关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高一数学必修二《圆与方程》知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 12:07
tags:高中数学必修二

考点高中数学-云南高中数学个人工作计划


高一数学必修二《圆与方程》知
识点整理










































———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:




2




高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
一、标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
22
?r
2

1 .求标准方程的方法——关键是求出圆心
?
a,b
?
和半径
r

①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材
P
119
例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交
相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解)
条件 方程形式
圆心在原点
x?y?r
2
222
?
r?0
?

2
22
过原点 < br>?
x?a
?
?
?
y?b
?
?a?b
圆心在
x
轴上
?
x? a
?
?y?r
2
2
2
?
a
2
?b
2
?0
?

?
r?0
?

?
r?0
?

?
a?0
?

?
b?0
?

2
圆心在
y
轴上
x?
?
y?b
?
?r
2
2
2
圆心 在
x
轴上且过原点
?
x?a
?
?y?a
2
2
2
圆心在
y
轴上且过原点
x?
?
y?b
?
?b
2
2
2
2< br>与
x
轴相切
?x?a
?
?
?
y?b
?
?b
22
2< br>?
b?0
?

?
a?0
?

y
轴相切
?
x ?a
?
?
?
y?b
?
?a
与两坐标轴都相切
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?a
二 、一般方程
22
2
2
?
a?b?0
?

x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
?
D
2
?E
2
?4F?0
?

1.
Ax?By?Cxy?Dx?Ey?F?0
表示圆方程则
22
?
?
?
A?B?0
?
A?B?0
??
?
?
C?0

?
C?0
??
D
2
?E
2
?4AF?0
22
?
DEF
?
??
?
? ?
?4??0
????
?
A
?
?
A
??< br>A
?
3



< br>2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材
P
122

r4
3.
D?E?4F?0
常可用来求有关参数的范围
三、点与圆的位置关系
1.判断方法:点到圆心的距离
d
与半径
r
的大小关系
d?r?
点在圆内;
d?r?
点在圆上;
d?r?
点在圆外
2.涉及最值:
(1)圆外一点
B
,圆上一动点
P
,讨论
PB
的最值
22
PB
min
?BN?BC?r

PB
max
?BM?BC?r


(2)圆内一点
A
,圆上一动点
P
,讨论
PA
的最值


PA
min
?AN?r?AC


PA
max
?AM?r?AC


思考:过此
A
点作最短的弦?(此弦垂直
AC

四、直线与圆的位置关系
1.判断方法(
d
为圆心到直线的距离)
(1)相离
?
没有公共点
?
??0?d?r

(2)相切
?
只有一个公共点
?
??0?d?r

(3)相交
?
有两个公共点
?
??0?d?r

这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2.直线与圆相切
(1)知识要点
①基本图形







②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等
问题:直线
l
与圆
C
相切意味着什么?
4




圆心
C
到直线
l
的距离恰好等于半径
r

(2)常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
...
i)点在圆外
如定点
P
?
x
0
, y
0
?
,圆:
?
x?a
?
?
?
y ?b
?
?r
,[
?
x
0
?a
?
?
?
y
0
?b
?
?r
]
22
22 22
第一步:设切线
l
方程
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

第二步:通过
d?r?k
,从而得到切线方程
特别注意:以上解题步骤仅对
k
存在有效,当
k
不存在时,应补上——千万不要漏了!
如:过点
P
?
1,1
?
作圆
x?y?4x?6y?12?0
的切线,求切线方程.
22
答案:
3x?4y?1?0

x?1

ii)点在圆上
1) 若点
?
x
0
,y
0
?
在圆
x
2
?y
2
?r
2
上,则切线方 程为
x
0
x?y
0
y?r
2

会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目.
2) 若点
?
x
0
,y
0
?
在圆
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
上,则切线方程为
2
22
?
x
0
?a
??
x?a
?
?
?
y
0
?b
??
y?b
?
?r
2

碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果.
由上述分析,我们知道 :过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断
点与圆的位置关系,得出切线的条数.
③求切线长:利用基本图形,
AP?CP?r?AP?
求切点坐标:利用两个关系列出 两个方程
?
3.直线与圆相交
(1)求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用
....
弦长公式:
l?1?k
2< br>22
2
CP?r
2

2
?AC?r

?
k
AC
?k
AP
??1
x
1
?x2
?x?x
?
?
1?k
?
?
?
?2
12
2
?4x
1
x
2
?
(暂作了解 ,无需掌握)
?
(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):直线过定点,而定点恰好在圆内.
(3)关于点的个数问题
例:若圆
?
x?3
?
?
?
y?5
?
?r
上有且仅有两个点到直线
4x?3y?2?0
的距离为1,则
2
22
半径
r
的取值范围是__________ _______. 答案:
?
4,6
?

