高中数学必修2第二章课后习题解答

高中数学
新课程标准数学必修2第二章课后习题解答
第二章 点 、直线、平面之间的位置关系
2．1空间点、直线、平面之间的位置关系
练习（P43） 1、D； 2、（1）不共面的四点可确定4个平面；（2）共点的三条直线可确定1个
或3个平面 3、（1）× （2）√ （3）√ （4）√
4、（1）A∈α，B?α； （2）M?α，M∈a； （3）a
?
α a
?
β
练习（P48） 1、（1）3条。分别是BB’，CC’，DD’. （2）相等或互补
2、（1）∵BC∥B’C’，∴∠B’C’A’是异面直线A’C’与BC所成的角。 在RT△A’ B’C’中，A’B’=2
3
，
B’C’=2
3
，∴∠B’C’A’ =45°.因此，异面直线A’C’与BC所成的角为45°
（2）∵AA’∥BB’，∴∠B’BC ’是异面直线AA’与BC’所成的角。在RT△B’BC’中，B’C’=AD=2
3
，BB’=AA=2，∴BC’=4，∠B’BC’=60°.因此，异面直线AA’与BC’所成的角为60 °
练习（P49） B
练习（P50）三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条
习题2.1 A组（P51）1、图略 2、图略
3、（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）×
4、（1）
?
， （2）8， （3）2， （4）平行或在这个平面内， （5）b∥平面α或b与α相
交， （6）可能相交，也可能是异面直线。
5、两条平行直线确定一个平面，第三条直线有两点在此平面内 ，所以它也在这个平面内。于是，
这三条直线共面。
6、提示：利用平行关系的传递性证明A A’∥CC’，又利用相等关系的传递性证明AA’=CC’，因此，
我们可得平行四边形ACC’A’ ，然后由平行四边形的性质得AB=A’B’，AC=A’C’，BC=B’C’，因此，△ABC
≌△ A’B’C’。
7、三条直线两两平行且不共面可以确定三个平面，如果三条直线交于一点则最多可以 确定三个
平面。
8、正方体各面所在平面分空间27部分。
B组 1、（1）C； （2）D； （3）C.
2、证明：∵AB∩α=P，AB
?
平面ABC ∴P∈平面ABC，P∈α
∴P在平面ABC与α的交线上，同理可证，Q和R均在这条交线上，∴P，Q，R三点共线
说明：先确定一条直线，在证明其他点也在这条直线上。
3、提示：直线EH和FG相交于点 K；由点K∈EH，EH
?
平面ABD，得K∈平面ABD.
同理可证：点K∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，因此，点K∈直线BD.
即EH，FG，BD三条直线相交于一点。
2．2 直线、平面平行的判定及其性质
练习（P55） 1、（1）面A’B’C’D’，面CC’D’D； （2）面DD’C’C，面BB’C’C；
（3）面A’D’B’C’，面BB’C’C.
D
1
C
1
2、解：直线BD
1
∥面AEC，证明如下：连接BD于AC交于点F，连接EF
∵AC、BD为正方形ABCD的对角线
A
1
B
1
∴F为BD的中点 ∵E为DD
1
的中点
E
∴EF为△DBD
1
的中位线
∴EF∥BD
1
又∵EF
?
平面AEC，BD
1
?
平面AEC
D
∴BD
1
∥平面AEC
C
F
练习（P58） 1、（1）命题不正确 （2）命题正确
A
B
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2、提示：容易证明MN∥EF，NA∥EB，进而可证平面AMN∥平面EFDB 3、D
练习（P61） 1、（1）× （2）× （3）× （4）√
习题2.2 A组（P61） 1、（1）A；（2）D； （3）C；
D
2、（1）平行或相交； （2）异面或相交
3、证明：（1）∵E、F分别为BC、CD的中点
∴EF为△BCD的中位线
∴EF∥BD，∵EF
?
平面EFG，BD
?
平面EFG
∴BD∥平面EFG
A
（2）∵G、F分别为AD、CD的中点
E
∴GF为△ACD的中位线
∴GF∥AC，∵GF
?
平面EFG，AC
?
平面EFG
B
∴AC∥平面EFG
4、在直线a上任取一点P，过P作直线b’，使b’∥b.
则由a与b’两相交直线确定的平面即为所求的平面α
5、证明：连接CD
AC? ?BD?
A,B,C,D共面
?
C∈α,D∈α
G
C
F?
?
?
平面ABCD∩α?CD
?
AB??α
?
?
?
AB??CD
?
AC??BD
?

