教资高中数学笔试教案设计-高中数学集体备课校本研修成果
专题复习 直线与方程
【基础知识回忆】
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x轴相交;
ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向.
②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为
③倾斜角
?
的范围
.
（2）直线的斜率
①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是
②经过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P2
(x
2
,y
2
)(x
1
?x
2)
两点的斜率公式为：
k?
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为
的直线斜率不存在。
2.两直线垂直与平行的判定
（1）对于不重合的两条直线<
br>l
1
,l
2
，其斜率分别为
k
1
,k
2
，，则有：
l
1
l
2
?
?
；
l
1
?l
2
?
?
.
（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线
；当一条直线斜率为0，另一
条直线斜率不存在时，两条直线 .
3.直线方程的几种形式
名称
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
方程形式
适用条件
不表示 的直线
不表示
的直线
不表示 的直线
不表示 和
的直线
Ax?By?c?0
(A
2
?B
2
?0)
注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.
4.三个距离公式
（1）两点
P1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2,y
2
)
之间的距离公式是：
|P
1
P
2|?
.
（2）点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?c?0
的距离公式是
：
d?
.
（3）两条平行线
l:Ax?By?c
1
?0,l:Ax?By?c
2
?0
间的距离公式是：
d?
.
【典型例题】
题型一：直线的倾斜角与斜率问题
例1、已知坐标平面内三点
A(?1,1),B(1,1),C(2,3?1)
.
（1）求直线
AB、BC、AC
的斜率和倾斜角.
（2）若
D为
?ABC
的边
AB
上一动点，求直线
CD
斜率
k
的变化范围.
例2、图中的直线
l
1
、
l
2
、
l
3
的斜率分别为
k
1
、
k
2
、
k
3
，则：
A．
k
1
＜
k
2
＜
k
3
B．
k
3
＜
k
1
＜
k
2
C．
k
3
＜
k
2
＜
k
1
D．
k
1
＜
k
3
＜
k
2
例3、利用斜率证明三点共线的方法：
若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为
.
总结：已知
A(x
1
,y
1
),
B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
),
若
x
1
?x
2
?x
3
或k
AB<
br>?k
AC
，则有A、B、C三点共线。
例4、直线
l
方程为
(a?1)x?y?2?a?0
，直线
l
不过第二象限，求
a
的取值范围。
变式：若
AC?0
，且
B
C?0
，则直线
Ax?By?C?0
一定不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型二：直线的平行与垂直问题
例1、 已知直线
l
的方程为
3x?4y?12?0
，求下列直线<
br>l
?
的方程,
l
?
满足
（1）过点
(?
1,3)
，且与
l
平行；（2）过
(?1,3)
，且与
l<
br>垂直.
本题小结：平行直线系：与直线
Ax?By?C?0
平行的直线方程可设为
Ax?By?C
1
?0
垂直直线系：与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线方程可设为
Bx?Ay?
C
2
?0
变式：（1）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程
（2）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程 <
br>例2、
l
1
：
mx?y?(m?1)?0
，
l
2
：
x?my?2m?0
，①若
l
1
∥
l
2
，求
m
的值；②若
l
1
⊥
l
2
，求
m
的值。
变式：（1
）已知过点
A(?2,m)
和
B(m,4)
的直线与直线
2x?y?
1?0
平行，则
m
的值为（ ）
A.
0
B.
?8
C.
2
D.
10
（2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a
=（ ）
A． -3 B．-6
C．
?
3
D．
2
2
3
（3）若直线
l
1
:mx?y?1?0
与
l2
:x?2y?5?0
垂直，则
m
的值是 ．
题型三：直线方程的求法
例1、求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。
例2、已知
?ABC
三个顶点是
A(?1,4)
，
B(?2,?1)
，
C(2,3)<
br>．
(1)求BC边中线AD所在直线方程；(2)求AC边上的垂直平分线的直线方程
（3）求点Ａ到ＢＣ边的距离．
变式：1．倾斜角为45?，在
y
轴上的截距为
?1
的直线方程是（
）
A．
y?x?1
B．
y??x?1
C．
y??x?1
D．
y?x?1
2．求经过A（2，1），B（0，2）的直线方程
3.
直线方程为
(a?1)x?y?2?a?0
，直线
l
在两轴上的截距相等，求
a的方程；
4、过P（1，2）的直线
l
在两轴上的截距的绝对值相等，求直线
l
的方程
5、已知直线
l
经过点
P(?5,?4)
，且
l
与两坐标轴
围成的三角形的面积为5，求直线
l
的方程．
题型四：直线的交点、距离问题
例1：点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）
A．2
B．
1
C．1 D．
7
22
例2：已知点P（2，-1）。（1）求过P点且与原点距离为2的直线
l
的
方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线
l
的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
例3：已知直线
l
1
:ax
?2y?6?0
和直线
l
2
:x?(a?1)y?a
2
?1
?0
，
（1）试判断
l
1
与
l
2
是否平
行，如果平行就求出它们间的距离；
（2）
l
1
⊥
l
2
时，求
a
的值。
变式：求两直线:3x-4y+1=0与6x-8y-5=0间的距离 。
题型五：直线方程的应用
例1、已知直线
l:5ax?5y?a?3?0
.
（1）求证：不论
a
为何值，直线
l
总经过第一象限；（2）为使直
线不经过第二象限，求
a
的取值
范围.
例2、直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ）
A．（-2，1） B．（2，1） C．（1，-2） D．（1，2）
【检测反馈】
1.若直线过点
(1,2),(4,2?3),
则此直线的倾斜角是（ ）.
（A）
30
0
（B）
45
0
（C）
60
0
（D）
90
0
2.过点
E(1,1)
和
F(?1,0)
的直线与过点
M(?
kk
,0)
和点
N(0,)
直
线的位置关系是（ ）
24
（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合
3.过点
(?1,3)
且垂直于直线
x?2y?3?0
的直线方程为
（ ）.
(A)
2x?y?1?0
(B)
2x?y?5?0
(C)
x?2y?5?0
(D)
x?2y?7?0
4.已知点
A(1,2),B(3,1),
则到
A,B
两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）.
（A）
4x?2y?5
（B）
4x?2y?5
（C）
x?2y?5
（D）
x?2y?5
5.直线
l<
br>1
:ax?y?b?0,l
2
:bx?y?a?0(a?0,b?0,a?b)
在同一直角坐标系中的图形大
致是（ ）.
O
A
y
l
1
l
2
x
y
y
l
1
O
C
l
2
x
l
1
l
2
x
y
l
1
l
2
O
B
O
x
D
:3x?5y?6?0
截得线段的中点是原点
O
，则
直线
l
的6.直线
l
被两直线
l
1
:4x?y?6
?0,l
2
方程为 .
7.已知
a?0,若平面内三点
A(1,?a),B(2,a),C(3,a)
共线，则
a
= .
8.过点
A(1,4),
且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）.
（A）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
9.已知直线
l<
br>过点
P(1,1)
，且被平行直线
3x?4y?13?0
与
3
x?4y?7?0
截得的线段长为
23
42
，求直线
l
的方
程.