高中数学必修四全套教案

高中数学必修四全套教案
1.1．1 任意角
教学目标
（一） 知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.
（二） 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
（三） 情感与态度目标
1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写．
教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．
教学过程
一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
二、新课：
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：


③角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角

④注意：

B
终边
O
顶点
始边

A
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶 点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这
个 角是第几象限角．
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

y
B
1

45°
O
⑴
x
o
y
30°
x
60
O
B
2
B
3

⑵

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；
答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．
3．探究：教材P3面
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α + k·360

° ，
k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴ k∈Z
⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差
360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720

°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
⑴－120°；⑵640

°；⑶－950°12＇．
答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；
例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．
例5．写出终边在
y?x
上的角的集合S ,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
4．课堂小结
①角的定义；
②角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法．
5．课后作业：
①阅读教材P
2
-P
5
； ②教材P
5
练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题
思考题： 已知α角是第三象限角，则2α，
解：
?
?
角属于第三象限，
?
各是第几象限角？
2
?
k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)
因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)
即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z)
故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．

又k·180°+90°＜
?
＜k·180°+135°(k∈Z) ．
2
?
＜n·360°+135°(n∈Z) ，
2
当k为偶数时， 令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜
此时，
?
属于第二象限角
2
?
＜n·360°+315°(n∈Z) ，
2
当k为奇数时，令k=2n+1 (n∈Z)，则n·360°+270°＜
此时，
因此

?
属于第四象限角
2
?
属于第二或第四象限角．
2


1.1.2弧度制（一）
教学目标
（四） 知识与技能目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．
（五） 过程与能力目标
能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及 扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实
际问题
（六） 情感与态度目标
通过新 的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形
面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．
教学重点
弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
教学难点
“角度制”与“弧度制”的区别与联系．
教学过程
一、复习角度制：
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?
规定把周角的
二、新课：
1．引 入：
由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的 ,运用起来不太方便.在数学和其他许多
科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如 何定义呢？
2．定 义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧 度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1
弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
1
作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
360

3．思考：
（1）一定大小的圆心角
?< br>所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
（2）引导学生完成P6的探究并归纳：
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
?
r
r
?
?
;
②整圆所对的圆心角为
2
?
r
?
2
?
.

r
l
r
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
.

4．角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
360??2
?
；
180??
?
；
1??
②将弧度化为角度：
?
1 80
?0.01745rad
；
n??
n
?
rad
．
180
180n
180
)??57.30??57?18
?；
n?( )?
．
2
?
?360?
；
?
?180?
；
1rad?(
?
?
5．常规写法：
① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数．
② 弧度与角度不能混用．
6．特殊角的弧度
角
度
弧
度
0°
0
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
?

6
?

4
?

3
?

2
2
?

3
3
?

4
5
?

6
?

3
?

2
2
?

7．弧长公式
?
??l?r?
?

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
例1．把67°30＇化成弧度．
例2．把
?
rad
化成度．
例3．计算：
l
r
3
5
(1)sin
?
4
；
(2)tan1.5
．
例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：
(1)
19
?
；
(2)?315?
．
3
31
?
19
?
；
(2)?
．
3
6
例5．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
(1)
R
O
l

19
?
7
?
?2
?
?
,
36
7
?
19
?
而是第三象限的角,
?
是第三 象限角.
3
6
31
?
5
?
31
?
(2)
??
是第二象限角.
??6
?
?,??
666
1
例 6.利用弧度制证明扇形面积公式S?lR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径.

2
1
2
证法一:∵圆的面积为
?
R
,∴圆心角为1rad的扇形面积为
?
R
2
,又扇形弧长为l,半径为R,
2
?
ll1
2
1
∴扇形的圆心角大小为rad, ∴扇形面积
S??
R
?
lR
．
RR22
n??
R
2
n
?
R
证法二:设圆心角的度数为n，则在角度 制下的扇形面积公式为
S?
，又此时弧长
l?
，∴
360
1 80
1n
?
R1
S???R?l?R
．
21802
解: (1)
可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．
11
扇形面积公式:S?lR?
?
R
2

22
7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别．
8．课后作业：
①阅读教材P
6
–P
8
；
②教材P
9
练习第1、2、3、6题；
③教材P10面7、8题及B2、3题．


4-1.2.1任意角的三角函数（三）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的 线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
教学过程：
一、复习引入：

1. 三角函数的定义
2. 诱导公式
sin(2k
?
?
?
)?sin
?
(k?Z)
cos(2k
?
?
?
)?cos
?< br>(k?Z)

tan(2k
?
?
?
)?tan
?
(k?Z)
o
tan600
的值是
____________.
D 练习1.
A.?
33
B. C.?3 D.3

33
练习2.
若sinθcosθ?0,则θ在________.
B
A.
第一、二象限
B.
第一、三象限
C.
第一、四象限
D.
第二、四象限

若cosθ?0，且sin2
?
?0则θ的终边在____
练习3. C
二、讲解新课：
A.第一象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第二象限

22
x?y?1
时 ，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
P(x,y)
当角的终边上一点 的坐标满足
1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角
?
的顶点在原点
O
，始 边与
x
轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P
(x,y)
， < br>过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
；过点
A(1 ,0)
作单位圆的切线，它与角
?
的终边或其反向延
y

y

T

长线交与点
T
.















（Ⅲ）
（Ⅳ）
P

M

P

o

A

x

A

o

M

x

T

y

（Ⅱ）
T

M

y

（Ⅰ）
M

A

x

o

A

x

o

P

P

T

由四个图看出：
当角
?
的终边不在坐标轴上时， 有向线段
OM?x,MP?y
，于是有
sin
?
?

yyxxyMPAT
??y?MP
，
cos
?
???x? OM
，
tan
?
????AT

r1r1xOMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
说明： < br>（1）三条有向线段的位置：正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到
x
轴 的垂直线段；余弦线
在
x
轴上；正切线在过单位圆与
x
轴正方向的 交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆
内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的 方向：正弦线由垂足指向
?
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向
与
?
的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与
x
轴或
y
轴同向的为正值，与
x
轴或
y
轴反向的 为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）
?
5
?
2
?
13
?
； （2）； （3）
?
； （4）
?
．
6
336
解：图略。

例2.
若0?
?
?

?
2
，证明
sin
?
?
cos
?
?
1.

例3.比较大小：
24
(1)sin
?
与sin
?
35
24
(3)t an
?
与tan
?
35




24
(2)cos
?
与cos
?

35
1
例4.在[0，2
?
]上满足sinx?的x的取值范围是()

2
?
?
??
?
5
?
??
?
2
?
??
5
?
?
A.
?
0,
?
B.
?
，
?
C.
?
，
?
D.
?
，
?
?

?
6
??
66< br>??
63
??
6
?
例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．

11
(1)sinx??;

(2)cosx?.

22

答案：（1）
7
?
11
?
??
（2）
??2k
?
?x??2k
?
,k?Z
； < br>?2k
?
?x??2k
?
,k?Z
；
6666
三、巩固与练习：P17面练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业： 作业4


参考资料
例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1? sin
2
?
3
与
sin
4
?
5
2?
tan
2
?
3
与
tan
4
?
5

解： 如图可知：

tan
2
?
4
3
?
tan
?
5

例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角
1? sin?≥
1
2
2? tan?
?
3
3

y
解： 1?
y
2?
30?
T



P
2
P
1
o x
o
A

x

210?



30?≤?≤150?
30?
?
?
?
90?或210?
?
?
?
270?
sin
2
?
3
?
sin
4
?
5

补充：1．利用余弦线比较
cos64,cos285
的大小；
oo
2．若
?
4
?
?
?
?
2< br>，则比较
sin
?
、
cos
?
、
tan?
的大小；
3．分别根据下列条件，写出角
?
的取值范围：
（1）
cos
?
?

