人教版高中数学必修二基础班讲义

空间几何体
知识讲解
一、构成空间几何体的基本元素
1.几何体的概念
概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．
2.构成几何体的基本元素：
点、线、面
（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母
A，B，C
来命名；
（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般
用一个小写字母
a，b，l
或用直线上两个点
AB，PQ
表示；
一条直线把平面分成两个部分．
（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；
D
A
C
B
?

其中平面是一个无限延展的，平滑， 且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想
象成无限延展的；
平面一般用希腊字母
?
，
?
，
?
来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对 角顶点的字
母来命名，如右图中，称平面
?
，平面
ABCD
或平面< br>AC
；
一个平面将空间分成两个部分．
3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系
理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹， 点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成
面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成 体．
二
、多面体的结构特征
1.多面体
1）多面体的定义

由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻
两个面的 公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上
的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线．
2）多面体的分类
按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面 延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同

一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体． 否则就叫做凹多面体．
按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、 五面体、六
面体等等．
3）简单多面体
定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；
欧拉公式：简单多面体的顶 点数
V
、面数
F
和棱数
E
有关系
V?F?E?2< br>．
4）正多面体
定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体；
正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多
面体上各面的 中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到
各顶点的距离相等，到各面 的距离也相等．
2.棱柱
1）棱柱的定义
由一个平面多边形沿某一确定方向平移 形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两
个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱 柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做
棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底 面垂直的直线与两个
底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．
??
，
D CC
?
D
?
等四个，侧下图中的棱柱，两个底面分别是面
ABCD< br>，
A
?
B
?
C
?
D
?
，侧 面有
ABBA
棱为
AA
?
，BB
?
，CC
?
，DD
?
，对角面为面
ACC
?
A
?
， BDD
?
B
?
，
A
?
H
为棱柱的高． < br>D'
A'
C'
B'
D
H
A
C
B
2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．
3）棱柱的分类
按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫
直棱柱；
底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；
4）棱柱的记法

①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱；
②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．
例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱
ABCD?A'B'C'D'
或棱柱
AC'
等．
5）特殊的四棱柱：

四棱柱
侧棱与
底面垂直

底面是平行四边形
平行六面体
侧棱与
底面垂直

底面是平行四边形
直四棱柱
底面为
正方形
直平行六面体
底面为
长方形
底面是正方形
正四棱柱
侧面也为
正方形
棱长都相等的长方体
长方体
正方体

3.棱锥
1）棱锥的定义
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多 边形，其
余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
棱锥中 过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶
点与交点间的线段或 距离叫做棱锥的高．
2）棱锥的分类
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三 棱锥、四棱锥、五棱锥……；底面
是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱 锥的各个侧面都是全
等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．
S
侧面
侧棱
高
对角面SAC
D
E
底面ABCDE
A
H
C
B

3）棱锥的记法
用顶点和底面各顶点的字母表示 或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表

示．如上图的五棱锥记为棱锥
S?ABCDE
或棱锥
S?AC
．
4.棱台
1）棱台的定义 < br>棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面
和截面分别 叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做
棱台的侧棱；与棱台的 底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高．
2）棱台的性质
棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；
3）棱台的记法
用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示．
4）正棱台
由正 棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯
形的高叫做棱台的斜高 ．
A'
C'
O'
H'
B'
A
O
B
H
C

右图为一个正三棱台，记为棱台
ABC?A
?
B< br>?
C
?
，侧棱
AA
?
，
BB
?，
CC
?
延长后必交于一点．
O
，
O
?
为上下底面的中心，它们的连线
O
?
O
是棱台的高，
H
?
H
是棱台的斜高．
三、旋转体的结构与特征
1.圆柱、圆锥和圆台 定义：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在
的直线旋 转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，
轴的长即为该旋转体的 高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而
成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么 位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一
般用表示它的轴的字母来表示．
性质：①平行于底面的截面都是圆；
②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．

OA
S
O
A
O'
A'
O
A
A'
O'

2.球
球的定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做 球（或球体），半圆
旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球 的半径，

连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．
四、三视图
1.投影
定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这 个物体的影子，这种现象叫做
投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面 ．
l
MF
?
M
'
F
'


2.平行投影
定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投 涉线是平行
的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．
性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；

⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
3. 正投影
概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．
性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；
②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．
4.中心投影
定义： 一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中
心投影．中心投影的 直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何
中，一般用平行投影原理来画图．

5.三视图
1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几 何体称为正视图（主
视图）.
2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形 称为几何体称为侧视图（左
视图）.
3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投 影图形称为几何体称为俯视图.将空
间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在 一个平面内，这样构成
的图形叫做空间图形的三视图．
如右图为圆锥的三视图：
主视图
左视图

俯视图

5.三视图的对应关系
关系：正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等， 简称“长对正，宽平
齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．

五、直观图
1.定义：
用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．
画法：斜二测画法和正等测画法
2.斜二测画法规则
1）在已知图形所在的空间中 取水平平面，作相互垂直的轴
Ox
，
Oy
，再作
Oz
轴，使
（三维空间中）
?xOz?90?
，
?yOz?90?
．
2）画直观图时，把
Ox
，
Oy
，
Oz
画成对应的轴
O
?
x
?
，O
?
y
?
，O
?< br>z
?
，使
?x
?
O
?
y
?
?45?
或
135?
，
（二维平面上）
?x
?
O
?
z
?
?90?
，
x
?
O
?y
?
所确定的平面表示水平平面．
3）已知图形中，平行于
x
轴 ，
y
轴或
z
轴的线段，在直观图中分别画成平行于
x
?轴，
y'
轴
或
z
?
的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位
置关系相同． 4）已知图形中平行于
x
轴和
z
轴的线段，在直观图中保持长度不变，平 行于
y
轴的线段，
长度为原来的一半．
5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
五、简单空间几何体的表面积和体积
1.直棱柱与圆柱的侧面积

S
直棱柱侧
(S
圆柱
)?ch
，其中
c
为底面的周长，h
为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；
2.正棱锥（圆锥）的侧面积
11
S
正棱锥侧
?ch'?nah'
，其中
a
为底面边长 ，
h'
为斜高；
22
1
S
圆锥侧
?cl?
π
rl
，其中
c
为底面周长，
r
为圆锥的底面半径，l
为母线长；
2
3.正棱台（圆台）的侧面积
1n
S
正棱台侧
?(c?c')h'?(a?a')h'
，其中
a,a'
分别是正 棱台上下底面的边长，
h'
为斜高；
22
4.球面面积：
S
球
?4πR
2
，
R
为球的半径．
5.柱体（棱柱，圆柱 ）体积公式：
V
柱体
?Sh
，其中
S
为底面积，
h
为高；
6.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：
V
棱体
?Sh
，其中
S
为底面积，
h
为高；
7.台体（棱台，圆台）的体积公式：

V
台体
?h(S?SS'? S')
，其中
S',S
分别是台体
上，下底面的面积，
h
为 台体的高；
1
3
1
3

8.球的体积公式：
V
球
?
π
R
3
，
R
为球的半径
4
3

典型例题
一．选择题（共8小题）
1．（2015?新 课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图
如图，则截去部分体积与剩余部分体积 的比值为（ ）


A． B． C． D．

2．（2016? 汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个
四棱锥的体积是（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2018?郑州一模）若某几何 体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体
的体积等于（ ）

A．10cm
3
B．20cm
3

C．30cm
3
D．40cm
3

4．（2015?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积
是（ ）


A．8cm
3
B．12cm
3
C． D．

5．（2016?新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中< br>两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）


