高中数学必修4课本知识点

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第一章 三角函数
一、基本概念
（1）任意角
①正角：按逆时针方向旋转的角
②负角：按顺时针方向旋转的角
③零角：不做任何旋转形成的角
（2）任意角的大小
①角度制
设角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，若
?< br>?30
，则终边
在其上的角的集合为
0
?
? ?
?30
0
?k?360
0
,k?Z
?

??
终边在
y
轴上的角的集合为
?
???k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k? 360?
?
,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
??
?k?180,k??

②弧度制
弧度制是角度的另一种表示方法.
概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位：
rad
.
有概念可得：<1>角度制和弧度制单位换算：
1rad?
180
?
，则1?
?
?
180

<2>设
?
是半径是
r
的圆，弧长为
l
所对应的圆心角. 则
?
?
③角度制和弧度制单位换算

1rad?
l

r
180
?
，则
1?
?
?
180

常见的角度制和弧度制的转化：
角
度
0
?

30
?

45
?

60
?

90
?

120
?
13 5
?
150
?
180
?
270
?
360< br>?

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弧
度
0


?

6
?

4
?

3
?

2
2
?
3

3
?
4

5
?
6

?

3
?
2

2
?


（4）象限角（任意角的归类）
设角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象 限，
则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?< br>?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集 合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??< br>?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

二、三角函数
（1）求三角函数值
设
?
是任意角，它的终边与 圆心在原点的圆交于点
P
?
x,y
?
，那么

s in
?
?
y
x
2
?y
2
、
cos
?
?
x
x
2
?y
2
、
tan?
?
y

x
y

x
① 特例：若原 始单位圆，则
sin
?
?y
、
cos
?
?x
、
tan
?
?
② 终点在
y
轴的角的正切值不存在
③
sin
2
?
?cos
2
?
?1、
tan
?
?
sin
?
（★★★★★）
cos
?
④ 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即
?
?< br>?k?2
?
?
?sin
?
、
cos
?
?
?k?2
?
?
?cos
?
、
tan
?
?
?k?
?
?
?tan
?

sin
其中
k?z

⑤ 三角函数在各象限的符号：

第一象限
第二象限
第三象限
sin
?

+
+
-
cos
?

+
-
-
tan
?

+
-
+
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第四象限
- + -
（2）三角函数图像与性质


1） 正弦函数图像
<1>图像来源
①描点法（略）
②平移、拉伸
A、
y?sinx
的图象上所有点向左（右 ）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图 象上所有点的横坐标伸长
（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函数
y ?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再
?
将函 数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐 标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横
坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
B、
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不
?
变），得 到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?x
的图象上所有点向左（右）
平移
?
个单位长度，得到函数
y? sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩 短）到原来的
?
倍（横坐标
不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
<2>图像性质
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
A、.振幅：
?
；B、周期：
??
E、初相：
?

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2
?
?
；C、.频率：
f?
1
?
?
；D、相位：
?
x?
?
；
?2
?

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F、函数< br>y?Acos
?
wx?
?
??
A?0,w?0
?，
x
1
、
x
2
为相邻的取得函数最大值与
函数最小值的自变量的取值，则
??
<3>诱导公式
A、
sin
?
x?2k
?
?
?sinx
?
k?Z
?
：函数
sinx
图像周期性
B、
sin
?
x?
?
?
??sinx
：函数
s inx
图像在任意相距
?
的两个自变量所对应的
函数值互为相反数
C、
sin
?
?
??
??sin
?
：函数
sinx
图像关于原点对称，或者函数< br>sinx
图像在
互为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数
D、
sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
：函数
si nx
图像关于
x?
2）余弦函数
<1>余弦函数图像来源（略）
①描点法（五点法）
②平移旋转
<2>图像性质
函数
y ?Acos
?
wx?
?
??
A?0,w?0
?
的性 质：
A、.振幅：
?
；B、周期：
??
E、初相：
?

F、函数
y?Acos
?< br>wx?
?
??
A?0,w?0
?
，
x
1、
x
2
为相邻的取得函数最大值与
函数最小值的自变量的取值，则
??
<3>诱导公式
A、
cos
?
x?2k
?
?
?cosx
?
k?Z?
：函数
cosx
图像周期性

B、
cos
?
x?
?
?
??cosx
：函数
cosx
图像在任意相距
?
的 两个自变量所对应
的函数值相反
C、
cos
?
?
?
?
?cos
?
：函数
cosx
图像关于
y
轴对称， 或函数
cosx
图像在互为
相反数的两个自变量所对应的函数值相等
1?
?
y
max
?ymin
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?

