新人教版高中数学必修4知识点

新人教版高中数学必修4知识点
总结经典

学习数学 要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青

新课标高中数学必修4知识点详细总结
?
正角:按逆时针方向旋 转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合， 角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几
象限角．
第一象限角的集合为
?
?
k?360
o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??
?
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90
oo
?k?360
o
?180
o
,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360
o
?180
o
?
?
?k? 360
o
?270
o
,k??
?
第四象限角的集合为< br>?
?
k?360?270
oo
?
?
?k?360o
?360
o
,k??
?

区域角怎么表示：
终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180
o
,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
? ?
?k?180?90,k??
?

oo
终边在坐标轴上的角的集合 为
?
??
?k?90
o
,k??
?

3、 与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360
o
?
?
,k??
?

4、已知
?
是第几象限角，确 定
?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，再从
x
轴的正
n
*
半轴的上方起，依次将各区域标上一、二 、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标号即为
所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度的角．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧 度数的绝对值是
?
?
o
180
?
o
．
7 、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
o
，
1
o
?
?
，
1?
?
??
?57.3
?终边
n
l
．
r
180
?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
C?2r?l
，
11
S?lr?
?
r
2
．
22
9、三角函数概念：（一）设
?
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:(1)
y
叫做
?
的
y
正弦,记做
sin
?
,即
sin
?
?y
；（2）
x
叫做
?
的余弦,记做
cos
?
,即
co s
?
?x
；（3）叫做
?
的正切,
x
y
记 做
tan
?
,即
tan
?
?(x?0)
。
x
- 2 -

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知 其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青
（二）设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x ,y
?
，它与原点的距离是
yxy
，
cos
?
?< br>，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rr x
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
三角函数线作用：
12、同角三角函数的基本关系式：
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?
?
?
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
, cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
s in
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??

13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?s in
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos< br>?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan< br>?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
??t an
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限． （3）和（4）能得到什么结论?
?
5< br>?
sin
?
?
??
?
??
?
??< br>?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos< br>?
?
?
?
?sin
?
．
?
6
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?< br>2
??
2
??
2
??
2
?
?
口诀：函数名改变，符号看象限．(5)能得到什么结论?
14、图像变换的两种方式：
（一）函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到 函数
y?sin
?
x?
?
?
的图
象（
?< br>>0是左移；
?
<0是右移）；再将函数
y?sin
?
x?< br>?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到
1
倍（纵坐标不变），得 到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上
?所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
原来的y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
?
??0,
?
?0
?
．
1
（二）函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐
?
标不变），得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左
（右）平移

y
P
T
OM
A
x
?
个单位长度（
?
>0是左移；；得到函数
y?sin< br>?
?
x?
?
?
?
<0是右移）
?
- 3 -

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序 渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?倍（横坐标不
变），得到函数y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
?
??0,
?
?0
?
．
函数y ??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
? 0
?
的性质：
①振幅
?
； ②周期：
??
2
?
?
； ③频率：
f?
1
?
； ④相位：
?
x?
?
； ⑤初相：
?
．
?
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?< br>??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??
11?
?
y
max
?y
min
?
，< br>??
?
y
max
?y
min
?
，
? x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?．
222






15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：


y?cosx

y?sinx

函
数
性
质
y?tanx

图象

定义域
值域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
2
R

?
k??
?
时，
?2
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小值 最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期
奇偶性
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
在
?
2k
?
?< br>?
,2k
?
?
?
k??
?
上是
增函 数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

- 4 -
2
?

奇函数
?

奇函数
单调性
??
??
在
?
2k
?
?,2k< br>?
?
?

22
??
??
??
在?
k
?
?,k
?
?
?

22
??
?
k??
?
上是增函数；在

?
k??
?
上是增函数．

学习数学要多做习题，边 做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
?
??< br>对称中心
?
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??< br>?
对称中心
2
??
?
?
?
2
?< br>对称轴
x?k
?
?
?
k??
?

2
对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴
16.三角函数奇偶性规律总结（
A?0,
?
?0
）
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
为奇函数的条件为
?< br>?k
?
,k?Z
函数
y?Asin(
?x?
?
)
为偶函数的条件为
?
?k
?
?
?
2
,k?Z

函数
y?Acos(
?
x??
)
为奇函数的条件为
?
?k
?
?
?
,k?Z
. 函数
y?Acos(
?
x?
?
)
为偶函数的条件为
2
?
?k
?
,k?Z

函数
y?Atan(
?
x?
?
)
为奇函数的条件为
?
?
k
?
?
,k?Z
它不可能是偶函数．
2
17．向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向
量．
规定：零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：长度相等且方向相反的向量．
18、向量加法：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．





r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
r
rr
r
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；
C
r
a

r
b
r
r
r
rr
rr
r
r
rr
②结合律：
a?b?c?a?b?c< br>； ③
a?0?0?a?a
．
????
r
r
r
r
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
， 则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．

19、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向减向量的终点指向被减向
量终点．（见上图）
- 5 -

?