A．17π B．18π C．20π D．28π

6．（2016?新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表
面积为（ ）

A．12π B．π C．8π D．4π

7．（2015?新课标Ⅰ ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一
个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示．若该几何体的表面积
为16+20π，则r=（ ）


A．1 B．2 C．4 D．8

8．（2017?浙江）某几何体的三视图如图所 示（单位：cm），则该几何体的体积
（单位：cm
3
）是（ ）


A．+1 B．+3 C．+1 D．+3

二．填空题（共4小题）
9．（2017?上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．

10．（2011?南通三模）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为 m
2
．

11．（2016?黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成 一个大球，这个大球
的半径为 ．

12．（2015?盐城校 级模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，
则该圆柱的体积为 ．

三．解答题（共3小题）
13．（1965?全国）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．









14．已知正四棱锥（底 面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边
长为a，侧棱长为a

（1）求它的外接球的体积

（2）求他的内切球的表面积．







15．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．

（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是
矩形；

（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全
等三角形．

空间几何体

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若正方体的表面积为


A. B.
，则它的体积是
C.

D.
2. 棱长为 的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如下图所示，
那么该几何体的体积是



A. B. C. D.
3. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为



A. B. C. D.

4. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为



A. B. C. D.
5. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：
体积是
），则这个几何体的



A. B. C. D.
6. 利用斜二测画法得到的下列结论正确的是
①三角形的直观图是三角形；②平行四 边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观
图是正方形；④菱形的直观图是菱形．
A. ①② B. ① C. ③④ D.
①②③④

7. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为

A.

C. D.



B.

8. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为



A. B. C. D.
9. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几
何体的体积是

A.

B. C. D.

10. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为 ，则此
四棱锥最长的侧棱长为

A.

B. C.



D.

11. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是



A. B. C. D.
12. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸 出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，
图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼 的木构件咬合
成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A. B.
C. D.


二、填空题（共5小题；共25分）
13. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何
体的外接球的表面积为 ．

14. 已知某球的体积为 ，其表面积为 ，若

15. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
，则此球的半径是 ．


16. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．


17. 已知正方体的内切球的体积是


三、解答题（共5小题；共65分）
18. 如图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状．
，则这个正方体的体积是 ．


19. 如图所示，梯形 中，，且 ，当梯形 绕 所在直
线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．

20. 下列 种几何体：

（1）柱体有 ；
（2）锥体有 ；
（3）球有 ；
（4）棱柱有 ；
（5）圆柱有 ；
（6）棱锥有 ；

（7）圆锥有 ．
21. 四边形

体的体积．
22. 已知正四棱柱
为


的中点，证明： 为
，
与
，，点 为 的中点，点
，，，，，绕 轴旋转一周，求所得旋转
的公垂线．

点、线、面之间的位置关系——平行关系
知识讲解
一、空间间位置关系的集合语言
集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：
点
A
在直线
l上，记作：
A?l
；点
A
不在直线
l
上，记作
A?l
；
点
A
在平面
?
内，记作：
A?
?
；点
A
不在平面
?
内，记作
A?
?
；
直线
l
在平面
?
内（即直线上每一个点都在平面
?
内），记作
l?
?
；
直线
l
不在平面
?
内（即直线上存在不在平面
?
内的点），记作
l?
?
；
直 线
l
和
m
相交于点
A
，记作
lm?{A}
，简记为
lm?A
；
平面
?
与平面
?
相交于直线
a
，记作
??
?a
．
二、平面的三个公理及推论
1.公理一：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面
内 ．
A
B
l
图形语言表述：如右图： 符号语言表述：
A?l,B?l,A?
?
,B?
?
?l?
?

用途：证明“点在面内”、“线在面内”.
?

2.公理二 ：
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共
线的三点确定一 个平面．
A
B
图形语言表述：如右图，
?
C

符号语言表述：
A,B,C
三点不共线
?< br>有且只有一个平面
?
，使
A?
?
,B?
?
, C?
?
．
用途：证明“两平面重合”、“多点共面”、“点线共面”.
3 .公理三：
如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线．

?
a
A
?
图形语言表述：如右图：
符号语言表述：
A?
?

?
?
??
?a,A?a
．
用途：证明“多点共线”、“多线共点”.
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．
4.推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三、空间中线线位置关系
1.共面直线：
平行直线与相交直线.
2.公理四：
平行于同一条直线的两条直线平行．
3.异面直线：
不同在任一平面内的两条直线．
4.异面直线所成的角
定 义：例如下图所示，
a,b
是两条异面直线，在空间中选取一点
O
，过
O
分别作
a,b
的平行
线
a',b'
，我们把
a ',b'
所成的锐角（或直角），称异面直线
a,b
所成的角(或夹角).

注：异面直线所成的角为
90
，则称两条直线异面垂直；异面直线所成角的范围
(0,90]
.
5.判断两条直线为异面直线的方法
1）判定定理：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.
如图

A
B
a
α

符号语言：已知a?
?
,A?
?
,B?
?
,B?a,
则直线< br>AB
与直线
a
是异面直线.
2）反证法：要证明两条直线是异面直线，只需证明它们不相交，也不平行即可.
6.空间四边形：
顺次连结不共面的四点所构成的图形．
这四个点叫做空间四边形的 顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不
相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角 线．
如下图中的空间四边形
ABCD
，它有四条边
AB,BC,CD,DA
，两条对角线
AC,BD
．
其中
AB,CD
；
A C,BD
；
AD,BC
是三对异面直线．
A
B
C
D

四、空间中线面位置关系
1.直线与平面的位置关系
1）直线
l
在平面
?
内：直线 上所有的点都在平面内，记作
l?
?
，如图⑴；
2）直线
l
与平面
?
相交：直线与平面有一个公共点
A
；记作
l
?< br>?A
，如图⑵；
3）直线
l
与平面
?
平行：直线与 平面没有公共点，记作
l
?
，如图⑶．
l
l
A
l
?
?1?
?
?2?
?
?3?

2.直线与 平面平行的判定定理：
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平
行，那么这条直线 和这个平面平行．
符号语言表述：
l?
?
,m?
?
,lm ?l
?
．
图象语言表述：如下图：
l
?
m
< /p>

3.直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和
这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．
符号语言表述：
l
?
,l?
?
,
?
图象语言表述：如下图：
?
?
l
m
?
?m?lm
．

五、空间中面面位置关系
1.平面与平面的位置关系
平行：没有公共点，记为
?

?
；
相交：有一条公共直线，记为
??
?l

注：画两个平行平面时，一 般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，两个平面
?
,
?
相
交， 有一条交线，
??
?l
，如下图：

2.两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那
么这两个平面平行．
符号语言表述：
a?
?
,b?
?< br>,ab?A,a
?
,b
?
?
?

?
．
图像语言表述：
A
a


平面平行．
线平行．
符号语言表述：
?

