高中数学必修二 圆的方程

5、圆的方程
知识要点：
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长 的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的
半径。
2、圆的方程
（1）标准方程< br>?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
，圆 心
22
2
?
a,b
?
，半径为r；
?
2 2
?
（2）一般方程
x?y?Dx?Ey?F?
0

22< br>1
DE
?
，半径为当
D?E?
4
F?
0时，方程表示圆，此时圆心为
?
r?D
2
?E
2
?4F

?
?,?
?
22
2
当
D
形。
2
?E
2
?
4
F?
0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图
（ 3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直 线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离
为
d?
A a?Bb?C
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；< br>d?r?l与C相交

（2）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆C:
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r< br>2
，先将方程联立消元，得到
一个一元二次方程之后，令其中的判别式为
?，则有
??0?l与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0? l与C相交

2
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
xx
0?yy
0
?r
去解直线与圆相切的问题，其中
?
x
0< br>,y
0
?
表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
2
①圆x
2
+y
2
=r< br>2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为xx
0
?yy
0
?r
(课本命题)．
②圆(x-a )
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0< br>，
y
0
)，则过此点的切线方程为(x
0
-a)(x-a)+ (y
0
-b)(y-b)= r
2

(课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
22
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?< br>2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?< br>y?b
2
?
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。
22
A
2
?B
2
典型例题

例1 圆(
x?
3)
?
(
y?
3)
?
9
上到直线
3x?4y?11?0
的距离为1的点有几个？
22
分析：借助 图形直观求解．或先求出直线
l
1
、
l
2
的方程，从代数计 算中寻找解答．

解：圆
(
x?
3)
?
(< br>y?
3)
?
9
的圆心为
O
1
(3,3)，半径
r?3
．
22
设圆心
O
1
到直线3x?4y?11?0
的距离为
d
，则
d?
3?3?4?3?1 1
3?4
22
?2?3
．
如图，在圆心
O
1同侧，与直线
3x?4y?11?0
平行且距离为1的直线
l
1
与圆有两个交
点，这两个交点符合题意．

又
r?d?3?2?1
．
∴与直线
3x?4y?11?0
平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
例2 求过两点
A(1,4)
、
B(3 ,2)
且圆心在直线
y?0
上的圆的标准方程并判断点
P(2,4)
与圆的关系．
分析：
欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小
，而要< br>判断点
P
与圆的
位置关系，只须看点
P
与圆心的距离和圆的半 径的大小关系
，若距离大于半径，则点在圆
外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径 ，则点在圆内．
解：
（待定系数法）

设圆的标准方程为
(x?a)?(y?b)?r
．
∵圆心在
y?0
上，故
b?0
．∴圆的方程为
(x?a)?y?r
．
22 2
222
又∵该圆过
A(1,4)
、
B(3,2)
两点．
22
?
?
(1?a)?16?r
∴
?

2 2
?
?
(3?a)?4?r
解之得：
a??1
，
r ?
20
．
2

所以所求圆的方程为
(
x?< br>1)
?y?
20
．
22
?
x?
1
?
?
?
y?
2
?
?
4
?4
?作直线
l
，当斜率为何值时，直线
l
与圆
C：
例3 过点
P
?
?3，
22
有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思路．
解：设直线
l
的方程为
y?4? k
?
x?3
?

即
kx?y?3k?4?0

根据
d?r
有
P
y
O
x
E < br>k?2?3k?4
1?k
整理得
3
k?
4
k?
0

2
2
?2


解得
0?k?
4
．
3
22
4
?
与圆
O
相切的切线．
例4 已知圆
O：x?y?
4
，求过点
P
?
2，
4
?
不在圆
O
上， 解：∵点
P
?
2，
∴切线PT
的直线方程可设为
y?k
?
x?2
?
?4

根据
d?r

∴
?2k?4
1?k
2
?
2

3

4
3
所以
y?
?
x?
2
?
?
4

4
解得
k?
即
3x?4y?10?0

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜 率不存在．易求另一条
切线为
x?2
．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

