动设计

























教

学

设

计
二、知识探究
1. 中心投影与平行投影：
我们知道， 物体在灯光或日光的照射下，就会在地
面或墙壁上产生影子，这是一种自然现象。投影就是由
这 类自然现象抽象出来的。所谓投影，是光线（投射线）
通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面 上得
到图形的方法。生活中有许多利用投影的例子，如手影
表演，皮影戏等。
请同学们观察下面的投影图,并将它们进行比较:
结论：(1) 我们把光由一点向外散射形成的投影称为中
心投影。
中心投影的优缺点：它能非常逼真的反映原来的物
1
教 教学内容

教学环节与活动设计
11

学

设

计
直观图的大小和形状亦将改变，因此在另外的一些领域，比
如工程制图 或技术图样，一般不采用中心投影。。
(2) 我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为 平行
投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为
斜投影和正投影两种
2.空间几何体的三视图
主视图（正视图）――光线从物体的前面向后投射所得的
投影。
俯视图――光线从物体的上面向下投射所得的投影。
左视图――光线从物体的左面向右投射所得的投影。
用这三种视图刻画空间物体的结构，我们称之为三视图。
课本13页 圆柱，圆锥的三视图
注意点：长对正，高平齐，宽相等
3.实践动手作图
1．讲台上放球、长方体实物 ，要求学生画出它们的三视
图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;
2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图
（1）画出球放在长方体上的三视图
（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图
学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结
自己的作图心得。
作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征
后，再动手作图。
14页 简单组合体的三视图
（强调注意点，顺带解决练习1）
4．三视图与几何体之间的相互转化。
2















学生推出














学生思考
并总结

教 教学内容

教学环节与活动设计
12

15页 练习2，3，4
学
补充：根据下列三视图，说出立体图形的形状

设

计
(2)
（2）正四棱锥；（3）螺帽。

(3)

规律方法：
1、 画三视图时首先分析实物的结构，应观察实物是由那
些简单多面体构成的，从而准确的作出三视图；
2、 要遵守“长对正”，“高平齐”，“宽相等”的规律；
3、 要注意三视图的主视图反 映上下、左右关系，俯视图
反映前后、左右关系，左视图反映前后、上下关系，
方位不能错。


















学生独立完成
1.中心投影和平行投影的定义；
教
学

小
结

课

后
反
思

2.三视图
3.如何准确画几何体的三视图：
长对正、宽相等、高平齐.

3



备课人

授课时间
13

课题
柱体、锥体、台体的表面积

知识与技能

过程与方法

柱体、锥体、台体的表面积的推导与计算，能利用公式求柱
体、锥体和台体的表面积
启发引导，充分发挥学生的主体作用
教
学
目
标
情感态度价值观
让学生体验空间几何体的表面积的求解过程与方法
重点
难点
柱体、锥体、台体的表面积的推导与计算。
台体的表面积公式的推导。
教学内容

1、创设情境
（1）提出问题：在过去的学习中，我们已经学习 了
正方体和长方体的表面积的求法和它们的展开图，请大
家回忆一下，它们的展开图是什么呢？ 怎样来求它们的
表面积？
（2）设置疑问：正方体和长方体的表面积可以利用
它们的 展开图（平面图形）来求面积，那么，柱体，锥
体，台体是否也可以利用它们的展开图来求呢？它们的< br>侧面展开图又是什么呢？如何计算它们的表面积？要是
让我们来设计一只圆台形铁皮水桶，你能设 计出来吗？
引入课题。【老师展示空间几何体教具和示意图】
2、探究多面体的展开图和表面积
（1）向学生展示正六棱柱、正五棱锥和正四棱台的
实物教具：


教学环节与活动设计



教

学

设

计
1
教 教学内容

教学环节与活动设计
14

学

设

计


（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面
图形构成？表面积如何求？
（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
【老师出示实物教具，并运用多媒体演示它们的展
开图】
（4）例题分析讲解（P24例1）
3、探究旋转体的展开图和表面积
（1）向学生展示圆柱、圆锥和圆台的实物教具：




（2）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图
的结构
【老师出示实物教具，并运用多媒体演示它们的展开
图】，
并归纳出其表面积的计算公式:
S
圆柱
?2
?
r
2
?2
?
rl=2
?
（rr?l）

S圆锥
?
?
r?
?
rl=
?
（rr?l）
2

教
S
圆台
?
?
（r
教学内容
'?r?r'

l?rl)
教学环节与活动设计
15

（3）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面

学
积公式之间的变化关系。

S
圆台
?
?
（r'< br>2
?r
2
?r'l?rl)

设
r’=0

r=r’

计
2

S
圆柱
?2
?
r?2
?
rl=2
?
（rr?l）
< br>S
圆锥
?
?
r
2
?
?
rl=
?
（rr?l）

（4）例题分析讲解（P25例2）
4、巩固深化 < br>1、粉碎机的上料斗是正四棱台形(上、下底面是正
方形，侧面为全等的等腰梯形)，它的上、下 底面边长分
别为44cm、8cm，高是20cm，计算制造这样一个下料斗
所需铁板的面积.
2、要做一个圆台形铁皮桶，上、下底面半径分别为
40CM、20 CM，母线与底面的夹角为120°，求计算这只
2
铁桶需要多少CM铁皮.


5、课堂小结（引导学生小结）
（1）本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积的求
解方法。
（2）用联系柱体、锥体与台体三者之间的关系，更
加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
6、评价设计
习题1.3 A组1.3
教

学
小
结

课

后

反

思

3



备课人


16
授课时间

课题
教
学
目
标
重点
难点
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）
能运用公式求解并熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
知识与技能
能运用公式求解并熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
过程与方法
情感态度价值观
启发引导，充分发挥学生的主体作用
培养学生空间想象能力和思维能力。
柱体、锥体、台体体积计算
台体体积公式的推导，计算公式之间的关系.
教学内容

教学环节与活动设计

一、复习：
1. 提问：
圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？

2. 练习
：正六棱锥侧棱长为6, 底面边长为4, 求
其表面积.


学生回答



















3. 提问：
正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计
算公式？
教

学

设

计

二、讲授新课：
1. 柱、锥、台的体积计算公式：
① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？

② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱
体的体积计算公式？
给出柱体体积计算公式：
V
柱
?Sh
（S为底面面积，
h为柱体的 高）→
V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？
等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？
探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱< br>锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间
的关系的了解。

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公
1

教 教学内容

教学环节与活动设计
17

1

给出锥体的体积计算公式：
V
锥
?Sh
（S为底面面积，h
学
3

为高）
设
⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如

何计算切割前的锥体的高？
计
→ 如何计算台体的体积？
hs
'
xs
'

?x?

