全国高中数学联赛一试范围-高中数学解平方方程
…
…
…
…
○
…
…
……
线
…
…
_
…
_
_
_…
_
_
○
_
_
_
…
_
_：
…
号
…
考
_
…
_
_
_订
_
_
…
_
_
_
…
_
_：
…
级
…
班
_
○
_
_
_…
_
_
…
_
_
_
…
_
_：
…
名
装
姓
_
…
_
_
_…
_
_
…
_
_
_
…
_
_:
○
校
学
…
…
…
…
内
……
…
…
○
…
…
…
…
2017-2018学年度伊旗高中考试卷
一、单选题
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.
B.
C. 2 D. 3
7．齐
王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马
优于齐王的下等马，
劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹
中随机选一匹进行一场比赛，则田
忌马获胜的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
8．若某群体中
的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为
2．已知圆
C:
?
x?6
?
2
?
?
y?8
?
2<
br>?4
，
O
为坐标原点，则以
OC
为直径的圆的方程为（
）
0.15，则不用现金支付的概率为
A. 0.3 B. 0.4 C.
0.6 D. 0.7
A.
?
x?3
?
2
??
y?4
?
2
?100
B.
?
x?
3
?
2
?
?
y?4
?
2
?100
9．如图，四棱锥
P?ABCD
中，所有棱长均为2，
O
是底面正方形
ABCD
中心，
E
为
PC
中点，则直线
OE
与直线
PD
所成角为（ ）
C.
?
x?3
?
2
?
?
y?4
?
2
?
25
D.
?
x?3
?
2
?
?
y
?4
?
2
?25
3．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学
名著《九章算术》中的“更相减损术”，
执行该程序框图，若输入的
a
，b分别为14
，18，则输出的
a
=（ ）
A. 30°
B. 60° C. 45° D. 90°
10．点 在直线
上运动， ， ，则 的最小值是（ ）
A.
B.
C. 3 D. 4
11．观察下列各式：5
5
＝3 125,5
6
＝15
625,5
7
＝78 125，…，则5
2 018
的末四位数字为（
）
A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
12．已知两条直
线
m,n
，两个平面
?
,
?
，下面说法正确的是
4．在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于
A.
?
?
?
?
?
?
?
A. 第一象限
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
m?
?
?
?
?m?n
B.
m?
?
?
?
?mn
C.
?
?
?
?
?
?
?m?
?
?
?
D.
?
?m
?
5．某校为了了解高一,高二,高三这三个年级之
间的学生打王者荣耀游戏的人数情况，拟从
n?
?
?
?
n?
?
?
m?
?
?
?
m?
?
?
这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
第II卷（非选择题）
A. 抽签法 B. 系统抽样法 C.
分层抽样法 D. 随机数法 二、填空题
6．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数
相同，平均数也相同，则图中的m,n的13．在正四面体 中, 分别是 和
的中点,则异面直线 和 所成角为__________．
比值
14．直线 过点
且倾斜角为
，则直线 的方程为_________．
第1页 共4页 ◎
第2页 共4页
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
_
…
_
_
_
…
_
_
○
_
_
_
…
_
_
：
…
号
…
考
_
…
_
_
_
订
_
_
…
_
_
_
…
_
_
：
…
级
…
班
_
○
_
_
_
…
_
_
…
_
_
_
…
_
_
：
…
名
装
姓
_
…
_
_
_
…
_
_
…
_
_
_
…
_
_
:
○
校
学
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
15．直线
y?kx?3
被圆
?
x?2
?
2
?
?
y?3
?
2
?4
截得的弦长为
2
3
，则直线的倾斜角为
时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
__________．
16．某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为14
00辆、5600辆、2000辆．为
检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产
品中抽取45辆进行检验，则应从丙种（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
型号的产品中抽取______件． （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数
，并将完成生产任务所需时间超过 和不
三、解答题 超过 的工人数填入下面的列联表：
17．在三棱锥 中， 底面 ， ，
， 是 的中点， 是线
超过 不超过
段 上的一点，且
，连接 ， ， .
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
（1）求证： 平面 ；
（2）求点
到平面 的距离.