?
?ABCD 是平行四边形?AC?BD
?
?
6、
AB?β
?
?AB?? CD
. 同样可证明AB∥EF，于是CD∥EF.
α∩β?CD
?
?
7、证明：∵AA’∥BB’，AA’＝BB’ ∴四边形AA’B’B是平行四边形
∴AB∥A’B’，又∵AB
?
平面A’ B’C’，A’B’
?
平面A’B’C’
∴AB∥平面A’B’C’， 同理可证BC∥平面A’B’C’
又∵AB
?
平面ABC，BC
?
平面ABC且AB∩BC=B
∴平面ABC∥平面A’B’C’
8、证明：∵在△AOB和△A’OB’中，AO=A’O，∠AOB =∠A’OB’，BO=B’O
∴△AOB≌△A’OB’（SAS） ∴∠ABO =∠A’ B’O
∴AB∥A’ B’，又∵AB
?
平面A’B’C’，A’B’
?
平面A’B’C’
∴AB∥平面A’B’C’， 同理可证BC∥平面A’B’C’
又∵AB
?
平面ABC，BC
?
平面ABC且AB∩BC=B
∴平面ABC∥平面A’B’C’
B组 1、过平面VAC内一点P作直线DE∥AC，交 VA于D，交VC于E；过平面VBA内一点D作
直线DF∥VB，交AB于F，则DE，DF所确定的 截面为所求。理论依据是直线与平面平行的判
定定理。
2、证明：设P为b上任意一点，则a与P确定一平面γ. β∩γ=c，c∥a，所以c∥α.
又c与b有公共点P，且c与b不重合（否则a∥b，与已知矛盾），即c与b相交.
由b∥α，可证α∥β
3、连接AF，交β于G，连接BG，EG，则由β∥γ得：
由α∥β，得
AG
GF
?
DE
EF
AB
BC
?
AG
GF
AB??α

，
AB
BC
?
DE
EF

4、正确命题序号是：（1）（2）（4）（5）
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V
2．2 直线、平面垂直的判定及其性质
练习（P67） 1、证明：作AC的中点D，连接VD，BD
∵VA=VC. AB=BC，∴△VAC和△ABC是等腰三角形
C
D
又∵D为底边AC的中点
A
∴VD⊥AC，BD⊥AC 又∵VD∩BD=D ∴AC⊥平面VBD
B
∵VB
?
平面VBD 所以 AC⊥VB
2、（1）AB边的中点； （2）点O是△ABC的外心； （3）点O是△ABC的垂心；
3、不一定平行
练习（P69） A
练习（P71） 1、（1）√ （2）√ （3）√ 2、b∥α，或b
?
α
练习（P73） 1、A 2、C
习题2.2 A组（P73）1、（1）命题不正确 （2）命题正确
2、证明：如图，设α∩γ=l，在平面α内作直线a⊥l.
∵α⊥γ， ∴a⊥γ
过a作一个平面
?
与平面β相交于直线b
由β∥α，得b∥a，∴b⊥γ
又b
?
β，∴β⊥γ
3、解：垂直关系，证明如下：
VA⊥AB
?
VA⊥AC
?
?
?VA⊥平面ABC?
VA⊥BC
?
BC⊥平面VAB
?
?
?
?
?平面VAB⊥平面VBC