?< br>ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不 怕艰难，持之以恒。 —— 苏步青
r
r
r
r
⑵坐标运算：设a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
uuur
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
20、向量数乘运算：
r< br>r
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数 乘，记作
?
a
．
rr
r
r
r
r
①
?
a?
?
a；②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?a
的方向与
a
的方向相反；
r
r
rrrrr
r
r
当
?
?0
时，
?
a?0
．0
a
=
0
⑵运算律： ①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
； ②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；
r
r
r
r
rr
③
?
a?b?
?< br>a?
?
b
． ⑶坐标运算：设a?
?
x,y
?< br>，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
??
x,
?
y
?
．
??
r
r
a
r
u
r
(4)
a?0,则
r
表示与a同方向的单 位向量，-
a
r
a
r

r
表示与a反方向的单位向 量。
a
rr
r
rr
r
21向量共线条件：(1)向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
r
r
r
r
r
(2)共线的坐标表示，设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中< br>b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
rr
r
bb?0
共线．
??
如图， OA、 OB 不共线,且 AP?t AB (t?R), 用 OAOB， 表示 OP ；
OP ?OA=t(OB?OA)，则OP=(1-t)OA?tOB
结论：已知O、A、B三点不共线， 若点 P 在直线 AB 上，则
uruur
2 2、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两 个不共线向量，那么对于这一平面内的任
uruururuur
r
r
意向量< br>a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2< br>．（不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做这一平面内所有向量的一组基底）
uruururuururuur
小结论：（1）若
e1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
xe
1?ye
2
?me
1
?ne
2
,则x=m，y=n


uuuruuuruuuruuur
uuur
uuuruuuruuu r
uuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuur
OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.
uuuruuur
uruururuurur
（2）若
e< br>1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
xe
1< br>?ye
2
?0,则x=y=0

uuuruuur
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，23、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，当
?
1
??
?
??
2?
x
2
,y
2
?
，
x
1
?< br>?
x
2
y
1
?
?
y
2
?< br>．时，可推出点
?
的坐标是
?
（会写出向量坐标，会运算。）
,
??
?
1?
?
1?
?
?
24、平面向 量的数量积：
r
⑴定义：
a?b?
r
r
r
rr
r
r
abcos
?
a?0,b?0,0
o
?
?
?180
o
??
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
r
r
r
r
r
r
acos
?
：
a
在
b
方向上的投影=
bcos
?
：
b
在
a
方向上的投影=
r r
r
uuu
r
uuu
r
注意：务必要算对两个非零向量的夹 角：设两个非零向量
a?OA
与
b?OB
, 称
?AOB?
?
为向量
a

- 6 -

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之以 恒。 —— 苏步青
r
与
b
的夹角
(0
o
?< br>?
?180
o
)
，注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的。
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和< br>b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
rrrr
2
rr r
r
r
r
r
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
． ③
a?b?ab
．
rrr
rrrrr
⑶ 运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?b
??c?a?c?b?c
．
?
?b?
?
?
a?b
?
?a?
?
?
b
?
；③
?
a
r
rr
r
rrr
rr
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向 量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?< br>?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
r
r
r
2
（5）若
a?
?
x,y
?
，则
a? x
2
?y
2
，或
a
r
?x
2
?y
2
r
r
．
r
r
（6）设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
r
r
（7）设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b??
x
2
,y
2
?
，
?
是
a< br>与
b
的夹角，则
cos
?
?
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
rr
?
222
ab
x
1
?y
1
2
x
2
?y
2
．
25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： < br>⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?< br>cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos< br>?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
??
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan< br>?
变形：（
tan
?
?tan
?
?tan?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
⑹
tan
?
?
?
?
?< br>?
tan
?
?tan
?
变形：（
tan?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
26、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
． 变形：
sin
?
cos
?
?
1
sin2
?

2
⑵
cos2
?
?cos
2
??sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin2
?
?(cos
?
?sin
?
)(cos
?< br>?sin
?
)

变形得到降幂公式：
cos
2
?
?
1?cos2
?
2
，
sin
2
?
?
1?cos2
?
．
tan
2
?
?
1?cos2
?

2
1?cos2
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?．
2
1?tan
?
27、
?sin
?
??c os
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
t an
?
?
?
sin2
?
1?cos2
?
?
1?cos2
?
sin2
?

[2014高考题解析，规范解题步骤]
π
,
1
）
??
已知函数
f
?
x
?
?
1
sin2x sin
?
?cos
2
xcos
?
?
1
si n
?
，其图象过点（．
?
?
0＜
?
＜
?
??
??
22
?
2
?
6
2
（Ⅰ） 求
?
的值；（Ⅱ）将函数
y?f
?
x
?
的图象上各 点的横坐标缩短到原来的
1
，纵坐标不变，得
2
- 7 -

学习数学要多做习题，边做边思考，先知其然而后知其所以然，实事求是，循序渐进，不怕艰难，持之 以恒。 —— 苏步青
到函数
y?f
?
x
?
的图象，求函 数
g
?
x
?
在[0,
22
π
]上的最大值和最小值．
4
2
解：（Ⅰ）因为f(x)?
1
sin2xsin
?
?cos
2
xcos
?
?
1
sin(
?
?
?
)

(0?
?
?
?
)

所以
f(x)?
1
sin2xsin
?
?
1?cos2x
cos
?
?
1
cos
?

222
11
? sin2xsin
?
?cos2xcos
?
22

1

?(sin2xsin
?
?cos2xcos
?
)
2
1
?cos(2x?
?
)
2
?
1< br>又 函数图像过点
(,)
所以
1
?
1
cos(2?
?
?
?
)
即
cos(
?
?
?
)?1

62
3
226
又
0?
?
?
?
所以
?
?
?
3

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
f(x)?1
cos(2x?
?
)
，将函数
y?f(x)
的图像上 各点的横坐标缩短到原来的
23
1
，纵
2
坐标不变，得到函数
y?g(x)
的图像，可知
g(x)?f(2x)?
1
cos(4x?
?
)

23
因为
x?[0,]

4
所以
4x?[0,
?
]

因此
4x?
?
?[?
?
,
2
?
]

333
?
故
?
1
?cos(4x?
?
)?1
所以
y?g(x)
在
[0,
?
]
上的最大值和最小值分别为
2 3
4
11
和
?

24

- 8 -