21．如图所示的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ，
平面 ，且 ，
.(1)求证: 面 ；
(2)求棱锥 的体积.
18．已知直线
l
1
:y?2x?1,
l
2
:y??x?1
的交点为
P
。求
（1）过点
P
且与直线
y??3x?2
平行的直线
l
的方程；
（2）以点
P
为圆心，且与直线
3x?4y?1?0
相交所得弦长为
12
5
的圆的方程。
19．已知直线
l:3x?
?<
br>y?2?2
?
x?4y?2
?
?0
（1）求证：直线
l
过定点。
22．已知方程
x
2
?y
2
?6mx?4my?12?0
?
m?R
?
（2）求过(1)的定点且垂直于直线
3x?2y?4?0
直线方程.
（1）若此方程表示圆,求
m
的取值范围；
(2)若
此方程表示圆
C
,且点
A
?
?2,2
?
在圆
C
上,求过点
P
?
1,1
?
的圆
C
的切
线方程。
20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产
方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第
一
组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作
第3页 共4页
◎ 第4页 共4页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
1．A
【解析】分析：根据三视图，画出空间图形结构体，即可求出其表面积。
详解：根据三视图，画出空间结构体如图
的底为
DC=4，
高为
则
=
所以选A
点睛：本题主要考查了三视图的应用，根据三视图还原空间结构体，
根据组成各个面的边之
间的数值关系求出其表面积。解题关键要分析好三视图，属于中档题。
2．C
【解析】由题意可知：
O
?
0,0
?
,
C
?
6,?8
?
，则圆心坐标为：
?
3,?4
?
圆的直径为：
6
2
?
?
?8
?
?10
，
22
2
据此可得圆的方程为：
?
x?3
?
?
?
y?4
?
即：
?
x?3
?
?
?
y?4
?
?25
.
22
?
10
?
?
??
，
?
2
?
2
本题选择C选项.
3．A
【解析】模拟执行程序框图，可得
a?14
，
b?18
满足条件
a?b
，不满足条件
a?b
，
b?4
满足条件
a?b
，满足条件
a?b
，
a?10
满足条件
a?b
，满足条件
a?b
，
a?6
满足条件
a?b
，满足条件
a?b
，
a?2
满足条件
a?b
，不满足条件
a?b
，
b?2
不满足条件
a?b
，输出
a
的值为2.
答案第1页，总9页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
故选A
4．D
【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点
，判
断其所在象限.
详解：
的共轭复数为
对应点为
，在第四象限，故选D.
点睛：此
题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致
马虎丢分.
5．C
【解析】分析：由题意，总体由差异明显的几部分组成，即可判定采用分层抽样的方法
进行
抽样．
详解：由题意，总体中有高一、高二、高三这三个年级之间的学生组成，各部分具
有明显的
差异，所以应采用分层抽样的方法进行抽样，故选C．
点睛：本题主要考查了抽样方
法的判定，其中熟记各种抽样方法的使用条件是解答的关键，
着重考查了分析问题和解答问题的能力．
6．A
【解析】分析：根据茎叶图得到甲乙两组数的中位数和平均数，根据题意求出
的值，然
后可得所求．
详解：由题意得，甲组数据为：
；乙组数据为： ．
∴甲、乙两组数据的中位数分别为
且甲、乙两组数的平均数分别为
甲
由题意得
，
乙
．
，解得
，
∴
．
故选A．
点睛：茎叶图
的优点是保留了原始数据的所有特征，且便于记录及表示，能反映数据在各段
上的分布情况．茎叶图和平
均数、方差、众数、中位数等数字特征常结合在一起，考查学生
的数据分析能力和运算能力．
7．A
【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.
详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，
齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，
答案第2页，总9页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，
其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，
则田忌马获胜的概率为
.
本题选择A选项.
点睛：有关古典概型的
概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件
数．(1)基本事件总数较少时，用
列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗
漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排
列与组合，以及计数原理的正确使用.
8．B
【解析】分析：由公式
计算可得
详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则
因为
所以
故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。
9．B
【解析】
根据条件知，P点在底面ABCD的射影为O，
连接AC，BD，PO，则OB，OC，OP三直线两两垂直，
从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设棱长为2，则：O（0，0，0），C（0，
P（0，0，
?
