高中数学必修四知识点大全

知识点串讲


数学










必修四

第一章：三角函数
1.1．1 任意角
1、角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
始边
③角的分类：
B
终边

O
A
负角：按顺时针方向旋转形成的角
顶点
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
2、象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非 负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第
几象限，我们就说这个角是第几象限角．
终边相同的角的表示：

所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合
S
＝{ β

| β

= α

+
k
·360° ，
k
∈
Z
}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴
k
∈
Z
⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差
360°的整数倍；

⑷ 角α

+ k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
3、写出终边在
y
轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
解:{α

| α

= 90°+
n
·180°,
n
∈Z}．
4、已知α角是第三象限角，则2α，
解：
?
?
角属于第三象限，
?
k
·360°+180°＜α＜
k
·360°+270°(
k
∈Z)
因此，2
k
·360°+360°＜2α＜2
k
·360°+540 °(
k
∈Z)
即(2
k
+1)360°＜2α＜(2
k
+1)360°+180°(
k
∈Z)
故2α是第一、二象限或终边在
y
轴的非负半轴上的角．
又
k
·180°+90°＜
?
各是第几象限角？
2
?
＜
k
·180°+135°(
k
∈Z) ．
2
?
＜
n
·360°+135°(
n
∈Z) ，
2
当
k
为偶数时，令
k
=2
n
(
n
∈Z)，则
n
·360°+90°＜
数学

当
k
为奇数时，令
k
=2
n
+1 (
n< br>∈Z)，则
n
·360°+270°＜
因此
?
＜
n< br>·360°+315°(
n
∈Z) ，
2
?
属于第二或第四象限角．
2
1.1.2弧度制
1、弧度制
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单 位制叫做弧度制．在
弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
2、弧度制的性质：
?
r
①半圆所对的圆心角为
r
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
?
?
;
2
?
r
?2
?
.
②整圆所对的圆心角为
r

l
.
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
r

3、弧长公式
?
??l?r?
?
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
1
例 6.利用弧度制证明扇形面积公式S?lR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径.
2

l
r
1
2
?
R
2
证法一:∵圆的面积为
?
R
,∴圆心角为1rad的扇形面积为
2
?
,又扇形弧长为l,半径 为R,
l11
l
S??R
2
?lR
R22
． ∴扇形的圆心角大小为
R
rad, ∴扇形面积
n?
?
R
2
n
?
R
S?
l?
360
，又此时弧长
18 0
，证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为
1n
?
R 1
S???R?l?R
21802
∴．
可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．
11
扇形面积公式:S?lR?
?
R
2
22









数学

1.2.1任意角的三角函数
1、三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点
P
（除了原点）的坐标为
(x,y)
，它与
原点的距离为
r(r?|x|
2
?|y|
2
?x
2
?y
2
?0)
，那 么
y
y
（1）比值叫做α的正弦，记作
sin
?
，即
sin
?
?
；
r
r
x
x
（2）比值叫 做α的余弦，记作
cos
?
，即
cos
?
?
； < br>r
r
y
y
（3）比值叫做α的正切，记作
tan
?< br>，即
tan
?
?
；
x
x
x
x（4）比值叫做α的余切，记作
cot
?
，即
cot
?
?
；
y
y
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
y?sin
?

y?cos
?

R

R

{
?
|
?
?
[?1,1]

[?1,1]




3、求函数
y?
y?tan
?

?
2
?k
?
,k?Z}

R

cosx
cosx
?
tanx
的值域
tanx
解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时，
x?0,y?0
cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,
x?0,y?0

|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2
x?0,y?0
…………ⅢⅣ………,
x
|cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0
? 0,y?0
4、诱导公式
sin(2k
?
?
?
)?sin< br>?
(k?Z)
cos(2k
?
?
?
)?cos
?
(k?Z)
tan(2k
?
?
?
)?tan
?
(k?Z)
数学