?
'
x?h
s
s?s
11111
V
台
?S （h?x)?S
'
x?Sh?Sx?S
'
x

33333
11
11hs
'
'
'

?Sh ?(S?S)x
?Sh?(S?S)
'
33
33
s?s
11 1
?Sh?(s?s
'
)hs
'
?h(s?ss
'
?s
'
)

333















学生回答























1
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h
'
3
⑥ 给出台体的体积公式： （S，
S
分别上、下底面积，h为高）
11
V
圆台
?(S
'
?S
'
S?S)h?
?
(r
2
?rR? R
2
)h
33
（r、R分
别为圆台上底、下底半径）
⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？
从锥、台、柱的形状可以看出，当台 体上底缩为一点时，台
成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此
只要分别令S ’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、
锥的相应公式。

(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高)从而锥、柱的公式
2

教 教学内容

教学环节与活动设计
18

学

设

计
三、例题：
3
例3 有一堆规格相 同的铁制（铁的密度是7.8gcm）六角螺
帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直
径为10mm，，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？

分析：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ →
利用哪些数量关系求个数？
→ 列式计算 → 小结：体积计算公式
33
V≈2956（mm）=2.956（cm）
5.8×100÷7.8×2.956≈252（个）
四、练习
已知正四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
，点E在棱D
1
D上，截面
EAC∥D
1B，且平面EAC与底面ABCD所成的角为45?，AB
＝a。
I. 求截面EAC的面积。
II. 求三棱锥B
1
－EAC的体积。

五、作业













学生回答

教
学
能运用公式求解并熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系
小
结

课

后
反
思
3



备课人

授课时间
19

课题
§1.3.2 球的体积和表面积
通过对球的体积和面积公 式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方
法：“分割——求和——化为准确和”.

知识目标
技能目标
情感态度价值观
能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.
培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一
定的了解，提高了空间思维能力和空 间想象能力.
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法.
推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.
教学内容


（一） 创设情景
⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱
体、锥体和台体那样展开成平面图形 ，那么怎样来求
球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
⑵教师设疑：球的大小是与球的半 径有关，如何
用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的
体积和面积公式。
（二） 探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小 之
时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正
好是球的体积，由于“小圆片”近似 于圆柱形状，所以
它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于
相应的圆柱和体积，因 此求球的体积可以按“分割——
求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：
第一步：分割
如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，
过这些等分点，用 一组平行于底面的平面把半球切割成
n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为
圆片”的底面。

教学环节与活动设计








学生回答















教

学

过

程

及

方

法
R
，底面是“小
n
1

教 问题与情境及教师活动

教学环节与活动设计
20

学
如图：


过


得
程

及 R
?
R
3
i?1
22
V?
?
?r?? [1?()]　　(i?1、２??n)

i

i
nnn
方
第二步：求和

1
(1?
1
3
n
)(2 ?
n
)
Ｖ
半球
＝v
1
?v
2
?v
3
???v
n
?
?
R[1?]

法
6
第三步：化为准确的和
当n→∞时，
n
→0 （同学们讨论得出）
所以
Ｖ
半球
＝
?
R
3
1
(1?
1?22
)?
?
R
3

63
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
Ｖ
球
?
4
?
R
3

3
练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9gcm)
2．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量, 它也是球半径R的
函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆
锥的表面积公式那 样推导球的表面积公式,所以仍然用“分
割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
2
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3 、4、5，
是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积
是 。 （答案50元）
（三） 典例分析
课本P
47
例4和P
29
例5

3
2



















学生完成



















教 问题与情境及教师活动

教学环节与活动设计
21

学

过

程

及

方

法
（四） 巩固深化、反馈矫正
错误！未找到引用源。正方形的内切球和外接球的体
积的比为 ，表面积比为 。

（答案：
33:1
； 3 ：1）
⑵在球心同侧有相距9cm的两个平 行截面，它们的面
22
积分别为49πcm和400πcm，求球的表面积。 （答案：
2
2500πcm）
分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性
质求球的半径

















学生独立完成


教
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球
学
的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
小

结

课

后
反
思
3



备课人

22
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§2.1.1 平面的基本性质
掌握平面的基本性质及作用

知识目标
技能目标
情感态度价值观
掌握平面的表示法及水平放置的直观图
培养学生的空间想象能力。
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强
了学习的兴趣。
1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
平面基本性质的掌握与运用。
教学内容


教学环节与活动设计







学生回答















教

学

过

程

及

方

法
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平
静的湖 面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更

多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与
此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节
课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但
是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板
画） 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出
平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行 四边
0
形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）

D C


α

A B
1

教 教学内容

教学环节与活动设计
23

学

过

程

及

方

法

平面通常用希腊字母α、β、γ等表 示，如平面α、平面β
等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的
两个顶点的大 写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个
平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）


β
β




α α



课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B
?
α
α
2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己
的见解。
师：把一把直 尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直
尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下
公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线
在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α

α
·

L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量
用的平板仪等等……
2
















·B



·A


学生完成



















教 教学内容

α
·

C
·

·

A B
教学环节与活动设计
24

学

过

程

及

方

法
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含
义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
β

P
α

·

L



4、教材P43 例1
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号
的正确使用。
5、课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4





























学生独立完成
教
（师生互动，共同归纳）
学
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？
小

结

课

后
反
思
3



25

备课人
课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点

授课时间
2.1.1（2）确定平面的条件

掌握三个推论
知识目标
技能目标
掌握确定平面的条件
培养学生的空间想象能力
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强
情感态度价值观
了学习的兴趣
公理3的三个推论
三个推论的应用
教学内容

一．复习
1. 平面的概念
2. 平面的基本性质
教学环节与活动设计























教

学

过

程

及

方

法
3. 空间作图：
?
?
（2）被平面遮挡的部分用虚线表示
?
该平行的必 须
（3）两个平面相交必须作出交线
?
?
画成平行
二．新课
1. 平面基本性质的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个
平面.
证：（存在性）设点A不在直线
a
上，
在直线
a
上任取两点B、C，
则A、B、C不在同一直线上


?
(1)直尺，铅笔
A
·
B C
a
教 教学内容

B?
?
,C?
?
,B?a,C?a
a?
?
?
教学环节与活动设计
26

学

过

程

及

方

法
即平面
?
是经过直线
a
和点A的平面
（唯一性）由公理3经过不共线三点A、B、C的平面只有一
个
∴ 经过直线和点A的平面只有一个
符号表示：
A?a?
有且只有一个平面
?< br>使
A?
?
,a?
?
.
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.
符号表示：
ab?P?
有且 只有一个平面
?
使
a?
?
,b?
?
.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
符号表示：
a
∥
b?
有且只有一个平面
?
使
a?
?
,b?
?
.





2. 确定一个平面的条件
公理3及三个推论
3. 例题分析
例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分 别为A、B、C判断
这三条直线是否共面，并说明理由.
解：三条直线共面
∵
AB
A
b
a P
?
?
b
a
AC?A


B C
∴直线AB,AC确定一个平面
?

?
∵
B?AB,C?AC






































2
B?
?
,C?
?


教
BC?
?
教学内容

?
教学环节与活动设计

l
l
a、b、c
a、b、c
27

学

过

程

及

方

法
证明：∵
a
∥
b

∴
a
、
b
确定平面
?