4.直线与圆相离
5




会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时)
五、对称问题
1.若圆x
2
?y
2
?m
2
?1x?2my?m?0
, 关于直线
x?y?1?0
,则实数
m
的值为____.
答案:3(注意:
m??1
时,
D?E?4F?0
,故舍去) 变式:已知点
A
是圆
C
:
x?y?ax?4y?5?0
上任意一点,
A
点关于直线
x?2y?1?0
的对称点在圆
C
上,则实数
a?
_________.
2.圆
?
x?1
?
?
?
y?3
?
?1
关于直线
x?y?0
对称的曲线方程是________________.
变式:已知圆
C
1

?
x?4
?
?
?
y?2
?
?1
与圆
C
2

?
x?2
?
?
?
y? 4
?
?1
关于直线
l
对称,
则直线
l
的方 程为_______________.
3.圆
?
x?3
?
??
y?1
?
?1
关于点
?
2,3
?
对 称的曲线方程是__________________.
4.已知直线
l

y?x?b
与圆
C

x?y?1
,问:是否存在实数
b< br>使自
A
?
3,3
?
发出的光
22
22
??
22
22
2222
22
线被直线
l
反射后与 圆
C
相切于点
B
?
?
247
?
,
?
?若存在,求出
b
的值;若不存在,试说明
2525
??
理由.
六、最值问题
方法主要有三种:(1)数形结合;(2)代换;(3)参数方程 < br>1.已知实数
x

y
满足方程
x?y?4x?1?0
,求:
22
y
的最大值和最小值;——看作斜率
x?5
(2)
y?x
的最小值;——截距(线性规划)
(1)
(3)
x?y
的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知
?AOB
中,
OB?3

OA?4

AB ?5
,点
P

?AOB
内切圆上一点,求以
PA

22
PB

PO
为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可!
3.设
P
?
x,y
?
为圆
x?
?
y?1
?
?1
上的任一点,欲使不等式
x?y?c?0
恒成立,则
c
的取
2
2
值范围是_ ___________. 答案:
c?
七、圆的参数方程
2?1
(数形结合和参数方程两种方法均可!)
?
x?rcos
?

?
为参数
x
2?y
2
?r
2
?
r?0
?
?
?
?
y?rsin
?
6




?
x?a?rcos
?
22
2

?
为参数
x?a?y?b?rr?0?
??????
?
?
y?b?rsin< br>?
八、相关应用
1.若直线
mx?2ny?4?0

m
n?R
),始终平分圆
x?y?4x?2y?4?0
的周长,

m?n
的取值范围是______________.
2.已知圆
C
x?y?2x?4y?4?0
,问:是否存在斜率为1的直线
l
,使< br>l
被圆
C
截得
的弦为
AB
,以
AB
为直径的圆经过原点,若存在,写出直线
l
的方程,若不存在,说明理
由. < br>2
提示:
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
或弦长公式
d?1?kx
1
?x
2
. 答案:
x?y?1?0

x?y?4?0

22
22
3.已知圆
C

?
x?3
?
?
?
y?4
?
?1
,点
A
?
0,1
?

B< br>?
0,1
?
,设
P
点是圆
C
上的动点,22
d?PA?PB
,求
d
的最值及对应的
P
点坐标.
4.已知圆
C
:直线
l

?
x?1
?< br>?
?
y?2
?
?25

?
2m?1
?
x?
?
m?1
?
y?7m?4?0

m?R
(1)证明:不论
m
取什么值,直线
l
与圆
C
均有两个交点;
(2)求其中弦长最短的直线方程.
5.若直线
y??x?k< br>与曲线
x??1?y
2
恰有一个公共点,则
k
的取值范围.
6.已知圆
x?y?x?6y?m?0
与直线
x?2y?3?0
交于
P

Q
两点,
O
为坐标原点,
问:是否存在实数< br>m
,使
OP?OQ
,若存在,求出
m
的值;若不存在,说明理 由.
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法:几何法(
d
为圆心距)
(1)
d?r
1
?r
2
?
外离 (2)
d?r
1
?r
2
?
外切
(3)
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?
相 交 (4)
d?r
1
?r
2
?
内切
(5)
d?r
1
?r
2
?
内含
2.两圆公共弦所在直线方程
2222

C
1

x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
,圆
C
2

x?y?D
2
x?E
2
y?F
2< br>?0

22
22
22

?
D
1< br>?D
2
?
x?
?
E
1
?E
2
?
y?
?
F
1
?F
2
?
?0
为 两相交圆公共弦方程.
补充说明:

C
1

C
2
相切,则表示其中一条公切线方程;

C
1

C
2
相离,则表示连心线的中垂线方程.
7




3圆系问题
2222
(1)过两圆
C
1

x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0

C
2

x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
交点的圆系方程为
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0

?
? ?1

说明:1)上述圆系不包括
C
2
;2)当
?
??1
时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)
(2)过直线
Ax?By?C? 0
与圆
x?y?Dx?Ey?F?0
交点的圆系方程为
22
??x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
?
Ax?B y?C
?
?0

(3)有关圆系的简单应用
(4)两圆公切线的条数问题
①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相 交时,有两条公切线;④相
离时,有四条公切线
十、轨迹方程
(1)定义法(圆的定义):略
(2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这 种等量关系,建立起动点坐标
的关系式——轨迹方程.
例:过圆
x?y?1
外一点
A
?
2,0
?
作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹 方程.
22
分析:
OP?AP?OA






(3)相关点法(平移转换法):一点随另一点的变动而变动
222
?

