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高一数学试题四
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选
择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要
求的）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过三点确定一个平面 B.
经过一条直线和一个点确定一个平面
C. 四边形确定一个平面 D.
两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
x
2. 下列哪个函数的定义域与函数
f
?
x
?
?
?
?
1
?
?
5
?
?
的值域相同（ ）
A.
y?x?2x
B.
y?lnx?2x
C.
y?
1
x
D.
y?x?
1
x
3. 已知集合
A?
?
?
x|log1
?
?
，
B?
?
x|2
x1
x??
?2
?
，则
AUB?
（ ）
?
2
?
A.
?
?
1
?
?
2
,2
?
?
B.
?
?
1
?
2
,??
?
?
?
C.
?
0,??
?
D.
?
0,2
?
4.
已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（ ）
A. 1 B.
2
C.
3
D. 2
5. 已知函数
f
?<
br>x
?
?x
2
?x?a
在区间
?
0,1
?
上有零点，则实数
a
的取值范围是（ ）
A.
??
??,
1
?
?
?
4
?
B. ?
?
??,
1
?
?
4
?
?
C.
?
?2,0
?
D.
?
?2,0
?
6. 函数
f
?
x
?
?a
x?1
?
a?0,a?1
?
的图象恒过点
A
，则下列函数中图象不经过点
A
的是（ ）
A.
y?1?x
B.
y?x?2
C.
y?2
x
?1
D.
y?log
2
?
2x
?
7. 正四面体
ABCD
中，
E
，
F
分别为棱
AD
，
BC
的中点，则异面直线
EF
与
CD
所成的角为（ ）
A.
?
?
6
B.
4
C.
?
3
D.
?
2
8. 已知函数
y?
log
2
1
?
x?ax?3a
?
在
?
2,
??
?
上为减函数，则实数
a
的取值范围是（ ）
2
A.
a?4
B.
a?4
C.
a??4
或
a?4
D.
?4?a?4
9.
某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点
P
与点
Q
在正视
图
与侧视图上的对应点分别为
A
，
B
，则在该几何体表面上，从点
P<
br>到点
Q
的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
5
B.
6
C.
22
D.
10
10. 已
知函数
f
?
x
?
?lnx?1
，
g
?x
?
??x
2
?2x?3
，用
min
?
m,n
?
表示
m
，
n
中最小值，设
h
?
x
?
?min
?
f
?
x
?
,g<
br>?
x
?
?
，则函数
h
?
x
?
的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 已知g
?
x
?
为偶函数，
h
?
x
?
为奇函数，且满足
g
?
x
?
?h
?
x
?
?2
x
.若存在
x?
?
?1,1
?
，使得
不等
式
m?g
?
x
?
?h
?
x
?
?0
有解，则实数
m
的最大值为（ ）
A.
3
5
?1
B.
?
3
5
C. 1
D. -1
12. 无论
x
，
y
，
z
同为三条不
同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法：
①若
xy
，
xz
，则
yz
；②若
x?y
，
x?z
，则
y?z；
③若
x?y
，
yz
，则
x?z
；④若x
与
y
无公共点，
y
与
z
无公共点，则
x
与
z
无公共点；
⑤若
x
，
y
，z
两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个.其中说法正确的序号为（ ）
A. ①③ B. ①③⑤ C. ①③④⑤ D. ①④⑤
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设函数
f
?
x
?
?e
x
?ae
?x
?
a?R
?
，若
f
?
x
?
为奇函数，则
a?
__
____.
14. 一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为
42
3
，则它的侧面积为______.
15. 已知函数
f
?
x
?为定义在
?
2?a,3
?
上的偶函数，在
?
0,3?
上单调递减，并且
f
?
?
?
?m
2
?
a
?
5
?
?
?f
?
?m
2?2m?2
?
，则
m
的取值范围是______.
16. 正
四面体
ABCD
的棱长为4，
E
为棱
BC
的中点，过
E
作其外接球的截面，则截面面积的最小
值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图所示，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
分别是
AB
和
AA
1
的中点.求证：
CE
，
D
1
F<
br>，
DA
交于一点.
18. 已知函数
f
?
x
?
?
x?a
x
2
?bx?1
是定义域为
R
的奇函数.
（1）求实数
a
和
b
的值，判断并证明函
数
f
?
x
?
在
?
1,??
?
上的
单调性；
（2）已知
k?0
，且不等式
f
?
t
2
?2t?3
?
?f
?
k?1
?
?0
对任意
的
t?R
恒成立，求实数
k
的取值
范围.
19. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，<
br>为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大
棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发
现
种西红柿的年收入
P
、种黄瓜的年收入
Q
与投入
a
（单位：
万元）满足
P?80?42a
，
Q?