5、三角函数线的定义：
设任 意角
?
的顶点在原点
O
，始边与
x
轴非负半轴重合，终边与 单位圆相交与点
P
(x,y)
，
过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
；过点
A(1,0)
作单位圆的切线，它与角
?
的终边或其反向延
y

y

长线交与点.
T

T

P

P



A

A


x

o

M

o

M

x



T


（Ⅱ）
yy

（Ⅰ）

T



M

A


M

A

x

o

x

o



P

T


P


（Ⅲ）
（Ⅳ）

由四个图看出： < br>当角
?
的终边不在坐标轴上时，有向线段
OM?x,MP?y
，于是有
sin
?
?
yyxxyMPAT
??y?MP
，
cos
?
???x?OM
，
tan
?
????AT

r1r1xOMOA

我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到< br>x
轴的垂直线段；余弦线在
x
轴上；
正切线在过单位圆与
x< br>轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条
在单位圆内，一条在单位圆外。
（2） 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向
?
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与
?
的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三 条有向线段凡与
x
轴或
y
轴同向的为正值，与
x
轴或
y
轴反向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1?
sin
2
?
4
?
2
?
4
?
与
sin
2?
tan
与
tan

3535
解： 如图可知：

数学

sin






2
?
4
?
2
?
4
?
?
sin
?
tan tan
3535
1.2.2同角三角函数的基本关系
1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
1.
（1）商数关系：
tan
?
?
sin
?
22
（2）平方关系：
si n
?
?con
?
?1
con
?
2、已知
s in
?
?
12
，并且
?
是第二象限角，求
cos< br>?
,tan
?
,cot
?
．
13
22125
解：
sin
?
?cos
?
?1
， ∴
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1?()
2
?()
2
1313
又∵
?
是第二象限角， ∴
cos
?
?0
，即有
cos
?
??
5< br>，从而
13
sin
?
1215
??cot
?
???
cos
?
5
，
tan
?
12

sin
?
?4cos
?
22
3、已知
sin??2 cos?
，求
2sin
?
?2sin
?
cos
?
?cos
?
．
5sin
?
?2cos
?

cosx1?sinx
4、求证：．
?
1?sinxcosx
证法 一：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)
1?sinx
?
∴左边 =
??
右边．
(1?sinx)(1?sinx)cos
2
xcosx
tan
?
?
∴原式成立．
证法二：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
又∵
(1?sinx)(1?sinx)?1?sinx?cosx?cosx?cosx
，
22
cosx1?sinx
?
．
1?sinxcosx
证 法三：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
∴
cosx1?sinx
cosx?cosx?(1?sinx)(1?sinx)< br>cos
2
x?1?sin
2
x
??0
，
?
?
(1?sinx)cosx
(1?sinx)cosx
1?sinxcos x
cosx1?sinx
∴．
?
1?sinxcosx
数学

1．3诱导公式
1、诱导公式（一）
sin(360?k?
?
)?sin
?
cos (360?k?
?
)?cos
?
tan(360?k?
?
) ?tan
?


诱导公式（二）
sin(180??
?
)??sin
?
cos( 180??
?
)??cos
?
tan(180??
?
)?t an
?


诱导公式（三）
sin(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?cos
?
tan(?
?
)??tan
?


诱导公式（四）
sin(?－
?
)=sin
?
cos(?

－
?
)
=－
cos
?
tan

(?－
?
)
=－
tan
?
诱导公式(五)
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)?sin
?


22
诱导公式（六）
sin(
??
sin(
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)??sin
?


22
?
?
11
?
sin(2
?
?
?
)cos(
?
?
?
)cos(?
?
)cos(?
?
)
2 2
2、化简：
.

9
?
cos(
?
??
)sin(3
?
?
?
)sin(?
?
??
)sin(?
?
)
2
42sin(
?
??
)?3tan(3
?
?
?
)
的值.
3、< br>已知sin(
?
?
?
)?,且sin
?
cos
?
?0,求
54cos(
?
?3
?
)

4、化简:
?
??
cos
?
?
?
?tan(360
o
?
?
)
2
?
2
?< br>.