22
?
2
）
0,
，E
?
?
2,
2
?
?
，
??
2
，0），
A（0，﹣
2
，0），B（2
，0，0），D（﹣
2
，0，0）
?
22
?
故
OE?
?
?
0,
2
,
2
?<
br>?
,PD??2,0,?2
??
??
∴
cosOE,PD?
?1
2
∴OE与PD所成角为60°．
故选：B．
10．C
【解析】∵设A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′（2，3），
答案第3页，总9页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，
当P、A′、B三点共线时，
|PA|+|PB|取得最小值|A′B|=
=3．
故选：C．
11．B
【解析】根据题意,5
5
=3125，其末四位数字为3125，
5
6
=15625，其末四位数字为5625，
5
7
=78125，其末四位数字为8125，
5
8
=390625，其末四位数字为0625，
5
9
=1953125，其末四位数字为3125，
5
10
=9765625，其末四位数字为5625，
5
11
=48828125，其末四位数字为8125，
5
12
=244140625，其末四位数字为0625，
…
分
析可得：5
4k+1
的末四位数字为3125,5
4k+2
的末四位数字为5
625,5
4k+3
的末四位数字为
8125,5
4k+4
的末四位
数字为0625,(k?1).又由2018=4×504+2,则5
2018
的末四位数字为
5625.
本题选择B选项.
点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归
纳推理所得的结论不一定正确，
通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越
可靠，它是一种发
现一般性规律的重要方法．
12．D
【解析】对于
A
，
?
?
?
,m?
?,n?
?
，则两条直线可以平行，可以相交，故
A
错误；
对于<
br>B
，
?
?
,m?
?
,n?
?，则两条直线可以相交，故
B
错误；对于
C
，若
?
?<
br>?
,m?
?
，
直线
m
与平面
?
可以
平行，或者相交，故
C
错误；对于
D
，若
?
?，则平面
?
内任意一
条直线平行于
?
，因为
m?
?
，所以
m
?
，故
D
正确
故选D
点
睛：本题主要考查线面平行的判定与性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面
平行或垂直等位
置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法
（如墙角、桌面等）、排除筛
选法等.
13．
【解析】因为 是正四面体，所以
.取 中点 ，连接
，
则 的大小为
异面直线 和
所成角的大小.因为 ,且 .所以可知
.
14．x=1
答案第4页，总9页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【解析】∵直线
过点
且倾斜角为
，
∴直线
的方程为x=1
故答案为：x=1
15．
?
5
?
或
6
6
【解析】由题知:圆心（2，3）,半径为2.
因为直线
y
?kx?3
被圆
?
x?2
?
?
?
y?3
?
?4
截得的弦长为
23
,
所以圆心到直线的距离为
d?
22
4?3?1?
2k
1?k
2
,
?k??
3
3
由
k?tan
?
,
得
?
?
?
6
或
5
?
6
16．10
【解析】分析：根据题意求出抽样比例，再计算应从丙种型号的产品中抽取的样本数据．
详解：抽样比例是
故答案为：10．
点睛：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．
17．(1)见解析;(2)
.
【解析】试题分析：（1）由题意，根据勾股定理可计算出 ，又
，易知
为 的中点，
由三角形中位线性质可知， 与
平行，再根据线面平行的判定定理，从而问题可得解；
（2）由题意，可采用等体积法进行求解运算.即由
，又其底面 与 均
为直角三角形，从而问题可得解.
试题解析：（1）因为 ，所以 .
，故应从丙种型号的产品中抽取
又 ， ，
所以在
中，由勾股定理，
得
.
因为
，
所以 是 的斜边 上的中线.
所以 是 的中点.
答案第5页，总9页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
又因为 是
的中点，
所以直线 是 的中位线，
所以 .
又因为
平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）得，
.
又因为 ， .
所以
.
又因为 ，
所以
三棱锥
.
易知
，且 ，
所以
.
设点 到平面 的距离为 ，
则由
三棱锥
三棱锥
，
得
，
即
，
解得
.
即点 到平面 的距离为
.
18．（1）
3x?y?4?