?

动点 主动点
特点为:主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动.
例1.如图,已知定点
A
?
2,0
?
,点
Q
是圆
x?y?1上的动点,
?AOQ
的平分线交
AQ

22
M
,当
Q
点在圆上移动时,求动点
M
的轨迹方程.
分析:角平分线定理和定比分点公式.



例2.已知圆
O

x?y?9
,点
A
?
3,0
?
,< br>B

C
是圆
O
上的两个动点,
A

B

C
呈逆
22
8




时针方向排列,且
?BAC?
法1:
Q?BAC?
?3
,求
?ABC
的重心
G
的轨迹方程.
?
3

?BC
为定长且等于
33

xA
?x
B
?x
C
3?x
B
?x
C?
x??
?
?
33

G
?
x,y?
,则
?

y?y?yy?y
BCC
?
y?< br>A
?
B
?
33
?

BC
的中点为< br>x
E
?
?
?
222
?
333
??
33
?
,
?

y
E
?
?< br>?,
?

?
?
24
?
?
42
?
QOE?CE?OC

?x
E
2
?y
E
2
?
9
LL
(1)
4
3?2x
E
x
B
?x
C
3x?3
?
?
?
x?
x?x?
?
?
?
?
x
B
?x
C
? 2x
E
?
E
??
E
3
22

?
?
?
?
?
??
?
y
B
?y
C
?2y
E
?
y?
y
B
?y
C
?
y?
2y
E
?
y?
3
y
E
E< br>?
?
?
?2
3
?2
?
22
?
3
?
2
?
3x?3
??
3
?
9
?
3
?
2
故由(1)得:
?
?,1
?
< br>?
?
?
y
?
??
?
x?1
?
?y?1x?
?
0,
?
,y?
?
?
22422< br>??????
??
法2:(参数法)

B
?
3co s
?
,3sin
?
?
,由
?BOC?2?BAC?
2
?
,则
3
?2
?
?
C
?
3c os
?
?
?
3
?
?

G
?
x,y
?
,则
2
?
?
?
??
,3si n
?
?
???
?

3
???
?
? 2
?
??
3?3cos
?
?3cos
?
?
??
?
x
A
?x
B
?x
C
2
?< br>?
3
?
?
?
?
x???1?cos
?
?cos
?
?
?
?
L
?
1
?
3 33
???

?
2
?
??
?
3sin?
?3sin
?
?
?
?
?
y
A
?y
B
?y
C
2
?
?
3
?
?< br>?
y???sin
?
?sin
?
?
?
??< br>LL
?
2
?
333
??
?
?
?4
?
?
?
?
,
?
33
?
2< br>3
?
2
2
?
?
3
?
2
?, 1
?

?
,由
?
?
1
?
?1?
?
?
2
?
得:
?
x?1
?
?y?1x?
?
0,
?
,y?
?
?
22
?
??
??
参数法的本质是将动点坐标
?
x,y
?
中 的
x

y
都用第三个变量(即参数)表示,通过消

参得到 动点轨迹方程,通过参数的范围得出
x

y
的范围.

(4)求轨迹方程常用到得知识
9




x
A
?x
B
?x
C
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
?
?
?
?
2
3
①重心
G
?
x,y
?

?< br>②中点
P
?
x,y
?

?

?y?
y
1
?y
2
?
y?
y
A
?y
B
?y
C
?
?
?2
3
?
③内 角平分线定理:

④定比分点公式:
⑤韦达定理.

BDAB

?
CDAC
x?
?
x
B
y?
?
y
B
AM

y
M
?
A< br>
?
?
,则
x
M
?
A
MB
1?
?
1?
?
10

高中数学结论知乎-高中数学函数在生活中的应用


高中数学教师网络培训总结-2020上海高中数学二模青浦


王后雄高中数学人教版-高中数学家教试讲题型


2018年浙江省高中数学学考冲A-高中数学集合的概念说课视频


高中数学集合参数问题-高中数学12 4


关于高中数学教学论文范文-人教版高中数学必修一导学案答案


高中数学有没有函数 阶乘-上海当高中数学老师


高中数学试卷格式要求-高中数学国培高端工作坊



本文更新与2020-09-15 12:07,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/396920.html

高一数学必修二《圆与方程》知识点的相关文章