33
； （2）
tan
?
??1
； （3）
sin
?
??
．
22
4-1.2.1任意角的三角函数（1）
教学目的：
知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值 ）的一种联系方
式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各
象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他
们的集合形式表示出来.
教学过程：
一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对 边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为
aba
sinA?,cosA?,ta nA?
．
ccb
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系 中，设α是一个任意角，α终边上任意一点
P
（除了原点）的坐标为
(x,y)
，它与原点的距离为
r(r?|x|
2
?|y|
2
?x
2
?y
2
?0)
，那么
yy
（1）比值叫做α的正弦，记作
sin
?
，即
sin
?
?
；
rr
xx
（2）比值叫做α的余弦，记作
cos
?
，即
cos
?
?
；
r
r
yy
（3）比值叫做α的正切，记作
tan
?
，即
tan
?
?
；
xx
xx< br>（4）比值叫做α的余切，记作
cot
?
，即
cot
?
?
；
yy
说明：①α的始边与
x
轴的非负半轴重合，α的终边没 有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相
同的角所在的位置；
②根 据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点
P(x,y)
在α的终边上的位置的改 变而改变大小；
③当
?
?
?
2
?k
?
(
k?Z
)
时，α的终边在
y
轴上，终边上任意一点的横坐标
x
都等于
0
，
x
无意义；
y
x
分别是一个确定的实数，
y
y
无意义；同理当
?
?k
?
(k?Z)
时，
cot
?
?
x
yxy
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、
r
rx
所 以
tan
?
?
2．三角函数的定义域、值域





注意：
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
函 数 定 义 域 值 域
y?sin
?

R

R

{
?
|
?
?
[?1,1]

[?1,1]

y?cos
?

y?tan
?

?
2
?k
?
,k?Z}

R

(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按 什么方向旋转到OP
的位置无关.
(3)sin
?
是个整体符号，不能认为 是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角 三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所

不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标 与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来
定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函 数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认
识和研究过程.
(5)为了便于记忆 ，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐
角顶 点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
3．例题分析
例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）
0
； （2）
?
； （3）
解：（1）因为当
?
? 0
时，
x?r
，
y?0
，所以
3
?
．
2
sin0?0
，
cos0?1
，
tan0?0
，
cot0
不存在。
（2）因为当< br>?
?
?
时，
x??r
，
y?0
，所以
sin
?
?0
，
cos
?
??1
，
tan
?
?0
，
cot
?
不存在，
3
?
（3）因为当
?
?
时，
x?0
，y??r
，所以
2
3
?
3
?
3
?< br>3
?
不存在，
cotsin??1
，
cos?0
，
tan
?0
，
2
22 2
例2．已知角α的终边经过点
P(2,?3)
，求α的四个函数值。
解： 因为
x?2,y??3
，所以
r?2
2
?(?3)
2
?13
，于是
y?3313x2213
；
cos
?
??
；
????
r13r13
1313
x2
y3
tan
?
???
；
cot
?
???
．
y3
x2
例3．已知角α 的终边过点
(a,2a)(a?0)
，求α的四个三角函数值。
sin
?< br>?
解：因为过点
(a,2a)(a?0)
，所以
r?
当
a?0时，sin
?
?
5|a|
，
x?a,y?2a

y2a2a25
xa5a
；
tan
?
?2;cot
?
?
1
;sec
；
?
?5;csc
?
?
5
???
cos
?
???
r5
r5
5|a |5a
5a
22
y2a2a25
当
a?0时，
；
sin
?
?????
r5
5|a|?5a
cos
?
?
xa5a
15
；
tan
?
?2;cot
?
?;sec
．
?
??5;csc
?
??
???
22
r
?5a
5< br>4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： y
对于第一、二象限为正（
y?0,r?0
），对于第三、四象限为负（
y?0,r?0
）；
r
x
②余弦值对于第一、四象限为正（
x?0 ,r?0
），对于第二、三象限为负（
x?0,r?0
）；
r
y< br>③正切值对于第一、三象限为正（
x,y
同号），对于第二、四象限为负（
x, y
异号）．
x
①正弦值
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

练习： 确定下列三角函数值的符号：
（1）
cos250
； （2）
sin(
?
o
?
4
)
； （3）
tan(?672
o
)
； （4）
tan
11
?
．
3
例4．求证：若
sin
?
?0
且
tan
?
?0
，则角
?
是第三象限角，反之也成立。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
，
c os(
?
?2k
?
)?cos
?
，其中
k?Z．
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
例5 ．求下列三角函数的值：（1）
cos
例6．求函数
y?
9
?
11
?
， （2）
tan(?)
，
4
6
cosx
cosx
?
tanx
的值域
tanx
解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时，
x?0,y?0
cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,
x?0,y?0

|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2
x?0,y?0
…………ⅢⅣ………,
x
|cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0
?0,y?0
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。

五、巩固与练习
1、教材P15面练习；

2、作业P20面 习题1．２A组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。

4-1.2.2同角三角函数的基本关系
教学目的：
知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用

教学过程：
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角
?
是一个任意角，
?
终边上任意一点
P(x,y)
，它与原点的距离 为
r(r?|x|
2
?|y|
2
?x
2
?y2
?0)
，那么：
sin
?
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
，
rrx
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？
3．背景：如果
sinA?
3
，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函 数值；
5
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：
tan
?
?
说明：
①注意“同角”，至 于角的形式无关重要，如
sin4
?
?cos4
?
?1
等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
22
sin
?
22
（2）平方关系：
sin
?
?con
?
?1

co n
?
tan
?
?cot
?
?1(
?
?k
?
,k?Z)
；
2
sin
?
等。
tan
?
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos
?
??1?sin
2
?
，
sin
2
?
?1?cos
2
?
，
cos
?
?
2．例题分析：
一、求值问题
例1．（1） 已知
sin
?
?
（2）已知
cos
?
??
12
，并且
?
是第二象限角，求
cos
?
,tan
?
,cot
?
．
13
4
，求
sin
?
,tan
?
． 5
1313
22
12
2
5
222
解：（1）∵
sin
?
?cos
?
?1
， ∴
cos
?
?1?sin
?
?1?()?()

又∵
?
是第二象限角， ∴
cos
?
?0
，即有
cos
?
??
5
，从而
13
tan?
?
sin
?
1215
??cot
?
???< br>cos
?
5
，
tan
?
12

22
（2）∵
sin
?
?cos
?
?1
， ∴
sin
?
?1?cos
?
?1?(?)?()
，
又∵
cos
?
??
22
4
5
2
3
5
2
4
?0
， ∴
?
在第二或三象限角。
5

3sin
?
3
，
tan
?
???
； 5cos
?
4
3sin
?
3
当
?
在第 四象限时，即有
sin
?
?0
，从而
sin
?
??
，
tan
?
??
．
5cos
?
4
当
?
在第二象限时，即有
sin
?
?0
，从而
s in
?
?
总结：
1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系 式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关
键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确 定，因此解的情况不止一种。
2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边 位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的
平方根。
例2．已知
tan
?
为非零实数，用
tan
?
表示
sin
?
,cos< br>?
．
解：∵
sin
?
?cos
?
?1，
tan
?
?
222
22
sin
?
，
cos
?
2
2
∴
(cos
?
?tan?
)?cos
?
?cos
?
(1?tan
?
) ?1
，即有
cos
?
?
又∵
tan
?
为非 零实数，∴
?
为象限角。
1
，
2
1?tan
?
11?tan
2
?
当
?
在第一、四象限时，即有
c os
?
?0
，从而
cos
?
?
，
?22
1?tan
?
1?tan
?
tan
?
1? tan
2
?

sin
?
?tan
?
?cos
?
?
； < br>2
1?tan
?
11?tan
2
?
当
?在第二、三象限时，即有
cos
?
?0
，从而
cos
?
??
，
??
1?tan
2
?
1?tan
2
?
tan
?
1?tan
2
?

sin
?
?tan
?
?cos
?
??
．
1?tan
2
?
sin
?
?4cos
?
2 2
例3、已知
sin??2cos?
，求
5sin
?
?2cos
?

⑵
2sin
?
?2sin
?
cos
?
?cos
?
．
解：
?sin??2cos??tan??2

?
sin??4cos?tan??4?21
????