?
,
?
图象语言表述：如下图：
?
b
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 则这两个
?
3.两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交
?
?a,
??
?b?ab
．

?
?
a
?
b

六、平行证明的模型总结
1.中位线（等分线）模型
A
D
E
B
C

DEBC

2.平行四边形模型
A
B
O
D
C

典型例题

一．选择题（共10小题）
1．（2016?渝中区校级模拟 ）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四
个命题

①a∥b，a∥α?b∥α；②a⊥b，a⊥α?b∥α；

③a∥α，β∥α?a∥β；④a⊥α，β⊥α?a∥β，

其中不正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2015春?惠州期 末）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个
顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能 得出AB∥平面MNP的图形序号是
（ ）


A．①② B．③④ C．②③ D．①④

3．（2011?浙江）若直线l不平行于平面α，且l?α，则（ ）

A．α内存在直线与l异面 B．α内存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交

4．（2015?东 阳市模拟）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同
平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若直线a∥b，b?α，则a∥α B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β

C．若平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β

5．（2017秋?阜城县校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，
PC 上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）

A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能

6．（2014秋?市中区校级期末）已知直线a?α，给出以下三个命题：

①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；

②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；

③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．

其中正确的命题是（ ）

A．② B．③ C．①② D．①③

7．（2015秋?陕西期末） 已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α
∥β的是（ ）

A．a⊥α且a⊥β B．α⊥γ且β⊥γ

C．a?α，b?β，a∥b D．a?α，b?α，a∥β，b∥β

8．（2017秋?龙子湖区校级期中）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内
的（ ）

A．一条直线不相交 B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交

9．（2015?大庆校级模拟）α、β表示平面，a、b表示直线 ，则a∥α的一个充分
条件是（ ）

A．α⊥β，且a⊥β B．α∩β=b，且a∥b
?β

10．（2014?鹿城区校级一模）直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直
线（ ）

A．只有一条，不在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内

D．有无数条，一定在平面α内

C．a∥b，且b∥α D．α∥β，且a

二．填空题（共2小题）
11．在空间四边形ABCD中，如图所示.
系是 ．

=，=，则EH与FG的位置关

12．（2012秋?江阴市校级期中 ）空间四边形ABCD中，E，F，H，G分别为边AB，
AD，BC，CD的中点，则BD与平面EF GH的位置关系是 ．

三．解答题（共3小题）
13．四棱锥P﹣AB CD中，AB=AD，∠BAD=60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的
中点，求证：平面P CD∥平面FEB．


14．如图，正方体ABCD﹣A
1
B1
C
1
D
1
．

（1）求证：AD
1
∥平面BDC
1

（2）求证：平面A B
1
D
1
∥平面BDC
1
．

15．在正方体ABCD﹣A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，E，F，G，H分别是 棱D
1
C
1
，B
1
C
1
，AB，AD的中点，求证：平面D
1
B
1
A∥平面EFGH．





点、线、面之间的位置关系——平行关系

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列命题中，假命题是






A. 平行于同一条直线的两个平面平行
B. 平行于同一个平面的两个平面平行
C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线平行
2. ，， 表示直线， 表示平面，给出下列四个命题：
①若
②若
③若
④若
，
，
，
，
，则
，则
，则
，则
；
；
；
．

B. 个 C. 个 D. 个
其中正确命题的个数有


A. 个

3. 设



， 是不同的直线，， 是不同的平面，有以下四个命题
，
，
，则
，则


B. 若
D. 若
，
，

，则
，则


A. 若
C. 若

4. 若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的
位置关系是



A. 平行
C. 异面
5. 过平行六面体
行的直线共有


A. 条
6. 已知



A. 若
C. 若

B. 条 C. 条 D. 条




B. 相交
D. 平行、相交或异面
任意两条棱的中点作直线，其中与平面 平
， 是两条不同的直线，，， 是三个不同平面，下列命题中正确的是
，
，
，则
，则
B. 若
D. 若
，
，
，则
，则
7. 设 ，， 是三个互不重合的平面， 是直线，给出下列命题
①若 ，，则 ；
； ②若 上两点到 的距离相等，则
③若
④若
，
，
，则
，
；
，则

B. ②③

．
其中正确的命题是


A. ①②
8. 下列命题中，正确的是

线


C. ②④ D. ③④
A. 若 ， 是两条直线，， 是两个平面，且 ，，则 ， 是异面直
B. 若 ， 是两条直线，且 ，则直线 平行于经过直线 的所有平面
C. 若直线 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行

D. 若 ，点 ，则平面 内经过点 且与直线 平行的直线有
且只有一条

9. 已知
是





A. 若
B. 若
C. 若
D. 若
， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的

，
，
，
，
，则
，
，
，则

，则
，则

10. 下列命题正确的是






A. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B. 若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行
C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
11. 已知

， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，下列命题中正确的是



A. 若
C. 若
，
，
，则
，则


B. 若
D. 若
，
，
，则
，则


12. 已知 ，， 为三条不同的直线，，， 为三个不同的平面，则下列判断正确
的是




A. 若
B. 若
C. 若
D. 若

，
，
，
，
，则
，
，
，

，则
，则
，


，则


二、填空题（共5小题；共25分）
13. 设 表示直线，， 表示平面，给出下列四个结论：




① 如果
② 如果
③ 如果
④ 如果
行．


，那么 内有无数条直线与 平行；
，那么 内任意的直线与 都平行；
，那么 内任意的直线与 都平行；
，对于 内的一条确定的直线 ，在 内仅有唯一的直线与 平
其中正确结论的个数为 ．

14. 设 ，， 是三个不重合的平面， 是直线，给出下列四个命题：






①若
②若
，
，
，则
，则
；
；
； ③若 上有两点到 的距离相等，则
④若 ，，则 ．
其中正确命题的序号是 ．

15. 已知 ， 是两个不重合的平面，， 是两条不同的直线，给出下列四个命题：
① 若
，

，
，则
，则 ；②若
，
，
，
，则
，则
；③ 若 ，
；④ 若 ．其中为真命题
的是 ．（填序号）
16. 已知 ，， 是三条不同的直线，，， 是三个不重合的平面，现给出以下命
题：




①
②
③
④
，
，
，
，
；
；
；
．

其中正确的命题是 ．（填序号）
， 是两条不同的直线， 是一个平面，有下列四个命题：
，
，
，
，
，则
，则
，则
，则
；
；
；
．
17. 设





① 若
②若
③若
④ 若
其中是真命题的有 ．（填序号）


三、解答题（共5小题；共65分）
18. 如图，三棱锥
．
被一平面所截，截面为平行四边形 ，求证：

19. 如图，在四棱锥
， 分别是 ，
中，
的中点．
，，，

（1）求证：
（2）

20. 如图所示，在直三棱柱
点 是 的中点．
．
；
中，，，，，

（1）求证：
（2）求证：

21. 如图，在四棱锥
；
．
中，底面 为直角梯形，，，
，， 为 的中点．

（1）求证：
（2）若点

在棱
；
上，设 ，试确定 的值，使得 ．

22. 如图，在正方体 中， 是棱 的中点．

（1）证明：
（2）证明：


．
；
点、线、面之间的位置关系——垂直关系
知识讲解
一、线面垂直
1.定 义：
如果一条直线和一个平面相交于点
O
，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂< br>直，则称这条直线与这个平面互相垂直．
1）这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．
2）垂线上任意一点 到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做
这个点到平面的距离．
3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．
4）画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图．
l
?

直线
l
与平面
?
互相垂直，记作
l?
?
．
2.线面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这
个平面垂直．
符号语言表述：
l?a,l?b,a,b?
?
,ab?A? l?
?

