高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里 的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解
决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a

（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；（2）λ>0时λ
a与
a
方向相同；λ<0时λ
a
与
a
方向相反；λ=0时 λ
??
??????
?
a
=
0

2．运算定律
?
??????
?
?
结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
；分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
， λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b

?
?
3. 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使
?
?
b
=λ
a.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任一向量
a，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1< br>e
1
+λ
2
e
2
.
探究：
(1) 我们把不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这 一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将 任一向量a在给出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
三、讲解范例：
??
?

例1 已知向量
e
1
，
e
2
求作向量?2.5
e
1
+3
e
2
.
例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且
AB
=
a
，
?
?
?
?
AD
=
b
，用
a
，
b
表示
MA
，
MB
，
MC
和
MD

例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是
任意一点，求证：
OA+
OB
+
OC
+
OD
=4
OE
例4（1）如图，
OA
，
OB
不共线，
AP
=t
AB
(t?R)用
OA
，
OB
表示
OP
.
OB
不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且 （2）设
OA、
OP?( 1?t)OA?tOB(t?R)
.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e
1
-3e
2
，b= 2e
1
+3e
2，其中e
1
，e
2
不共线，向量c=2e
1
-9e2
，问是否存在这样的
实数
?
、
?
,使d?
?
a?
?
b
与c共线.
四、课堂练习：
1.设e
1
、e
2
是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e
1
、e
2
一定平行
B.e
1
、e
2
的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe
1
+μe
2
(λ、μ∈R)
D.若e
1
、e
2
不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe
1
+ue
2
(λ、u∈R)
2.已知矢量a = e
1
-2e
2
，b =2e
1
+e
2
，其 中e
1
、e
2
不共线，则a+b与c =6e
1
-2e
2
的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e
1
、 e
2
不共线，实数x、y满足(3x-4y)e
1
+(2x-3y)e
2
=6e
1
+3e
2
，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ
1
a+λ
2
b(λ
1< br>，λ
2
∈R)，若c与b共线，则λ
1
= .
5.已 知λ
1
＞0，λ
2
＞0，e
1
、e
2
是一 组基底，且a =λ
1
e
1
+λ
2
e
2
， 则a与e
1
_____，a与e
2
_________(填
共线或不 共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：

第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果
e
1
，
e< br>2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2

(1)我们把不共线向量ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量
ａ
在给出基 底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a< br>，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别 取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、
j< br>作为
基底.任作一个向量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
1

a?xi?yj
…………○
我们把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
2

a?(x,y)
…………○
2
式叫做向其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标，○
量的坐标表示.与
．
a
相等的向量的 坐标也为
．．．．．．．．．．
(x,y)
.
??
?

特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0?(0, 0)
.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作
OA?a
，则点
A
的位置由
a
唯一确定.
设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标；反过来，点
A
的坐标
(x,y)
也
就是向量
OA
的坐标.因此，在平 面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯
一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若
a?(x
1
,y
1
)
，
b?( x
2
,y
2
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为
i、
j
，则
a?b
?(x
1
i?y
1
j )?(x
2
i?y
2
j)?(x
1
?x
2
)i?(y
1
?y
2
)j

即
a?b
?( x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，同 理可得
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

（2） 若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB??
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB
=
OB
?
OA
=( x
2
，

y
2
) ? (x
1
，y
1
)= (x
2
? x
1
， y
2
? y
1
) < br>（3）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a?(?
x,
?
y)
.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为
i
、
j
，则
?
a
?
?
(xi?yj)?
?< br>xi?
?
yj
，即
?
a?(
?
x,
?
y)