5sin??2cos?5tan??2126
强调（指出）技巧：1? 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分 母同除以
cos
?
,将分子、分母转化为
tan
?
的代数< br>式；
2? “化1法”
可利用平方关系
sin
?
?
cos
?
?
1
，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为< br>tan
?
的分式求值；
22
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
（2）尽量使分母不含三角函数式；
（3）根式内的三角函数式尽量开出来；

（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，
二、化简
练习1．化简
1?sin
2
440
o
．
2oo2o
?1?sin(360?80)?1?sin80
解：原式
?co s
2
80
o
?cos80
o
．
练习2．
化简
三、证明恒等式
1?cos
?
1?cos
?
3
?
? (
?
?
?
?
)

1?cos
?
1 ?cos
?
2
cosx1?sinx
．
?
1?sinxc osx
证法一：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sin x?0
．
cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)
1?sinx
?
∴左边=
??
右边．
2
(1?sinx)(1?sinx)c osx
cosx
例4．求证：
∴原式成立．
证法二：由题义知
co sx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
又∵
(1 ?sinx)(1?sinx)?1?sinx?cosx?cosx?cosx
，
22
cosx1?sinx
．
?
1?sinxcosx
证 法三：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
∴
cosx1?sinx
cosx?cosx?(1?sinx)(1?sinx)< br>cos
2
x?1?sin
2
x
??0
，
?
?
(1?sinx)cosx
(1?sinx)cosx
1?sinxcos x
cosx1?sinx
∴．
?
1?sinxcosx
总结：证明 恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边
开始，证明它等于另一边；
（2）证明左右两边同等于同一个式子；
（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
五、课后作业：《习案》作业第 五 课时

参考资料
化简
1?2sin40
o
cos40
o
．
解：原 式
?sin
2
40
o
?cos
2
40
o< br>?2sin40
o
cos40
o


?(sin40?cos40)?|cos40?sin40|?cos40?sin40
．

oo2oooo
1
(0
????
)
，求
tan?及sin
3
??cos
3
?的值。

5
1 2?
,0????,得：cos??0???(
,
?
)

解：1? 由
sin?cos???
252
思考1．已知
sin??cos? ?

由
(sin??cos?)?
2
49
,
25
得：sin??cos??
7
5
联立：
?
sin??cos??
?
?
?
?
sin??cos???
?
33
14
?
sin??
5
?
?< br>5
?tan???
4

?
73
3
?
cos???
55
?
91

125
4?2mm?3
2、已知
sin??
求
tan?的值。

,cos??,
?是第四象限角，
m?5m?5
4?2m
2
m?3
2
解：∵sin
2
? + cos
2
? = 1 ∴
()?()?1

m?5m?5
2?
sin??cos??()?(?)?
33
4< br>5
3
5
化简，整理得：
m
(
m?
8)
?
0
当m = 0时，
sin
??
?m
1
?0,
m
2
?
8

43

,cos
???，(与?是第四象限角不合）
55
12512
当m = 8时，
sin???,cos??，?tan???

13135

1．3诱导公式（一）
教学目标
（一）知识与技能目标
⑴理解正弦、余弦的诱导公式．
⑵培养学生化归、转化的能力．
（二）过程与能力目标
（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．
（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
（三）情感与态度目标
通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以 及孜孜以求的探索精神等良好的个性品
质．
教学重点
掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．
教学难点
运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
教学过程
一、复习：
诱导公式（一）
sin(360?k?
?
)?sin
?
cos(360?k?
?
)?cos
?
诱导公式（二）
tan(360?k?
?
)?tan
?


sin(180??
?
)??sin
?
cos(180??
?
)??cos
?
诱导公式（三）
tan(180??
?
)?tan
?


sin(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?cos
?
诱导公式（四）
tan(?
?
)??tan
?

sin(180??
?
)?sin
?
cos(180??
?
)??cos
?
对于五组诱导公式的理解 ：
①
公式中的
?
可以是任意角；

②这四组诱导公式可以概括为：
tan(180??
?
)??tan
?


??
?
,
?
?
?
,的三角函数值，等于它的同名

三角函数值， 前面加上一个把
?
看成锐角时原函数值的符号。
总结为一句话 ：函数名不变，符号看象限
练习1：P27面作业1、2、3、4。
2：P25面的例2：化简
二、新课讲授：
1、诱导公式（五）
sin(
2、诱导公式（六）
sin(
2k
?
?
?
(k?Z), ?
?
,
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)
?
sin
?


22
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)
??
sin
?


22
?
??
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：
(1)tan
3
?
31
?
17
, (2)sin, (3)cos519?, (4)sin(?
?
).

5363
练习3：求下列函数值：
65
?
31
?
, (2)sin(?), (3)sin670?, (4)tan580?).

64
3
?例2．证明：（1）
sin(?
?
)??cos
?

2
3
?
（2）
cos(?
?
)??sin
?

2
?
11
?
sin(2
?
?
?
) cos(
?
?
?
)cos(?
?
)cos(?
?< br>)
22
例3．化简：
.

9
?
cos(?
?
?
)sin(3
?
?
?
)sin(??
?
?
)sin(?
?
)
2
例4. 已知tan(
?
?
?
)?3,
(1)cos

2 cos(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)
求： 的值。
4cos(?
?
)?sin(2
?
?
?
)
解：
?tan(
?
?
?
)?3,?tan< br>?
?3.

?2cos
?
?3sin
?
?2 ?3tan
?
?2?3?3
原式
? ???7.

4co s
?
?sin
?
4?tan
?
4?3
小结：
①三角函数的简化过程图：

任意负角的


②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
练习4：教材P28页7．
三．课堂小结
①熟记诱导公式五、六；
公式一或三
任意正角的
00
公式一或二或四
0~360间角 0
0
~90
0
间角 查表

②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；
③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．
四．课后作业：
①阅读教材；
②《习案》作业七．



1．3诱导公式（二）
教学目标
（一）知识与技能目标
⑴理解正弦、余弦的诱导公式．
⑵培养学生化归、转化的能力．
（二）过程与能力目标
（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．
（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
（三）情感与态度目标
通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以 及孜孜以求的探索精神等良好的个性品
质．
教学重点
掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．
教学难点
运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
教学过程
一、复习：
诱导公式（一）
sin(360?k?
?
)?sin
?
cos(360?k?
?
)?cos
?
诱导公式（二）
tan(360?k?
?
)?tan
?


sin(180??
?
)??sin
?
cos(180??
?
)??cos
?
诱导公式（三）
tan(180??
?
)?tan
?


sin(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?cos
?
诱导公式（四）
tan(?
?
)??tan
?


sin(?－?)=sin? cos(? －?)=－cos? tan (?－?)=－tan?
诱导公式(五)
sin(
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)?sin
?


22
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)??sin
?


22
?
诱导公式（六）
sin(
??
二、新课讲授：
练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

(1)tan
3
?
31
?
17
, (2)sin, (3)cos519?, (4)sin(?
?
).

5363
练习2：求下列函数值：
65
?
31
?
, (2)sin(?), (3)sin670?, (4)tan580?).

64
3
?例1．证明：（1）
sin(?
?
)??cos
?

2
3
?
（2）
cos(?
?
)??sin
?

2
?
11
?
sin(2
?
?
?
) cos(
?
?
?
)cos(?
?
)cos(?
?< br>)
22
例2．化简：
.

9
?
cos(?
?
?
)sin(3
?
?
?
)sin(??
?
?
)sin(?
?
)
2
2cos(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)
例3. 已知tan(
?
?
?
)?3,求： 的值。

4cos (?
?
)?sin(2
?
?
?
)
(1)cos解：
?tan(
?
?
?
)?3,?tan
?
? 3.

?2cos
?
?3sin
?
?2?3tan
?
?2?3?3
???7.

4cos
?
?sin
?
4?tan
?
4?3
42sin(
?
?
?
)?3tan(3
?
?
?
)
的值
.

例4.
已知sin(
?
?
?
)?,且sin
?< br>cos
?
?0,求
54cos(
?
?3
?
)
原式
?