图像语言表述：
l
a
l


b
p
n
?
α
A
m
3.线面垂直的性质定理：
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两 条直线平行．

符号语言表述：
a?
?
,b?
?
?ab

图像语言表述：
a
b


?
4.线面垂直的性质
（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线.
（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个
平面；
（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
（4）垂直于同一直线的两个平面平行.
5.证明线面垂直的方法
（1）线面垂直的定义
（2）线面垂直的判定定理（
a?b,a?c,b?
?
,c?
?
,bc?M?a?
?
）
（3）平行线垂直平面的传递性（
ab,b?
?
?a?
?
）
（4）面面垂直的性质（
?
?
?
,
??
?l,a?
?
,a?l?a?
?
）
（5）面面平行的性质（
a??
,
??
?a?
?
）
（6）面面垂直的性质（
??
?l,
?
?
?
,
?
?
?
? l?
?
）
二、面面垂直
1.定义：
如果两个相交平面的交线与第 三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所
得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.
2.平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互
相垂直.
符号语言表述：
m?
?
,m?
?
?
?
?
?


图像语言表述：

m
?
?

3.面面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线
垂直 于另一个平面.
符号语言表述：
?
?
?
,
?
图像语言表述：
?
?l,m?
?
,m?l?m?
?

m
?
l



?
4.面面垂直的性质
（1）两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面.
（2）两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内.
5.证明面面垂直的方法
（1）面面垂直的定义
（2）面面垂直的判定定理（?
?
?
,a?
?
?
?
?
?
）
三、垂直模型总结
1.勾股定理
A
c
b
C
a
B

a
2
?b
2
?c
2
?AC?CB

2.等腰三角形三线合一

A
B
D
C

AB?AC,D
为
BC
重点
?AD?BC

3.直径所对的圆周角为直角
B
D
A
C

BD?CD?AD?BA?AC

4.菱形对角线垂直平分
B
A
O
C
D

在菱形
ABCD
中
?BD?AC

5.正方形、矩形临边垂直
A
D
B
C

AB?BC,BC?CD

6.正方形中点连线垂直

A
D
E
B
FC

在正方形
ABCD
中，
E,F
为
CD,BC
的中点
?
AE?DF

7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面
DF
E
A
C
B

在直三棱柱中
?AD?< br>面
ABC
,
AD?AB,AD?BC,AD?AC

典型例题
一．选择题（共10小题）
1．（2018?云南模拟）在正方体ABCD﹣A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，点P是线段BC
1
上任意一点，
则下列结论中正确的是（ ）

A．AD
1
⊥DP B．AP⊥B
1
C C．AC
1
⊥DP D．A
1
P⊥B
1
C

2．（2018春?武邑县校级月考 ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正
三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥B D，则下列结论不一定成立的是（ ）


A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD

C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD

3．（2016秋?湖北期末）如图，四边形ABCD是圆柱的轴 截面，E是底面圆周上
异于A、B的一点，则下面结论中错误的是（ ）
A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥CE D．面ADE⊥面BCE

4．（2016秋?杭州期末）如图所示，四边形ABCD中，A D∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，
∠BAD=90°，将

△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（ ）


A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC

5．（2017春?昆都仑区校级期中）如图，△ABC是直角三角 形，∠ABC=90°，PA
⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4

6．（2017?青州市模拟）如图，在三棱锥A ﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，
∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD= 40，则AB=（ ）


A．10 B．20 C．30 D．40
< br>7．（2017秋?赣州期中）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下
列命题正 确的是（ ）

A．若m?α，n?β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

D．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α

8．（2015秋?临海市校级月考）在 三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△
BCD是锐角三角形，那么必有（ ）

A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD

9．（2014秋?兴庆区校级期末）两个平面平行的条件是（ ）

A．一个平面内一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面

10．（2015秋?东昌区校级 期中）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足
为O，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的（ ）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

二．填空题（共4小题）
11．过平面外两点，可作 个平面与已知平面平行．

12．（2015春?上海校级期末）点P为△ABC所在平面外一 点，PO⊥平面ABC，
垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的 心．

13．（2015春?上海校级期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的 高
AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC= ．


14．直角△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P 到斜
边AB的距离是 ．

三．解答题（共2小题）
15．如图所 示，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧棱AA
1
⊥底面ABC，AB=AC=1，
AA
1
=2，∠B
1
A
1
C
1
=90°，D为BB
1
中点，求证：AD⊥平面A
1
DC
1
．

16．（2017秋?东湖区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是AA
1
的中点，求证 ：

（Ⅰ）A
1
C∥平面BDE；

（Ⅱ）平面A
1
AC⊥平面BDE．



点、线、面之间的位置关系——垂直关系
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知两条直线



A.
2. 已知



A.
B.
，
，
，
，
，


B. C. D.
和两个不同平面 ，若 ，则
， 为两条不同的直线，， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

C.
D.
，
，


，，
，
3. 用 ，， 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：①若
则 ；②若
，则


A. ①②
4. 在 中，
，，则 ；③若

C. ①④
，

C.
，，
，，则 ；④若
．其中真命题的序号是
B. ②③
，
D. ③④
， 是
边上的一动点，则


A.
的最小值为
B. D.
5. ， 表示两个不同的平面， 表示既不在 内也不在 内的直线，存在以下三种
情况：① ；② ；③ .若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命

C. D.
题，则其中正确命题的个数为


A.
6. 设
是





A. 若
B. 若
C. 若
D. 若
7. 已知
立的是
A. ，且
B.
， 是两条不重合的直线，， 是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的

，
，
，
，
，
，
，
，
，则
，则
，则
，则




是平面 的一条斜线，直线 过平面 内一点 ，那么下列选项中能成

B. ，且

C. ，且 D. ，且
，，8. 若 ， 是两个不同的平面， 是一条直线，给出下列命题：①若
则



；②若 ，，则 ．则
A. ①②都是假命题
C. ①是假命题，②是真命题
9. 设 ，， 为平面，，， 为直线，则
B. ①是真命题，②是假命题
D. ①②都是真命题
的一个充分条件是
B.
D. ，
，
，
，

的一个充分条




A.
C.
，
，，
，


10. 设 ，， 是三条不同的直线，， 是两个不同的平面，则
件为


A.
C.
，
，



B.
D.
，
，
，




二、填空题（共4小题；共20分）
11. 已知三个互不重合的平面 ，， 和两条不同的直线 ，，且
，


，给出下列四个结论：① ；② ；③
，
；④
，
．
其中正确的结论是 ．（填序号）

12. 已知 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不重合的平面，那么下列条件中能
使



13. 若 ， 是两个相交平面，则在下列命题中，正确的命题是 ．（填
序号）





14. 如图，四边形
且
序号）
① ；②
．
；③ ；④
是边长为 的正方形，
， 为
，，
①若直线
②若直线
③若直线
④若直线
，则在平面 内，一定不存在与直线 平行的直线；
垂直；
①
③
的是 ．（填序号）
，
，
；②
；④ ，
，
．
，；
，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线
，则在平面 内，不一定存在与直线
，则在平面 内，一定存在与直线
垂直的直线；
垂直的直线．
的中点，则下列结论中正确的是 ．（填