三、讲解范例：
例1 已知A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，求
AB
的坐标.
例2 已知
a
=(2，1)，
b
=(-3，4)，求
a< br>+
b
，
a
-
b
，3
a
+4
b
的坐
标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(?2， 1)， B(?1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使
这四点构成平行四边形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD时，由
AB?DC
得D
1
=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D
2
=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D
3
=(?6， 0)
例4已知三个力
F
1
(3， 4)，
F
2
(2， ?5)，
F
3
(x， y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
，求
F
3
的
坐标.
解：由题设
F
1
+< br>F
2
+
F
3
=
0
得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0)
即：
?
?
3?2?x?0
?
x??5
∴
?
∴
F
3
(?5，1)
?
4?5?y?0
?
y?1
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且
MP?
1
MN
， 求P点的坐标
2
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则
AB
?2
BC
= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD
是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：

第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基底.任作一个向量a
，由平面
向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
a?xi?yj

把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x,y)

其中
x
叫做
a在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上 的坐标， 特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0?(0, 0)
.
2．平面向量的坐标运算
若
a?(x
1
,y1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
， 则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
, y
1
?y
2
)
，
?
a?(
?
x,
?
y)
.
若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?< br>
二、讲解新课：
?
??
a
∥
b
(b
?
0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
??
??
设
a
=(x
1
， y
1
) ，
b
=(x
2
， y
2
) 其中
b
?
a
.
?
?
x
1
??
x
2
?
由
a
=λ
b
得， (x
1
， y
1
) =λ(x
2
， y
2
)
?
?
消去λ，x
1
y
2
-x
2
y
1
=0 ?
y
1
?
?
y
2
?
探究：（1）消去 λ时不能两式相除，∵y
1
， y
2
有可能为0， ∵
b
?
0
∴x
2
， y
2
中至少有
一个不为0
（2）充要条件不能写成
y
1
y
2
?
∵x
1
， x
2
有可能为0
x
1
x
2< br>?
??
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：
a
∥
b< br> (
b
?
0
)
?
三、讲解范例：
a?
?
b

x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
?
??
?
例1已知
a
=(4，2)，
b
=(6， y)，且
a
∥
b
，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.

例3设点P是线段P
1
P
2
上的一点， P
1
、P
2
的坐标分别是(x
1
，y
1
)，(x2
，y
2
).
(1) 当点P是线段P
1
P
2
的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P
1
P
2
的一个三等分点时，求点P的坐标.
?
?
例4若向量
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2)共线且方向相同，求x
?
?
解：∵
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x?(-x)=0
?
?
∴x=±
2
∵
a
与
b
方向相同 ∴x=
2

例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量
AB
与
CD
平行吗？直线
AB与平行于直线CD吗？
解：∵
AB
=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，
CD
=(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴
AB
∥
CD

又 ∵
AC
=(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，
AB
=(2， 4)，2×4-2×6?0 ∴
AC
与
AB
不
平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若
AB
=i+2j，
DC
=(3-x)i+(4-y )j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).
AB
与
DC
共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x) ，则x= .
五、小结 （略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）

八、课后记：


§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学 生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推
导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加 深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：
平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的 5个重要性质；平面向量数量积的运
算律.
教学过程：
一、复习引入：
?
?
1． 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使
?
?
b
=λ
a.
2．平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量
a
，有且只有一对实 数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1< br>+λ
2
e
2

3．平面向量的坐标表示
分别取 与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、
j作为基底.任作一个向量
a
，由平面向
量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，使得
a?xi?yj

??

把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x,y)< br>
4．平面向量的坐标运算
若
a?(x
1
,y
1< br>)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a? b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
?
a?(
?
x,
?
y)
.
若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

?
??
5．
a
∥
b
(
b
?0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
6．线段的定比分点及λ
P
1
， P
2
是直线l上的两点，P是l上不同于P
1
， P
2
的任一点，存在实数λ，
使
P
1
P
=λ< br>PP
2
，λ叫做点P分
P
1
P
2
所成的比， 有三种情况：