22
?
2
对称
2
?
?
；C、.频率：
f?
1
?
；D、相位：?
x?
?
；
?
?2
?
1?
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x< br>1
?
x
1
?x
2
?
22

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D、
cos< br>?
?
?
?
?
??cos
?
：函数
c osx
图像关于
?
3）正切函数
<1>诱导公式
?
?
?
,0
?
对称
?
2
?
A、
tan
?
x?k
?
?
?tanx
?
k?Z
?
：函数
tan x
图像周期性

B、
tan
?
?
?
?
??tan
?
：函数
tanx
图像关于原点对 称，或函数
tanx
图像在互
为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数
C、
tan?
?
?
?
?
??tan
?
：函数
ta nx
图像关于
?
4）正弦函数与余弦函数关系：
<1>诱导公式
A、函数
cosx
是由
sinx向左平移而来的，即
sin
?
?
?
?
,0
?< br>对称
2
??
?
?
?
?x
?
?cosx

?
2
?
B、
sin
?
??
?
?
?x
?
?cosx
函数
cosx
与
sinx
的图像关于
x?
对称
4
?
2
?
5） 三角函数表格：


函
数
y?sinx

性
质
y?cosx

y?tanx

图
象


定
义
域
值
域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
?
?1,1
?

?
?1,1
?

R

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当
x?2k
?
?
时，
?
2
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k ??
?
时，
最
值
y
max
?1< br>；当
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
x?2k
?
?
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
2
?

2
?

奇函数 偶函数 奇函数
在
?
2k
?
?
?
?
?
2
,2k
?
?
?< br>?
2
?
?

在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
是增 函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

在
?
k
?
?
单
?
k??
?< br>上是增函数；在
调
?
3
?
?
性
?
2k
?
?,2k
?
?
??

?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
?
22
?
?
k??
?
上是减 函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对
称
称
对
性
x?k
?
?
?
?
k??
?

?< br>??
称中心
?
k
?
?,0
?
?
k? ?
?

2
??
轴
对称轴
x?k
?
?
k??
?

对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
无对称轴
2

（3）三角函数的诱导公式




?
1
?
sin
?
2k
?
?
??
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?< br>?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
???cos
?
，
tan
?
?
?
?
?< br>?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
??
?
?
?
?sin
?
，
cos
??
?
?
?
??cos
?
，
tan
?< br>?
?
?
?
??tan
?
．
?
5< br>?
sin
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?cos
?
cos
?
?
??
?sin
?
?
6
?
sin
?
??
?
?cos
?
?
2
??
2
??2
?
，．
?
，
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?
?
?
cos
?
?
?
?
??sin
?
?
2
?< br>．

小结：
① 图像中
w
的作用是压缩或者伸长，影响的是 周期、单调区间；
?
的作用是平移，影
响的是奇偶性；
A
的作用是纵 向拉伸，影响的是最值、值域。
② 一般地，函数
y?Asin
?
wx?< br>?
??
A?0.w?0
?
的图像，可以看成是由下面的方法得
到的：先画出
y?sinx
的图像；再把正弦曲线向左（右）平移
?
个单位长 度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图像；然后使曲线上 各点的横坐标变为原来的
1
倍，得到函数
w
y?sin
?
w x?
?
?
的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的
A
倍，这时 的曲线就是函
数
y?Asin
?
wx?
?
?
的图像 。
③
y?Asin
?
wx?
?
?
由y?sin x
平移拉伸而来，但是用此方法画
y?Asin
?
wx?
?
?
图

像较繁琐. 方法是“五点（画图法）”！原因就是说任何
y?Asi n
?
wx?
?
?
的图像都可以由
y?sinx
平移 ，压缩，拉伸而来的，所以说
y?sinx
的一个周期中的五个点对应到
y?Asin
?
wx?
?
?
的五个点也是一个周期，
w?0
注定 单调性也是一致的
④
A
是振幅，
wx?
?
是相位，
?
是初相，周期
T?

2
?
1w
，频率
f??

wT2
?
第二章 平面向量
一、基本概念
向量：既有大小，又有方向的量
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．
零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
二、向量的运算
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（1）向量的加法
①三角形法则的特点：首尾相连
②平行四边形法则的特点：共起点
③三角形不等式：
a?b?a?b?a?b

当a，b不共线时，
a?b?a?b?a?b

当a，b同向时，
a?b?a?b

当a，b反向时，
a?b?a?b

④运算性质： A、交换律：
a?b?b?a

B、结合律：
a?b?c?a?b?c

C、
a?0?0?a?a

⑤坐标运算：设
a?
?x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
? x
2
,y
1
?y
2
?

（2） 向量的减法：

①三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
②转化成加法


a?b?a?
?
?b
?
注：
AB??BA
③坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

（3） 向量的数乘：
①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
、
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a< br>、

?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
、
?
?
?
?
a??
?< br>?
a
?
?
?
?
?a
?
、
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b


?
a?
????
C

a

b

?

?

a?b??C?????C

?
a

②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相
反；当
?
?0
时，
?
a?0

⑧向量共线定理：
向量
a
?
a?0
?
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
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b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0

共线
⑨坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
（4） 平面向量基本定理：
如果
e
1
、那么对于这一平面内的任意向量
a
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e< br>1
、
e
2
作为这一
平面内所有向量的一组基底）
（5） 分点坐标公式：
设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当< br>

??
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
就为中点公式 ）
时，点的坐标是
???
?
??
?
??
?
?1时，
2



1
1?
?
1?
?
??