设
l



a?A,lb?B,lc?C

∵
A?a,B?b,a?
?
,b?
?

∴
A?a,B?
?

又
A?l,B?l

∴
l?
?

同理可得：
a、c
确定平面
?
，则平面
?
、
?
都经过相交直线
a
与
l< br>
又过
a、l
有且仅有一个平面
∴
?
、
?
重合
∴
a、b、c、l
共面
三．练习
思考：三条直线交于一点，过每两条相交直线作一个平面，
最少可以作几个？最多可作几个？
三条直线交于两点？
三条直线交于三点？

教
学
小
结

课

后
反
思
（1） 推论
（2） 共面问题的证法
（3） 确定平面的条件
3



备课人

28
授课时间

课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点
§2.1.2（1）空间中两直线的位置关系
了解空间中两条直线的位置关系

知识目标
技能目标
情感态度价值观
理解并掌握公理4
培养学生的空间想象能力。
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学
习兴趣
异面直线的概念及公理4
公理4的掌握与运用。
教学内容


（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流
教学环节与活动设计








学生回答















教

学

过

程

及

方

法
得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直
线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书
课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线
有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公
共面直线
共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一
个或两个平面衬托，如下图：
1

教 教学内容

教学环节与活动设计
29

学

过

程

及

方

法
2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三 条直线平
行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规
律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，
BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这
个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（2）例2（例2的讲解让学生掌握了公理4的运用）
（3）教材P47探究
让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力
=>a∥c

















学生独立完成
教
学
小
结

（三）课堂练习
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
课

后
反
思
2



备课人

30
授课时间

题
教
学
目
标
重点
难点
§2.1.2（2）等角定理及两直线的垂直关系
知识与技能 理解并掌握等角定理
启发引导，充分发挥学生的主体作用
提高学生的学习兴趣
过程与方法
情感态度价值观
理解并掌握等角定理
异面直线所成角的计算
教学内容


组织学生思考教材P47的思考题









1、让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平
行，这两组角的大小关 系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180
2、教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定
理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那
么这两个角相等或互补。
1



0
教学环节与活动设计








学生回答















教

学

设

计
教 教学内容

教学环节与活动设计
31

学

设

计
3、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角
的概念。
（1）师：如 图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O
作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐 角（或直角）
叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与
O的选择无关，为了简便，点O一般取在两 直线中的一条上；
?
2
； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )

















学生独立完成
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面
直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直
线所成的角。
（3）例3 例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成
的角，从而巩固了所学知识。
（三）课堂练习
教
学
（1）理解并掌握等角定理；
小
（2）异面直线所成角的定义、范围及应用
结

课

后
反
思




32

备课人 授课时间

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、
课题
平面与平面之间的位置关系

教
学
目
标
重点
难点
知识与技能
过程与方法
了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面
的位置关系
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
培养学生的空间想象能力。
空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
教学内容

教学思想
（一）创设情景、导入课题
教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载
体，提 出了：空间中直线与平面有多少种位置关
教

学

设

计
系？（板书课题）
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、
准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线
在平面外，可用a α来表示

教学环节与活动设计




1



33

教学内容

教学环节与活动
设计



a α a∩α=A a∥α
例4（投影）
师生共同完成例4
例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，
教

学

设

计
准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：
（1）两个平面平行 —— 没有公共点
（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线
用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种
位置关系用图形表示为

α
L



α β

β



α∥β α∩β= L

教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面
的两个平行四边形的对应边平行。
教材P51 探究
让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位
置关系的理解
教材P51 练习
学生独立完成后教师检查、指导
2
教 教学内容

教学环节与活动设计
34

（三）归纳整理、整体认识
学

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他
设

们掌握知识的层次。
计
（四）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P52 习题2.1 A组第5题

















教
学
空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

小
结

课

后

反

思
3



35

备课人 授课时间

课题
教
学
目
标
重点
难点
§2.2.1 直线与平面平行的判定
知识与技能
过程与方法
理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
启发引导，充分发挥学生的主体作用
情感态度价值观
进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
直线与平面平行的判定定理及应用。
直线与平面平行的判定定理及应用。
教学内容

教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观 察身边的实物，如教材第55页观察
题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的
教

学

设

计
位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们
本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、投影问题
a
教学环节与活动设计



α

直线a
与平
面α
平行
吗？


教学内容

1
教学环节与活动设计
36

学

设

计
a
α b
若α内有直
线b与a平
行，
那么α与a
的位置关系
如何？
是否可以保
证直线a与
平面α平
行？


学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此 平
面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a?
?
,b?a,且 a
∥b
?
a
∥
?
.
2、例1 引导学生思考后，师生共同完成
该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化
为平面问题的化归思想。
（三）自主学习、发展思维
练习：教材第55页 1、2题
让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。

（四）归纳整理
1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2
教 教学内容

教学环节与活动设计
37

2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问
学

题。
设

（五）作业
计
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？
















教
学
小
结

课

后

反

思
直线与平面平行的判定定理及应用。
3



备课人


38
授课时间

课题
教
学
目
标
重点
难点
知识与技能
§2.2.2 平面与平面平行的判定
两平面平行的判定定理，理解并掌握两平面平行的判定定
理
启发引导，充分发挥学生的主体作用
进一步培养学生空间问题平面化的思想
过程与方法
情感态度价值观
两个平面平行的判定
判定定理、例题的证明
教学内容

教学环节与活
动设计






















复习回顾

直线与平面平行的判定定理：

教

学

设

计
(文字语言)
如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，
那么这条直线与这个平面平行．
(符号语言)










?


a?
?
,b?
?
,ab?a
?
a
b
(图形语言)
线 线 平 行------- 线 面 平 行
1

教

教学内容

（）平面1
?
内有一条直线与平 面
?
平行，
?
与
?
教学环节与活动
设计
平行吗？
39

学

设

计

2）平面
?
内有两条直线与平面
?
平行，
?与
?
（

平行吗？
（）平面
?
内有无数条直线 与平面
?
平行，
?
与
?

3
平行吗？

归纳结论：平面与平面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行 .
符号表示：
① 内

② 交

③平行
< br>a?
?
,b?
?
?
?
ab?P
?
?
?

?
a
?
,b
?
?
?
1 .判断下列命题是否正确

（1）已知平面
?
,
?
和直线
m,n
，
m?
?
,n?
?

若
m
?
,n
?
，则
?

?
.
错误
（2）一个平面
?
内两条不平行的直线都平行于另一平面
?
，则
?

?
.
正确
2、平面和平面平行的条件可以是（ D ）
（A）
?
内有无数多条直线都与
?
平行
（B）直线
a
?
,a
?

（C）直线
a?
?
，直线
b?
?
，且
a
?
,b
?

（D）
?
内的任何一条直线都与
?
平行
例1 如图 : 已知正方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
.

