高中数学科研-九旬高中数学名师的解题笔记
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------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------
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第3课时
直线与平面垂直的判定
【课时目标】
1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并
能灵活应用．
1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平
面α互相垂直，
记作：________．
图形如图所示．
信达
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---------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------
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2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个
点到这个平面
的距离．
3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_
_______直线垂直，
那么这条直线______于这个平面．
图形表示：
用符号表示为
____________________________________
__________________________．
：
信达
-------------------------------------------- -----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------- ------------------------------------------
一、选择题
1．下列命题中正确的是________(填序号)．
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．
3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)
①a⊥b，b⊥c，b?α，c?α；②a⊥b，b∥α；
③a∩b＝A，b?α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．
4．如图所示，定点A和B都在平面α 内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内异于A和
B的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__ ________三角形．
5．如图①所示，在正方形SG
1
G
2
G
3
中，E、F分别是边G
1
G
2
、 G
2
G
3
的中点，D是EF的中点，
现沿SE、SF及EF把这个正 方形折成一个几何体(如图②使G
1
、G
2
、G
3
三点重合 于一点G)，
则下列结论中成立的有________(填序号)．
信达
<
br>-----------------------------------------------
--------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------
---------------------------------------
①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；
④GD⊥面SEF．
6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为____________________________________________
______________________．
7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中B
C⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
8．在直三棱柱AB
C—A
1
B
1
C
1
中，BC＝CC
1
，当
底面A
1
B
1
C
1
满足条件______时，有AB
1
⊥BC
1
(注：
填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情
况)．
9．如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是棱AA
1
和AB上的点，若∠B
1<
br>MN
是直角，则∠C
1
MN＝________．
信达
-------------------------------------------- -----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------- ------------------------------------------
二、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱B
1
C
1
、B
1
B的中点．求证：CF
⊥平面EAB．
信达
--
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---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------
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11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD
是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F
分别是AB，PC的中点，PA＝AD．
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD．
信达
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-----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起
点-------------------------------------------------
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能力提升
12．如图所示，在正方体AB
CD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，P为DD<
br>1
的中点，O为ABCD的中心，求证
B
1
O⊥平面PAC．
信达
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----------------------------------------奋斗没有终点任何时候
都是一个起点--------------------------------------------
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13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥
平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂
足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；
(2)PQ⊥SC．
信达
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----------------------------------------奋斗没有终点任何时候
都是一个起点--------------------------------------------
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1．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．
2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平
面垂直后，直线
和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用
的思维形式，它对解题方法、
策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．
第3课时
直线与平面垂直的判定答案
知识梳理
1．任意一条直线都垂直 a⊥α
2．垂足
3．相交 垂直 m，n?α，m∩n＝O，l⊥m，l⊥n?l⊥α
作业设计
1．④ 2．a?β或a∥β 3．④
4．直角
解析
易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．
5．①
3
6．3
2
信达
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----------------------------------------奋斗没有终点任何时候
都是一个起点--------------------------------------------
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解析 由P到三个顶点距离相等．可知
，P为△ABC的外心，又△ABC为直角三角形，
?
13
?
2
3<
br>2
∴P到平面ABC的距离为h＝PD＝7－
??
＝3．
?
2
?
2
7．4
解析
?
PA⊥平面ABC
?
?
?
?
BC?平面ABC
?
?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
?
AC⊥BC
?
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．
8．∠A
1
C
1
B
1
＝90°
解析
PA⊥BC
?
?
如图所示，连结B
1
C，
由BC＝CC
1
，可得BC
1
⊥B
1
C，
因此，要证AB
1
⊥BC
1
，则只要证明BC
1
⊥平面A
B
1
C，
即只要证AC⊥BC
1
即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因
为A
1
C
1
∥AC，B
1
C
1
∥BC，
信达
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-----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起
点-------------------------------------------------
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故只要证A
1
C
1
⊥B<
br>1
C
1
即可．
(或者能推出A
1
C
1⊥B
1
C
1
的条件，如∠A
1
C
1
B
1
＝90°等)
9．90°
解析
∵B
1
C
1
⊥面ABB
1
A
1
，
∴B
1
C
1
⊥MN．
又∵MN⊥B
1
M，
∴MN⊥面C
1
B
1
M，
∴MN⊥C
1
M．
∴∠C
1
MN＝90°．
10．证明 在平面B
1
BCC
1
中，
∵E、F分别是B
1
C
1
、B
1
B的中点，
∴△BB
1
E≌△CBF，
∴∠B
1
BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B
1
BCC
1
，CF?平面B
1
BCC
1
，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
11．证明
(1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD．
(2)取PD的中点G，连结AG，FG．又∵G、F分别是PD，PC的中点，
1
∴GF綊CD，∴GF綊AE，
2
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．
12．证明
连结AB
1
，CB
1
，设AB＝1．
∴AB
1
＝CB
1
＝2，
信达
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-----------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------
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∵AO＝CO，∴B
1
O⊥AC．
连结PB
1
．
3
222
∵OB
1
＝OB＋BB
1
＝，
2
9
222
PB
1
＝PD
1
＋B
1
D
1
＝，
4
3
222
OP＝PD＋DO＝，
4
222
∴OB
1
＋OP＝PB
1
．
∴B
1
O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，
∴B
1
O⊥平面PAC．
13．证明
(1)∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC．
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵AQ?平面SAB，
∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，
∴AQ⊥平面SBC．
(2)∵AQ⊥平面SBC，SC?平面SBC，
∴AQ⊥SC．
又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，
∴SC⊥平面APQ．
∵PQ?平面APQ，∴PQ⊥SC．
信达