小结：
①三角函数的简化过程图：

任意负角的


②三角函数的简化过程口诀：
负化正，正化小，化到锐角就行了.
练习3：教材P28页7．
化简:
公式一或三
任意正角的
00
公式一或二或四
0~360间角 0
0
~90
0
间角
查表
?
??
cos
?
?
?
?
2
??
(1)?sin(
??2
?
)?cos(2
?
?
?
);

?
5
?
?
sin
?
?
?
?
2??
tan(360
o
?
?
)
2
(2)cos (?
?
)?.

sin(?
?
)

例5.
已知sin
?
,cos
?
是关于x的方程x?ax?
217
?
?0的两根，且3
?
?
?
?
.

22
求
tan(6
?
?
?
)sin(?2
?
?
?
)cos(6
?
?
?
)
的值.
cos(
?
?180?)sin(900??
?
)
三 ．课堂小结
①熟记诱导公式五、六；
②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；
③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．

四．课后作业：
①阅读教材；
②《学案》P.16-P.17的双基训练.

1.4.1正弦、余弦函数的图象
教学目的：
知识目标：（1）利用单 位圆中的三角函数线作出
y?sinx,x?R
的图象，明确图象的形状；
（2）根 据关系
cosx?sin(x?
?
2
)
，作出
y?cosx ,x?R
的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象。
教学过程：
一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
P与原 点的距离r(
r?
则比值
x?y
22
?x
2
?y< br>2
?
0
)
r
P
(x,
y)
?y
y
叫做
?
的正弦 记作：
sin
?
?

rr
x
x
比值叫做
?
的余弦 记作：
cos
?
?

r
r
3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P
垂足为M，则有
作x轴的垂线，
sin
?
?
yx
?MP< br>，
cos
?
??OM

rr
向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函 数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变
量要用弧度制来度量，使自变 量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所
作曲线的形状各不 相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：在 直角坐标系的x轴上任取一点
O
1
，以
O
1
为圆心作单位圆 ，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这
里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这 里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对 应于角
0,
?
6
，
??
，,…，2π的正弦线正弦线（等价 于“列表” ）.把角x的正弦线
32
向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重 合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描
点” ）.
第三步：连线.用光 滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
< br>根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为 2π，
就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角x
(x?R)
的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正
弦函数< br>y=sinx的图
象.
（2）余弦函数y=cosx的图象
探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？
根据 诱导公式
cos
x?
sin(
x?
?
2
)
,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移
?
单位即得余弦函数y=cosx的图象.
2
（课件第三页“平移曲线” ）

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (
余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个？(0,1) (
?
3
?
,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
22< br>-6?
-5?
-4?
-3?
-2?
-?
-6?
-5?
-4?
-3?
-2?
-?
y
1
o
-1
y
1
-1
?
2?
3?
4?5?
6?< br>x
y=sinx
y=cosx
?
2?
3?
4?5?< br>6?
x
?
3
?
,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
22
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时， 常采用五点法作正弦函数和余弦函数
的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， （2）y=-COSx
●探究2． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到
（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；
（2）y=sin(x- π3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
● 探究３．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，
ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：这两个图像关于X轴对称。
●探究４．
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。
●探究５．
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验
证你的猜想。
小结：sin( x - 3π2 )= sin[( x - 3π2 ) +2 π] =sin(x+π2)=cosx
这两个函数相等，图象重合。
例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
115
?
(1)sinx?;(2)cosx?,(0?x?).

2

22
三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业：《习案》作业：八

1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴
涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用
教学过程：
一、复习引入：
1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
x

函数值
sinx










正弦函数
f(x)?sinx
性质如下：
（观察图象） 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2? 规律是：每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现）
3? 这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当
x
增 加
2k
?
（
k?Z
）时，总有
f(x?2k
?)?sin(x?2k
?
)?sinx?f(x)
．
也即：（1）当自 变量
x
增加
2k
?
时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意
x
，
sin(x?2k
?
)?sinx< br>恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

?2
?

?
3
?
?

?
?

?

2
2
0

0

?

2
1

?

0

3
?

2
2
?

0

0

1

0

?1

y

–


1
?1

?5
?

?2
?

?
?

?

2
?
O

?

?

2
2
?

x

5
?



?
1
–

二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
问题：（1） 对于函数
y?sinx
，
x?R
有
sin(
2
??
2
?
是它的周期？
)?sin
，能否说
3
636
（2）正弦函数
y?sinx
，
x?R
是不是周期函数，如果是，周 期是多少？（
2k
?
，
k?Z
且
k?0
）
?
（3）若函数
f(x)
的周期为
T
，则
kT
，
k?Z
也是
f(x)
的周期吗？为什么？
*
?
（是，其原因为：
f(x)?f(x?T)?f(x?2T)?L?f(x?kT)
）
2、说明：1?周期函数x?定义域M，则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2?“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x
0
+t)?f (x
0
)）
3?T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期
（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期）
从图象上可以看出
y?sinx< br>，
x?R
；
y?cosx
，
x?R
的最小正周期为< br>2
?
；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （
f(x)?c
没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ①
y?3cosx
②
y?sin2x
（3）
y?2sin(x?
解：（1）∵
3cos(x?2
?
)?3cos x
，
所以，函数
y?3cosx
，
x?R
的周期是2
?
．
（2）∵
sin(2x?2
?
)?sin2( x?
?
)?sin2x
，
∴自变量
x
只要并且至少要增加 到
x?
?
，函数
y?sin2x
，
x?R
的值才能 重复出现，
所以，函数
y?sin2x
，
x?R
的周期是
?
．
（3）∵
2sin(x?
1
2
?
6
)
，< br>x?R
．
∴自变量
x
只要并且至少要增加到
x?2
?
，函数
y?3cosx
，
x?R
的值才能重复出现，
1
?
1
?
?2
?
)?2sin[(x?
?
) ?]?2sin(x?)
，
62626
∴自变量
x
只要并且至少要 增加到
x?
?
，函数
y?sin2x
，
x?R
的值 才能重复出现，
所以，函数
y?sin2x
，
x?R
的周期是
?
．
1
2
?
练习1。求下列三角函数的周期：
1? y=sin(x+
x
??
) 2? y=cos2x 3? y=3sin(+)
2
53
解：1? 令z= x+
?
而 sin(2?+z)=sinz 即：f (2?+z)=f (z)
3
??
]=f (x+) ∴周期T=2?
33
f [(x+2)?+

2?令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)]
即：f (x+?)=f (x) ∴T=?
3?令z=
x
?
x
?
+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(++2?)
2
5
2
5
=3sin(
x?4
??
?
)=f (x+4?) ∴T=4?
25
思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？
说明：（1）一般结论：函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及 函数
y?Acos(
?
x?
?
)
，
x?R
（其中
A,
?
,
?
为常数，且
A?0
，
?
?0
）的周期
T?
2
?
?
；
（2）若
?
?0
，如：①
y?3cos(?x)
； ②
y?sin(?2x)
； ③
y?2sin(?
1
?
2< br>x?
6
)
，
x?R
．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及函数
y?Acos(
?
x?
?
)
，
x?R
的周期
T?
2
?
|
?
|

思考： 求下列函数的周期： 1?y=sin(2x+
?
4
)+2cos(3x-
?
6
) 2? y=|sinx|
解：1? y
1
=sin(2x+
?
4
) 最小正周期T
1
=? y
2
=2cos(3x-
?
6
) 最小正周期 T
2
=
2
?
3

∴T为T
1
,T
2
的最小公倍数2? ∴T=2?
2? T=? 作图
-
?
?
?

?
2?
3?
三、巩固与练习P36面

四、小 结：本节课学习了以下内容：
周期函数的定义，周期，最小正周期

五、课后作业：《习案》作业九


1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚 忍不拔的意志，实事求是的科学学
习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
教学过程：
一、复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？
二、讲解新课：
1. 奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：f(-
?
1
?
1
?
?
)=,f()= ,即f(-)=f()；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). < br>3
2
3
2
33
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y） 是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)
也在函数y=cos x的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。

(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就 是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函 数y=sinx
的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

2.单调性
从y＝sinx，x∈［－
当x∈［－
?
3
?
22
,
］的图象上可看出：
?
?
，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
22

当x∈［
?
3
?
，］时，曲 线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
2
2
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－
［
??
＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数， 其值从－1增大到1；在每一个闭区间
22
?
3
?
＋2kπ，＋2k π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
2
2
余弦函数在每一个闭区间 ［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；
在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x=
k
?
?
?
2
k∈Z y=cosx的对称轴为x=
k
?
k∈Z
练习1。（1）写出函数
y?3sin2x
的对称轴；
（2）
y?sin(x?
?
4
)
的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线
x?

