高中数学 必修二 立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形
ABCD
是空间四边形，
E,F,G,H
分别是边
AB,BC,CD,DA
的中点
（1） 求证：EFGH是平行四边形
（2） 若BD=
23
，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
A


B



F
C
G
D
E
H

证明：在
?ABD
中 ，∵
E,H
分别是
AB,AD
的中点∴
EHBD,EH?
同 理，
FGBD,FG?
(2) 90° 30 °
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
1
BD

2
1
BD
∴
EHFG,EH?FG
∴四边形
EFGH
是平行四边形。
2
2、如图，已知空间四边形
ABCD
中，
BC ?AC,AD?BD
，
E
是
AB
的中点。
求证：（1）
AB?
平面CDE;
（2）平面
CDE?
平面
ABC
。
A
E
BC?AC
?
证明：（1）
?
?CE?AB

AE ?BE
?
同理，
AD?BD
?
?
?DE?AB

AE?BE
?
B
C
又∵
CE?DE?E
∴
AB?
平面
CDE

D
（2）由（1）有
AB?
平面
CDE

又∵
AB?
平面
ABC
， ∴平面
CDE?
平面
ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

E
是
AA
1
的中点， 3、如图，在正方体
ABCD?A< br>1
BC
11
D
1
中，
BDE
。 求证： < br>AC
1

平面
证明：连接
AC
交
BD
于
O
，连接
EO
，
∵
E
为
AA
1
的中点，
O
为
AC
的中点
∴
EO
为三角形
A
1
AC
的中位线 ∴
EOAC
1

B
1
A
D
1
E
C
A
D
BDE
外 又
EO
在平面
BDE
内，
AC
1
在平面
B
BDE
。 ∴
AC
1

平面
考点：线面平行的判定
4、已知
?ABC
中
?ACB?90
,
SA?
面< br>ABC
,
AD?SC
,求证：
AD?
面
SBC
．
证明：
∵?ACB?90
°
?BC?AC

又
SA?
面
ABC

?SA?BC


?BC?
面
SAC


?BC?AD



C
S
D
A
C
B
又
SC?AD,SC?BC?C
?AD?
面
SBC

考点：线面垂直的判定
O
是底
ABCD
对角线的交点. 5、已知 正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
，
求 证：(１) C
1
O∥面
AB
1
D
1
；(2)AC?
面
AB
1
D
1
．
1
证明： （1）连结
AC
11
，设
D
1
A
1
B1
C
1
AC
11
?B
1
D
1
?O
1
，连结
AO

1
∵
ABCD?A
D
1
BC
11
D
1
是正方体
?A
1
ACC
1
是平行四边形
C
∴A
1
C
1
∥AC且
AC
11
?AC

O
又
O
1
,O
分别是
AC
AB
1
C
1
?AO

11
,AC
的中点，∴O
1
C
1
∥AO且
O
?AOC
1
O
1
是平行四边形
?C< br>1
O∥AO
1
,AO
1
?
面
ABD
，
CO?
面
ABD
∴CO∥面
ABD

1
111111
1
（2）
CC
1
?
面A
1
B
1
C
1
D
1

?CC

!

1
?B
1
D
∵AC
11
?B
1
D
1
，
?BD?面ACC
又
1111

即A
1
C?B
1
D
1

AC?AD
1
， 又
D
1
B
1
?AD
1
?D
1
同理可证
1
?
面
AB
1
D
1

?
AC
1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

6、正方体
ABCD?A'B'C'D'
中，求证：（1）
AC?平面B'D'DB
；（2）
BD'?平面ACB'
.