三、解答题（共5小题；共80分）
15. 如图，直三棱柱
别为 ， 的中点，
（侧棱垂直于底面的棱柱）中，
，求证：．
，， 分

16. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为侧棱 的中点．

（1）求证：
（2）若

17. 如图，在正方体
、 、
平面
，
；
，求证：．
、 分别是棱 中， 、 、 、 、
、 、 、 的中点．求证：

（1）直线
（2）直线

平面
平面
；
．
中，，， 分别为
沿 折起到
，， 上的点，18. 如图 1，在边长为 的正三角形
且满足 ．将
，连接 ，
的位置，使
．（如图 2）

（1）若 为
（2）求证：

中点，求证：
．
；

19. 如图， 是平行四边形，已知
．
，，，平面

（1）证明：
（2）若


．
，求三棱锥 的高．

直线的方程
知识讲解
一、两点之间的距离公式
1.已知
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
d(A,B )?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y1
)
2

y
B
2
A(x
1
, y
1
)
A
1
A
2
B(x
2
,y< br>2
)
C
B
1
x

原理：
由原点与任 意点的距离导出两点间的距离公式：
O
、
A
两点间的距离通常用
d( O,A)
表示．由勾股定理可知：
d(O,A)?x
2
?y
2
．若为任意两点
A(x
1
,y
1
)
，
B(x2
,y
2
)
，从点
A
和
B
分别向x
轴 和
y
轴作垂线
AA
1
、
AA
2
和
BB
1
、
BB
2
，垂足分别为
A
1
(x
1
,0)
、
A
2
(0,y
1)
、
B
1
(x
2
,0)
、
B
2
(0,y
2
)
，其中直线
BB
1
和
AA
2
相交于点
C
，由勾股定理得：
AB?AC?BC
?x2
?x
1
?y
2
?y
1
，从而得到平面直角坐 标系中任意两点间的距离公
222
22
式．
2.中点公式：已知
A (x
1
,x
2
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则中点坐标为：
x?
x
1
?x
2
y ?y
2
，
y?
1

22
二、直线的方程
1.直线的斜率：
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)

x
2
?x
1
关系：直线斜率< br>k
越大，反映直线相对于
x
轴倾斜程度越大；反之，直线的斜率
k越小，反
映直线相对于
x
轴倾斜程度越小．除去垂直于
x
轴的直 线外，只要知道直线上两个不同点的
坐标，有
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)
就可以算出这条直线的斜率．方程
y?kx?b
的图象是通过点
x
2
?x
1
(0,b)且斜率为
k
的直线．
求斜率的步骤：
1）给直线上两点的坐标赋值：
x
1
??,x
2
??,y
1
??,y
2< br>??;

2）计算
x?x
2
?x
1
,y?y
2
?y
1
;

3）如果
x?0,
则判定“斜率
k
不存在”；

4）如果
x?0,
计算
k?
5）输出斜率
k
．
y
y
2
?y
1
；
?
xx
2
?x
1
2.直线的倾斜角
1）定义：< br>x
轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与
x
轴
平行或重合的直线的倾斜角为零度角．
2）斜率与倾斜角的关系
由斜率
k
的定义可知：当
k?0
时，直线平行于
x
轴或与
x
轴重合．
当
k?0
时，直线的倾斜角为锐角；
k
值越大，直线的倾 斜角也随着增大．
当
k?0
时，直线的倾斜角为钝角；
k
值越大， 直线的倾斜角也随着增大．
垂直于
x
轴的直线的倾斜角等于
90?
．
3.直线的方程与方程的直线的概念
概念：一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条 直线上的点，反之，这条直线上点
的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直 线叫做这个方程的直
线．由于方程
y?kx?b
的图象是一条直线，因而我们今后就常 说直线
y?kx?b
．
直线方程的几种形式：
1）点斜式方程：
y?y
0
?k(x?x
0
)

2）斜截式方程：
y?kx?b

3）两点式方程：
4）截距式：
y?y
1
x?x
1

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
??1
；
ab
5）一般式：
Ax?By?C?0
（
A
、
B
不全为零）
直线的五种形式的比较：
名称
点斜式
方程的形式
y?y
0
?k(x?x
0
)

常数的几何意义 < br>(x
0
,y
0
)
是直线上一定点，
k
是斜< br>适用范围
不垂直于
x
轴
率
斜截式
y?kx?b

k
是斜率，
b
是直线在
y
轴上
的截距
不垂直于
x
轴

两点式
y?y
1
x?x
1

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(x
1
,x
2)
是直线上两定点
不垂直于
x
轴和
y
轴
a
是直线在
x
轴上的非零截距，
b
截距式
xy
??1

ab
Ax?By?C?0
不垂直于
x
轴和
是直线在
y
轴上的非零截距
A,B,C
为系数
y
轴，且不过原点
任意位置的直
线
一般式
（
A
2
?B
2
?0
）

三、两条直线的位置关系
已知两条直线的方程为
l
1
：
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
：
A
2
x?B
2
y?C
2
?0

1.两条直线相交、平行与重合条件：
①相交的条件：
A
1
B2
?A
2
B
1
?0

②平行的条件：
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且B
1
C
2
?C
1
B
2
?0

③重合的条件：
A
1
?
?
A
2
，
B
1
?
?
B
2
，
C
1
?
?
C
2
(
?
?0)

2.两条直线垂直的条件：< br>A
1
A
2
?B
1
B
2
?0

【延伸】斜率存在的情况下：两条直线为
l
1
：
y?k
1< br>x?b
1
；
k
1
?k
2
；
l
2
：
y?k
2
x?b
2
相交的条件：
平行的条件 ：
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2；重合的条件：
k
1
?k
2
，
b
1
? b
2
．两条直线垂直的条件：
k
1
k
2
??1
四、点到直线的距离公式
1.点
P(x
0
,y
0< br>)
到直线
l
：
Ax?By?C?0
的距离
d
的计算公式：
d?
y
R(x
1
,y
0
)
Q
O
S(x
0
,
y
2
)
x
Ax0
?By
0
?C
A?B
22

P(x
0
,y
0
)

设
A?0
，
B?0
这时
l
与
x
轴、
y
轴都相交． < br>如图：过
P
(x
0
,y
0
)
作
x< br>轴的平行线，
交
l
于点
R(x
1
,y
0
)
；

作
y
轴的平行线，交
l
于点< br>S(x
0
,y
2
)
，由
Ax
1
?By
0
?C?0
，
Ax
0
?By
2
?C ?0
，
得
x
1
?
?By
0
?C?Ax< br>0
?C
，
y
2
?
，
AB
Ax
0
?By
0
?C
|
，
A
∴
|PR|
?|x
0
?x
1
|
?||PS|?|y
0
?y
2
|
?|
Ax
0
?By
0
?C
|
，
B
2
|RS|?PR?PS
2
A
2
?B
2
??|Ax
0
?By
0
?C|

|A?B|
由三角形面积公式知：
d?|RS|?|PR|?|PS|
，
∴
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A
2
?B
2
，当
A?0
或
B?0
时，以上公式仍适 用．
2.两条平行线
l
1
：
Ax?By?C
1
? 0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
之间的 距离为
d
，则
d?
C
1
?C
2
A?B22
．
五、对称问题
1.求已知点关于点的对称点
P(x',y' )
关于点
Q(x
0
,y
0
)
的对称点为
( 2x
0
?x',2y
0
?y')