思考：P46面11题。

4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)
f(x)?

?
4
， (D) 直线
x??
?
4

1?sinx?cosx
;
(2)
f(x)?lg(sinx?1?sin
2
x);

1?sinx?cosx
例2 函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .

例3．P38面例3

例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①
sin(?
?
1810
1
?
例5 求函数
y?2sin(x?
)
的单调递增区间；
23

?
1
x?
[
?
2
?
,2
?
]
的单调递增区间吗？
思考：你能求
y?sin(?x
)
32
)? sin(?
?
)
②
cos(?
2317
?
)?cos(?
?
)

54

练习2：P40面的练习

三、小 结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质
1． 单调性
2． 奇偶性
3． 周期性
五、课后作业：《习案》作业十。
1.4.3正切函数的性质与图象
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
教学过程：
一、复习引入：
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数的图象．

二、讲解新课：
1．正切函数
y?tanx
的定义域是什么？
?
x|x?
2．正切函数是不是周期函数？

Q
ta n
?
x?
?
?
?
tan
x
?
x? R
,
且x?k
?
?
?
?
?
?
?k
?
,k?z
?

2
?
?
?
??
,
k?z
?
，
2
?
∴
?
是
y?
tan
x
?
x?R
,
且x?k
?< br>?
?
?
?
?
,
k?z
?
的一个周期 。
2
?

?
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作
y?tanx
，
x?
?
?







说明：（1）正切函数的最小正周期不能比< br>?
小，正切函数的最小正周期是
?
；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
?
??
?
,
?
的图象
?
22
?
y?tanxx?R
，且
x?





?
2
。
?k
?
?
k?z
?
的图象，称“正切曲线”
y
y
3
?
?
2

?
?
2
?
2
?

3
?
2

（3）正切曲线是由被相互平行的直线
x?k
?
?4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：
?
x|x?
O
?
?
0
x
x
?
2
?
k?Z
?
所隔开的无穷多支曲线组成的。
?
?
?
?
?k
?
,k?z
?
；
2
?
?
2
?
???

?
k?z< br>?
，
x???k??
时，
tanx??
2
（2）值域 ：R 观察：当
x
从小于
k
?
?
当
x
从大于
（3）周期性：
T?
?
；
?
2
??
?k
?
?
k?z
?
，
x?
?
2
????
。
?k
?
时，
tanx?
（4）奇偶性：由
tan
?
?x
?
??tanx
知，正切函 数是奇函数；
??
?
（5）单调性：在开区间
?
?
??k
?
,?k
?
?
k?z
内，函数单调递增。
2
?
2
?
5.讲解范例：
例1比较
tan
?
?
?
13
?
??
17
?
?
?
与
tan
?
?
?
的大小
45
????< br>解：
?tan
?
?
?
?
13
?
??
17
?
??
tan
tan
，
??
?
4
?
4
??
5
?tan
2
?
?
2
?
??
?
?
??tan0??,y?tanx在
，
??
0,
?
内单调递增，
545
??
2
?
?tan
?
4
2
??
2
?
?
1 3
??
17
?
,??tan??tan,即tan
?
??
?
?tan
?
?
?
?

545
?
4
??
5
?
例2：求下列函数的周期：
（1）
y?
3tan
?
x?
说明：函数
?
?
?
?
5
?
?
答：
T?
?
。 （2）
y?
tan
?
3
x?
的周期
T
?
?
?
?
?
6< br>?
?
答：
T?
?
3
。
y?Ata n
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0
?
?
?
?
．
?
例3：求函数
y?tan
?
3x?
?
?
?
的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调 性，
3
?

解：1、由
3x?
?
32
k
?
5
?
??
?,k?z
?
?
x|x?R,且x?
318
??
2、值域为R，周期
T??k
?
?
?
得
x?
k
?
5
?
，所求定义域为
?
318
?
3
?
k
??
k
?
5
?
?
?,?
3、在区间
??
?
k
?
z
?
上是增函数。
318318
??
思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数），
练习1：求函数
y?tan
?
，
?
??
?
x?
?
的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 < br>3
??
2
略解：定义域：
?
x|x?R且x?k
?< br>?
?
?
?
?
,k?z
?

4
?
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在< br>(k
?
?
3
??
,k
?
?
)
上是增函数

44
练习2：教材P45面2、3、4、5、6题
解：画 出y＝tanx在(－
?
??
，)上的图象，在此区间上满足tanx＞0的x的范围 为：0＜x＜
222
??
结合周期性，可知在x∈ R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
22
tanx?3
的定义域吗？
3
，利用图象知，所求定义域为
思考2：你能用图象求函数
y?
解：由
tanx?3?0
得 tanx?
??
??
k
?
?,k
?
?
?
?
k?Z
?
，
?
32
??
亦可利用单位圆求解。






四、小结：本节课学习了以下内容：

y
3
0
T
y
3
0
??
A
x
32
x

1.因为正切函数
y?tanx
的定义域是
{x|x?R,x?k
?
?
?
2
,k?Z
}
，所以它的图象被
x??
?
3
,?
?
,......
等相互平
22
行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连 续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π2，π2）的区间内的函数的图象 ，然后再将它沿x轴向左
或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
五、作业《习案》作业十一。

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）
教学目标
（七） 知识与技能目标
（1）了解三种变换的有关概念；
（2）能进行三种变换综合应用；
（3）掌握y=Asin(ωx+φ)+h的图像信息．
（八） 过程与能力目标
能运用多种变换综合应用时的图象信息解题．
（九） 情感与态度目标
渗透函数应抓住事物的本质的哲学观点．
教学重点
处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学难点
处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学过程
一、复习
.
1. 如何由y=sinx的图象得到函数
y?Asin(
?
x?
?
)的图象
2. A、
?
、
?
对函数 y?Asin(
?
x?
?
)图象的影响 .

二、函数y? Asin(
?
x?
?
)，x?[0,??)(其中A?0,
?
?0)的物理意义：

函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
T：
T?
2< br>?
?
往复振动一次所需的时间，称为“周期”
.

f ：
f?
1
?
?
单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
.

T2
?
y
?
x?
?
:
称为“相位” .
2
1
?
?
:
x=0时的相位，称为“初相”.
?
o
8
3
?
8
7
?
8
x
?2

三、应用
例1、教材P54面的例2。
例2.由右 图所示函数图象，求
y?Asin(
?
x?
?
)(|
?|?
?
)的表达式.
解析：由图象可知A=2，

T?
即
2
?
7
??
?(?)?
?
,
88?
?
，
?
?
?2.

?
又
( ?,0)
为五点作图的第一个点，
8
因此
2?
（
?
?
?
8
）
?
?
?0
，
?
?
?
?
4
.
因此所求函数的表达式为
y?2sin(2x?
?
4
).
例3.右图所示的曲线是y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)的图象的一部分，
求这个函数的解析式.
解：由函数图象可知
y

2
45
? ?
2
?
A?2,T?(?)?
?
,
即
?
?
，
3612
?
?
?
?2
5
?
又< br>(
，
0
）是“五点法”作图的第五个点，
6

5??
即
2??
?
?2
?
，
?
?
?.
63
?
所求函数的解析式为
y?2sin(2x?
o
?
12
5
?
6
x
?2
?
3
).< br>思考
：
下图为y?Asin(
?
x?
?
)的图象的一 段，求其解析式.

y
解1：以点N为第一个零点，则
A??3,

3
N
T?2(
5
??
?)?
?
,

63
o
M
?
?
?2,
此时解析式为
y?? 3sin(2x?
?
).
?
点
N(?,0)
6
??
?
3

?
?3
5
?
x
6
?
6
?2?
?
?0?
?
?
?
3
. ?
所求解析式为
y??3sin(2x?
2
?
?2,
T
?
3
)
解2：以点
M(
解析式为
y?
?
3
,0)
为第一个零点，则
A?3,
?
?
3s in(2x?
?
),
将点M的坐标代入得
2?
?
3
?
?
?0?
?
??
2
?
,

3

?所求解析式为y?3sin(2x?
2
?
).

