高中数学必修2习题含详解2.3.3-2.3.4

2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．给出下列命题：
(1)直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；
(2)直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；
(3)异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
(4)若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．
其中错误命题的个数为
A．0












( )
B．1 C．2 D．3
( ) 2．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确命题的个数是
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.
A．1 B．3 C．2 D．0
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF?α，且PF⊥EF于F，那么线段 PE，PF，PG的
大小关系是





( )
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4. PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正
确的是
( )


A．PA⊥BC
C．AC⊥PB












B．BC⊥平面PAC
D．PC⊥BC
5．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
6. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的
ππ
角分别为和. 过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′
、
B′,
46
则AB∶A′B′等于
A．2∶1




( )


B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3

二、填空题
7．直线a和b在正方体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
的两个不同平面内，使a∥ b成立的条件是
____________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
8. 如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O 为
AB中点，则图中直角三角形的个数为________．

9．在斜三棱柱AB C－A
1
B
1
C
1
中，∠BAC＝90°，BC
1
⊥AC，则点C
1
在底面ABC上的射影H
必在_____________ ___．

三、解答题
10. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB.
11. 如图在正方体A
1
B
1
C< br>1
D
1
—ABCD中，EF与异面直线AC，A
1
D都垂直相 交．

(1)求异面直线EF与B
1
C所成的角；
(2)求证：EF⊥面B
1
AC；
(3)求证：EF∥面BB
1
D
1
D.

四、探究与拓展
12. 如图所示，在多面体P—ABCD中，平 面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边
三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC ＝45.

(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

答案
1．D 2.C 3.C 4.C 5.C 6.A
7．①②③ 8.6 9.直线AB上
10. 证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
11．(1)解 在正方体中，因A
1
D∥B
1
C，而EF与异面直线A
1
D垂直，所以EF与B
1C垂直，
即异面直线EF与B
1
C所成的角为90°.
(2)证明 由

EF⊥B
1
C
?
?
EF⊥AC
??EF⊥面B
1
AC.
B
1
C∩AC＝C
?
?
(3)证明 易证AC⊥面D
1
DBB
1
，BD
1
?面BDD
1
B
1
，所以BD
1
⊥AC，连接A
1
B，易证
AB
1< br>⊥面D
1
A
1
B，BD
1
?面D
1
A
1
B，所以BD
1
⊥AB
1
，AB
1
∩ AC＝A，所以BD
1
⊥面AB
1
C.
又EF⊥面B
1< br>AC，∴BD
1
∥EF，又BD
1
?面BDD
1
B< br>1
，EF?面BDD
1
B
1
，
∴EF∥面BDD
1
B
1
.
12．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD
2
＋BD
2< br>＝AB
2
.∴AD⊥BD.又∵面PAD⊥面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝23.在底面四边形ABCD中，

AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．
4×8
85
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，此即为梯形的高．
5
45
25＋45
85
∴S
四边形ABCD
＝
×< br>＝24.
25
1
∴V
P—ABCD
＝×24×23＝163.
3