2.求直线关于点的对称直线
方法一：利用中点公式可求得点
P(x
0,y
0
)
关于点
A(a,b)
的对称点为
P'(2a? x
0
,2b?y
0
).
求一
条直线关于点
A(a, b)
的对称直线方程时可在该直线上取某个两个特殊点，再求它们关于点
A
的对称点坐 标，然后利用两点式求其直线方程；
方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为
(x,y)
，再求它关于
A(a,b)
的对称
点坐标，而它的对称点在已知直 线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于
x,y
的方程，
即为所求的直线方程。
常见的对称结论有：
设直线
l:Ax?By?C?0,

a)
l
关于
x
轴对称的直线是
Ax?B(?y)?C?0

b)
l
关于
y
轴对称的直线是
A(?x)?By?C?0

c)
l
关于原点对称的直线是
A(?x)?B(?y)?C?0

d)
l
关于
y?x
对称的直线是
Ay?Bx?C?0

e)
l
关于
y??x
对称的直线是
A(?y)?B(?x )?C?0

3.求点关于直线的对称点
1)设
P(x
0
,y
0
)
，
l:Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)
,设
P
关于
l
的对称点的坐标
Q(x,y)
，则
l
是
PQ
的垂直平分线，即
?l;
的中点在< br>l
上，解方程组
A
?
y?y
0
?(?)??1?
B
?
x?x
0
可得
Q
点坐标。
?
x?xy?y
?
A?
00
?B??C?0
?
?22
2)点
A(x,y)
关于直线
x?y?c?0
的对称点
A'
的坐标为
(?y?c,?x?c)
，关于直线
x?y?c?0
的对称 点
A''
的坐标为
(y?c,x?c)
。曲线
f(x,y)?0关于直线
x?y?c?0
的对
称曲线为
f(?y?c,?x?c)?0< br>，关于直线
x?y?c?0
的对称曲线为
f(y?c,x?c)?0
。
常见的结论有：
(1)
A(a,b)
关于
x
轴的对称点为
A'(a,?b);

(2)
B(a,b)
关于
y
轴的对称点为
B'(?a,b);

(3)
C(a,b)
关于
y?x
轴的对称点为
C'(b,a);

(4)
D(a,b)关于
y??x
轴的对称点为
D'(?b,?a);

(5)E(a,b)
关于
x?m
轴的对称点为
E'(2m?a,b);

典型例题

一．选择题（共7小题）
1．（2004?贵州）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（ ）

A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0

2．（2010?安徽）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（ ）

A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0

3．（2005?陕西）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直 线与直线2x+y﹣1=0
平行，则m的值为（ ）

A．0 B．﹣8 C．2 D．10

4．（2003?广东）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（ ）

A． B． C． D．

5．（2009?四川）已知直线l
1
：4x﹣3y+6=0和直线l
2
：x=﹣1，抛物线y
2
=4x 上一
动点P到直线l
1
和直线l
2
的距离之和的最小值是（ ）

A． B．2 C． D．3

6．（2009?上海）已知直线l1
：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l
2
：2（k﹣3）x﹣2y+3= 0
平行，则k的值是（ ）

A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2

7．（2015秋?长葛市期末）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线 l过点P（1，
1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（ ）

A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤ D．k≥4或k≤﹣

二．填空题（共5小题）
8．（2010?江苏一模）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程

是 ．

9．（2007 ?上海）已知l
1
：2x+my+1=0与l
2
：y=3x﹣1，若两直线平 行，则m的值
为 ．

10．（2006?上海）已知两条直线l
1
：ax+3y﹣3=0，l
2
：4x+6y﹣1=0．若l
1
∥l< br>2
，则
a= ．

11．（2014?仁寿县模拟）经过点（2， ﹣1），且与直线x+y﹣5=0垂直的直线方程
是 ．
12．（2017?启东市校级模拟）直线x+a
2
y+1=0与直线（a
2+1）x﹣by+3=0互相垂
直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值为 ．

三．解答题（共3小题）
13．求直线x﹣2y﹣6=0的斜率和在x轴、y轴上的截距．




14．已知点（2，2）在直线y=kx+b上，且原点到该线的距离为1，求直线的方程．






15．已知两直线l
1
：2x﹣y+4=0，l
2
：3x+5y﹣2=0的交点为P，求过点P且过点（ 0，
﹣1）的直线方程．

直线的方程

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知过点



A.
2. 已知直线
B.
与
C.
平行，则系数
D.


和 的直线与直线 平行，则 的值为


A. B. C. D.
3. 已知直线


A.
4. 过点
A.


5. 直线



A. 或
：
和 直线
B.
且平行于直线
B.
互相垂直，则实数 等于
C.
的直线方程为
C.

D.
D.

和直线 ： 平行，则
B.
和 ：
C. 或 D.
6. 直线 ：




7. 已知点
．

互相垂直，则

或 B. 或 C. 或 D. 或 A.
，， 轴上一点 满足 ，那么点 的坐标为

A.
8. 若直线
B.
与直线
C.
平行，则


D.


A. B. C. D.
9. 如果直线 与直线 平行，则系数


A. B. C. D.
10. 已知直线




11. 过点
A.


12. 已知
方程为
，

且与直线
B.
A. 或 或
与直线 平行，则 的值为
B. 或 C. 或 D. 或
平行的直线方程是
C.

D.
，若 的平分线方程为 ，则 所在的直线
A. B. C. D.



二、填空题（共5小题；共25分）
13. 若直线

14. 已知直线
．


与直线
与
垂直，则实数 ．
，若两直线平行，则实数

15. 已知直线 ：

值为 ．
16. 已知直线
．

17. 如图，平面中两条直线 和
别是
标”．
到直线 和
，： 平行，则实数 的
与直线 垂直，则
相交于点 ，对于平面上任意一点
是点
，若 ， 分
的“距离坐 的距离，则称有序非负实数对







给出下列四个命题：
① 若
② 若
③ 若
④ 若
，则“距离坐标”为
，且
的点有且仅有 个．
的点有且仅有 个． ，则“距离坐标”为
，则“距离坐标”为
，则点
的点有且仅有 个．
的轨迹是一条过 点的直线．
其中所有正确命题的序号为 ．


三、解答题（共5小题；共65分）
18. 求经过直线

垂直的直线方程．
和 的交点且与直线

19. 已知直线
（1）若
（2）若

20. 求经过

21. 求与直线

22. 已知点 和
与





：
到直线 的距离相等，且直线 过两直线
的交点，求直线 的方程．
：
平行且过点 的直线 的方程．
，且与直线 垂直的直线 的方程．
，求实数
，求实数
的值；
的值．
，．
直线与圆的位置关系
知识讲解
一、直线与圆的位置关系
位置关系有三种：
相交、相切、相离

判断直线与圆的位置关系
：

1
）代数法：将直线方程与圆的方程联 立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另
一个元的一元二次方程，求出其
?
的值，然后比较判别式
?
与
0
的大小关系，

若
??0
，则直线与圆相离

若
??0
，则直线与圆相切

若
??0
，则直线与圆相交

2
）几何法：利用圆心到直线 的距离
d
和圆的半径
r
的大小关系：
d?r?
相交，
d?r?
相
切，
d?r?
相离．

二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法
1
）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．

2
）代数方法：运用韦达定理及弦长公式
AB?1?k
2
x
A
?x
B
?(1?k
2
)[(x
A
?x
B
)
2
?4x
A
x
B
]

说明：
圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．

三、圆与圆的位置关系的判定
判定：
设
C
1
:(x?a< br>1
)
2
?(y?b
1
)
2
?r
1< br>2
(r
1
?0),C
2
:(x?a
2
)2
?(y?b
2
)
2
?r
2
2
(r< br>2
?0)
，则有：

C
1
C
2
?r
1
?r
2
?C
1
与
C
2
外离
C
1
C
2
?r
1
?r
2
? C
1
与
C
2
外切

r
1
?r2
?C
1
C
2
?r
1
?r
2
?C
1
与
C
2
相交

C
1
C2
?r
1
?r
2
(r
1
?r
2
)?C
1
与
C
2
内切

C
1
C
2
?r
1
?r
2
?C
1
与
C2
内含

四、圆的切线方程问题
1.求圆切线的方法
a)
过圆
x
2
?y
2
?r
2
上一点
( x
0
,y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y< br>0
y?r
2