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P
１
(x
1
，y
1
) ，
Ｐ
２
(x
2
，y
2
)，λ为实数，且
P
1
P
＝λ
PP
2
，则点P的坐标为
（
x
1
?< br>?
x
2
y
1
?
?
y
2
,< br>），我们称λ为点P分
P
1
P
2
所成的比.
1?
?
1?
?
8. 点P的位置与λ的范围的关系：
①当 λ＞０时，
P
1
P
与
PP
2
同向共线，这时称点P 为
P
1
P
2
的内分点.
②当λ＜０(
?
??1
)时，
P
1
P
与
PP
2
反向共线， 这时称点P为
P
1
P
2
的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设
OP
< br>1
＝
ａ
，
OP
2
＝
ｂ
，
可 得
OP
=
a?
?
b1
?
?a?b
.
1?
?
1?
?
1?
?
10．力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝θ（０≤θ≤π）叫
ａ
与
ｂ
的
夹角.
说明：（1）当θ＝０时，
ａ
与
ｂ
同向；
（2）当θ＝π时，
ａ
与
ｂ
反向；
（3）当θ＝
?
时，
ａ
与
ｂ
垂直，记
ａ
⊥
ｂ
；
2
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?
C

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它们的夹角是θ，则数量
|a||b|cos?叫
ａ
与
ｂ
的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个 向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两
个向量的数量的 积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，
也不能用“×”代替. < br>（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能 推出
b=0.因为其中cos?有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc
?
a=c.但是a?b = b?c
如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共
线.
3．“投影”的概念：作图
a = c

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一 个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为
直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?
2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4? cos? =
a?b

|a||b|
5? |a?b| ≤ |a||b|
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120
o
，求a·b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60
o
求(a+2b)·(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
例4 判断正误，并简要说明理由.
①
ａ
·0＝0；②0·
ａ
＝０；③0 －
AB
＝
BA
；④｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜；⑤若
ａ
≠0，
则对任一非零
ｂ有
ａ
·
ｂ
≠０；⑥
ａ
·
ｂ
＝０，则< br>ａ
与
ｂ
中至少有一个为0；⑦对任意向量
ａ
，
２２< br>ｂ
，с都有（
ａ
·
ｂ
）с＝
ａ
（
ｂ
·с）；⑧
ａ
与
ｂ
是两个单位向量，则
ａ
＝
ｂ
.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数 ，应有0·
ａ
＝０；对于②：应有０·
ａ
＝0；
对于④：由数量积 定义有｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜·｜
ｂ
｜·｜ cosθ｜≤｜
ａ
｜｜
ｂ
｜，这里θ
是
ａ
与
ｂ
的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜
ａ
·
ｂ
｜＝｜
ａ
｜·｜
ｂ
｜；
对于⑤：若非零向量
ａ
、
ｂ垂直，有
ａ
·
ｂ
＝０；
对于⑥：由
ａ
·ｂ
＝０可知
ａ
⊥
ｂ
可以都非零；
对于⑦：若
ａ
与с共线，记
ａ
＝λс.
则
ａ·
ｂ
＝（λс）·
ｂ
＝λ（с·
ｂ
）＝λ（
ｂ
·с），

∴（
ａ
·
ｂ
）·с＝λ（
ｂ
·с）с＝（
ｂ
·с）λс＝（
ｂ
·с）
ａ

若
ａ
与с不共线，则(
ａ
·
ｂ
)с≠（
ｂ
·с）
ａ
.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例6 已知｜
ａ
｜＝３，｜
ｂ
｜＝６，当①
ａ
∥
ｂ
，②
ａ
⊥
ｂ
，③
ａ
与
ｂ
的夹角是60°时，分
别求
ａ
·
ｂ
.
解：①当
ａ
∥
ｂ
时，若
ａ
与
ｂ
同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴
ａ·
ｂ
＝｜
ａ
｜·｜
ｂ
｜cos0°＝3×6×1＝18 ；
若
ａ
与
ｂ
反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ
·
ｂ
＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜cos180°＝3× 6×（-1）＝－18；
②当
ａ
⊥
ｂ
时，它们的夹角θ＝90°，
∴
ａ
·
ｂ
＝０；
③当
ａ
与
ｂ
的夹角是60°时，有
ａ
·
ｂ
＝｜
ａ
｜｜
ｂ
｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两 个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当
ａ
∥
ｂ< br>时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a|=1，|b|=
2
，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为
1
2
?
，那么向量m=a-4b的模为（ ）
3
A.2 B.2
3
C.6 D.12
3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为
?
，|a|=2，|b|= 1，则|a+b|·|a-b|= .
3
5.已知a+b=2i-8 j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，
那么a·b = .
6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b| =2，|c|=3，则(a+2b-c)＝______.
7.已知|a|=1，|b|=
2
，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b
与a垂直，求a与b的夹角.
8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.
２