3
例
4.
函数
y?Asin(
?
x?
?
)?k(A ?0,
?
?0)
在同一周期内，
5
?
711
?
2


当
x?
时，
y
有最大值为；

当
x?时，
y
有最小值为
?
，
3333

求此函数的解析式
.
7
3
?
?
A?k?,
A?,< br>?
?
3
解得
2
解由已知
??
5
2
?
?A?k??,
?
k?.
6
3
?
?11
?
5
?
2
?
又
T?2(

?)?4
?
,
即
?4
?
，
33
?
1
?
?
?.

2
5
?
7
15< br>???
又为“五点法”作图得第二个点，则有
（
（，）
?）?
?
?，?
?
??
.

33
2323
?
所求函数的解析式为
31
?
5
y?sin(x?)?.

2236
四、课堂小结：
求函数y?Asin(
?
x?
?
)的表达式：

1.A由图像中的振幅确定;

2.
?
由图像的周期确定;

3.
求
?
常用的两种方法：

(1)
平移法
(2)
代点法
五、课后作业
1.阅读教材第53～55页；
2.教材第56页第3、4题．
作业：《习案》作业十三。
1.6三角函数模型的简单应用
教学目的
【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】

一、练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题
3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的 位移s(单
g
?
?
位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是
s ?3sin
?
（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cms
2
，
?
t?
?
,t?[0,??)
，
?
l
?
6
??
要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（ 1）
?
?
?
g2
?
?T??2
?
l
?
l1
,f?
g2
?
g
g
；（2）
若T ?1，即l??24.8
cm
.
2
4
?
l
4、略（学生看书）
二、应用举例：
例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(?x＋?)＋b
(1) 求这一天6~14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式.





本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问 题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并
写出曲线的函数解析式.也就是利用函 数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.
例2 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.




本题利 用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数
30
20
10
T
o
C
O
6
8
10
1214
t h
y＝|sinx|
?2
?
y
?
2
?
?
?< br>?
2
?
2
?
x

y?sinx
与正弦函数有紧密的联系.
练习：教材P65面1题
例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为?，?为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那
么这三个量之间的关系是? ＝90?－|? －? |.当地夏半年?取正值，冬半年?取负值. < br>如果在北京地区(纬度数约为北纬40?)的一幢高为h
0
的楼房北面盖一新楼，要使新 楼一层正午
的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？





本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽 象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根
据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本 的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通
常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节
每天的时间与水深的关系表：
时刻
0:00
3:00
6:00
水深米
5.0
7.5
5.0
时刻
9:00
12:00
15:00
水深米
2.5
5.0
7.5
时刻
18:00
21:00
24:00
水深米
5.0
2.5
5.0
?
－
?
?
??-??
太阳光
北回归线
南回归线
?< br>－
?
B
?
C
?
?
太阳光
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值
(精确到0.001).
(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船
底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

(3) 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3
米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
本题的解答中，给 出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实
际意义。关 于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶
向 较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
练习：教材P65面3题
三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
四、作业《习案》作业十四及十五。
补充例题：
一半径为3m的水轮如右图所示, 水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮
现时(图中P
0
)点开始计算时间.
(1) 求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
-2
y
P
O
?
P
0
x
(2) P点第一次达到最高点约要多长时间?

2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示
教学目标：
? 了解向量的实际背景，理解平面向 量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相
等向量、共线向量等概念 ；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
? 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
? 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课 ，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，
结合图形实物区 分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教学思路： （一）
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上
都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
C
A
B
D

这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起 点与终点字母：
AB
；④向量
AB
的大小―长度称为向量的模，记作|
AB
|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
（四）理解和巩固：
例1 书本75页例1.
a
A(起点)

B
（终点）

例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
课堂练习：
书本77页练习1、2、3题
三、小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示；
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
四、课后作业：
《学案》P49面的学法引导，及P44面的单元检测卷。

2.1.2 相等向量与共线向量
教学目标：
? 掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
? 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
? 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路：

一、情景设置：
(一)、复习
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
(二)、新课学习
1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？
2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？
三、探究学习
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
．．．．．．．．．．
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
．．．．．．．．．．．
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
四、理解和巩固：
例1．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量< br>OA
、
OB
、
OC
相等的向量.
变式一：与向量
OA
长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（
CB,DO,FE
）
例2判断：
（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零 向量可
以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正 确；向量的平行只
要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定 形式给出，所以可从其逆否命
题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量 ，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ
与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以 应选C.
课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量
AB
与
CD
是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当
AB
＝
DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. < br>解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量
AB
、
AC
在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与
不正确.如图
AC
与< br>BC
共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本77页练习4题
三、小结 ：
2、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
四、课后作业：
《习案》作业十八。

零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用 它们进行向量
计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等 .因此，我们研究的向量是与起点无关的
自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下， 移到任何位置
2、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（4）船速为
AB
，水速为< br>BC
，则两速度和：
AB?BC?AC



二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已
＝a，
BC
＝
a
C
ａ
ｂ
A
a
ｂ
B
b
a+b
a+b
a
b
知向量a、ｂ.在平面内任取一点
A
，作
ABｂ，则向量
AC
叫做a与ｂ的和，记作a
A B C
C A B
A B
A B
C
C
a

＋ｂ，即 a＋ｂ
?AB?BC?AC
， 规定： a + 0-= 0 + a




探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量
a
与
b
不共线时， |< br>a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；什么时候|< br>a
+
b
|=|
a
|+|
b
|，什么时候|< br>a
+
b
|=|
a
|－|
b
|，
当 向量
a
与
b
不共线时，
a
+
b
的方向不同 向，且|
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；
当
a
与
b
同向时，则
a
+
b
、< br>a
、
b
同向，且|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|，
当
a
与
b
反向时，若|< br>a
|>|
b
|，则
a
+
b
的方向与
a
相同，且|
a
+
b
|=|
a
|-|
b< br>|；
若|
a
|<|
b
|，则
a
+
b
的方向与
b
相同，且|
a
+b|=|
b
|-|< br>a
|.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b

作法：在平面内取一点，作
OA?a

AB?b
，则
OB?a?b
.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
a
２）向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

５．你能证明：向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
) 吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
b
a
A
b
a
O
b
a

例二（P83—84）略
变式1、一艘船从A点出发以
2 3kmh
的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为
4kmh
，求水流的速度.
变式2、一艘船从A点出发以
v
1
的速度向垂直于对岸 的方向行驶，同时河水的流速为
v
2
，船的实际航行的速度的
大小为
4kmh
，方向与水流间的夹角是
60?
，求
v
1
和
v
2
.
练习：P84面1、2、3、4题
四、小结
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|
a
+
b
| ≤ |
a
| + |
b
|，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：《习案》作业十八。
六、备用习题 思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中，
CB?BA?AD?
. 解：
CB?BA?AD?CA?AD?CD

二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法

（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a ? b
a
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
b
作法：在平面内取一点O，
作
OA
= a，
AB
= b 则
BA
= a ? b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1?
AB
表示a ? b. 强调：差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
B’






a
O
b
B
b
B
b
a?b
O
a
?
b
a
a+ (?b)
b
A

4． 探究：
１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b ? a.
２）若a∥b， 如何作出a ? b ？






三、 例题：
例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d.
解：在平面上取一点O，作
OA
= a，
OB
= b，
OC
= c，
OD
= d，
作
BA
，
DC
， 则
BA
= a?b，
DC
= c?d




例二、平行四边形ABCD
中，
AB?
a，
AD?
b， 用a、b表示向量
AC
、
DB
.
解：由平行四边形法则得：
AC
= a + b，
DB
=
AB?AD
= a?b
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a， b互相垂直）
a
b
A
d
c
O
C
A B
B
D
D C
a
b
a
b
a
?
b
O B
A B’
O
a
?
b
A
B
a
?
b
O
A
?
b
B
B
a
?
b
O
A

例 3. 如图， 已知一点O到平行四边形ABCD
试用向量a、b、c表示OD.


