高中数学必修4知识总结完整版

高中数学必修四知识点总结
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?< br>1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不 作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x< br>轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几
象限角．第一象限角的集 合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

??
??
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
??k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?< br>k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180 ?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第二象限角的集合为
?
k?360?90?k?360?180,k??
< br>4、已知
?
是第几象限角，确定
?
n??
?
所在象限 的方法：先把各象限均分
n
等份，再从
x
轴的正
?
n
*
半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标 号即为
所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度的角．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧 度数的绝对值是
?
?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?
?
终边
n
l
．
r
?
180
?
，
1?
?
?57.3
．
?
180
?
?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
， 周长为
C
，面积为
S
，
11
则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22
9、（一）设
?
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:(1)
y< br>叫做
?
的正弦,记做
sin
?
,
y
即
sin
?
?y
；（2）
x
叫做
?
的余弦,记做< br>cos
?
,即
cos
?
?x
；（3）叫做
?
的正切,记做
tan
?
,即
x
y
tan
?
?(x?0)
。
x
（二）设
?
是一个任意大小的角，?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
， 它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
si n
?
?
?
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
r rx

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正 切为正，第四象
限余弦为正．
11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???．
12、同角三角函数的基本关系式：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
sin
2?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?si n
2
?
?
；
?
2
?
sin
??tan
?
cos
?
sin
?
??
sin?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
y
P
T
OM
A
x
13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan?
?
k??
?
．
?
2
?
sin?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos< br>?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?< br>3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?s in
?
，
cos
?
?
?
?
?
?? cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
? ?tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
6
?< br>sin
?
?
?
?
?cos
?
，
co s
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
??
2
??
2
?
?
口诀 ：函数名改变，符号看象限．
14、图像变换的两种方式：
（一）函数
y?sin x
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象
（
?
>0是左移；
?
<0是右移）；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的 图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原
来的
1
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?s in
?
?
x?
?
?
的图象上所有
?
点的纵 坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?< br>?
x?
?
?
的图象
?
??0,
?
? 0
?
．
（二）函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩 短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函
?
数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左 （右）平移
?
个单位长度（
?
>0是
?
左移；
?< br><0是右移）；得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?< br>的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的
纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
?
? ?0,
?
?0
?
．
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：

①振幅
?
； ②周期：
??
2
?
?
； ③频率：
f?
1
?
； ④相位：
?
x?
?
； ⑤初相：
?
．
?
?2
?
函数y??sin
?
?
x?
?
?
? ?，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
11?
?
y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x1
?
x
1
?x
2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

数
y?sinx

性
??
质
y?tanx

图象

定义域
值域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
2
R

?
k??
?
时，
?2
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小值 最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期
奇偶性
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
2
?

奇函数
?

奇函数
??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?

22
??
?
k??
?
上是增函数；在
单调性 < br>在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是
增函数；在
?
2k
?
, 2k
?
?
?
?

??
??
在
?< br>k
?
?,k
?
?
?

22
???
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
?
??< br>对称中心
?
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??< br>?
对称中心
2
??
?
?
2
??
对 称轴
x?k
?
?
?
k??
?

2
对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴
16.三角函数奇偶性规律总结（
A?0,
?
?0
）


函数
y?Asin(
?
x?
?
)
为奇函 数的条件为
?
?k
?
,k?Z

函数
y?As in(
?
x?
?
)
为偶函数的条件为
?
?k
?
?
函数
y?Acos(
?
x?
?
)
为 奇函数的条件为
?
?k
?
?
?
2
,k?Z

,k?Z
.
?
2
函数
y?Acos(
?
x?
?
)
为偶函数的条件为
?
?k
?
,k?Z
函数
y?Atan(
?
x?
?
)
为奇函数的 条件为
?
?
k
?
?
,k?Z
它不可能是偶函数．
2
17．向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．
规定：零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：长度相等且方向相反的向量．
18、向量加法：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．


C



a


?

⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
b

?

⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；
②结合律：
a?b?c?a?b?c
； ③
a?0?0?a?a
．
⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向减向量的终点指向被减向量终点．
（见上图） < br>⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?< br>x
1
,y
1
?
，
?
x
2
, y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
20、向量数乘运算： ⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作?
a
．
①
?
a?
?
a
；②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．0
a
=0
⑵运算律： ①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
； ②
?
?
?
?< br>?
a?
?
a?
?
a
；
③
?
a?b?
?
a?
?
b
． ⑶坐标 运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?< br>?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
(4)
a?0,则
aa
表示与a同方向的单位向量，-表示 与a反方向的单位向量。

aa
????
a?b??C?????C

??
21向量共线条件：(1)向量
aa?0
与
b
共线，当 且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
(2) 共线的坐标表示，设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b ?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y1
?0
时，向量
a
、
??
如图， OA、 OB 不共线,且 AP?t AB (t?R), 用 OAOB， 表示 OP ；

bb?0
共线．
??

22、平面向量基本定理： 如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任
意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?< br>2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做这一平面内所
有向量的一组基底）
小结论：（1）若
e
1< br>、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
xe
1
?y e
2
?me
1
?ne
2
,则x=m，y=n
（2）若
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
xe
1
?ye
2
?0,则x=y=0

?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，23、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，当
?
1
??
?
??
2?
x
2
,y
2
?
，
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
时，可推出点
?
的坐标是
?
1
（会写出向量坐标，会运算。 ）
?
．
1?
?
1?
?
??
24、平面向 量的数量积：
⑴定义：
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．

??
acos
?
：
a
在
b
方向上的投影
bcos
?
：
b
在
a
方向上的投影
注意 ：务必要算对两个非零向量的夹角：设两个非零向量
a?OA
与
b

?OB
, 称
?AOB?
?
为向量
a
与
b
的夹
角
(0?
?
?180)
，注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的。
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．
②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
； 当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
． ③
a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?< br>?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a??
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
（5）若
a?
?
x,y
?
，则
a?x
2
?y
2
，或
a? x
2
?y
2
．
（6）设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
（7）设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，< br>b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，
2
2
??????