（6）

平面向量的数量积：

①
a?b?abcos< br>?
a?0,b?0,0?
?
?180

零向量与任一向量的数量积为
0
．
②性质：设
a
和
b都是非零向量，则
a?b?a?b?0


设
a
与
b
同向时，
a?b?ab
、
a?a?a?a
或< br>a?a?a

设
a
与
b
反向时，
a?b??ab

2
2
??

a?b?ab
当且仅当
a
、
b
是共线向量时满足等号成立
③运算律：
a?b?b?a
、
?
?
a
?
? b?
?
a?b?a?
?
b
、
a?b?c?a?c?b?c< br>????
??

?
a?b
?
?a?2ab?b
?
a?b
?
?a?2ab?b

222

?a?2abcos
?
?b
?
是a,b夹角
?a
22
2
222
??

? 2abcos
?
?b
?
?
是a,b夹角
?

2
2
④坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
, y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y< br>2

设
a?
?
x,y
?< br>，则
a?x?y
，或
a?
2
2
x
2
?y
2
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y< br>2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

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设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，
则
cos
?
?



第三章 三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
：
⑴
cos
⑶
sin
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x ?y
2
2
2
2
．
?
?
?
??
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos< br>?
cos
?
?sin
?
sin
?

?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?< br>
?
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?< br>
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

?
tan
?
?tan
?
?tan?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
、
1?tan
?
tan
?
⑸
tan< br>⑹
tan
22
?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
??
?
?2cos
?
sin
?
?sin
?
?sin
?
?2cossin
（8）
22
（7）
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
??
?
?2sin
?
cos
?
?sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
cos
?
?
?


二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin 2
?
?2sin
?
cos
?
?1?sin2
??sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)


cos2
?
?cos
2
222
?
?sin
2
??2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
,1?cos
?
?2sin
2
1?cos
?
222 1?cos
?

cos2
?
?11?cos2
?
1 ?cos2
?
2
，
sin
?
?

?tan
2
?
?
?
降幂公式
cos
2
?
?
22
1?cos2
?

2

?
升幂公式< br>1?cos
?
?2cos
?
?tan
2
?
?

tan2
?
?
三、



2tan
?
．
1?tan
2
?
万能公式:
αα
1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα? αα
1?tan
2
1?tan
2
22
2tan
四、合一变形（★★★★）
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（1）
asinx?bcosx?
??
ab
?

a
2
?b
2
?
sinx?cosx
?
2
?< br>222
a?b
?
a?b
?

?a
2
?b
2
?
sinxcos
?
?si n
?
cosx
?


?a
2
?b
2
sin
?
x?
?
?
?
tan
?
?
?
?
b
?
?
< br>a
?
（2）
asinx?bcosx?
??
ab
?< br>
a
2
?b
2
?
sinx?cosx
?2
?
222
a?b
?
a?b
?

?a
2
?b
2
?
sin
?
sinx?co s
?
cosx
?


?a
2
?b
2
cos
?
x?
?
?
?
tan
?
?




?
?
a
?
?

b
?



文案大全

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例1、（课本例题，
P< br>19
）已知
sin
?
??
3
，求
cos?
、
tan
?
的值
5
目的：已知某角的正切、正弦、余弦三者之一，快速求其余两个
3
?0
，且
sin
?
??1
，所以
?
是第三或第四象限
5
16
22
22
由于
sin
?
?cos
?
?1
得：
cos
?
?1?sin< br>?
?

25
3
?
4
sin
?
3
若
?
是第三象限角，则
cos
?
??
，
tan?
??
5
?

5
cos
?
?
4
4
5
3
?
4
sin
?
3
若
?
是第四象限角，则
cos
?
?
，
tan
?
??
5
??

4
5
cos
?
4
5
解析一：因为
s in
?
??
2
?
2
?
3
?
?cos
?
?
?
?
?
?1
?
sin2
?
?cos
2
?
?1
?
5
?
?
?
解析二：联立方程组
?
即是
?

si n
?
3
?
?
?
tan
?
?
cos
?
?
?
tan
?
?
5
cos
?< br>?
则可得：
cos
?
??
4343< br>、
tan
?
?
或
cos
?
?
、tan
?
??

5454
思路：此题若是一道选择题，用方法一、方法二太繁琐!
方法：①我们先判断
?
是第三或第四象限
②若?
是第三象限角，则
cos
?
?0
、
tan
?
?0
. 我们心里可以假设一个
3
. 所以
?
的对边是3，
5
43
斜边是5. 有勾股定理可得邻边是4，故
cos
?
?
、
tan?
?
，然后
54
4343
判断符号即可得到
cos
?
??
、
tan
?
?或
cos
?
?
、
tan
?
??

5454
直角三角形，假设一个角是
?
，因为
sin
?
??
例2、（课本练习
P
20
、证 明
P
22
）
目的：快速应用
sin
2
?
?cos
2
?
?1
、
tan
?
?
sin
?
进行恒等变形
cos
?
（1）
si n
4
?
?cos
4
?
?sin
2
?
?cos
2
?
44
??
?2sin
2
2
?
cos
2
?
?1?2sin
2
?
cos
2
?

2

sin
?
?cos
?
?sin
?
?cos
?
sin
?
?co s
?
?sin
?
?cos
?

（2）
1?2sinxcosx?
?
cosx?sinx
?