练习：1。Ｐ87面1、2题
2．在△ABC中，
BC
=a，
CA
=b，则
AB
等于( B )
A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a
变式三：a+b与a?b可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，


四：小结：向量减法的定义、作图法|
五：作业：《习案》作业十九

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
（2）理解平面里的任何一个 向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a

（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；
（2）λ>0时λa
与
a
方向相同；λ<0时λ
a
与
a
方向相反 ；λ=0时λ
a
=
0

??
??
?????

2．运算定律
?? ????
?
?
?
结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
；分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
， λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

??
??
3. 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a共线则：有且只有一个非零实数λ，使
b
=λ
a
.
二、讲解新课：
1．思考：（1）给定平面内两个向量
e
1
，e
2
，请你作出向量3
e
1
+2
e
2
，
e
1
-2
e
2
，
（2）同一平面内的任一向量 是否都可以用形如λ
1
e
1
+λ
2
e
2
的 向量表示？
平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有
一对实 数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1< br>+λ
2
e
2
.
2．探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ
１
、ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ
１
、ｅ
２
的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
3．讲解范例：
例1 已知向量
e
1
，
e
2
求作向量?2.5
e
1
+3
e
2

例2

?
?
?
P
O
B
A
如图， OA、 OB 不共线,且
AP?t AB (t?R), 用 OA，OB 表示 OP .

本题实质是
已知O、A、B三点不共线，
若点 P 在直线 AB 上，则 OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.

4．练习1：
1.设e
1
、e
2
是同一平面内的两个向量，则有( D )

A.e
1
、e
2
一定平行 B.e
1
、e
2
的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe
1
+μe
2
(λ、μ∈R)
D.若e
1
、e
2
不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe
1
+ue
2
(λ、u∈R)
2.已知向量a ＝ e
1
-2e
2
，b ＝2e
1
+e
2
，其 中e
1
、e
2
不共线，则a+b与c ＝6e
1
-2e
2
的关系（Ｂ ）
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
３.已知λ
1
＞0， λ
2
＞0，e
1
、e
2
是一组基底，且a ＝λ
1
e
1
+λ
2
e
2
，则a与e
1
不 共线，a与e
2
不共线．
(填共线或不共线).
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5．向量的夹角:已知两个非零向量
a
、
b
，作
OA
?
a
，
OB?b
，则∠AOB＝
?
，叫向量
a
、
b
的夹角，当?
=0°，
a
、
?
?
?
?
?
?
?
b
同向，当
?
=180°，
a
、
b< br>反向，当
?
=90°，
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b
。
6．平面向量的坐标表示
（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？
如图，在直角坐标系内，我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个 单位向量
i
、
j
作为基底.任作一个向量
a
，由平面
1
向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
a ?xi?yj
…………○
2
我们把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x,y)
…………○






2
其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标，○式 叫做向量的坐标表示.与
．
a
相等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．．< br>(x,y)
.
特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1 )
，
0?(0,0)
.

如图，在直角坐标平面内 ，以原点O为起点作
OA?a
，则点
A
的位置由
a
唯一确定 .
设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)< br>就是点
A
的坐标；反过来，点
A
的坐标
(x,y)
也 就是向量
OA
的坐标.因此，
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实 数唯一表示.
7．讲解范例：
例2．教材P96面的例2。
8．课堂练习：P100面第3题。
三、小结：（1）平面向量基本定理；
（2）平面向量的坐标的概念；
四、课后作业：《习案》作业二十一

2．3．3平面向量的坐标运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果
e
1< br>，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有
一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2

(1) 我们把不共线向量ｅ
１
、ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
?
?

(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ
１
、ｅ
２
的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a< br>，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标运算
?
?
?
??
?
思考1：已知：
a?
(
x
1
,
y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，你 能得出
a?b
、
a?b
、
?
a
的坐标吗？
设基底为
i
、
j
，则
a?b
?
(
x1
i?y
1
j
)
?
(
x
2
i ?y
2
j
)
?(x
1
?x
2
)i?(y< br>1
?y
2
)j

即
a?b
?
(x
1
?x
2
,
y
1
?y
2
)
，同理可得
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

（1） 若
a?
(
x
1
,
y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x2
,y
1
?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）若
a?(x, y)
和实数
?
，则
?
a?(
?
x,
?y)
.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底 为
i
、
j
，则
?
a
?
?
(xi? yj)?
?
xi?
?
yj
，即
?
a?(
?
x,
?
y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
?
思考2：已知
A< br>(
x
1
,
y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，怎样求
AB
的坐标？
（3） 若< br>A
(
x
1
,
y
1
)
，
B( x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

AB
=
OB
?
OA
=( x
2，
y
2
) ? (x
1
，y
1
)= (x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
思考3：你能标出坐标为(x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)的P点吗？
向量
AB
的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
三、讲解范例：

rrrrrrrr
例1 已知
a
=(2，1)，
b
=(-3，4)，求
a
+
b
，
a
-
b
，3
a
+4
b
的坐 标.
例2 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四
个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由
AB?DC
得D
1
=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D
2
=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D
3
=(?6， 0)
例3已知三个力
F
1
(3， 4)，
F
2
(2， ?5)，
F
3
(x， y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
，求
F
3
的坐标.
解：由题设
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0)
?
3?2?x?0
?
x??5
即：
?
∴
?
∴
F
3
(?5，1)
4?5?y?0y?1
??
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且
MP?
1
MN
， 求P点的坐标
2
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则
AB
?2
BC
= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结：平面向量的坐标运算；
六、课后作业：《习案》作业二十

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量ａ与ｂ，作
OA
＝ａ，
OB
＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝
?
时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
2
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?
（2）两向量共线的判定
（3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.

?探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个 向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写
时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（ 3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b= 0.因为其中cos?
有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c
如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0；
当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，

1、a?b ? a?b = 0
2、当a与b同向时，a?b = |a||b|； 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|.
特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

|a?b| ≤ |a||b| cos? =
a?b

|a||b|
探究：平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，a?(
?
b) =
?
|a||b|cos?，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?.
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作
OA
= a，
AB
= b，
OC
= c， ∵a + b （即
OB
）在c方向上的投影等于a、b在c方向
上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?
1
+ |b| cos?
2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c| |b| cos?
2
， ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ
２
＝｜ａ｜
２
，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
三、讲解范例：
例1． 证明：(ａ＋ｂ)
２
＝ａ
２
＋２ａ·ｂ＋ｂ
２

?
?
?
?
例2．已知|a|=12， |b|=9，
a?b ??542
，求
a
与
b
的夹角。

例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60
o
求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|.
（ 利用
|a|?a?a
）
例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a- kb互相垂直.
四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题。
2．下列叙述不正确的是（ ）
A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数
3．|a|=3，|b|=4，向量a+
33
b与a-b的位置关系为（ ）
44
A.平行 B.垂直 C.夹角为
?
D.不平行也不垂直
3
4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.
五、小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．向量垂直的条件.
六、作业：《习案》作业二十三。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4?cos? =
a?b
； 5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
3．练习：
（1）已知|a|=1，|b|=
2
，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为
?
，那么向量 m=a-4b的模为（ ）
3
A.2 B.2
3
C.6 D.12
二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量
a?
(
x
1,
y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，怎样用
a
和
b
的坐标表示
a?b
？
.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即< br>a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2
2. 平面内两点间的距离公式
（1）设
a?(x,y)
，则
|a|?x?y
或
|a|?
222
x
2
?y
2< br>.
（2）如果表示向量
a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(< br>x
1
,
y
1
)
、
(x
2
, y
2
)
，

那么
|a|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)< br>2
(平面内两点间的距离公式)
3． 向量垂直的判定
设
a?(
x
1
,
y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b

?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

4． 两向量夹角的余弦（
0?
?
?
?
）
cos? =< br>a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22