AB⊥BC
?
BC?平面VBC
?
V
4、解：取AB中点M，连接，
∵VA=VB，且M为底边AB的中点 ∴VM⊥AB
∵CA=CB，且M为底边AB的中点 ∴CM⊥AB
C
∴∠VMC为二面角V- AB-C的平面角
A
由已知得：VM=CM=VC=1 ∴△VMC是等边三角形
M
故∠VMC=60° ∴二面角V-AB-C的平面角的度数为60°
B
5、提示：在平面γ内作两条相交直线分别垂直于平面α，β于平面γ的交线，
再利用面面垂直的性质定理证直线l⊥平面γ.
6、已知：a，b，c为两两互相垂直的直线，a，b确定一平面α，a，c确定一平面β，
b，c确定一平面γ
求证：α，β，γ两两互相垂直
证明：∵c⊥a，c⊥b，且a，b是α内两条相交直线
∴c⊥α 又∵c
?
β ∴α⊥β
同理可证，α⊥γ，β⊥γ
7、90°或45°
8、证明：将m，n确定的平面定义为平面α，
由已知可证：l
1
⊥α，l
2
⊥α，∴l
1
∥l
2
，因此∠1=∠2
9、已 知：a∥b，a∩α=A
1
，b∩α=B
1
，
?
1
，
?
2
分别是a，b与α所成角
求证：
?
1
=
?
2

A
B
证明：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面α的
同侧. 且AA
1
=BB
1
，连接AB和A
1
B
1
.
a
b
∵AA
1
∥BB
1
，AA
1< br>=BB
1
，∴四边形AA
1
B
1
B是平行四边形
A
2
B
2
∴A B∥A
1
B
1
. 又A
1
B
1
?
α，AB
?
α， ∴AB∥α θ
1
θ
2
设A
2
，B
2
分别是平面α 的垂线AA
2
，BB
2
的垂足，
A
1
B
1
α
连接A
1
A
2
，B
1
B
2< br>，则AA
2
=BB
2
.
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在RT△AA
1
A
2
和RT△B B
1
B
2
中，∵AA
2
=BB
2
，AA< br>1
=BB
1
，
∴RT△AA
1
A
2
≌RT△BB
1
B
2
∴∠AA
1
A
2< br>≌∠BB
1
B
2
，
?
1
=
?
2

B组 1、证明：∵AA’⊥平面ABCD，∴AA’⊥BD. 又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC’A’，
而BD
?
平面A’BD，因此，平面ACC’A’⊥平面A’BD
2、提示：由已知条件知：VD⊥AB，VO⊥AB，所以，AB⊥平面VDC，AB⊥CD.
又因为AD=BD，可得AC=BC.
3、提示：参考A组第5题的解法
4、解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC- B的平面角. 由
∠ACB是直径上的圆周角，知∠ACB=90°. 因此，平面VAC⊥平面VBC. 由DE是△VAC两边
中点连线，知DE∥AC，故DE⊥VC. 由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直.
第二章 复习参考题
A组（P78）
1、三个平面将空间分成4或6或7或8个部分
2、解：连结C
1
E，在上底面过点E作直线l⊥C
1
E即可 ∵CC
1
⊥底面A
1
B
1
C
1
D1
∴CC
1
⊥l，根据作法知l⊥C
1
E.
又∵C
1
E∩C
1
C=C
1,
， ∴l⊥平面CC
1
E，因此，l⊥CE
3、已知：直线l
1
，l
2
，l
3
， l
1
∩l
2
=A，l
2
∩l
3
=B，l
3
∩l
1
=C
求证：l
1
，l
2
，l
3
共面
证明：∵l
1
∩l
2
=A ∴由公理2可知，l
1
，l
2
确定一平面α
又∵B∈l
2
，C∈l
1
∴B∈α，C∈α
而B∈l
3
，C∈l
3
（已知） ∴l
3
?
α（公理1）
∴l
1
，l
2
，l
3
都在α内，即l
1
，l
2
，l
3
共面
4、（1）如右图，CD∥EF，EF∥AB，CD∥AB. 又CD≠AB，
∴四边形ABCD是梯形
（2）
C
α
A
l
1l
2
l
3
B
E
D
F
C
A第4题
9
2
a