2
?
22
??
2
?
22
文案大全

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（3）
1?tanxcosx?sinxsinx?cosxtanx?1
、、
??
1?tanxcosx?sinxsinx?cosxtanx?1
22
?
1 ?sinx
?

1?sinx
?
1?sinx
??
1?sinx
??
1?sinx
?

???
1?sinx
?
1?sinx
??
1?sinx
?
1?s in
2
xcos
2
x
2
sin
2
x1?
22
?
2
?
1?cosx
?
?
（4）
tanx?sinx??sinx?sinx
?
?1
?
?si nx
?
222
??

cosxcosxcosx
??
??
22
?
sin
2
x
?
22
?

?sinx
?
?sinxtanx

?
cos
2< br>x
?
??
2
例3、（课本例题
P
26
、P
27
）（1）证明：
sin
?
?
3
?
?
?x
?
??cosx

?
2
?
??
??
11
?
?
sin
?
2
?
?x
?
cos
?
?
?x
?
cos
??x
?
cos
?
?x
?
?
2
??2
?
（2）化简
?
9
?
?
cos
?
?
?x
?
sin
?
3
?
?x
?
sin
?
?
?
?x
?< br>sin
?
?x
?
?
2
?
目的：灵活应用三角函数的诱导公式
（1）解析① 第一步，利用
y?sinx
图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数
值互为相反数，即是
sin
?
?
3
?
??
?
?
?x
?
??sin
?
?x
?
第二步，利用
y?sinx

22
????
?
?
? ?
3
?
?
?x
?
?cosx
，故
sin< br>?
?x
?
??cosx

?
2
??
2
?

y?c osx
关于
x?
?
4
对称得
sin
?
② 第一步，利用
y?sinx
图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数
值互为相反数，即是
sin
?
?
3
?
??
?
?
?x
?
??sin
?
?x
?
第二步，利用
y?sinx

22
????
?
?
?
?x
?
?cos
?
?x
?
第三步
?
2
?
?
3
?
?
?x
?
??cos x

?
2
?
图像是由
y?cosx
图像平移而来的，故
sin
?

y?cosx
的图像关于
y
轴对称故
cos
?
?x
?
?cosx
故
sin
?
（2）解析：
sin
?
2
?
?x
?
?sin
?
?x?
??sinx


cos
?
?
?x
?
??cosx

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c os
?
?
?
?
?x
?
?sin
?
?
?x
?
??sinx

?
2
?
?
11
?
??
3
?
??
?
?
?x
?
?cos
?
?x
?
??cos
?
?x
?
??sinx

?
2
??
2
??
2
?

cos
?

cos
?
?< br>?x
?
??cos
?
?x
?
??cosx


sin
?
3
?
?x?
?sin
?
?
?x
?
??sin
?
?x
?
??
?
?sinx
?
?sinx


sin
?
?
?
?x
?
??sin
?
?x
?
??
?
?sinx
?
?sinx


sin
?
?
9
?
??
?
?
?x
?
?sin
?
?x
??cosx

?
2
??
2
?
思考：奇变偶不变，符号看象限！
小结：（1）对于此类型题，我们的方法一般式：周期性、半周期、函数平移或奇
偶性
（2）思考：奇变偶不变，符号看象限（理解记忆！）
例4、（课本探究
P
31
）你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当 的图像变形
得到余弦函数的图像吗？
目的：用正余弦函数图像来解释诱导公式
sin
?
x?
们能灵活应用公式！
解析：
sin
?
x?
?
?
?
?
?
?cosx
的含义，一变我
2
?
?
?
?
?
?
?cosx
告诉我们：正弦函数< br>y?sinx
的自变量取值比余弦
2
?
函数
y?cosx
自变量取值大
余弦函数向右平移而来的
小结：思考其他诱导公式的含义！
?
时，函数值相等，即是：正弦函数是由
2
例5、（课本思考
P< br>33
）你能否从函数图像变换的角度，利用函数
y?sinx,x?
?
0,2
?
?
的图像
来得到
y?1?sinx,x ?
?
0,2
?
?
的图像？同样的，能否从函数
y?cosx ,x?
?
0,2
?
?

的图像得到函数< br>y??cosx,x?
?
0,2
?
?
的图像？
目的：函数的平移、对称、旋转
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解 析：
y?1?sinx,x?
?
0,2
?
?
图像是由
y?sinx,x?
?
0,2
?
?
的图像向上平移1个单位
长度而来的，理由：相等的自变量取值，
y?1?sinx,x??
0,2
?
?
的函数值总比

y?sinx,x?
?
0,2
?
?
的函数值大1
函数
y??cosx,x?
?
0,2
?
?
的图像是由函数< br>y?cosx,x?
?
0,2
?
?
的图像关于

x
轴对称而来的，理由：相等的自变量取值，
y??cosx,x?
?
0,2
?
?
的函数值与

y?cosx,x?
?
0,2
?
?
的函数值互为相反数
思考：如何求函数平移、对称、旋转（特例关于原点对称），比如说：已知函数是奇函
数，且已知
x?0
时的函数表达式，求
x?0
时的函数表达式？
例 6、（课本思考
P
35
）求下列函数的周期：
y?3cosx,x?R
、
y?sin2x,x?R
、

y?2sin
?
量有关
目的：利用周期函数的概念（或函数平移旋转对称）求三角函数的周期
解析一：
y ?2sin
?
?
??
1
x?
?
,x?R
， 并从中你归纳这些函数的周期与解析式中的哪些
6
??
2
?
??
??
1
?
1
x?
?
,x?R
，设周 期是
k
?
，则
2sin
?
?
x?k
??
?
?