0
（2）
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?4
【解析】试题分析：(1)由平行得
k??3
，再由点斜式求得
3x?y?4?0
；(2)
由（1）
得圆心
22
P（1,1）?P
2
到直线的距离
?
AB
?
8
22
d??r
2
?d
2
?
?
?4?x?1?y?1?4
.
?????
5
?
2
?
试题解析：（1）由题意得P（1,1）
直线
l
与直线
y??3x?2
平行
?
k=-3 <
br>?
直线
l
的方程为
y?1??3
?
x?1
?
即
3x?y?4?0
（2）由（1）得圆心P（1,1）
?圆心到直线
3x?4y?1?0
的距离
d?
3?4?1
8
?
3
2
?4
2
5
答案第6页，总9页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
22
??
AB
86
????
?
半径
r
2
?d
2
?
??
?
??
?
??
?4
即
r?2
2
??
?
5
??
5
?
2
?
圆的方程为
?
x?1
?
?
?
y?1?
?4
19．（1）见解析；（2）
2x?3y?2?0
.
【解析】试题分析：⑴将直线
l
化为
3x?4y?2?
?
?
2x?4y?
?
，解不等式组
2?0
22
{
3x?
4y?2?0
即可得证；⑵由（1）知定点为
?
?2,2
?
，结合题目条件计算得直线方程
2x?y?2?0
解析：（1）根据题意将直线
l
化为的
3x?4y?2?
?
?
2x?4y?2
?
?
0
。
{
3x?4y?2?0x??2
解得
{
，所以直线过定点
?
?2,2
?
。
2x?y?2?0y?2
（2）由（1）知定点为
?
?2,2
?
，设直线的斜率为
k，
且直线与
3x?2y?4?0
垂直，所以
k??
所以直线的
方程为
2x?3y?2?0
。
20．（1）第二种生产方式的效率更高.
理由见解析
（2）80
（3）能
【解析】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可。
（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。
（3）由公式计算出
，再与6.635比较可得结果。
详解：（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务
所需时间至
少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分
钟.
因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成
生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，
用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为
73.5分钟.因此第二种生产方式
的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方
式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；
用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间
低于80分钟，因此第二种生产方式的
效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式
的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，
答案第7页，总9页
2
，
3
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
关于茎
8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的
最多，关于茎7大致
呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区
间相同，故可以认为用第二种生产
方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生
产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的
效率更高.学科*网
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知
列联表如下：
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）由于
.
超过
15
5
不超过
5
15
，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差
异.
点睛：本题主要考查了茎叶图和独立
性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近
生活。
21．（1）见解析（2）.
【解析】分析：(1) 取 中点 ，根据平几知识得四边形
为矩形，即得 ，再根据
线面平行判定定理得结论，
(2)先证AD垂直平面ABNM，再根据等体积法以及锥体体积
公式得结果.
详解：
(1) 平面 ，取 中点 ，
连接
平面 ， ，
四边形 为矩形
平面 ，
，
答案第8页，总9页
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四边形
为平行四边形
平面
平面
(2)以平面 为底， 为高
，
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求
解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求
解．
(2)若所给定的几何体
的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方
法进行求解．
22．(1)
m??
239
239
或
m?
;(2)
y?1
或
8x?15y?23?0
13
13
【解析】试题分析：（1）若此方程表示圆,则
36m
2
?16m
2
?4?12?0
，即可得解；
（2）代入点
A
?
?2,2
?
得
m
，从而得圆心半径，由已知得所求圆的切线斜率
存在,设为
k
，
切线方程为:
y?1?k
?
x?1
?
，由圆心到直线距离等于半径列方程求解即可.
试题解析：
(1)若此方程表
示圆,则
36m
2
?16m
2
?4?12?0?m??
23
9
239
或
m?
13
13
(2)由点
A
?
?2,2
?
在圆
C
,带入圆的方程得
m?1,此时圆心
C
?
?3,2
?
,半径
r?1
,由
已知得
所求圆的切线斜率存在,设为
k
，
切线方程为:
y?1?k
?
x?1
?
?y?kx?k?1?0
4k?1
1?k
2
?1?k?0
或
k??
8
,∴切线方程为:
y?1
或
8x?15y?23?0
.
15
答案第9页，总9页