二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例2 设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1
o
)
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
例3 已知a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－ １），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－１）
有a·b＝
3
＋１＋
3
（
3
－１）＝４，｜a｜＝ ２，｜b｜＝２
2
．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
a?b2
?
?
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
4
a?b2
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-
四、小结： 1、
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

2、平面内两点间的距离公式
|a|?
3、向量垂直的判定：
1
)在线段AB的中垂线上，则x= .
2
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

设
a?
(
x
1
,< br>y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)，则
a?b

?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

五、课后作业：《习案》作业二十四。
思考：
1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向量
AB
的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则
OB
= (x， y)，
AB
= (x?5， y?2)
∵
OB
?
AB
∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x
2
+ y
2
?5x ? 2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x
2
+ y
2
= (x?5)
2
+ (y?2)
2
即：10x + 4y = 29
?
73
?
x?x?
12
?
x ?y?5x?2y?0
?
?
2
或
?
2

?
?
由
??
37
?
10x?4y?29
?
y
1
??
?
y
2
?
?
2
?
2
?
22
∴B点坐标
(,?
)
或
(,)
；
AB
=
(?,?)
或
(?,)

2 在△ABC中，
AB
=(2， 3)，
AC
=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.
解：当A = 90?时，
AB
?
AC
= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =< br>?
7
2
3
2
37
22
3
2
7
2
73
22
3

2
当B = 90?时，
AB
?
BC
= 0，
BC
=
AC
?
AB
= (1?2， k?3) = (?1， k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11

3
3?13

2
当C = 90?时，
AC
?
BC
= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =
2.5.1平面几何中的向量方法
教学目的：
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示 .；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.

教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程：
一、复习引入：
1. 两个向量的数量积：
a?b? |a||b|cos
?
.

2. 平面两向量数量积的坐标表示:
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.

3. 向量平行与垂直的判定:
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0.

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0.

4. 平面内两点间的距离公式：
|AB|?
5. 求模：
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

a?a?a

a?
练习
x
2
?y
2

a?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.
二、讲解新课：
例1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90
o
.
证明：设
AO?a?OC,OB?b,
a?b,

B
A
O
C
AB?AO?OB?a?b,BC?a?b,

AB?BC?(a?b)?(a?b)?a?b?0,

22
?AB?BC,

??ABC?90
o




例2. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证： AD，BE，CF相交于一点.


A
F
H
BC
E

例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，
AC? AB?AD,DB? AB?AD,

你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？


思考1：
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？


思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面 几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例4．如图，□ ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、< br>D
AB
C
D
RT、TC之间的关系吗？
F
C
T
E
A
R
B

课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
课后作业
1. 阅读教材P.109到P.111; 2. 《习案》作业二十五.

2.5.2向量在物理中的应用举例

教学目的：
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题
的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；
2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会
数学在现实生活中的作用.
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.

教学过程：
一、复习引入：
1. 讲解《习案》作业二十五的第4题.
已知A(1,0),直线l:y?2x?6,点R是直线l上的一点,若RA?2AP,求点P的轨迹方程.
2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？
二、讲解新课：
例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角 越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两
臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？





探究1：
(1)?为何值时，|
F
1
|最小，最小值是多少?
(2)|
F
1
|能等于|
G
|吗?为什么?



探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；

(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.

例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|
v
1
|＝10 kmh，水
流速度|
v
2
|＝2 kmh，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？

思考:
1. “行驶最短航程”是什么意思？
2. 怎样才能使航程最短？
例3.有两个 向量e
1
?(1,0),e
2
?(0,1),今有动点P从P
0(?1,2)开始沿着与向量e
1
?e
2
相同的方向做匀速运动,速度为 |e
1
?e
2
|,另有一动点Q,从Q
0
(?2,?1)开 始沿着与

3e
1
?2e
2
相同的方向做匀速运动,速度 为|3e
1
?2e
2
|,设P、Q在时刻t?0秒时分别在
P
0
、Q
0
处,则当PQ?P
0
Q
0
时，求t的值 .



三、课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.

四、课后作业
1. 阅读教材P.111到P.112; 2. 《习案》作业二十六.

3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公 式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）
公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学 难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经
具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、教学设想：
（一）导入：问题1：
我们在初中时就知道
cos45?
oo
o
23
o
ooo
，
cos30?
，由此我们能否得到
cos15?cos45?30??
大家可以猜想，
22
??
是不是等于cos45?cos30
呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下 面我们就一起探讨两角差的余弦公式
cos
?
?
?
?
???

（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角
?
的终边与单位圆的交点为
P
1
，
cos
?
等于 角
?
与单位圆交点的
横坐标，也可以用角
?
的余弦线来表示。

思考1：怎样构造角
?
和角
?
?
?
？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
思考2：我们在第二章学习用向量的知 识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
两角差的余弦公式：
cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?

（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求
cos75
、
cos15
的值.
oo
解：分析：把
75
、
15
构造成两个特殊角的和、差.
oo
cos75
o
?cos
?
45
o
?3 0
o
?
?cos45
o
cos30
o
?sin45
o
sin30
o
?
cos15
o
?cos
?
45
o
?30
o
?
?cos45
o
co s30
o
?sin45
o
sin30
o
?
2321 6?2
????
22224
23216?2

????
22224

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有 很多种构造方法，例如：
cos15
o
?cos60
o
?45
o
，要学会灵
活运用.
??
例2、已知
sin
?
?
5
4
?
?
?
，
?
?
?
,
?
?
,cos
?
??,
?
是第三象限角，求< br>cos
?
?
?
?
?
的值.
13
5
?
2
?
2
3
4
?
?
4
?
2
解：因为
?
?
?
,
?
?
，sin
?
?
由此得
cos
?
??1?sin
?
??1?
??
??

5
5
?
2
?
?
5
?
12
5
?
5
?
2
又因为
cos
?
??,
?
是第三象限角，所以
sin
?
??1?cos
?
??1?
?
?
?
??

13
13
?
13
?
所以
cos(
?< br>?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?sin
?
?
?
?
?
?
?
?
点 评：注意角
?
、
?
的象限，也就是符号问题.
2
?
?
33
?
3
??
5
?
4
?
12
?
?????

???
51351365
??????
思考：本题中没有
?
?
?
?
?
,
?
)
，呢？
2
?
（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：

（1）cos80?cos20??sin80?sin20?

13
（2）cos15??sin15?

22
解:
（1）cos80?cos20??sin80?sin20?

?cos(80??20?)?cos60??
2．教材P127面1、2、3、4题
（五）小结：两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征， 了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦
公式.在解题过程中注意角
?
、< br>?
的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（1）牢记公式
C
(< br>?
?
?
)
?C?C?S?S．

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．
（六）作业：《习案》作业二十九

1

2
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础， 推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解
推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：
（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?
．
（2）
sin
?
?cos
？
（二）新课讲授
问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？

探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
cos
?
?sin
?
?
?
?
sin
?
?
2
???
2
??
2
?
?
?
2
?

?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
．
sin
?
?
?
?
?
?si n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?
?
?
?cos< br>?
sin
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?
探究2、让学生观察认识两角和与 差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

sin
?
?
?
?
?
sin
?
cos
?
?cos?
sin
?
．
tan
?
?
?
??
??
cos
?
?
?
?
?
cos?
cos
?
?sin
?
sin
?
探究3、我们 能否推倒出两角差的正切公式呢？
tan
?
?
?
?
??tan
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

?
1?tan
?
tan
?
?
?
?
1?tan
?
tan?
探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有
tan
?
、
tan
?
的形式呢？
（分式分子、分母同时除以
cos
?
cos
?
，得到
tan
?
?
?
?
??
tan
?
?tan
?
．
1?tan
?tan
?
注意：
?
?
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?
2
?k
?
,< br>?
?
?
2
?k
?
(
k?z
)

5、将
S
(
?
?
?
)
、< br>C
(
?
?
?
)
、
T
(
?< br>?
?
)
称为和角公式，
S
(
?
?
?
)
、
C
(
?
?
?
)
、
T
(
?
?
?
)
称为差角公式。
（三）例题讲解 < br>例1、已知
sin
?
??,
?
是第四象限角，求
si n
?
3
5
?
??
?
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解：因为
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是第四象限角，得
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