6
?
6
??
2
?
2

?2sin
?
?
?
?
k
?
?
1< br>?
1
x?
?
，整理得
2sin
?
x??6
?
62
?
2
?
2
?
???
1
?
?2sin
?
x?
?
，则可知
6
???
2

k?4
，即：原函数的周期是
4
?

解析二：< br>y?2sin
?
?
?
?
?
1
x?
?
,x?R
图像是由函数
y?sinx,x?R
先向右平移得到
6
?
6
?
2
?
?
函数
y?sin
?
x?
?
?
?
??
,x? Ry?sinx?
的图像，然后由
???
,x?R
的图像水
6
?
6
??
平拉伸2倍得到函数
y?sin
?
?
??
1
x?
?
,x?R
的图像，最后将函数
6
??
2

y?s in
?
?
?
?
??
1
?
1
x?< br>?
,x?R
的图像竖直拉伸2倍得到
y?2sin
?
x??
，
6
?
6
??
2
?
2

x?R
图像
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已知
y?sinx,x?R
的周期是
2
?
，因为
y?sin
?
x?
?
?
?
?
?
,x?R
是由 函数
6
?

y?sinx,x?R
平移 而来的，所以说周期仍是
2
?
；
y?sin
?
?
? ?
1
x?
?
,x?R

6
??
2
的图像是由
y?sin
?
x?

T?2
?
?
?
?
?
?
,x?R
水平拉伸2 倍而来，故周期增大为
6
?
?
?
?
??
1
?
?4
?
；
y?2sin
?
x?
?
x? R
是由
y?sin
?
x?
?
,x?R
图
1
6
?
6
??
2
?
2
?
??1
x?
?
x?R
的周期
6
??
2
2
?
，既可以推广到
w
像纵向拉伸，胡周期不变，综合上述可知：
y?2sin
?
是
T?
2
?
1
2
?4
?
即：
y?Asin
?
wx?
?
?
周期为
T?
如果函数
y?f
?
x
?
的周期是
T
，那么函数y?f
?
wx
?
的周期是
例7、（课本例题
P
39
）求函数
y?sin
?
T

w
?
? ?
1
x?
?
,x?
?
?2
?
,2
?
?
的单调递增区间
3
??
2
目的:由已知函数的单调性求复合函数的单调性、三角函数的“五点作图法”
解析一：令
z?
?
1
?
?
?
?
x?
，函数< br>y?sinz
的单调增区间是
?
??2k
?
,?2k
?
?

2
23
?
2
?
?2k
?< br>?z?
?
由
?
?
2
?
5
?
?2k
?
，解得：
?
?
?4k
?
?x??4k
?

233
33
?
5
?
?
当且仅当
k?0
时
?
满足定义域取
?
x?
??x?
?
?
?
?2
?
,2
?
?
，
值范围，故函数
y?sin
?
?
??
1
x?
?
,x?
?
?2
?
,2
?
?
的单调递增区间是：
3
??
2
5
?
?

?
?
x?
?
?x?
?
?
33
?< br> 解析二：利用“五点作图法”（描点法）画图，由函数图像进行单调性判断：

x



y
?

0
8
?
3
?

5
?
3
2
?
?
3

0
?

3
1
4
?

3
7
?

3
10
?

3
-1 0 -1 0
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故函数
y?sin
?
?
??
1
x?
?
,x ?
?
?2
?
,2
?
?
的单调递增区间是：
3
??
2
3
?
5
?
?

?
?
x?
?
?x?
?
?
3
例8、 （课本例题
P
39
）利用三角函数单调性，比较下列各组数的大小：
（1）
sin
?
?
?
?
??
?
??
23
?
与sin?cos
（2）
????
?
?
18
??
10
??
5
??
17
?
与cos
??
?
??
4
?
?

?
目的：用函数单调性比大小
解析：利用三角函数的单调性比较同名三角函数的大小，可以先利用诱导公式将已知
角化为同一单调区间内的角，然后比较大小
例9、（课本例题
P
44
）求函 数
y?tan
?
?
??
?
x?
?
的定义域 、周期和单调区间
3
??
2
目的：求正切函数的定义域、周期、单调区间
解析：正切函数与正、余弦函数的区别：
（1）正切函数定义域不是全体实数，而正、余弦函数的定义域是全体实数
（2）正切函数只有单调递增区间，没有单调递减区间！而正、余弦函数既有单
调递增区间，又有单调递减区间
（3）正切函数的周期为
T?
?
w
，正、余弦函数的周期为
T?2
?

w
理由：函数
y?t anx
周期是
?
，函数
y?sinx
、
y?cosx
周期均是
2
?

小结：（1）三角函数周期两种求法：三角函数概念；公式法
（2）三角函数单调性的两种求法：复合函数求单调性；五点作图法（描点法）
例10、（课本习题A 10，
P
46
）已知函数
f
?
x
?
是以2 为最小正周期的周期函数，且
x?
?
0,2
?