五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、教学后记：

第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意
数量积性质的相关 问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作< br>OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝θ（０≤θ≤π）叫
ａ
与
ｂ
的
夹角.
2．平面 向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它们的夹角是θ，则 数量
|a||b|cos?叫
ａ
与
ｂ
的数量积，记作a?b，即有a ?b = |a||b|cos?，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
C

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.

投 影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为
直角时投影为 0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|.

4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4?cos? =
a?b
；5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?
∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，a?(
?
b) =
?
|a||b|cos?，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?.
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作
OA
= a，
AB
= b，
OC
= c， ∵a + b （即
OB
）在c方向上的
投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?
1
+ |b| cos?
2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c| |b| cos?
2
， ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c +
b?c
说明：（1）一般地，(
ａ·
ｂ
)с≠
ａ
（
ｂ
·с）
（2）
ａ
·с＝
ｂ
·с，с≠0
ａ
＝
ｂ

２２
（3）有如下常用性质：
ａ
＝｜
ａ
｜，
（< br>ａ
＋
ｂ
）（с＋
ｄ
）＝
ａ
·с＋
ａ
·
ｄ
＋
ｂ
·с＋
ｂ
·
ｄ

(
ａ
＋
ｂ
)＝
ａ
＋２
ａ
·
ｂ< br>＋
ｂ

三、讲解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ? 5b垂直，a ? 4b与7a ? 2b垂直，求a与b
的夹角.
解：由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a
2
+ 16a?b ?15b
2
= 0 ①
(a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a
2
? 30a?b + 8b
2
= 0 ②
两式相减：2a?b = b
2

２２２

代入①或②得：a
2
= b
2

a?bb
2
1
设a、b的夹角为?，则cos? = ∴? = 60?
??
2
|a||b|
2|b|
2
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，
AB?DC
，
AD?BC
，
AC
=
AB?AD

∴|
AC
|
2
=
|AB?AD|
2
?AB ?AD?2AB?AD

而
BD
=
AB?AD
，
∴|
BD
|
2
=
|AB?AD|
2
?AB?AD ?2AB?AD

∴|
AC
|+ |
BD
|= 2
AB?2AD
=
|AB|
2
?|BC|
2
?| DC|
2
?|AD|
2

2 2
22
22
22
例3 四边形ABCD中，
AB
＝
ａ
，
BC
＝
ｂ
，
CD
＝с，
DA
＝
ｄ
，且
ａ
·
ｂ
＝
ｂ
·с＝с·
ｄ
＝
ｄ
·
ａ
，试问四边形ABCD是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵
ａ
＋
ｂ
＋с＋
ｄ
＝0，∴
ａ
＋
ｂ
＝－（с＋
ｄ
），∴(
ａ
＋
ｂ
)＝（с＋
ｄ
）
即｜
ａ
｜＋２
ａ
·
ｂ
＋｜
ｂ
｜＝｜с｜＋２с·
ｄ
＋｜
ｄ
｜
由于
ａ
·
ｂ
＝с·
ｄ
，∴｜
ａ
｜＋｜
ｂ
｜＝｜с｜＋｜
ｄ
｜①
同理有｜
ａ
｜＋｜
ｄ
｜＝｜с｜＋｜
ｂ
｜② 由①②可得｜
ａ
｜＝｜с｜，且｜
ｂ
｜＝｜
ｄ
｜即四边 形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由
ａ< br>·
ｂ
＝
ｂ
·с，有
ｂ
（
ａ
－с）＝ ０，而由平行四边形ABCD可得
ａ
＝－с，
代入上式得
ｂ
·(2< br>ａ
)＝０，即
ａ
·
ｂ
＝０，∴
ａ
⊥
ｂ
也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中 ，
AB
，
BC
，
CD
，
DA
是顺次首尾相 接向量，则其和向量是零
向量，即
ａ
＋
ｂ
＋с＋
ｄ
＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定 义式中含有边、角两
种关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律
２２２２
２２ ２２
２２２２
２２