考点：线面垂直的判定
7、正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中．(1)求证：平面A
1
BD∥平面B
1
D
1
C；
(2)若E、F分 别是AA
1
，CC
1
的中点，求证：平面EB
1
D
1
∥平面FBD．
证明：(1)由B
1
B∥DD
1
，得四 边形BB
1
D
1
D是平行四边形，∴B
1
D
1∥BD，




又BD ?平面B
1
D< br>1
C，B
1
D
1
?
平面B
1
D1
C，
∴BD∥平面B
1
D
1
C．
同理A
1
D∥平面B
1
D
1
C．
而A< br>1
D∩BD＝D，∴平面A
1
BD∥平面B
1
CD．
A
1
E
D
A

D
1
B
1
F
G
B
C
C
1
(2)由BD∥B
1
D
1
，得BD∥平面EB
1
D
1
．取BB
1
中点G，∴AE∥B
1
G．
从而得B1
E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B
1
E∥DF．∴DF∥平面E B
1
D
1
．∴平面EB
1
D
1
∥平面FB D．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
8、四面体
ABCD
中，
AC?BD,E,F
分别为
AD,BC
的中点，且
EF?
2
AC
，
2
1

?
AC

2
?BDC?90
，求证：
BD?
平面
ACD

证明：取
CD
的中点
G
，连结
EG,FG
，∵E,F
分别为
AD,BC
的中点，∴
EG

1
B D
，又
AC?BD,
∴
FG?
1
AC
，∴在
?EFG
中，
EG
2
?FG
2
?
1
AC
2
?EF
2

FG
?
222
∴
EG?FG
，∴
BD?AC
，又
?BDC?90
，即
BD? CD
，
AC?CD?C

∴
BD?
平面
ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形
M
是
PC
的中点，
N
是
AB
9、如图
P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA?PB,CB?
平面
PAB
，
P
上的 点，
AN?3NB

（1）求证：
MN?AB
；（2）当
? APB?90
，
AB?2BC?4
时，求
MN
的长。

C
M
A
N
B

证明：（1）取PA
的中点
Q
，连结
MQ,NQ
，∵
M
是PB
的中点，
∴
MQBC
，∵
CB?
平面
PAB
，∴
MQ?
平面
PAB

∴
QN
是
MN
在平面
PAB
内的射影 ，取
AB
的中点
D
，连结
PD
，∵
PA?PB
∴
BN?ND

∴
QNPD
，∴
QN?AB
，由三垂线定理得
MN?AB

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N?N3B
又
A
,
∴
PD?A B
，，
（2）∵
?APB?90
，
PA?PB,
∴
PD?
1
AB?2
，∴
QN?1
，∵
MQ?
平面
PAB
.∴
MQ?NQ
，且
2
MQ?
1
B C?1
，∴
MN?2

2
考点：三垂线定理
E
、
F
、
G
分别是
AB
、
AD
、
C< br>1
D
1
的中点.求证：平面
D
1
EF
∥10 、如图，在正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中 ，
平面
BDG
.
证明：∵
E
、
F
分别是
AB
、
AD
的中点，
?
EF
∥
BD

又
EF?
平面
BDG
，
BD?
平面
B DG
?
EF
∥平面
BDG

∵
D
1
G
EB
?
四边形
DGBE
为平行四边形，
D
1< br>E
∥
GB

1
又
D
1
E?
平面
BDG
，
GB?
平面
BDG
?
D
1< br>E
∥平面
BDG

EF?D
1
E?E
，平面
DEF
∥平面
BDG

?
1
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
E
是
AA
1
的中点. 11、如图，在正方体
ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，
BDE
； （1）求 证：
AC
1

平面
（2）求证：平面
A
1
A C?
平面
BDE
.
证明：（1）设
AC?BD?O
，
EO
∵
E
、
O
分别是
AA
1
、
AC
的中点，
?
AC
1
∥
BDE
又AC?
平面
BDE
，
EO?
平面
BDE
，?
AC
1
∥平面
1
（2）∵
AA
1
?
平面
ABCD
，
BD?
平面
ABCD
，
A A
1
?BD

又
BD?AC
，
AC?AA
1
?A
，
BD?
平面
AAC
，
BD?
平面
BDE
，平面
BDE?
平面
AAC

??
11
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
1 2、已知
ABCD
是矩形，
PA?
平面
ABCD
，
AB?2
，
PA?AD?4
，
E
为
BC
的中点．
（1）求证：
DE?
平面
PAE
；（2）求直线
DP
与平面
PAE
所成的角．
222
证明：在
?ADE
中，
AD?AE?DE
，
?
AE?DE