已知圆的方程是
x
2
?y2
?r
2
，求经过圆上一点
M(x
0
,y
0< br>)
的切线方程．

y
M
Ox

解：当点M
不在坐标轴上时，设切线的斜率为
k
，半径
OM
的斜率为k
1
，

∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴
k??
∴ 经过点
M
的切线方程是
y?y
0
??
22
?y0
整理得：
x
0
x?y
0
y?x
0
，

22
?y
0
?r
2
，

又∵ 点
M(x
0
,y
0
)
在圆上，∴
x
0y
0
x
0
1
，又∵
k
1
?
， ∴
k??
，

k
1
x
0
y
0x
0
(x?x
0
)
，

y
0
∴所求的切线方程是
x
0
x?y
0
y?r
2
．
注：
当点
M
在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用．

b)
求过圆外一点
(x
0
,y
0
)
的圆的 切线方程：

几何方法
:

设切线方程为
y?y
0
?k(x?x
0
),
即
kx?y?kx
0
?y0
?0.
由圆心到直线的距离等于
半径，可求得
k
，切线方程即 可求出．

代数方法：
设切线方程为
y ?y
0
?k(x?x
0
),
即
kx?y?kx
0< br>?y
0
?0.
代入圆的方程，得到一个
关于
x
的一元 二次方程，由
?0
求得
k
，切线方程即可求出．

2.圆的切线方程常见结论
a)
已知
O
1
:x
2
?y
2
?r
2
,
2
O?a)
2
? (y?b)?
2
r,
2
:(x
3
O:
2
x ?
2
y?D?xE?y?F0,
以则
M(x
0
,y
0
)
为切点的
O
1
的切线方程
xx
0
?y y
0
?r
2
;
(x?a)(x
0
?a)?(y?b )(y
0
?b)?r
2
,
O
2
的切线方程

O
3
切线方程
xx
0
?yy
0
?
D(x?x
0
)E(y?y
0
)
??F?0

22
b)
已知圆的
x
2
?y
2
?r
2
的切线斜率为
k
，则圆的切线方程为
y?kx?rk
2
?1

c)
已知切线过圆外一点
P(x
1
,y
1
)
,
可设切线方程为
y?y
1
?k(x?x
1
),
利用相切条件确定斜率
k
，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线．

d)
切线段长公式：从圆外一点
P(x
0
,y
0
)
引圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的切线，则
P
到切点的切
线段长为
d?(x?x
0
)
2
?(y?y
0
)
2
?r
2
；从圆外一点
P(x
0
,y
0
)
引圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的切线，则
P
到切点的切线段长为
d?x
0
2
?y
0
2
?Dx
0
?Ey
0
?F

五、圆系方程
概念：
具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．

1
）同心圆系< br>(x?x
0
)
2
?(y?y
0
)
2
?r
2
,x
0
,y
0
为常数，
r
为参数．

2
）圆心共线且半径相等圆系
(x?x
0
)
2< br>?(y?y
0
)
2
?r
2
,
r
为常 数，圆心
(x
0
,y
0
)
在直线
ax?by?c? 0
上移动．

3
）过两已知圆
f
i
(x,y)?x
2
?y
2
?D
i
x?E
i
y?F
i
?0(i?1,2)
的交点的圆系方程为
x
2
?y
2?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x< br>2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
即
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0(
?
??1)
．

当
?
??1< br>时，方程变为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
? E
2
)y?F
1
?F
2
?0,
表示过两圆的交点的 直线（当两
圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，
此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．

4
）过直线与圆交点的圆系方程

设直线
l:Ax?By?C?0< br>与圆
C:x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
相交，则 方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?B y?C)?0
表示过直线
l
与圆
C
的两个交点的圆系方程．

典型例题
一．选择题（共5小题）
1．（2014?浙 江）已知圆x
2
+y
2
+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的 长度为4，
则实数a的值是（ ）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8

2．（2015?山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x +3）
2
+
（y﹣2）
2
=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）

A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣

3．（2015? 广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x
2
+y
2
=5相切的直线的方程 是（ ）

A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0
=0或2x+y﹣=0

=0

D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣
4．（1993?全国）圆x
2
+y
2
=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（ ）

A．6 B．4 C．5 D．1

5．（2014?湖南）若圆C1
：x
2
+y
2
=1与圆C
2
：x
2
+y
2
﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（ ）

A．21 B．19 C．9 D．﹣11

二．填空题（共4小题）
6．（2017?山西一 模）已知点P在单位圆x
2
+y
2
=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10= 0
与x=3的距离分为d
1
、d
2
，则d
1
+d< br>2
的最小值是 ．

7．（2017?江苏模拟）若直线x+
AB的长度等于 ．

8． 过两圆x
2
+y
2
=1和x
2
+y
2
+2 x=0的交点且过点（3，2）的圆的方程为 ．

9．圆的方程为x
2
+y
2
﹣6x﹣8y=0，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线
方程 为 ．

y﹣2=0与圆x
2
+y
2< br>=4相交于A，B两点，则弦
三．解答题（共3小题）
10．已知圆M：x
2
+y
2
=10和圆N：x
2
+y
2
+2x+2y﹣ 14=0．求过两圆交点且面积最小
的圆的方程．

11．求面积为10π，且经过两圆x
2
+y
2
﹣2x+ 10y﹣24=0和x
2
+y
2
+2x+2y﹣8=0的交
点的圆的 方程．




12．求直线x+y﹣8=0被圆x
2+y
2
﹣4x﹣8y﹣80=0所截得的弦长．


直线与圆位置关系

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 直线



2. 直线

定

3. 已知圆 与抛物线 的准线相切，则
A. 相离
与圆
B. 相交
的位置关系是
C. 相切

D. 无法判
A. 或
与圆
B. 或
相切，则 的值是
C. 或

D. 或


A. B. C. D.
4. 平面直角坐标系中，圆 经过原点 ，点
中点坐标为



A.
C.
5. 直线



，

B.
D.
，若圆 的一条弦 的
，则


与圆
所在直线的方程为



D. 内切
的位置关系是
B. 外切 C. 相交 A. 外离

6. 圆
为



7. 以点



A.
C.
8. 圆


A.
9. 直线
为圆心且与直线


与曲线
B.
与圆
A.

B.
截直线 所得弦长为 ，则 的值
C. D. 或
相切的圆的方程是
B.
D.
的公共点个数为
C.
相交所得弦长为




D.



A. B. C. D.
10. 已知圆
则 的取值范围是
，从点

观察点 ，要使视线不被圆 挡住，
A.




B.
C.
D.
11. 已知过原点的直线



与直线 垂直，圆
，若直线 与圆 交于
的面积最大时，圆心 的坐标为
的方程为
， 两点，则当

A. B. C. D.
12. 要在边长为 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设
每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最
少是
A.