求证:
平面BAD平面BCD.

2
教

A
1
B
1
































教学内容

教学环节与活动设
计
D
A
B
C
40

学


变式：已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
,
E、F、G、H
分别
设

是棱
计
A1
D
1
,A
1
B
1
,B
1
C
1
,C
1
D
1
,的中点.求证:平面
AEF
平面

GHDB

E
D
1
F
H
B
1
G
C
1
D
A
B
C



变式:已知:正方体
ABCD?A
1
B
1
C< br>1
D
1
，
M、N、P
分别是，
CC
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点，求证: 平面
AEF
平面
MDB


D
1
C
1
B
1
M
D
P
C



























1.
A
面面平行通常可以转化为线面平行来处理.基本思路
B
N
是:

线线平行----线面平行------面面平行
.

教
2.
证明的书写三个条件“内”、 “交”、 “平行”， 缺一不可。
学
小
3. 应用判定定理判定面面平行的关键是:： 找平行线.

结

常用的依据有：①平行四边形的性质 ②三角形或梯形的中位线定理
课

后
反
思
3



41

备课人
课题
教
学
目
标
重点
难点

授课时间
§2.2.3直线与平面平行的性质
知识与技能 掌握直线与平面平行的性质定理
启发引导，充分发挥学生的主体作用
体会类比的作用，渗透等价转化的思想
过程与方法
情感态度价值观
直线和平面平行的性质.
性质定理的证明与灵活运用.
教学内容

教学环节与活动设计



学生回答


















复习巩固
1．直线与平面平行的判定定理

2．直线与平面的位置关系

3．思考：如果直线和平面平行、那么这条直
线与这个平面内的直线是有什么位置
关系？
教

学

设

计


探索新知：
直线与平面平行的性质
1．思考题：一条直线与一个平面平行，那么在什么
条件下，平面
?
内的直线 与这条直线平行？
2．例1 如图a∥
?
a
?
?
，
??
= b. 求证：a∥b.
证明：因为
??
=b，所以
b?
?
.因为a∥
?
，所以a与b无公共点.
又因为
?
?
?,
b?
?
，所以a∥b.
3．定理 一条直线与一个平面平行，则过这条 直线
的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
简证为：线面平行则线线平行.
符号表 示：
1


教 教学内容

教学环节与活动设计
42

学

设

计

a
?
?
?
a?
?
?
?ab

a
?
?b
?
?
例2 如图所示的一块林料中，棱BC平
行平面A′C′.

（1）要经过面A′C′内一的点P和棱BC
将木
料锯开，应怎样画线？

（2）所画的线与平面AC是什么位置
关系？



< br>解：（1）如图，在平面A′C′，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，
并分别交棱A′B′ ，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF、BE、CF
就是应画的线.
（2）因为棱B C平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交
于B′C′，所以，BC∥B′C′.由（1）知 ，EF∥BC，因此
?
?
EF?平面AC
?
?EF平面AC
.
BC?平面AC
?
?
EFBC
BE、CF显然都与平面AC相交.
例3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平
面，求证：另一条也平行于这个平面.
如图，已知直线a、b，平面
?
，且a∥b，a∥
?
，a、b
都在平面
?
外.
求证：b∥
?

分析：
1：要证
b
?
，可转证什么问题.
2.：但这种直线在已知图线中不存在，











学生思考




















2

教 教学内容

教学环节与活动设计
43

（1）证明四边形ABCD（图中阴影

学
部分）是一个梯形；
（2）求四边形ABCD的面积.

设


计




1．答案（1）如图，CD∥EF，EF∥AB，CD∥AB. 又CD≠
AB，所以四边形ABCD是梯形.
9
（2）
a
2

8






2．如图，平面
?
,
?
,
?
两两相交，a，b，c为三条交线，且a
∥b. 那么，a与c，b与c有什么关系？为什么？































教

归纳总结：1．线线平行线面平行
学
??
?a,
??
?b,
??
?c,
小

a
?
a?
?
,a?
?
,
?
a?c ,
结

b?
?
,
a?
?
课

后
反
思
3



44

备课人
课题

授课时间
§
2.2.4平面与平面平行的性质

知识与技能
掌握两个平面平行的性质定理及其应用学生通过观
察与类比，借助实物模型理解性质及应用
教
学
目
标
过程与方法
情感态度价值观
启发引导，充分发挥学生的主体作用
进一步提高学生空间想象能力、思维能力
重点
难点
性质定理
性质定理的证明；性质定理的正确运用。
教学内容

（一）复习线面平行的性质定理
（二）研探新知
1、 思考：如果两个平面平行，那么一个平面内
的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关
系 ？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异
面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？
在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过
程，于是得到两个平面平行的性质定理。


教学环节与活动设计




学生阅读
并回答相
应的问题

















教

学

设

计


教 教学内容

教学环节与活动设计
45

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交
学
线平行。

符号表示：
α∥β
设
α∩γ= a a∥b

β∩γ= b
计
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
4、例5
以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解
题的能力。

教
学
掌握两个平面平行的性质定理
小
结

课

后
反
思





46

备课人
课题

授课时间
§
2.3.1直线与平面垂直的判定

知识与技能
使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
启发引导，充分发挥学生的主体作用
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新
知
教
学
目
标
过程与方法
情感态度价值观
重点
难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
教学环节与活动设
计

（一）创设情景，揭示课题

1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一


些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱

和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让


学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什


么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课

题内容。


（二）研探新知

1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中


获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂

直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：


从直线与直线垂直、直线与平面平行







教学内容

教

学

设

计
教 教学内容

教学环节与活动设计
47

等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内
学

的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流
设
讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说
计
直线L与平面α互相垂直 ，记作L⊥α，直线L叫做平面α
的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平
面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说
明。
L
P
α
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平 面垂直，但
这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判
断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起
来做如图2.3-2试验：过△A BC的顶点A翻折纸片，得到折
痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接
触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A


B D C
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两
条相交直线确 定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：









































教
教学内容

教学环节与活动
设计
48

线与此平面垂直。
学

老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
设
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线

计
垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）课本P65例1教学
直线与平面所成的角 ：课本P66
（2）课本P66例2教学
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基 本过程。②
直线与平面垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:①课本P67练习1，3
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何
垂线都和这条直线垂直。
思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条
直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？ 为什么？


教
学
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
小
结

课

后
反
思




备课人

授课时间
49

课题
知识与技能
§2.3.2平面与平面垂直的判定
使 学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；使学
生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作 用。
过程与方法
情感态度价值观
启发引导，充分发挥学生的主体作用
激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力
教
学
目
标
重点
难点
平面与平面垂直的判定
如何度量二面角的大小
教学内容

（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
教学环节与活动设计























问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直
线和平面所成的角”又是怎样 定义的？它们有什么共同
教