∵
PA?平面
ABCD
，
DE?
平面
ABCD
，
?PA?DE

又
PA?AE?A
，
?
DE?
平面
PAE

（2）
?DPE
为
DP
与平面
PAE
所成的角 < br>在
Rt?PAD
，
PD?42
，在
Rt?DCE
中，
DE?22

在
Rt?DEP
中，
PD?2DE
，
?
?DPE?30

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形
13 、如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是
?DAB?60
且边长为
a
的菱形，侧面
PAD
是等边三角形，
且平面PAD
垂直于底面
ABCD
．
（1）若
G
为
AD
的中点，求证：
BG?
平面
PAD
；
（2）求证：
AD?PB
；
（3）求二面角
A?BC?P
的大小．
证明：（1）
?ABD为等边三角形且
G
为
AD
的中点，
?
BG?AD

又平面
PAD?
平面
ABCD
，
?
BG?平面
PAD

（2）
PAD
是等边三角形且
G
为
AD
的中点，
?
AD?PG

且
AD?BG，
PG?BG?G
，
?
AD?
平面
PBG
，
0
0
PB?
平面
PBG
，
?
AD?PB< br>
（3）由
AD?PB
，
AD
∥
BC
，?
BC?PB

又
BG?AD
，
AD
∥
BC
，
?
BG?BC

?
?PBG
为二面角
A?BC?P
的平面角
在
R t?PBG
中，
PG?BG
，
?
?PBG?45

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
0
M
为
CC
1
的中点，AC交BD于点O，求证：
AO
14、如图1,在正方体
ABCD?A?
平面MBD．
1
B C
11
D
1
中，
1
证明：连结MO，
A
1
M
，∵DB⊥
A
1
A
，DB⊥AC，
A
1
A?AC?A
，
∴DB⊥平面
A
?
平面
A1
ACC
1
∴DB⊥
AO
1
ACC
1
，而
AO
1
．
1
2
设正方体棱长为
a
，则
A
1
O?3
2
3
a
，
MO
2
?a
2
．
24
．
A
1
M
2
?
在Rt△
AC
11
M
中，
9
2
222
a
．∵
AO
，∴
AOO?M
?MO?AM
1
11
4
∵O M∩DB=O，∴
AO
1
⊥平面MBD．
考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图２，在三棱锥
Ａ
－
BCD
中，
BC
＝
AC
，
AD＝
BD
，
作
BE
⊥
CD
，
Ｅ
为垂足，作
AH
⊥
BE
于
Ｈ
．求证：
AH
⊥平面
BCD
．
证明：取
AB
的中点
Ｆ< br>，连结
CF
，
DF
．
∵
AC?BC
，∴
CF?AB
．
∵
AD?BD
，∴
DF?AB
．
又
CFDF?F
，∴
AB?
平面
CDF
．
∵
CD?
平面
CDF
，∴
CD?AB
．
又
CD?BE
，
BE?AB?B
，
∴
CD?
平面
ABE
，
CD?AH
．

∵
AH?CD
，
AH?BE
，
CD?BE?E
，
∴
AH?
平面
BCD
．
考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C⊥平面BC
1
D
D
1
C
1


A
1
B
1



D C


A B

证明：连结AC

⊥AC

∵BD
∴ AC为A
1
C在平面AC上的射影
?BD?A
1
C
??
?A
1
C?平面BC
1
D
同理可证A
1C?BC
1
?

考点：线面垂直的判定，三垂线定理
17、如 图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90° ，求证：
平面ABC⊥平面BSC．
证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60° ∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，
则AO⊥BC，SO⊥BC，
2
∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=
2
a，SO=
2
a，
11
AO
2
=AC
2
－OC
2
=a
2
－
2
a
2
=
2< br>a
2
，∴SA
2
=AO
2
+OS
2
，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥
平面BSC．
考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）