C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A.72 B.-72 C.36 D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+
33
b与a-b的位置关系为（ ）
44
A.平行 B.垂直 C.夹角为
?
D.不平行也不垂直
3
２
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)＝ .
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ .
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作< br>OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝θ（０≤θ≤π）叫
ａ
与
ｂ
的
夹角.
2．平面 向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它们的夹角是θ，则 数量
|a||b|cos?叫
ａ
与
ｂ
的数量积，记作a?b，即有a ?b = |a||b|cos?，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
C

3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4? cos? =
a?b
；5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a ? b = b ? a
数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量
a? (x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，试用
a
和
b
的坐标表示
a?b
.
设
i
是
x
轴上的单位向量，
j
是
y
轴上的单位向量，那么
a?x
1
i?y
1
j
，
b ?x
2
i?y
2
j

所以
a?b?(x
1
i?y
1
j)(x
2
i?y
2
j)
?x< br>1
x
2
i?x
1
y
2
i?j?x
2
y
1
i?j?y
1
y
2
j

又< br>i?i?1
，
j?j?1
，
i?j?j?i?0
，所以
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2

2. 平面内两点间的距离公式
八、 设
a?(x,y)
，则
|a|?x?y或
|a|?
222
22
x
2
?y
2
.
（2）如果表示向量
a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)，那么
|a|?(x
1
?x
2
)
2
?(y1
?y
2
)
2
(平面内两点间的距离公式)
九、 向量垂直的判定
设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b

?< br>x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

十、 两向量夹角的余弦（
0?
?
?
?
）
cos? =
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
2 2
x
2
?y
2
22

十一、
十二、
讲解范例：
设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1
o
)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3 已知a = (3， ?1)，b = (1， 2)，求满足x?a = 9与x?b = ?4的向量x.
解：设x = (t， s)，
?
3t?s?9
?
t?2
由 ∴x = (2， ?3)
?
?
?
?
x?b??4
?t?2s??4
?
s??3
例4 已知a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－１），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－１）
有a·b＝
3
＋１＋
3
（
3
－１）＝４，｜a｜＝ ２，｜b｜＝２
2
．
x?a?9
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
a?b2
?

a?b2
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
?

4
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向量
AB
的
坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则
OB
= (x， y)，
AB
= (x?5， y?2)
∵
OB
?
AB
∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x
2
+ y
2
?5x ? 2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x
2
+ y
2
= (x?5)
2
+ (y?2)
2
即：10x + 4y = 29

?
73
?
x?x?
?
x?y?5x?2y?0
?
?
2
2
?
1
2
?
?
或
?
由
?

37
?
10x? 4y?29
?
y
1
??
?
y
2
?
?
2
?
2
?
22
∴B点坐标
(,?)
或< br>(,)
；
AB
=
(?,?)
或
(?,)

例6 在△ABC中，
AB
=(2， 3)，
AC
=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A = 90?时，
AB
?
AC
= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =< br>?
7
2
3
2
37
22
3
2
7
2
73
22
3

2
当B = 90?时，
AB
?
BC
= 0，
BC
=
AC
?
AB
= (1?2， k?3) = (?1， k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11

3
3?13

2
当C = 90?时，
AC
?
BC
= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =
十三、 课堂练习：
２
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.
(,)
或
(,)
C.
(,?)
或
(?
34
55
43
55
B.
(,)
或
(?,?)