学

设

计
的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势
抛出问题：在生产实践中 ，有许多问题要涉及到两个平
面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子
吗？如修水 坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，
该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念：老师展示一张纸面，并对折让
学生观察其状 ，然后引导学生用数学思维思考，并对以
上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表
所示）
1
教

教学内容

教学环节与活
动设计
50

学

设

计
角
A
二面角
A
梭 l β
B
α
从空间一直线出发的两
个半平面所组成的图形
图
边
形
顶点 O 边 B
从平面内一点出发的两
定
条射线（半直线）所组成的
义
图形
构射线 — 点（顶点）一 射半平面 一 线（棱）一 半
平面 成 线
表
示
∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-
β
2、二面角的 度量：二面角定理地反映了两个平面相交的位置关
系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些 ，那我们
应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验
（预先准备好的二面角 的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两
个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研 探二面
角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
上
2
图2.3-3








































教 教学内容

教学环节与活动设计
51

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，得两个平
学

面互相垂直的判定定理：
设
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

计
（三）应用举例，强化所学
例题：课本P.69例3
做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理
证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后 讲评并板书证明过
程。
（四）运用反馈，深化巩固
问题：课本P.69的探究问题
做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。
（五）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，
求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要
求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠A OB 的大小与点O在L上的
位置无关？



















教
（1）二面角以及平面角的有关概念
学
小
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
结

课

后
反
思
3



备课人


52
授课时间

课题
知识与技能
§2、3.3直线与平面垂直的性质

使学生掌握直线与平面垂直性质定理；能运用性质定理解决
教
学
目
标
一些简单问题
过程与方法
情感态度价值观
启发引导，充分发挥学生的主体作用
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概
念、空间想象能力以及逻辑推理能力
重点
难点
性质定理的证明
性质定理的证明
教学内容

（一）创设情景，揭示课题
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得
到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
让 学生自由发言，教师不急于下结论，而是继
续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观
察、研 探。（自然进入课题内容）
（二）研探新知
1、操作确认
观察长方体模型中四条 侧棱与同一个底面的
1111
位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—ABCD
1111
中，棱AA、BB、CC、DD所在直线都垂直于平面
ABCD，它们之间是有什么 位置关系？（显然互相平
行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥
α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能
否证明这一事实的正确性呢？

11
D C
教学环节与活动设计























教

学

设

计
a

b

A

D
C

α

1
B
1
A

B

1

教 教学内容

教学环节与活动设计
53

2、推理证明
学
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质

设
定理成立的特殊方法——反证法，

然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得
计
出：
垂直于同一个平面的两条直线平行。

课本P71探究

（三）应用巩固
例子：课本P.71练习
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理
由，教师最后评议。


思考：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平
面垂直；




















教
请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容是什么？
学

小

结

课

后
反
思
2



备课人


滕领涛
授课时间
54
12.14

课题
§2、3.4平面与平面垂直的性质

使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；能运用性质定理解
知识与技能
决一些简单问题
过程与方法
情感态度价值观
启发引导，充分发挥学生的主体作用
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概
念、空间想象能力以及逻辑推理能力
教
学
目
标
重点
难点










教

学

设

计
性质定理的证明
性质定理的证明及应用
教学内容

（一）复习导入
问题：直线与平面垂直的性质定理，如何推导的？
（二）研探新知
类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件
下，又会得出怎样的结论呢？
课本P71思考（1）（2）
例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直
线？






课本P72思考
结论：如 果两个平面互相垂直，那么经过第一个平
面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内
（三）应用巩固
例子：课本P.74例4
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理
由，教师最后评议。
课本P72探究
要注意判定定理和性质定理的交替运用，同时还要贯
1
教学环节与活动设计





教师引导学生观察教室
相邻两面墙的交线，容
易发现该交线与地面垂
直.


让学生发现只要
在黑板上画出一条与这
交线平行的直线，则所< br>画直线必与地面垂直。
然后师生互动，共同完
成性质定理的确认与证
明，并归纳 性质定理：

两个平面垂直，则
一个平面内垂直于交线
的直线与另一个平面垂
直。


教 教学内容

教学环节与活动设计
55

学
（四）巩固深化、发展思维
课本P73练习


设



计



学生讨论探究得出答
案：（1）A (2) C



思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P学生回答：
作平面β的垂线
a
，直线a与平面α具有什么位置关系？ 直线
a
必在平面α内





思考2、已知平面α、β和直线
a
，若α⊥β，
a?
?
，
学生回答：
a?
?
或
a
?

则直线
a
与平面α具有什么位置关系？






作业：求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

教
学
小
结

课

后
反
思
（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
2



备课人


56
授课时间

课题
§
3．1．1直线的倾斜角和斜率
知识与技能
正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的
唯一性.理解直线的斜率的存在性. 斜率公式的推导过程，
掌握过两点的直线的斜率公式．
启发引导，合作讨论，探究归纳
培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态
度和求简的数学精神．
教
学
目
标
过程与方法
情感态度价值观
重点
难点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
斜率的概念和公式.
教学内容

（一） 直线的倾斜角的概念
教学环节与活动设计
























我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那
么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一
点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定
的.这些直线有什么联系呢?
教

学

设

计

Y
a
b
c
OP
X

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.
怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时,
取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成
的角α叫做直线l的倾斜角.


教学环节与活动设计 教 教学内容

57

学

设

计
特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾
斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜
角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程
度.
如图, 直线
Y
a
O
b
X
c
a∥b∥c, 那么它们

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α
不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:
一个点和一个倾斜角α
．．．
P
．．．．．．．．
.
(二) 直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这
条直 线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k =
tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k








































教 教学内容

教学环节与活动设计
58

学

设

计
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的
倾斜程度.
(三) 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两
点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况,
并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不
存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在
公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能
交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点
的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角
α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求
斜率而得到．
(四) 例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线









































教学内容

教学环节与活动设计
59

(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且
程

x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
及
而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;当k = tanα>0时, 倾

方
斜角α是锐角;当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.

略解: 直线AB的斜率k1=17>0, 所以它的倾斜角α是
法
锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是
钝角;
直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐
角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1,
-1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外
一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tan
α=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴
为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一
边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率
公式有 1=(y－0)／(x－0)，所以 x = y。


















教
M(1,1), 可作直线a. 同理, 可作直线b, c, l.(用计算机
学
(1)直线的倾斜角和斜率的概念．
小
(2) 直线的斜率公式.
结

课

后
反
思




备课人


60
授课时间

课题
知识与技能
§
3.1.2两条直线的平行与垂直
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两
直线是否平行或垂直.
启发引导，合作讨论，探究归纳
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识
解决新问题的能力, 以及数形结合能力．培养学生的成功意
识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
教
学
目
标
过程与方法
情感态度价值观
重点
难点
两条直线平行和垂直的条件
把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
教学内容

一、创设情景，揭开课题
教学环节与活动设计


















教

学

设

计
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的
概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对
于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式.
现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两
条直线的平行或垂直．
二、探究两条直线平行与垂直
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条
直线的斜率也不存在时，两直线的 倾斜角都为90°，它
们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直
线的倾斜角为9 0°，另一条直线的倾斜角为0°，两直
线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂

直
设直线
l
1
和
l
2
的斜率分别为
k
1
和
k
2
.
我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线
的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜
角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两
条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．
思考：
l
1
∥< br>l
2
时，
k
1
与
k
2
满足什么关系 ？
lll

l
k?k
?
?
?

