(完整word)高一数学必修4综合题型

rr
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向 量的数乘，记作
?
a
．
rr
①
?
a?
?
a；
rrrr
②当?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当< br>?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相
r
r
反；当
?
?0
时，
?
a?0
． < br>r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?
??
a
?
?
?
??
?
a；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
??
rr
⑶坐标运算：设a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?< br>?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?

Eg：．设
a
，
b
为不共线向量，
AB
＝
a
+2
b
,
BC
＝－4
a
－
b
,
CD
＝
－5
a
－3
b
,则AD=KBC,则k为（ ） r
rr
r
8、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
??
??
???
? ?
???
??
???
??
r
r
b?
?a
．
r
r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
??????
rr
r
bb?0
共线．Eg：设
e
1
与
e
2
是不共线的非零向量，且k
e
1＋
e
2
与
e
1
＋k
e
2
共线 ，
??
则k的值是（ ）
ur
uur
9、平面向量基本定理 ：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于
uruur
r
r
这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对 实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1< br>e
1
?
?
2
e
2
．（不共
uruur
线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所 有向量的一组基底）
10、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分 别是
?
x
1
,y
1
?
，
uuuruuur
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?
x
2
,y
2
?
，当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
??

1?
?
1?
?
??
Eg：．已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且
PN＝－2
PM
，
则P点的坐标为（ ）

11、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
o
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?< br>?
?180
o
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
???
???
??
rr
r
r
r
r
rr⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0．②当
a
与
b
同向时，

r
r
r
r
r
r
r
r
r
rrrr
2
rrr
r
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，
a? b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
．③
r
r
r
r
a?b?ab
．
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c? a?c?b?c
．
??????
r
r
r
r
⑷坐标 运算：设两个非零向量a?
?
x
1
,y
1
?
，b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
r
r
2
r
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x
2
?y
2
，或
a?x
2
?y
2
r
r
r
r
Eg：．若平面向量
a?(1,x)
和
b?(2x?3,?x)
互相平行，其中
x?R
.则
a?b?< br>
r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1< br>y
2
?0
．
Eg: ．已知
a
＝（1，2），b
＝（－2，3），且k
a
+
b
与
a
－kb
垂直，则k＝（ ）
r
r
r
r
r
r< br>设
a
、
b
都是非零向量，a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
r< br>r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a ?b
cos
?
?
r
r
?

2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
E g：．．如果向量 与b的夹角为θ，那么我们称 ×b为向量 与b的“向量
积”， ×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=4, |b|=3,
·b=-2，则| ×b|=____________。
（七）：解答题.
1、用图像解不等式。
①
sinx?
2. 已
3
1
②
cos2x?

2
2
??????
知sin
?< br>是方程
5x
2
?7x?6?0
的根，求
3
???3
?
sin
?
?
?
?
?
?
? sin
?
?
?
?
?
?tan
2
(2
?
?
?
)
2
???
2
?
的值，
?
?
??
?
?
cos
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?cot(
?
?
?
)
?
2
??
2
?
?
?
?已知
tan
?
?
?
?
?3
, 计算:
?
4
?
2sin
?
cos
?
?3cos2
?

5cos2
?
?3sin2
?
xx
3． 已知函数
y?sin?3cos,x?R.

22
（1）求
y
取最大值时相应的
x
的集合；
（ 2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到
y?sinx(x?R)
的图象.
(1)
tan
?
; (2)

4、 求函数y=-
cos
2
x
+
3cosx
+
5
的最大值及最小值，并写出x取何值时
4
函数有最大值和最小值。




5、设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
（1）试求向量2
AB
＋
AC
的模； （2）试求向量
AB
与
AC
的夹角；
（3）试求与
BC
垂直的单位向量的坐标．




6、已知函数
f(x)?a(cos
2
x?sinxcosx)?b

（1）当
a?0
时，求
f(x)
的单调递增区间；
?
（2）当
a?0
且
x?[0,]
时，
f(x)
的 值域是
[3,4],
求
a,b
的值.
2



3
a?b(a?0)
7、．已知函数
f(x)?asinx?c osx?3acos
2
x?
2
(1)写出函数的单调递减区间；
?
(2)设
x?[0，]
，
f(x)
的最小值是
?2
，最大值是
3
，求实数
a,b
的值
2



8、已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时，
（1）求t的值
（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直



9、已知
f(x)??cos
2
x?3sinxcosx

（1）求
f(x)
的最小正周期（2）求
f(x)
的单调增区间 < /p>

vv
vvvuvvv
vv
o
10、已知向量
a
,
b
的夹角为
60
, 且
|a|?2
,
|b|?1
, 若
c?a?4b
,
d?a?2b
, 求
vvvuv
(1)
a
g
b
; (2)
|c?d|
.


答案2、解：由sin
?是方程
5x
2
?7x?6?0
的根，可得
3
sin
?
=
?
或sin
?
=2（舍） -----------3分
5
?sin(
3
?
3
??
?
)?sin(?
?
)?(?tan
?
)
2
22

sin
?
?(?sin
?
)?(?cot< br>?
)
原式=
cos
?
?(?cos
?
)?tan
2
?
=
sin
?
?(?sin
?
)?(?cot
?
)
=-tan
?
------------10分
3
由sin
?
=
?
可知
?
是第三象限或者第四象限角。
5
33
所以tan
?
=
或?

44
3
即所求式子的值为
?
-------------14分
4
4、解：令t=cosx, 则
t?[?1,1]
-------------2分
所以函数解析式可化为：
y??t
2
?3t?
=
?(t?
5

4
3
2
)?2
------------6分
2
因为
t?[?1,1]
， 所以由二次函数的图像可知：
当
t?
3
?
11
?
时，函数有最大值为2，此时
x?2k
?
?或2k
?
?，k?Z

2
66
1
?3
，此时
x?2k
?
?
?
，k?Z

4

当t=-1时，函数有最小值为
5、 （1）∵
AB
＝（ 0－1，1－0）＝（－1，1），
AC
＝（2－1，5－0）＝（1，
5）．
∴ 2
AB
＋
AC
＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．

∴ |2
AB
＋
AC
|＝
(?1)
2
?7
2
＝
50
．
（2）∵ |
AB
|＝
(?1)
2
?1
2
＝
2
．|
AC< br>|＝
1
2
?5
2
＝
26
，
AB
·
AC
＝（－1）×1＋1×5＝4．
∴ cos
?
＝
AB?AC
|AB|?|AC|
＝
4
2?2 6
＝
213
．
13
（3）设所求向量为
m
＝（x，y），则x2＋y2＝1． ①
又
BC
＝（2－0，5－1）＝（2，4），由
BC
⊥
m
，得2 x ＋4 y ＝0． ②
??
2525
?
x??
x?－
25525
??
55
由①、②，得
?
或
?
∴ （，－）或（－，
555
?
y??
5．
?
y?
5
．
??
55
??
5
）即为所求．
5
8．解：（1）由
(a?tb)
2
?|b|2
t
2
?2a?bt?|a|
2

当
t??< br>2a?b|a|
??cos
?
(
?
是a与b的夹角）
时a+tb(t∈R)的模取最小值
|b|
2|b|
2
（2）当a、b共线 同向时，则
?
?0
，此时
t??
|a|

|b|< br>∴
b?(a?tb)?b?a?tb
2
?b?a?|a||b|?|b||a| ?|a||b|?0

∴b⊥(a+tb)