时，
f
?
x
?
?
?
x?1
?
，求
f
?
3
?
、
f
??
的值
2
?
7
?
?
2
?
目的：利用周期函数的性质，由已知区间的函数表达式求未知区间的函数表达式
解析：略
方法：仿照下面此题方法一致，多思考！
（课本必修一习题1.3，
P
39
）已知函数
f
?
x
?
是定义在R
上的奇函数，当
x?0
时，
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f
?
x
?
?x
?
1?x
?
，画出函数
f
?
x
?
的图像，求出函数解析式
解析一：因为函数
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数，所以函数在
x?0
的图像上的 坐标
点关于原点对称后的坐标点满足
f
?
x
?
?x
?
1?x
?
我们可以设
x?0
图像 上的
坐标点为
?
x, f
?
x
??
，则关于原点对称后的点的坐标为
?
?x,?f
?
x
??
，因为

?
?x,?f
?
x
??
满足
f
?
x
??x
?
1?x
?
，可得：
?f
?
x
?
??x
?
1?
?
?x
?
?
?x?x
，
2
即：
f
?
x
?
?x?x

2
x

此方法利用函数图象上点的特征来寻找到关于与
f
?
x
?
的 一个等式，通过
化简即可得到
f
?
x
?

解析二：找规律 < br>f
?
?1
?
??f
?
1
?
??1?
?
1?1
?

f
?
?2
?
??f
?
2
?
??2?
?
1?2
?

f
?
?3
?
??f
?
3
?
??3?
?
1?3
?

f
?
?4
?
??f
?
4
?
??4?
?
1?4
?

... .................
若
a?0
，则
f
?
a
?
??f
?
?a
?
??
?
?a
?
?
?
1?
?
?a
?
?

若
x?0
，则
f
?
x
?
??f
?
?x
?
??
?
?x
?
?
?
1?
?
?x
?
?
?x?x

2

例11、（课 本习题B3，
P
47
）已知函数
f
?
x
?
的图像如图所示，试回答下列问题

（1）求函数的周期
（2）画出函数
y?f
?
x?1
?
的图像

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（3）你能写出函数
y?f
?
x
?
的解析式
目的：函数的平移
解析：（1）周期：2
（2）
y?f
?
x?1
?
函数图像是由
y?f
?< br>x
?
向左平移一个单位长度而来的
（3）
?1?x?1
时，
f
?
x
?
?x


1?x?3
时，
f
?
x
?
?x?2


3?x?5
，
f
?
x
?
?x?4


2n?1?x?2n?1
时，
f< br>?
x
?
?x?2n,n?z

例12、（课本练习
P
56
，3）函数
y?
2
?
1
?
?
sin
?
x?
?
的振幅、周期和频率各是多少？它的图
3
?
24
?
像与正弦曲线有什么关系？
目的：知道三角函数振幅、周期、频率、单调性、定义域怎么求得，并能利用平移
拉伸（压缩）来画函数的图像
解析：
y?
2
?
1
?
?
?
sin
?
x?
?
是由
y? sinx
先向右平移，然后横坐标变为原来的
3
?
24
?
4
2倍，纵坐标缩短为原来的
2
倍
3
或
y?
2
?
1
?
?
sin
?
x?
?
是由
y?sinx
先横坐标变为原来的2倍，然后向右
3
?
24
?
平移
?
2
，最后纵坐标缩短为原来的倍
23
小结：
y?
2
?
1
?
?
sin
?
x?< br>?
图像形成的两种方法，先平移后压缩；或者先压缩后平
3
?
24
?
移，两种方法，但是一种思路





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例1、（课本探究
P
82）数的加法满足交换律和结合律，即对于任意
a,b?R
,有
a?b?b?a

a?b?c?a?b?c
，任意
a
、
b
的加法是否也满足交换律和结合律？请
画图进行探索
目的：向量加法交换律和结合律的理解！
解析：
????

由向量加法的三角形法则可知：
AC?AB?BC?AD?DC
、


AD?AB?BC?CD?AB?BC?CD

即是：
a?b?b?a
、
a?b?c?a?b?c

例2、（课本探 究
P
85
）向量是否有减法？如何理解向量减法？我们知道，减去一个数等于加
上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？
目的：向量减法和加法的灵活转化
解析：
??
????


AE?a??b?a?b


??
例3、（课本探究
P
87
）已知非零向量
a
，作出
a?a? a
和
?a??a??a
，你能说明它
们的几何含义吗？
（课本思考
P
88
）你能解释上述运算律的几何意义吗？
目的：理解向量数乘的几何含义
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??????

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解析：①
?
?
?
a
?
?
???
?
a
、
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
、
?
?
?
?
a??
?
?
a
?
?
?
?
?a
?


?
a?
?
a
，
上述四个纯粹是很好理解，解析略

?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b、
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b

理解：此两个先画图，利用相似即可理解
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方
向相反；当
?
?0
时，
?
a?0

理解：
?
的正负代表方向，大小代表向量长度伸长或压缩
OB?a?2b
、 例4、（课本例题
P
89
）如图所示，已知任意两个非零向量
a,b
，试做
OA?a?b
、

OC?a?3b
，你能判断
A
、
B
、
C
三点的位置关系吗？为什么？
目的：利用向量判断三点是否在一条直线上
解析：假设
A、
B
、
C
三点在一条直线上，必定满足
AB?
?
BC

????