?
?
?
?tg
?

?tg
?
教学内容

教学环节与活动设计
61

教

学

设

计

??
即
k
1
?k
2
，则
tg
?< br>1
?tg
?
2
．由于
0?
?
1
?1 80
，
0
?
?
?
2
?180
?
，
?
?
1
?
?
2
．
又∵两条直线不重合，
?l
1
∥
l
2
．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，

那么它们的斜率相等；反之 ，如果它们的斜率相等，那
么它们平行，即
l
1
∥
l
2?k
1
?k
2
.
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且 斜率存在的
．．．．．．．．
前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如
果
k
1
?k
2
, 那么一定有
l
1
∥
l
2
; 反之则不一定.
用斜率证明三点共线时，就需要用到这个结论.
例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试
判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通
过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA的斜率
k
1
?
















3?01
?
,
2?(?4)2
直线PQ的斜率
k
2
?
2?11
?
,
?1?(?3)2
因为
k
1
?k
2
?0.5
, 所以 直线BA∥PQ.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),
B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形


l?l

教学内容

kk
教学环节与活动设计
ll
62
?
?
?
,
?
?90
?

教

学

设

计
若
l
1?l
2
，这时
?
1
?
?
2
，否则两直 线平行．
设
?
1
?
?
2
(图1-30)，甲图的 特征是
l
1
与
l
2
的交点
在x轴上方；乙图的特征 是
l
1
与
l
2
的交点在x轴下方；
丙图的特征是< br>l
1
与
l
2
的交点在x
?
轴上，无论哪种 情况下都有
?
1
?90?
?
2
．

?< br>因为
l
1
、
l
2
的斜率分别是
k
1
、
k
2
，即
?
1
?90
，所以





















?
?
2
?0
?
．由
tg
?
1?tg(90?
?
2
)??
11
，得
k
1??
tg
?
2
k
2
或
k
1
k
2
??1
．
反过来，若
k
1
k
2
??1
．不妨设
k
1
?0,k
2
?0
，
则
tg
?
1
?tg(90?
?
2
)??
?
1
，可以推出：
tg
?
2
?
1
?90< br>?
?
?
2
．即
l
1
?l
2
．
结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那
．．．．．．．．
么它们的斜 率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为
负倒数，那么它们互相垂直，即
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
．
注意: 结论成立的条件. 即如果
kk??1
, 那么一定

教
l?l
教学内容

教学环节与活动设计

k
1
?
6?02
?
63
3?(?6)3
k
2
?
6?33
??
?2?02

学

设

计
例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断
三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形
ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加
以验证.(图略)
课堂练习
P89 练习 1. 2.


















教
学
小
结

课
后
反
思


(1)两条直线平行或垂直的等价条件；
(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.



64

备课人

课题
知识与技能
授课时间
§
3.2.1 直线的点斜式方程
理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确利
教
学
目
标
重点
难点
用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
过程与方法
情感态度价
值观
启发引导，合作讨论，探究归纳
让 学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，培养学生数形结
合的思想渗透数学中普遍存在相互联系、 相互转化等观点
直线的点斜式方程和斜截式方程。
直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
教学内容

一、创设情境
问题：坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？
已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一
条直线，已知两点也可以确定一条直线． 在直线坐标系
中，给定一个点
P
0
(x
0
,y
0< br>)
和斜率
k
，或给定两个点
教学环节与活动设计





















P
1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
，

教

学

设

计
就能唯一确定一条直线．也就是说，平面直线坐标系中
的 点在不在这条直线上是完全确定的．节课研究的是给
定一个点
P
0
(x
0
,y
0
)
和斜率
k
，怎样确定一条直线？
二、直线的点斜式方程
直线
l
经过点
P
0
(x< br>0
,y
0
)
，且斜率为
k
．设点
P(x,y )
是直线
l
上不同于点
P
0
的任意一点，因为直线
l
的斜率为
k
，
根据斜率公式得，当
x?x
0
时，
k?
y
y?y
0
x?x
0
，即
y?y0
?k(x?x
0
)
（1）．

P
P
0

教

O
x
教学内容

65
教学环节与活动设计
P< br>0
(x
0
,y
0
)
kl

学

设

计
2．坐标满足方程（1）的点都在经过< br>P
0
(x
0
,y
0
)
，斜率
为k
的直线
l
上．
事实上，若点
（1）．即
说明点
P
1
(x
1
,y
1
)
的坐标
x
1
,y
1
满足方程
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
与
，若
x
1
?x
0
P
1
， 则
y
1
?y
0
，
P
1
P
0
重合，于是可得点在直线
l
上；若x
1
?x
0
k?
，则
y
1
?y
0
x
1
?x
0
，
说明点
P
1
与
P
0
的直线的斜率
P
1
在过
P
0
(x
0
,y
0
)
，
斜率为
k
的直为
k
，
于是可得点
线
l
上．
方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，把（1）
叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． < br>思考：（1）
x
轴所在直线的方程是什么？
y
轴所在
直线的方 程是什么？
（2）直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所
有直线呢？
当直线< br>l
的倾斜角为
0
时（如图），即
k?0
，这时
?直线
l
与
x
轴平行或重合，
l
的方程是
y1
?y
0
?0
或
y
1
?y
0
．
?
当直线
l
的倾斜角为
90
时（如图）直线没有斜率，
这时直线
l
与
或
y
轴平行或重合，
l
的方 程是
x
1
?x
0
?0
y
P
0

x
1
?x
0
y

P

0

．

，
O



































例1 直线
l
过
P
0
(?2,3)
?
?4 5
?
教
l
l

教学内容

x
O

x

教学环节与活动设计
66
l
l
k
y
(0,b)

学

设

计
中
k
和
b
的几何意 义是什么？你能说出一次函数
y?2x?1,y?3x,y??x?3
图象的特点吗？
例2 已知直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
试讨论：
（1）
l
1
∥
l
2
的条件是什么？（2）
l
1
?l
2
的条件是什么？
分析：用斜率判断两条直线平行、垂直的结论.思考（1）< br>l
1
∥
l
2
时，
k
1
,k
2
,b
1
,b
2
有何关系？（2）
l
1
? l
2
时，
k
1
,k
2
,b
1
,b
2
有何关系？
l
1
l
2
?k
1
? k
2
且
b
1
?b
2
，
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
．
解：（1 ）若
l
1
∥
l
2
，则
k
1
?k< br>2
，此时
l
1
，
l
2
与
y
轴的交