例5 求半径为4，与圆
x?y?
4
x?
2
y?
4
?0
相切，且和直线
y?0
相切的圆的方程．
22
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
(x?a)?(y?b)?r
．
解：则题意，设所求圆的方程为圆
C：圆
C
与直线
y?0
相切，且半径为4，则圆心
C
的坐标 为
C
1
(
a
,4)
或
C
2
(a, ?4)
．
又已知圆
x?y?
4
x?
2
y?
4
?
0
的圆心
A
的坐标为
(2,1)
，半径为3 ．
22
222
若两圆相切，则
CA?4?3?7
或
CA? 4?3?1
．
(1)当
C
1
(a,4)
时，
(a ?2)?(4?1)?7
，或
(a?2)?(4?1)?1
(无解)，故可得
222222
a?2?210
．
222222
∴所求圆方程为
(x ?2?210)?(y?4)?4
，或
(x?2?210)?(y?4)?4
． (2)当
C
2
(a,?4)
时，
(a?2)?(?4?1)?7
，或
(a?2)?(?4?1)?1
(无解)，故
222222
a? 2?26
．
222222
∴所求圆的方程为
(x?2?26)?(y?4) ?4
，或
(x?2?26)?(y?4)?4
．
练习：
1．方程
x?y?ax?2ay?2a?3a?0
表示的图形是半径为
r
（
r ?0
）的圆，则该圆
圆心在
C．第三象限

D．第四象限
（ ）
222
A．第一象限 B．第二象限

2．若方程
x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
所表示的曲 线关于直线
y?x
对
称，必有
A．
E?F


3．点(
2a,a?1
)在圆x+y
－2y－4=0的内部，则< br>a
的取值范围是
22
2222

B．
D?F


C．
D?E

（ ）
D．
D,E,F
两两不相等
（ ）
A．－1<
a
<1 B． 0<
a
<1 C．–1<
a
<
1

5
D．－
1
<
a
<1
5

4．两圆x+y
－4x+6y=0和x
+y
－6x=0的连心线方程为
2222


（ ）
A．x+y+3=0
C．3x－y－9=0
22


B．2x－y－5=0
D．4x－3y+7=0
5．如果圆x+y+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则
A．E≠0，D=F=0
C．D≠0，E=F=0
222
（ ）
B．D≠0，E≠0，F=0
D．F≠0，D=E=0
6．圆
(x?a)?(y?b)?r
过原点的充要条件是 ．
7．求圆
x?y?1
上的点到直线
x?y?8
的距离的最小值 ．
8．已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：
x?2y? 3?0

上，求此圆的标准方程．







9．已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－ 3，0），求△ABC外接圆
的方程．






10．求经过点A(2，－1)，和直线
x?y?1
相切，且圆心在直线< br>y??2x
上的圆的方程．





22

参考解题格式：
8.解：因为A（2，－3），B（－2，－5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，－4），
又
程是
，所以线段AB的垂直 平分线的方
．

联立方程组解得 ，
．

所以，圆心坐标为C
所以，此圆的标准方程是
（－1，－2

），半径
．

，

16．解：解法一：设所求圆的方程是
． ①


因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程①，于是

所以△ABC的外接圆的方程是
可解
．
得

解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的 垂直平分线上，所以
先求AB、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标
就是圆心坐标．

∵，
，

线段AB的中点为
点为
∴A B的垂直平分线方程为
（5，－1），线段BC的中

， ①
，

BC的
②
垂直平分线方程
．

< br>解由①②联立的方程组可得
的圆心为Ｅ（1，－3），
半径
ABC外接圆∴△
．

故△ABC外接圆的方程是
17．解：因为圆心在直线
坐标为(a,-2a)，据题意得：

上，所以可设圆心
．

， ∴
，

a =1， ∴ 圆心为(1，－2)，半径为
.
∴，
∴所求的圆的方程为