8
B
5、证明：连结EE1
，FF
1
，根据已知条件AE∥A
1
E
1
且 AE=A
1
E
1
，AF∥A
1
F
1
且AE =A
1
F
1

推出A A
1
∥E E
1
且A A
1
=E E
1
，A A
1
∥FF
1
且A A
1
=FF
1
， < br>∴EE
1
∥FF
1
且EE
1
=FF
1

∴四边形EFF
1
E
1
是平行四边形，因此EF∥E
1
F
1
且EF=E
1
F
1

6、解：设长方形的长、宽、高分别是x
，
y
，
z.
x
2
?y
2
?a
2
?
1
2222
?
22222

y?z?b
?
?x?y?z?
?
a?b?c
?

2
222
?
z?x?c
?
1
长方形 的对角线长为
2
?
a
2
?b
2
?c
2?

2
7、证明：作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB
取AB中点H，连结VH，则VH⊥AB.
∵VH∩VO=V，∴AB⊥平面VHO
∴∠VHO为二面角V-AB-C的二面角.
∵VH
2
=VA
2< br>-AH
2
=5-1=4，∴VH=2
而
OH?
1
2
AB?1
，∴∠VHO=60°.
V
D
A
H
O
C
B
因此，二面角V-AB- C的二面角为60°
8、因为α∩β=a，γ∩α=b，β∩γ=c，且a∩b=O，
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则O∈b
?
α，且O∈b?
γ，即O∈γ∩α=c，所以a，b，c三线共点
9、解：由图知γ∩α=a，β∩γ=b，α∩β=c，
∵a
?
β，b
?
β，a∥b， ∴a∥β.
又∵a
?
α，a
?
β，β∩α=c，∴a∥c，∴a∥b∥c.
1 0、AB⊥CD，证明如下：∵α∩β=AB，∴AB
?
α，AB
?
β.
∵PC⊥α，∴PC⊥AB.
∵PD⊥β，∴PD⊥AB.
∵PC∩PD=P，
∴AB⊥平面PCD. ∵CD
?
平面PCD
∴因此AB⊥CD
B组 1、（1）证明：由折叠前，AD⊥AE，CD⊥CF，
得A’D⊥A’E，A’D⊥A’F 又A’E∩A’F=A’
∴A’D⊥平面A’EF，∴A’D⊥EF
（2）解：由（1）知：A’D⊥平面A’EF， ∴
V
A'?EFD
=
S
△A'EF
A'D

3
1
由折叠知：A’E=AE=
2
33
22
，A’F=C F=，
EF=BE+BF
=
2
22
过A’作EF的垂线A’H于AB交于H
34
?
2 22
?
1
∴
A'H=A'E-EH
?
A'E-
?< br>EH
?
=
4
2
??
∴
S
△A'E F
=
1
2
1
EFA'H
=
1
2
?
2
2
1
?
34
4
2
=
17
8
17
12

∴
V
A'?EFD
=
S< br>△A'EF
A'D
=
?
3
3
17
8
?2
=
D
1
B
1
H
C
1
2、证 明：（1）连接B
1
D
1
，B
1
D
1
⊥A
1
C
1
，又DD
1
⊥面A
1
B
1
C
1
D
1
，
A
1
∴DD
1⊥A
1
C
1
，∵B
1
D
1
⊥A
1
C
1
，DD
1
∩B
1
D
1
= D
1

∴A
1
C
1
⊥面D
1
DB ，因此A
1
C
1
⊥B
1
D.
同理可证：B
1
D⊥A
1
B，∴B
1
D⊥平面A
1
C
1
B
（2）连接A
1
H，BH，C
1
H，
由A
1
B
1
=BB
1
=C
1
B
1，得A
1
H=BH=C
1
H
∴点H为△A
1
BC
1
的外心. 又△A
1
BC
1
是正三角形
A
∴点H为△A
1< br>BC
1
的中心，也为△A
1
BC
1
的重心

D
B
C
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