点不同，即
b
1< br>?b
2
;反之，
k
1
?k
2
，且
b
1
?b
2
时，
l
1
∥
l
2
．
（2）若
l
1
?l
2
，则
k
1
k
2
??1
；反之，
k
1
k
2
??1
时，
l
1
?l
2
.
于是，得到，对于直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k
2
x?b
2
，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
，且
b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
?? 1
.
课堂练习
教
学
小
结

课
后
反
思




直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？
求一条直线的方程，要知道多少个条件？
3


备课人


67
授课时间

课题
教
学
目
标
重点
难点
§3.2.2 直线的两点式方程
知识与技能
过程与方法
情感态度价值观
直线方程两点式。
两点式推导过程的理解。
掌握直线方程的两点的形式特点及适用 范围通过新旧知识
的比较、分析、应用获得新知识的特点。
启发引导，对比归纳
培养学生用联系的观点看问题。
教学内容


1、利用点斜式解答如下问题：
教学环节与活动设计
教

学

设

计

遵循由浅及深，由特殊
到一般的认 知规律。使
(1,2),P(3,5)
（1）已知直线
l
经过两点
P
,求直线的
l
12
学生在已有的知识基础
方程. 上获得新结论，达到温
故知新的目的。
(x,x),P(x,y)
（2）已知两点
P
112222



其中
(x
1
?x
2
,y
1< br>?y
2
)
，求通过这两点的直线方程。


教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知

道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题

呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是

否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方

程：


3
y?2?(x?1)
（1）

2

y
2
?y
1

（2）
y?y
1
?(x?x
1
)


x
2
?x
1


教师指出：当
y
1
?y
2
时，方程可以写成

y?y
1
x?x
1

?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

y
2
?y
1
x
2
?x
1
1

教 教学内容

教学环节与活动设计
68

学

设

计



y
1
?y
2
，此时这两点的直线方程是什么？

使学生懂得两点式的适
发现当
x
1
?x
2
时，直线 与
x
轴垂直，所以直线方程为：
用范围和当已知的两点
不满足两点式的条件时
x?x
1
；当
y
1
?y
2
时，直线与y
轴垂直，直线方程为：
它的方程形式

y?y
1
。



例3已知直线
l
与
x
轴的交点为 A
(a,0)
，与
y
轴的交


点为B
( 0,b)
，其中
a?0,b?0
，求直线
l
的方程。



教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？

可以 用多少方法来求直线
l
的方程？那种方法更为简
捷？然后由求出直线方程： 使学生学 会用两点式求
直线方程；理解截距式
xy
源于两点式，是两点式
??1

ab
的特殊情形。

教师指出：
a,b
的几何意义和截距式方程的概念。



例4

已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，

2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直

线的方程。


教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择

恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在

直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行

比较。


把直线
l
与
y
轴的交点为
(0,b)
纵 坐标
b
叫做直线


y
2、若点
P
1(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y< br>2
)
中有
x
1
?x
2
，或
l
2
k
y
b
教 教学内容


y?kx?b
教学环节与活动设计
y?kx?b

x
69
y?kx?b

学

设

计
小结
1．直线方程的各种形式总结为如下表格：
直
线
已知条件 直线方程 使用范围
名
称
点
y?y
1
?k(x?x
1
)

k
存在 斜
P
1
(x
1
,y
1
),k

式
斜
y?kx?b

截
k
存在
k，b

式
两
(x
1
,y
1
)
y?y
1
x?x
1
x
1
?x
2


?
点
y
1
?y
2

（
x
2
,y
2
)

y
2
?y
1
x
2
?x
1
式
截
xy
a?0

a,b

??1

距
b?0

ab
式
2. 中点坐标公式:已知
A (x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则AB的中点

















M (x,y)
,则
x?
x
2
?x
1
y?y
1

,y?
2
22
教
学
小
结

课
后
反
思

增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的
联系的理解。

3


备课人


70
授课时间

课题
§
3.2.3 直线的一般式方程
知识与技能
明确直线方程一般式的形式特征；会把直线方程的一般式化
为斜截式，进 而求斜率和截距；会把直线方程的点斜式、两
点式化为一般式。
启发引导，对比归纳
认识事物之间的普遍联系与相互转化；
教
学
目
标
重点
难点
过程与方法
情感态度价值观
直线方程的一般式。
对直线方程一般式的理解与应用
教学内容


1、（1）平面直角 坐标系中的每一条直线都可以用一个
关于
x,y
的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于
教学环节与活动设计






使学生理解直线和二元
一次方程的关系。
















x,y
的二元一次方程
教

学

设

计
Ax?By?C?0
（A，B不同时为0）都表示一条直
线吗？
教师引导学 生用分类讨论的方法思考探究问题
（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线
方程 是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导
学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需 看
这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要
对B分类讨论，即当
B?0< br>时和当B=0时两种情形进行
变形。然后由学生去变形判断，得出结论：
关于
x,y
的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条 直线都可以用一个关于
同时，任何一个关于
x,y
的
x,y
的二元一 次方程表示；
二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于
x,y
的二元一次方程
1
Ax?By?C?0
教 教学内容


教学环节与活动设计
71

学

设

计
直线的一般式方程能够表示平面上的 所有直线，而点
斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与
x
轴垂直的
直线。

使学生理解二元一次方
程的系数和常数项对直
线的位置的影响。
3、在方程
Ax?By?C?0
中，A，B，C为何值时，


方程表示的直线

教师引导学生回顾前面所学过的与
x
轴平行和重
使学生体会把直线方程
合、与
y
轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生
的点斜式转化为一般
自主探索得到问题的答案。 式，把握直线方程一般
式的特点。
（1） 平行于
x
轴；（2）平行于
y
轴；（3）与
x
轴重


合；（4）与
y
重合。


4

例5已知直线经过点A（6，-4），斜率为
?
，求直3
使学生体会直线方程的
线的点斜式和一般式方程。 一般式化为斜截式，和
学生 独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出：已知直线方程的一般式
对于直线方程的一般式，一般作如 下约定：一般按含
x
求直线的斜率和截距的
方法。
项、含
y
项、常数项顺序排列；
x
项的系数为正；
x
，


y
的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直


线方程的结果写成一般式。

例6把直线
l
的一般式方程
x?2y?6?0
化成斜截


式，求出直线
l
的斜率以及它在
x
轴与
y
轴上的截距，


教
学
小
结

课
后
反
思


y
x
y
x
xx
2


备课人


72
授课时间

课题
教
学
目
标
重点
难点
§
3.3.1—3.3.2两直线交点坐标。两点间距离

知识与技能
过程与方法
情感态度价值观
学习两直线交点坐标的求法，两点间距离公式的推导。以及判
断两直线位置的方法。
掌握数形结合的学习法。
充分体会数形结合的优越性
判断两直线是否相交，求交点坐标。两点间距离公式的推导。
两直线相交与二元一次方程的关系。应用两点间距离公式证明几何问题
教学内容


1.分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线
L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0

如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手
设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐
标与二元一次方程组有什关系？
1.若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。
2.若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。
3.若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有
何关系？


例题1：求下列两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0
L1：2x+y +2=0

解：解方程组
?
教学环节与活动设计
























教

学

设

计
?
3x?4y?2?0

2x?2y?2?0
?

