文理不分科 高中数学课本-高中数学圆切法
高一数学必修一第二章知识总结
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果
x?a
,那么<
br>x
叫做
a
的
n
次方根,
其中
n
>1
,且
n
∈
N
*
.
?
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0
。
n
?
a(a?0)
当
n
是奇数时,
a?a
,当
n
是偶数时,
a?|a|?
?
?a(a?0)
?
n
n
n
n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
m
n
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
a
?
m
n<
br>,
?
1
a
m
n
?
1
n
a<
br>m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
?
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)
a
·
a?a
r
rr?s
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)
;
(a?0,r,s?R)
.
x
rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(ab)?aa
(3)
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?a(a?0,且a
?1)
叫做指
数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
06
5
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
2
46-4-2
定义域 R
值域y>0
0
-1
246
定义域 R
值域y>0
在R上单调递增
非奇非偶函数
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定
点(0,1)
函数图象都过定
点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: <
br>(1)在[a,b]上,
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是<
br>[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]
;
(2)若x?0
,则
f(x)?1
;
f(x)
取遍所有正数当且仅当x?R
;
(3)对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?
1)
,总有
f(1)?a
;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果
a?N
(a?0,a?1)
,那么数
x
叫
做以
a
为底
N
的对数,记作:
x?log
a<
br>N
(
a
— 底数,
N
—
真
数,
log
a
N
— 对数式)
说明:
○
1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1
;
2
a
x
○
x
?N?log
a
N?x
;
3 注意对数的书写格式.
○
两个重要对数:
log
a
N
1
常用对数:以10为底的对数
lgN
;
○
2
自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
.
○
? 指数式与对数式的互化
幂值
真数
a
b
=
N
?
log
a
N
= b
底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
log
a
(M
·
N)?
log
a
M
+
log
aN
; ○
M
?
log
a
M
-
log<
br>a
N
;
N
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
(n?R)
. ○
2
log
a
○
注意:换底公式
log
a
b?
log
c
b
(
a?0,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0).
log
c
a
1
n
(2)
log
a
b?
.
log
a
b
;
m
log
b
a
利用换底公式推导下面的结论
(1)
log
a
m
b
n
?
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a
?1)
叫做对数函
数,其中
x
是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:
○
1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨
别。如
:
y?2log
2
x
,
y?log
5
x
都不是对数函数,而只能称其
5
为对数型函数.
2
对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)
.
○
2、对数函数的性质:
a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点(1,0)
(三)幂函数
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
(1,0)
?
1、幂函数定义:一般地,形如
y
?x
(a?R)
的函数称为幂函数,
其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是
增函
数.特别地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?
?
1
时,
幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图
象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一
象限内,当
x
从右边趋向
原点时,图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴
正半轴,当
x趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.
例题:
1.
已知a>0,a0,函数y=a
x
与y=log
a
(-x)的图象只能是
( )
log27?2log
5
2
2.计算:
①
log
3
2
?
;②
2
4?log
2
3
=
;
25
3
5
=
log
27
64
1
③
0.064
?
?(?
7
)
0?[(?2)
3
]
?
?16
?0.75
?0.01 =
1
3
4
3
1
2
8
3.函数y=log
1
(-3x+1)的递减区间为
2
4.若函数
f(x)?log
a
x(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍,则a=
f(x)?0的5.已知
f(x)?log
1?x
(a?0且a?1)
,(1)求f(x)
的定义域(2)求使
a
1?x
x
的取值范围
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