1
4
a?120
.设甲大棚的投入为
x
（单位：万元），每年两个大棚的总收益为
f
?x
?
（单位：万元）.
（1）求
f
?
50
?
的值；
（2）试问如何安排
甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益
f
?
x
?
最大？
20. 已知幂函数
f
?x
?
?x
3?p
?
p?N
*
?
的图象
关于
y
轴对称，且在
?
0,??
?
上为增函数.
pp
（1）求不等式
?
x?1
?
2
?
?
3
?2x
?
2
的解集；
（2）设
g
?
x
?
?log
a
?
?
f
?
x
?
?ax
?
?
?
a?0,a?1
?
，是否存在实数
a
，使
g
?
x
?
在区间
?
2,3
?
上的最大
值为2，若存在，求出
a
的值，若不存在，请说明理由.
xx
21. 已知函数
f
?
x?
?4?m
?
?
1
?
?
3
?
?
?
?
?
1
?
?
9
?
?
.
（1）当
m??2
时，求函数
f
?
x
?
在
?
??,0
?
上的值域；
（2）若对任意
x?
?
0,??
?
，总有
f
?
x
?
?6成立，求实数
m
的取值范围.
22. 在菱形
ABCD
中，
AB?2
且
?ABC?60?
，点
M
，
N
分别是棱
CD
，
AD
的中点，将四边
形
ANMC
沿着
AC
转动，使得
EF
与
MN
重合，形成如图所示多面体，分别取
BF
，
DE
的中点
P
，
Q
.
（1）求证：
PQ
平面
ABCD
；
（2）若平面
AFEC?
平面
ABCD
，求多面体
ABCDFE
的体积.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1-5：DBCDC
6-10：ABDCC 11-12：AB
1.【解析】A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直
线上，才能确定一个平面；B选项如果点
在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C选项中的四
边形有可能是空间四边形，故选D.
x
2.【解析】函数
f
?
x<
br>?
?
?
?
1
?
?
5
?
?<
br>的值域为
?
0,??
?
，函数
y?x?2x
的定义域
为
R
，
函数
y?lnx?2x
的定义域为
?
0,
??
?
；函数
y?x?
1
x
的定义域为
?
??,0
?
U
?
0,??
?
，
函数
y?
1
x
的定义域为
?
??,0
?
U
?
0,??
?
，故选B.
3.【解析】由
A?
?
?
x|log
?
1
x??1
?
?
?
x|0?x?2
?
，
B?
?
x|2
x
?2
?
?<
br>?
?
1
?
?
2
?
?
x|x?
2
?
?
，则
AUB?
?
0,??
?
，故
选C.
4.【解析】由已知可得
2
?
r?
?
l
，
所以
l?2r
，故
l
r
?2
.故选D.
5.【解
析】函数
f
?
x
?
?x
2
?x?a
的图象
的对称轴为
x??
1
2
，故函数在区间
?
0,1
?
上单调递增，再
根据函数
f
?
x
?
在
?<
br>0,1
?
上有零点，可得
?
?
?
f
?
0
?
?a?0
?
?
f
?
1
?
?
2?a?0
，解
?2?a?0
，故选C.
6.【解析】函数
f?
x
?
?y?a
x?1
?
a?0,a?1
?<
br>的图象恒过点
A
，即
x?1?0
，可得
x?1
，那么
y?1
.
∴恒过点
A
?
1,1
?
.把x?1
，
y?1
带入各选项，只有A没有经过
A
点.故选A.
7.【解析】略
8.【解析】
g
?
x
?
?x2
?ax?3a
，则
g
?
x
?
?x
2
?ax?3a?0
在
?
2,??
?
恒成立，且
g<
br>?
x
?
?x
2
?ax?3a
在
?
2
,??
?
上为增函数，所以
a
2
?2
且
g
?
2
?
?4?a?0
，所以
?4?a?4
.故
选D
.
9.【解析】由题，几何体如图所示
（1）前面和右面组成一面此时
PQ?2
2
?2
2
?22
.
（2）前面和上面在一个平面
此时
PQ?3
2
?1
2
?10
，
22?10
，故选C.
10.【解析】作出函数
f
?
x
?
和
g
?
x
?
的图象如图，两个图象的下面部分图象，由
g
?
x
?
??x
2
?2x?3?0
，得
x??1
，或
x?3
，由
f
?
x
?
?lnx?1?0，得
x?e
或
x?
1
e
，∵
g
?e
?
?0
，∴当
x?0
时，函数
h
?
x
?
的零点个数为3个，故选C.
.【解析】由
g
?<
br>x
?
?h
?
x
?
?2
x
，及
g
?
x
?
为偶函数，
h
?
x
?
为奇函数，得
g
?
x
?
?
2
x
?2
?x
11
2
，
?