得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2），
1

教 教学内容

教学环节与活动设计
73

学

设

计
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置
关系。

例3 已知
a
为实数，两直线
l
1
：
ax?y?1?0
，
l
2< br>：
x?y?a?0
相交于一点，求证交点不可能在第一象限
及
x
轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断
交点横纵坐标的范围.
a
2
?1
解：解方程组若＞0，则
a
＞1.当
a
＞ 1时，
a?1
－
a?1
＜0，此时交点在第二象限内.
a?1又因为
a
为任意实数时，都有
a?1
?
1＞0，故
2< br>a
2
?1
≠0
a?1
因为
a
≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点
a? 1a
2
?1
,
不可能在
x
轴上，得交点(－)
a?1a?1
王新敞

回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学
的知识来解决以下问题
平面直 角坐标系中两点
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
7
，分别向x轴和y轴
作垂线，垂足分别为
N
1
?
0，y
1< br>?
，M
2
?
x
2，
0
?
直线
2






























PN
11
与P
2
N
2
相交于点Q。 < br>在直角
ABC
中，
PP
12
2
?PQ?QP
2
，为了计算其
1
22
长度，过点
P
1
向x轴作垂 线，垂足为
M
1
?
x
1，
0
?
过点 向
N
2
?
0，y
2
?
教
222
2

222
PQ?M
2
M
1?x
2
教学内容
?x
1
，QP

2
? N
1
N
2
?y
2
?y
1
教学环节与活动设 计
1
22222
PP?PQ?QP
2121

2
x
2
?x
1
?y
2
?y
1
74
2
PP
12
?
?
x
2
?x
2
?< br>?
?
y
2
?y
1
?
7

学

设

计
解：设所求点P（x，0），于是有
?
x?1
?
?
?
0?2
?
?
由
PA?PB
得
22
?
x?2
?
?0?7
2
??
2

x
2
?2x?5?x
2
?4x?11
解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且
PA?
?
1?1
?
?< br>?
0?2
?
22
?22

教
学
小
结


例5 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线
的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用 坐标表示有关量，然
后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关
系。
这一 道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之
间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何
问题的基本步骤。

上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。



直线与直线的位置关系 ，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题
来解决，并能进行应用。讲述了两点间距离公式的 推导，以及应用，要懂得用代
数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。





















课后
反思
3



75

备课人
课题

授课时间
3．3．3点到直线的距离3.3.4两平行线间的距离
知识与技能
1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；
2.体会判断两直线相交中的数形结 合思想.理解点到直线距
离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；会用点到
直线距离公式 求解两平行线距离

认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题。
教
学
目
标
过程与方法
情感态度价值观
重点
难点
点到直线的距离公式

王新敞
点到直线距离公式的理解与应用.
教学内容

一、情境设置，导入新课：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或
垂直的 充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问
题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究< br>几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的
坐标和直线的方程直接求点
P到直线
l
的距离。
1．点到直线距离公式：
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点
P
的坐标为
教学环节与活动设计



学生思考








学生可自由讨论。










教

学

设

计
(x
0
,y
0
)< br>，直线
l:Ax?By?C?0
，怎样用点的坐标
和直线的方程直接求点
P
到直线
l
的距离呢?
点到直线的距离的概念，即由点
P
到直线
l
的距离
d
是点
P
到直线
l
的垂 线段的长.
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
设点
P
到直线
l
y
的垂线段为
PQ
，垂足
R
P (x
0
,y
0
)
d
为
Q
，由
PQ
⊥
l
可知，
直线
PQ
的斜率为
B
A
Q
o
S
l
x
（
A
≠0），根据点斜式
写 出直线
PQ
的方程，
l
教
1

l
教学内容

王新敞
教学环节与活动设计
76

学

设

计
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别
一种方法

王新敞
方案二：设
A
≠0，
B
≠0，这时
l
与
x
轴、
y
轴都相
交，过点
P
作
x
轴的平行线，交l
于点
R(x
1
,y
0
)
；作
y轴的平行线，交
l
于点
S(x
0
,y
2
)，
由
?
A
1
x
1
?By
0
?C?0
?
?
Ax
0
?By
2
?C?0
得
x
1
?
?By
0
?C?Ax
0
?C
,y
2
?
.
AB
所以，｜
PＲ
｜＝｜
x
0
?x
1
｜＝
Ax
0
?By
0
?C

A
｜
PS
｜＝｜
y
0
?y
2
｜＝
Ax
0
?By
0
?C

B
2
｜
ＲS
｜＝
PR?PS?
2
A
2
?B< br>2
×｜
AB
Ax
0
?By
0
?C
｜ 由三角形面积公式可知：
d
·｜
ＲS
｜
＝｜
PＲ
｜ ·｜
PS
｜
















学生推出









学生思考
并总结

王新敞
所以
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

可证明，当
A=0时
仍适用

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。
意志品质等方面得到了提高。

王新敞
点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
Ax
0
?By
0
?C
王新敞
A?B
2
22


教 教学内容

教学环节与活动设计
77

学

设

计
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为
l
1
：

Ax?By ?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2< br>?0
，则
l
1
与
l
2
的
距离为d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2

P
0
(x
0
,y
0
)
是直线
Ax ?By?C
2
?0
上任证明：设
一点，则点P
0
到直线Ax?By?C
1
?0
的距离为
d?
Ax
0
? By
0
?C
1
A?B
22

又
Ax
0
?By
0
?C
2
?0

即
Ax
0
?By
0
??C
2
，∴
d
＝
例3 课本108例7


C
1
?C
2
A?B
22


王新敞
王新敞
教
学
小
结

课
后
反
思

1.两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程 联立，得方程组
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，
?
Ax?By?C? 0
?
222
则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.
2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题
来解决.

3


备课人

授课时间
78

课题

4.1.1 圆的标准方程
课标要求
圆的标准方程

知识目标
教
学
目
标
掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
会用待定系数法求圆的标准方程。
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习
技能目标
情感态度价值观
圆的标准方程
数学的热情和兴趣。
重点
难点
会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
问题与情境及教师活动



1、情境设置
：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面

几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平

面直角坐标系中，任 何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，
那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程 又有
什么特征呢？
学生活动
点评：由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开 图还是平面图形，计
算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
4
教

学

过

程

及

方

法
2、探索研究：
确定圆的基本 条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，
半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0） 设M(x,y)为这个圆上任
意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）
P={M| |MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件
(x?a)
2
?(y ?b)
2
?r
①
化简可得：
(x?a)?(y?b)?r
②
6
222
A
2
M
-55
-2
-4

1
b)?r(x?a)?(y?

教

问题与情境及教师活动

79
学生活动