BC?OC?OB?
?< br>a?3b
?
?
?
a?2b
?
?b


AB?OB?OA?a?2b?a?b?b

存在
AB?BC
，此时
?
?1

例5、（课本例题
P
89
）如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB?a
、

AD?b
，你能用
a,b
表示
MA,MB,MC,MD
吗？
目的：利用平面内两个非零向量表示平面内其它向量（向量间的关系），特例：若这两
个向量长度均为1，夹角为
90
，即是平面直角坐标系
解析：利用向量的加减法

MA?
?
1111
CA??AC??AB?AD??a?b

2222
1
a?b

2
????

MC??MA?
??

MB,MD
自行求解
例6、（课本思考
P
96
）已知
a?
?
x
1
,y
1
?
、
b?
?
x
2
,y< br>2
?
你能得出
a?b
、
a?b
、
?
a
的坐标吗
目的：理解向量的坐标表示
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解析：设
i,j
是与
x
轴、< br>y
轴相同的两个单位向量，故
a?
?
x
1
,y
1
?
?x
1
i?y
1
j
、

b?
?
x
2
,y
2
?
?x
2i?y
2
j
，故
a?b?
?
x
1
?x
2
?
i?
?
y
1
?y
2
?
j?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?


a?b?
?
x
1
? x
2
?
i?
?
y
1
?y
2
?j?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?


?
a?
?
?
x< br>1
i?y
1
j
?
?
?
x
1
i?
?
y
1
j
、
例7、（课本思考
P
9 8
）已知
a?
?
x
1
,y
1
?
、
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b? 0
，我们知道，
a,b
向
量共线，则存在实数
?
，使
a?
?
b
.那么如何用坐标表示两个共线向量？
目的：用坐标表示两个共线向量
解析一：
a?
?
x
1
,y
1
?
?x
1
i?y
1
j
、
b ?
?
x
2
,y
2
?
?x
2
i?y
2
j
，由
a?
?
b
可得：
?
x
1
?
?
x
2
??
xi?yj?
?
xi?yj?
?
xi?
?
yj
12222
，即是
?

1

y?
?
y
2
?
1
消去
?
后得：
x
1
y
2
?x
2
y
1?0

也就是说，当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a,b
（
b?0
）共线
解析二：

若
a,c
向量共线，则有△AA
1
A
2
相似于△B
1
BB
2
故可得：

x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

x
1
y
1
?
，即是
x
2
y2
P
1
P
2
上的一点，
1
,P
2的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?< br>x
2
,y
2
?
例8、（课本例题
P
99< br>）设点
P
是线段
P
1
P
2
上的中点，求P
的坐标 （1）当点
P
是线段
P
1
P
2
上的三等分点时，求
P
的坐标 （2）当点
P
是线段
P
目的：理解分点坐标公式
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解析一：（1）由向量的线线运算可 知
OP?
1
?
x?xy?y
2
?
OP
1< br>?OP
2
?
?
12
,
1
?

22
??
2
??
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
?
,
P
?
故，点的坐标为
?
22
??
（2）点
P
存在两种情况：
PP
1
?
若
PP
1
?
1
PP
2
或
PP
1< br>?2PP
2

2
1
1
PP
2
，则< br>OP?OP?PP?OP?P
1111
P
2

2
3< br>?
2x
1
?x
2
2y
1
?y
2?
?,
?

?
33
??
同理可得：若
PP
1
?2PP
2
,则
OP?
?
?
x
1
?2x
2
y
1
?2y
2
?
,
?

33
??
解析二：（1）设点
P
的坐标为?
x
0
,y
0
?
，则由
P
1
P?PP
2
可得：

?
y0
?y
1
,x
0
?x
1
?
?
?
y
2
?y
0
,x
2
?x
0
?< br>
则可得：
x
0
?
x< br>1
?x
2
y
1
?y
2
y?
、
0

22
（2）根据（1）中的方法可求得
?
x
1
?x
2
y
1
?y
2
?
,
P
?
解析三：（1）直接利用中点坐标公式即可得：点的坐标为
?
22
??
1
PP
2
或
PP
1< br>?2PP
2

2
1x
2
?x
1
2x
1
?x
2
PP?PPx??
P
若
1
点的横坐标为
1
，纵坐标
2
，
233
2y
1
?y
2
为
3
（2）点
P
存在两种情况：
PP
1
?
同理可得：若
PP
1
?2PP
2
,则点
P
的坐标为
?
?
x
1
?2x
2
y
1
?2y< br>2
?
,
?