2
?x
?2
x
?
2
.由
m?g
?
x
?
?h
?
x
?
?0
得
m?
2
x
?2
?x
2<
br>x
?2
?x
?
4
x
h
?
x
?1
4
x
?1
?1?
2
2
4
x
?
1
，∵
y?1?
4
x
?1
为
增函数，∴
?
?
1?
2
?
3
?
4
x
?1
?
?
?
，故选A.
max
5
12.【解析】由平行于同
一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直
于同一直线的两直线平行、相
交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂
直于两平行直线中的一条，也垂直于
另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得
③正确；若一条直线与另两条直线无公共点
，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面
无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误
.若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，
若三个平面两两相交，则交点有无数
个.故选B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
∵正四面体
ABCD
的棱长为4，∴正方体的棱长为
22
，
可得外接球半径
R
满足
2R?3?22
1
13. -1
14.
43
15.
1?2?m?
16.
4
?
2
13.【解析】若函数
f
?
x<
br>?
?e
x
?ae
?x
为奇函数，则
f
??x
?
??f
?
x
?
，即
e
?x?ae
x
??e
x
?ae
?x
，
??
2
，解得
R?6
.
E
为棱
BC
的中点，过
E
作其外接球的截面，当截面到球心
O
的距离最大时，截面圆的面积达最小
??
值，此时球心
O
到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为
r?R
2
?2?2
，得到
即
?
a?1
?
?
e
x
?e
?x
?
?0
对任意的
x
恒成立，则
a?1?0
，得
a??1
.
14.【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为
2a
，则
S
ABCD
?4a
2
，
h?PB
2
?BO
2
?4a
2
?2a
2
?2a
，
则
V?
1<
br>3
?42a
3
?
4
3
2
，则
a?1
，则
S
?
1
?BC?PF
?
侧
?
??
?
?4?2?2a?4a
2
?a
2
?43a
2
?
2
?43
.
15.【解析】由题设可得
2
?a?3?0
，即
a?5
，故
f
?
?m
2
?1
?
?f
?
?m
2
?2m?2
?
可化<
br>f
?
m
2
?1
?
?f
?
m
2
?2m?2
?
，又
1?m
2
?1?3
，
1?m
2
?2m?2?3
，故
m
2
?1?m
2?2m?2?m?
11
2
，且
m?1?2
.故应填答案
1?2?m?
2
.
16.【解析】将四面体
ABCD
放置于正方体中，如图所示
可得正方体的外接球就是四面体
ABCD
的外接球，
截面圆的面积最小值为
S?
?
r
2
?4
?
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.【解析】
证明：如图所示，连接
CD
1
、
EF、
A
1
B
，因为
E
、
F
分别是
AB
和
AA
1
的中点，
所以
EFA
1
B
且
EF?
1
2
A
CD
1
1
B<
br>.即：
EF
1
，且
EF?
2
CD
1
，
所以四边形
CD
1
FE
是梯形，
所以
CE<
br>与
D
1
F
必相交，设交点为
P
，
则
P?CE
，且
P?D
1
F
，又
CE?
平面
ABCD
，
且
D
1
F?
平面
A
1ADD
1
，所以
P?
平面
ABCD
，
且
P?
平面
A
1
ADD
1
，
又
平面
ABCDI
平面
A
1
ADD
1
?AD
，所以
P?AD
，
所以
CE
、
D
1
F<
br>、
DA
三线交于一点.
18.【解析】
（1）因为
f
?
?x
?
??f
?
x
?，所以
?x?a?x?a
x
2
?bx?1
?
x
2
?bx?1
，
∴
a?b?0
，
f
?
x
?
?
x
x
2
?1
，
任取
x1
,x
2
?
?
1,??
?
，且
x1
?x
2
，
f
?
x?f
?
x
x
1
x
2
?
x?x
?
1
??
x
1
x
2
?1
?
1
?
2
?
?
x
2
?
2
?
2
x
22
， 1
?1x
2
?1
1
?1
??
x
2?1
?
∵
x
?
2
??
2
2
?
x
1
?0
，
x
1
x
2
?1?0
，
x
1
?1x
2
?1
?
?0
，
∴
f
?
x
?
在
?
1,??
?
单调递
减.
（2）
f
?
t
2
?2t?3
?
??
f
?
k?1
?
，
f
?
t
2
?2t
?3
?
?f
?
1?k
?
，
∵
t
2
?2t?3?2
，
1?k?1
，∴
t
2
?2t?
3?1?k
，
即
k??
?
t?1
?
2
?1
，
∵
t??R
，∴
k?
?
?1,0
?
.
19.【解析】
（1）由题可知：甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
所以
f
?
50
?
?80?42?50?
1
4?150?120?277.5
.
（2）依题意得
?