B. C. D.


二、填空题（共5小题；共25分）
13. 若直线

是 ．
14. 设直线 与圆
，则圆 的面积为 ．

15. 以点

为圆心且与直线 相切的圆的方程
相交于 ， 两点，若
与圆 相切，则 的值
为 ．
16. 若直线
．
与圆 相切，则实数

17. 由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值
为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
18. 一直线 过直线
垂直．
（1）求直线 的方程；
（2）若直线 与圆

19. 求圆心为

20. 已知圆 ，直线 过定点 ．
，且截直线 所得弦的弦长为 的圆的方程．
相切，求 ．
和直线 的交点 ，且与直线
（1）若 与圆 相切，求 的方程；
（2）若 与圆 相交于 ， 两点，求
的方程．（其中点 是圆的圆心）

21. 如图，圆 与 轴相切于点
点 的下方），且 .
，与 轴正半轴相交于两点 ，（点 在
的面积的最大值，并求此时直线

（1）求圆 的方程；
（2）过点 任作一条直线与椭圆 相交于两点 ，，连接 ，，
求证：

．
22. 已知圆满足以下三个条件：


（）截 轴所得的弦长为 ；
（）被 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 ；

（）圆心到直线 ：
求该圆的方程．
的距离为 ．

圆的方程
知识讲解
一、圆的标准方程
⑴以点
C(a,b)
为圆心，
r
为半径的圆的方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

⑵圆心在原点的圆的标准方程：
x
2
?y
2< br>?r
2

二、圆的一般方程
（
D
2
?E
2
?4F?0
）①

方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
，
说明：
⑴
x
2
和
y
2
项的系数相等且都不为零；

⑵没有
xy
这样的二次项．

⑶表示以
(?
DE1
,?)
为圆心，
D
2
?E
2
?4F
为半径 的圆．

222
DE
a)
当
D
2
?E2
?4F?0
时，方程①只有实根
x??
，
y??
，方 程①表示一个点
22
DE
(?,?)

22
b)
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程①没有实根，因而它不表示 任何图形

三、圆的参数方程
?
x?a?rcos
?
概念 ：
?
y?b?rsin
?
,(
?
为参数
)
叫做圆的参数方程．特别地，当
a?b?0,
即圆心在原点，
?
?
x ?rcos
?
,(
?
为参数
)
．圆的参数方程，其实质是三 角换元．当涉及有圆的参数方程式为
?
y?rsin
?
?
关最值或取 值范围问题时，可设圆上的点参数，这样可把代数问题转化为三角问题，然后利
用三角知识来处理．
四、圆心的三个重要的几何性质
1.
圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

2.
圆心在模一条弦的中垂线上．

3.
两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

五、判断点与圆的位置关系的方法
1.
圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，圆心
A(a,b)
，半 径
r
，若点
M(x
0
,y
0
)
在圆上，则
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
；若点
M(x
0
,y
0
)
在圆外 ，则
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2< br>?r
2
；若点
M(x
0
,y
0
)
在 圆内，则
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
．反之，也成立．

2. 利用几何法来判断点与圆的位置 关系．当点
M
到圆心的距离大于圆的半径，则若点
M
在

圆外；当点
M
到圆心的距离小于圆的半径，则若点
M
在圆内；当点
M
到圆心的距离等于
圆的半径，则若点
M
在 圆上．即
AM?r?
点
M
在圆外；
AM?r?
点
M
在圆内；
AM?r?
点
M
在圆上

典型例题
一．选择题（共5小题）
1．（2009?辽宁）已知圆C与直线x﹣y =0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0
上，则圆C的方程为（ ）

A．（x+1）
2
+（y﹣1）
2
=2
2
B．（x﹣1）
2
+（y+1）
2
=2 C．（x﹣1）
2
+（y﹣1）
=2 D．（x+1）
2
+（y+1）
2
=2

2．（2016? 北京）圆（x+1）
2
+y
2
=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）

A．1 B．2 C． D．2

3．（2015?新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，
接圆的圆心到原点的距离为（ ）

A． B． C． D．

），C（2，）则△ABC外
4．（ 2015?漳州二模）圆（x﹣1）
2
+（y﹣2）
2
=1关于直线y=x对 称的圆的方程为
（ ）

A．（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=1 B．（x+1）
2
+（y﹣2）
2
=1
D．（x﹣1）
2
+（y+2）
2
=1

C．（x+2）< br>2
+（y﹣1）
2
=1
5．（2015?北京）圆心为（1，1）且过 原点的圆的标准方程是（ ）

A．（x﹣1）
2
+（y﹣1）
2
=1 B．（x+1）
2
+（y+1）
2
=1 C．（x+1）
2
+（y+1）
2
=2
D．（x﹣1）
2
+（y﹣1）
2
=2

二．填空题（共4小题）
6．（2015?浦东新区一模）若关于x，y的方程x
2
+y
2
﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实
数m的取值范围是 ．

7．（2005?上海）直角坐标平面xOy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y） 满足
，则点P的轨迹方程是 ．

8．（2016春?泉州校 级期末）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的
圆的方程是 ．

9．（2015?上海学业考试）以（2，6）为圆心，1为半径的圆的标准方程

为 ．

三．解答题（共3小题）
10．已知定点A（1，2）在圆x
2
+y
2
+kx+2y+k
2
﹣15=0的外部，求k的取值范围．



11．求出下列圆的方程，并画出图形：

（1）圆心在点C（﹣1，1），过直线x+3y+7=0与3x﹣2y﹣12=0的交点；

（2）过点A（﹣1，1）和D（1，3），圆心在x轴上；

（3）已知点A（﹣2，4），B（8，﹣2），且AB为圆的直径．




12．求过三点A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（1，0）的圆的方程．


圆的方程

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 圆心为



A.
C.
2. 设圆的方程是
关系是

定

3. 当 为任意实数时，直线
半径为
A.
的圆的方程为


B.
恒过定点 ，则以 为圆心，

B. 原点在圆外 C. 原点在圆内 D. 不能确
且过原点的圆的方程是



B.
D.
，若


，则原点与圆的位置
A. 原点在圆上

C.
4. 已知圆心是
D.


并且与 轴相切，则该圆的方程是


B.
D.



A.
C.

5. 圆心在 轴上且通过点
A.


6. 若圆 的圆心到直线 的距离为 ，则 的值
B.
的圆与 轴相切，则该圆的方程是
C.

D.
为
A. B. C. D.


7. 若当方程
的倾斜角
所表示的圆取得最大面积时，则直线



A. B. C. D.
8. 若圆
经过

限

9. 若

的圆心位于第三象限，则直线 一定不
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
表示一个圆的方程，则 的取值范围是
A. B. C. D.


10. 已知圆
别是圆

：
，圆
，圆 ：．点 ， 分
上的动点， 为 轴上的动点，则 的最大值是

A.

11. 若点
B. C. D.

在圆 的内部，则 的取值范围是
A. B. C. D.


12. 圆


A.
C.
关于直线


对称的圆的方程是
B.
D.





二、填空题（共5小题；共25分）
13. 已知圆 的圆心位于第二象限且在直线
相切，则圆 的标准方程为 .

14. 已知圆


16. 过圆 和 的交点，且圆心在直线
经过 ， 两点，圆心在 轴上，则 的方程
上，若圆 与两个坐标轴都
为 ．
15. 已知点 ，，则以线段 为直径的圆的方程为 ．
上的圆的方程为 ．

17. 若点 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 处的切线方程
为 ．


三、解答题（共5小题；共65分）
18. 求圆

19. 已知 表示一个圆．
关于直线 的对称圆方程．

（1）求 的取值范围；
（2）若

20. 求以

21. （1）已知圆心在 轴上的圆 与 轴交于两点
程；
（2）求过点

程．
22. 已知圆的半径为
，求圆的方程．




，圆心在直线 上，圆被直线 截得的弦长为
，，且圆心 在直线 上的圆的标准方
，，求圆的标准方
、 为一条直径的两端点的圆的方程．
，求该圆圆心坐标和半径．