33
??
小结：（1）对于此题，解析一中OP向量的坐标表示即为P的坐标，故只要求出向
量OP即可；解析二利用解方程的思维，寻找关于P的横纵坐标的方程，解
出未知数即可；解析三利用初中所学的平面图形的相似原理
（2）对于一般学生来说，或许最容易想到的是解析二，解析二中应用的是
平行向量的关系；对于思路活跃的学生而言，一般想到的是解析三；很少有
人能想到解析一，但是解析一给我们提供了思路：OP向量的坐标表示即为P
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的坐标，故只要求出向量OP即可
（3）分点坐标公式：（课本探究
P
100
）
设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当

?
x
1
?
?< br>x
2
y
1
?
?
y
2
?
,< br>就为中点

时，点的坐标是
???
?
??
?
??
?
?1时，
2

1
1?
?
??
1?
?
坐标公式
例9、（课本探究
P
106
）已知非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
、
b?
?
x2
,y
2
?
，怎么用
a,b
向量的坐标表
示
a?b

目的：理解向量坐标的含义，并能进行
a?b?c?a?c?b?c
的运算
解析：略
小结：（1）向量坐标含义：
a?
?
x
1
,y
1
?
?x
1
i?y
1
j

（2）
a?b?c?a?c?b?c

（3）
??
??
i
2
?i?i?cos0?i?1
2
?1
2

思考：设
a
、
b
都是非 零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是a
与
b
的夹角，
则
cos?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x? y
2
2
2
2
应用这个公式我们可以求平面内直线
间的夹角. 在以后的学习中，我们会接触空间向量
例10、（解三角形）已知一个三角形ABC，试着寻找AB、AC、BC、cosA之间的关系
目的：平面向量应用：研究三角形边角之间的关系
解析：

BC?AC?AB?AC?2AC?AB?AB?AC?2AB?ABcosA ?AB
2
2
??
222
22

若令
AB=c、AC=b、BC=a
，则
a=b
2
+c
2< br>-2bccosA

小结：此内容是必修五第一章的内容，在此处是完全可以理解的
例11、（课本探究
P
124
）如何用角
?
,
?
的正弦、余弦值来表示
cos
?
?
?
?
?

目的：平面向量应用：证明两角差的余弦公式
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解析：在平面直角坐标系xoy内做单位圆O，以Ox为始边作角
?
,
?
，它 们的终边
s
?
,sin
与单位圆O的交点分别 是A,B，则
OA?
?
co
?
?
、
OB?
?
cos
?
,sin
?
?


OA?OB?cos
?
sin
?
?sin
?
cos
?
、且
OA?OB?OA?OB?cos
?
?cos
?，故：
因为
?
?2k
?
?
?
?
?
或
?
?2k
?
?
?
?< br>?
，于是
?
?
?
?2k
?
?
?，所以

cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?
，整理得：

cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?

延伸：（1）
cos?
?
?
?
?
?cos
?
cos
??sin
?
sin
?
，则
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?


cos
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
sin?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

?
?
?
?
??< br>?
??
?
?
??
sin
?
?
??cos?
?
?
?
?cos?
?
cos
??sin?
?
??????
sin
?
（2）
?
2
?
??
2
??
2
?
?
?
?

?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

（3）
sin
?
?
?
?
?
?sin
?cos
?
?
?
?
?cos
?
sin
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos?
sin
?

?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
sin
?
?
?
? cos?
?
?
?
?cos?
?
cos
?
? sin
?????
?
?
?
sin
?

?
2
?
??
2
??
2
?
?
?
?

?sin
?< br>cos
?
?sin
?
cos
?

（4）
tan
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
?
cos
?
?
?
?
?
1?tan
?tan
?

sin
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
?
cos
?
?
?< br>?
?
1?tan
?
tan
?

（5）
tan
?
?
?
?
?
?
（6）
sin2
?
?2sin
?
cos
?

2

cos2
?
?cos
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2si n
2
?

tan2
?
?

2tan
?
1?tan
2
?

例12、（课本例题
P
140
）求函数
y?sinx?3cosx
函数的周期、最大值和 最小值
目的：学会灵活运用合一公式
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解析：通过三角变换，我们把形如
y?asinx?bcosx
的函数转化为形如

y?Asin
?
wx?
?
?
的函数使 得问题得到简化，这个过程蕴含了化归思想!
?
1
?
?
3
???
???
?
y?sinx?3cosx?2?
?
sinx?co sx
?
?2cossinx?sincosx?2sinx?
????
??
22333
???
??
?
1
?
?
?
3
??
??
?
?2
?
sinsinx?cosco sx
?
y?sinx?3cosx?2?
?
sinx?cosx?2cosx ?
???
??
?
22
?
?
66
?
故周期是
2
?
，最大值是
2
，最小值时
?2

（1）
asinx?bcosx?a
2
?b
2
?
?
ab
?
?
?
a
2
?b
2
sin x?
a
2
?b
2
cosx
?
?

?

?a
2
?b
2
?
sinxcos
?
?sin
?
cosx
?


?a
2
?b
2
sin
?
x?
?
?
?
?
tan
?
?
b
?
?
a
?
?

asinx?bco sx?a
2
?b
2
?
?
ab
?
（2）
?
?
a
2
?b
2
sinx?
a2
?b
2
cosx
?
?

?

?a
2
?b
2
?
sin
?
sinx?co s
?
cosx
?


?a
2
?b
2
cos
?
x?
?
?
?
?
a
?
?
tan
?
?
b
?
?


文案大全
?
3
?