?
x?2
0
200?x?20
?20?x?180
.
?
故
f
?
x
?
??
1
4
x?42x?250
?
20?x?180
?
.
令
t?x?
?
?
25,65
?
?
， 则
f
?
x
?
??
1
2
1
2<
br>4
t?42t?250??
4
?
t?82
?
?282
，
当
t?82
，即
x?128
时，
f
?
x
?
max
?282
，
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，
且最大收益为282万元.
20.【解析】
（1）由已知得
3?p?0
且
p?N
*<
br>，所以
p?1
或
p?2
，
当
p?2
时，<
br>f
?
x
?
?x
3?p
为奇函数，不合题意，
当
p?1
时，
f
?
x
?
?x
2
.
pp11
所以不等式
?
x?1
?
2
?
?
3?2x
?
2
变为
?
x?1
?
2
?
?
3?2x
?
2
，
则
0?x?1?3?2x
，解得
?1?x?
2
3
.
pp
所以不等式
?
x?1
?
2
?
?
3?2x
?
2
的解集为
?
?
?1,
2
?
?
3
?
?
.
（2）
g
?
x?
?log
?
2
a
x?ax
?
，令
h
?
x
?
?x
2
?ax
，由
h
?<
br>x
?
?0
得
x?
?
??,0
?
U<
br>?
a,??
?
，
因为
g
?
x
?在
?
2,3
?
上有定义，所以
0?a?2
且
a
?1
，
所以
h
?
x
?
?x
2
?
ax
在
?
2,3
?
上为增函数，
当
1?a?2<
br>时，
g
?
x
?
max
?g
?
3?
?log
a
?
9?3a
?
?2
，
即
a
2
?3a?9?0
，∴
a?
?3?35
2，又
1?a?2
，
∴
a?
?3?35
2
.
当
0?a?1
时，
g
?
x
?
max
?g
?
2
?
?log
a
?
4?2a
?<
br>?2
，
即
a
2
?2a?4?0
，∴
a??
1?5
，此时解不成立.
综上：
a?
?3?35
2
.
21.【解析】
x
（1）当
m??2
时，设
t?
?
?
1
?
?
3
?
?
，∵
x??
??,0
?
，∴
t?
?
1,??
?
，
∴
y?g
?
t
?
?t
2
?2t?4?
?
t?1
?
2
?3
，对称轴
t?1
，图像
开口向上，
∴
g
?
t
?
在t?
?
1,??
?
为增函数，
∴
g
?
t
?
?3
，∴
f
?
x
?
的值域为
?
3,??
?
.
∴多面体
ABCDFE
可以分解为四棱
锥
B?ACEF
和四棱锥
D?ACEF
，
菱形
ABCD<
br>中，
AB?2
且
?ABC?60?
知：
AC?2
，<
br>BD?23
，
EF?
xx
AC
?1
，
2<
br>?
1
??
1
?
设梯形
EFAC
的面积为S
EFAC
?
1BD33
，
?
EF?AC
?
??
（2）由题意知，
f
?
x
?
?6
在<
br>?
0,??
?
上恒成立，即
m?
?
?
3?
?
?2?
?
?
9
?
?
，
∴
m?2?3
x
?
1
3
x
在
x?
?
0,??
?
恒成立，则只需当
x?
?
0,??
?
时，
m?
?
?
2?3
x
1
?
?
?
3
x
?
?
，
min
设
t?3
x
，
h
?
t
?
?2t?
1
t，由
x?
?
0,??
?
得
t?1
，设
1?t
1
?t
2
，则
h
?
t
1
t
2
?1
?
1
?
?h
?
t
2?
?
?
t
1
?t
2
??
2t
t
?0
，
1
t
2
所以
h
?
t<
br>?
在
?
1,??
?
上递增，
h
?
t
?
在
?
1,??
?
上的最小值为
h
?<
br>1
?
?1
，
所以实数
m
的取值范围为
?
??,1
?
.
22.【解析】
（1）取
BE
中点
R
，连接
PR
，
QR
，
BD
，由
P
，
Q
分别是
BF
，
DE
的中点，
∴
PREF
，
QRBD
，
又∵
EFAC
，∴
PR
平面
ABCD
，
QR
平面
ABCD
，又∵
PRIQR?R
，
∴平面
PQR
平面
ABCD<
br>，又∵
PQ?
平面
PQR
，
∴
PQ
平面
ABCD
.
（2）连接
AC
，设
AC
，
BD
交于点
O
，
∴
BD?A
C
，又∵平面
AFEC?
平面
ABCD
，
平面
AFECI
平面
ABCD?AC
，
∴
BD?
平面
AFEC
.
2
V
13ABCDFE
?
3
?S
EFAC
?BD?
2
.
44