34
55
3
5
4
5
3
5
4
543
,)
55
3434
(,?)
或
(?,)

5555
1
)在线段AB的中垂线上，则x= .
2
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-
6.已知A(1，0)，B(3， 1)，C(2，0)，且a=
BC
，b=
CA
，则a与b的夹角为 .
十四、
十五、
十六、
小结（略）
课后作业（略）
板书设计（略）

十七、

课后记：

第12课时
复习课
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||
a
|-|
b
|≤|
a
±
b
|≤|
a
|+|
b
|(试问：取等号的条 件
是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|
a
|+|
b
|) =|
a
－
b
|+|
a
+
b
|.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积） 的概念，
a
·
b
=|
a
||
b
|cos< br>?
=x
1
x
2
+y
1
y
2
注意区别“实数与向
量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向 量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形
式和几何形式的“双重身份”能 融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，
形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的 重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；
③判垂直
三、典型例题
例1. 对于任意非零向量
a
与
b
，求证：｜｜
a
｜-｜
b
｜｜≤｜
a
±
b
｜≤｜
a
｜+｜
b
｜
证明：(1)两个非零向量
a
与
b
不共线时，
a+
b
的方向与
a
，
b
的方向都不同，并且｜
2 222
a
｜-｜
b
｜＜｜
a
±
b
｜＜｜< br>a
｜+｜
b
｜
(3)两个非零向量
a
与
b
共线时，①
a
与
b
同向，则
a
+
b
的方向与
a
.
b
相同且｜
a
+
b
｜=｜
a
｜＋｜
b
｜.②
a
与
b
异向时 ，则
a
+
b
的方向与模较大的向量方向相同，设|
a
|＞< br>|
b
|，则|
a
+
b
|=|
a
|- |
b
|.同理可证另一种情况也成立。
OB
=
b
，
OC
=
c
，例2 已知O为△ ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设
OA
=
a
，
且|
a
|=2，|
b
|=1，|
c
|=3，用
a
与
b
表示
c

i

j

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中
i
,
j
是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，
0），设A（x，y），则条 件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-
3），也
就是
a
=
i
－
3
j
,
b
=
j
，
c
=-3
i
所以-3
a
=3
3
b
+
c
|即
c
=3
a< br>－3
3
b

b
|=|
a
|·
b)
2
=
a
2
·
b
例3.下面5个命题：①|< br>a
·|
b
|②(
a
·
2
c
=
b
·
c
③
a
⊥(
b
－
c
) ，则
a
·
④
a
·
b
=0，则|
a
+
b
|=|
a
－
b
|⑤
a
·
b< br>=0，则
a
=
0
或
b
=
0
，其中真 命题是（ ）
A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
四、巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）
①
a
=
b
?a
·
c
=
b
·
c
； ②
a
·
c
=
b
·
c
?
a
=
b
； ③
a
·（
b
+
c
）=
a
·
c+
b
·
c
；
④
a
·（< br>b
·
c
）=（
a
·
b
）·
c
； ⑤
a?b
a
2
?
a
b
.
A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若
a
与
b
是非零向量 ，且
a
与
b共线时，则
a
与
b
必与
a
或
b
中之一 方向相同；②若
e
为
a
·
a
=|
a
|3
④若
a
与
b
共线，
a
与
c共线，单位向量，且
a
∥
e
则
a
=|
a
|
e
③
a
·则
c
与
b
共线；⑤若平 面内四点A.B.C.D，必有
AC
+
BD
=
BC
+
AD

A 1 B 2 C 3 D 4
3.下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量
a
,若p
a
=q
a
则p=q②对于向量
a
与
b
，若|
a
|
a
=|
b
|
b
则
a
=
b
③对
于两个单位向量
a
与
b
，若|
a
+
b
|=2则
a
=
b
④对于两 个单位向量
a
与
b
，若k
a
=
b
，则a
=
b

4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5, 4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD
为正方形。