人教版高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任 何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象
限，则称
?
为第几象限角．
??第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?< br>?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?18 0?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360< br>o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??< br>
oooo
oooo
oooo
o
oo
o
o< br>4、已知
?
是第几象限角，确定
?
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等
n
*
份，再从
x< br>轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来
?
终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
是第几象限对应的标号即为
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所 对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l
．
r
?
180
?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
o
，
1
o
?
，
1 ?
?
?57.3
o
．
?
180
?
??
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
， 半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，
?
o
11
则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
．
22
9、设?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点

yxy
，
cos< br>?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?．
rrx
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象 限
正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：
sin
?
? ??
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
?
?cos
?
?1
22
?
?< br>y
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?< br>2
?
sin
?
?tan
?

cos
?
P
T
OM
A
x
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
, cos
?
?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?co s
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
2
??
2
?
?
?
6
?
sin
?
?
??
??
?
?
?
?cos
?
，
cos
??
?
?
??sin
?
．
?
2
??< br>2
?
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数
y ?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?si n
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩
短）到原来的
1倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不
变），得 到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
得到函数
1
倍（纵坐标不变），
?
?
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移个单?

位长度，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象上所
有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变） ，得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①
振幅：
?
；
②< br>周期：
??
2
?
?
；
③
频率：
f?
1
?
；
④
相位：
?
x?
?
；⑤
初相：
?
?2
?
?
．
函数y??sin< br>?
?
x?
?
?
??，当
x?x
1
时 ，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得
11?
?
y
max
?y
min
?
，
??< br>?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

y?tanx

y?sinx

数
性
最大值为
y
max
，则
??
质
图象
定义
域
值域

R

R

?
?
?
?
xx?k
?
?,k ??
?

2
??
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时，
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

R

?
2
时，
y
max
?1
；当
最值
x?2k
?
?
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
既无最大值也无最小
值

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期
性
奇偶
性
2
?

奇函数
2
?

偶函数
?

奇函数
单调
性
??
?
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k? ?
?
??
???
在
?
2k
?
?,2k?
?
?
在
?
k
?
?,k
?
?
?

22< br>?
22
???
上是增函数；在
?
k??
?
上 是增函数；
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上是增函数．

在
?
k??
?
上是减函数．
?
3
?
??< br>2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
对
对称
性
称中
?
k
?
,0
??
k??
?

对称
心
对称中心
对称中心
x?k
?
?
?
2
?
??
k
?
?,0
?
?k??
?

轴
?
2
??
对称轴x?k?
?
k??
?

?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
无对称轴
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．




r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等 式：
a?b?a?b?a?b
．
r
r
r
rr
r< br>r
r
rr
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；②结合律 ：
a?b?c?a?b?c
；③
????
r
rr
rr
a?0?0?a?a
．
C

r
r
r
r< br>⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
r
a

r
b

?

r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
uuur
设
?
、
?
两点的坐标 分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x< br>2
,y
2
?
，则
???
?
x
1?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
r
r
⑴实数
?
与向量
a< br>的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
?

ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C

①
?
a?
?
a
；
r
rr
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
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的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
r
r
r
r
r
?
?0
时，
?
a?0
．
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
???
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
rr
rr
r
rr
r
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共 线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
r
r
r
r
r
rr
r
bb?0
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，其中
b ?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y1
?0
时，向量
a
、
b?
?
x
2,y
2
?
，
??
共线．
uruur
21、平 面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这一平面
内的任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、< br>e
2
作
为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设 点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，< br>r
r
uruururuur
uuuruuur
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
1
?
．
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
oo
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与 任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
a?b?ab
；⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
r
r
当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r< br>rrr
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
??
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
； ③
a?b?c?a?c?b?c
．
??????
r
r
r< br>r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?
22
r
r
2
r
x
2?y
2
．
r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2< br>?y
1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r
?
．
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
c os
?
?sin
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
??
?
?
?
?sin
?
cos
?
?co s
?
sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?< br>sin
?
；
⑸
tan
?
?
?
?< br>?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
⑹
tan
?
?
?
?
?< br>?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
??
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
）．
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
．
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
， 其中
tan
?
?
?
?
．
，