(1)?sin(
?
?2
?
)?cos(2?
?
?
);

(2)cos(?
?
)?
sin(?
?
)
?
5
?
?
sin< br>?
?
?
?
2
??
数学

5、
已知sin
?
,cos
?
是关于x的方程x
2
?ax?
求






17
?
?0的两根，且3
?
?
?
?.
< br>22
tan(6
?
?
?
)sin(?2
?
?
?
)cos(6
?
?
?
)
的值.
cos(
?
?180?)sin(900??
?
)

1.4.1正弦、余弦函数的图象
1、

y
y=sinx

1

o
-4?
-3?< br>?3?
-6?
-5?
-?
4?5?
-2?
2?

-1

y
y=cosx

1

?-?
-5?-3?3?
4?5?
-4?2?
-6?
-2?
-1

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (
余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个？(0,1) (
6?
x
6?
x
?
3
?
,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
22
?
3
?
,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
22
3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
115
?
(1)sinx?;(2)cosx?,(0?x?).

2

22

1.4.2 正弦、余弦函数的性质
1、奇偶性： y=cosx是偶函数 y=sinx是奇函数。

2、单调性
数学

正弦函数在每一个闭区间［ －
??
＋2
k
π，＋2
k
π］(
k
∈Z) 上都是增函数，其值从－1增大到1；
22
3
?
?
在每一个闭区间［ ＋2
k
π，＋2
k
π］(
k
∈Z)上都是减函数，其值从1 减小到－1.
2
2
余弦函数在每一个闭区间［(2
k
－1)π，2
k
π］(
k
∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；
在每一个 闭区间［2
k
π，(2
k
＋1)π］(
k
∈Z)上都是减函 数，其值从1减小到－1.
3、有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x=
k
?
?
4、判断下列函数的奇偶性
(1)
f(x)?

?
2
k∈Z y=cosx的对称轴为x=
k
?
k∈Z
1?sinx?cosx
;
(2)
f(x)?lg(sinx?1?sin
2
x);

1?sinx?cosx
1.4.3正切函数的性质与图象
1、正切函数
y?tanx
的定义域是什么？
?
x|x?
2、
y?tanx










?
?
?
?
?k
?
,k?z
?

2
?
x?R
，且
x?
?
2
。
? k
?
?
k?z
?
的图象，称“正切曲线”
y
y
3
?
?
2
?
?

?
?
2
O
0
?
2
?

x
3
?
x
2
3、正切函数的性质（1）定义域：
?
x|x?
?
?
?
?
?k
?
,k?z< br>?
；
2
?
?
2
?
???

?
k?z
?
，
x???k??
时，
tanx??
2
（2）值域：R 观察：当
x
从小于
k
?
?
当
x
从大于
（3）周期性：
T?
?
；
数学 ?
2
??
?k
?
?
k?z
?
，
x?
?
2
????
。
?k
?
时，
tanx?

（4）奇偶性：由
tan
?
?x
?
??tanx
知，正切函数是奇函数； < br>??
?
（5）单调性：在开区间
?
?
??k
?
,?k
?
?
k?z
内，函数单调递增。
2
?
2
?
4、求下列函数的周期：
（1）
y?3 tan
?
x?
说明：函数
?
?
?
?
5?
?
答：
T?
?
。 （2）
y? tan
?
3x?
的周期
T?
?
?
?
?6
?
?
答：
T?
?
3
。
y ?Atan
?
?
x?
?
??
A?0,
?
? 0
?
?
?
?
．
?
5、求函数
y?tan
?
3x?
?
的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
3
?
??
k
?
5
?
k
?
5?
??
解：1、由
3x??k
?
?
得
x?，所求定义域为
?
x|x?R,且x??,k?z
?

?
318
32318
??
?
?
k
??
k
?
5
?
?
?,?
2、值域为R，周期
T?
， 3、在区间
??
?
k?z
?
上是增函数。
318318< br>3
??
?
?
1.5函数y=Asin(wx+?)(A>0，w>0) 的图象
1、函数y = Asin(wx+?)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(?>0)
1
或向右(?＜0)平移|?|个单位，再把所得各 点的横坐标缩短(w>1)或伸长(0?
标不变)，再把所得各点 的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0变换→周期变 换→振幅变换。
2、 ⑴函数y = sin2x图像向右平移
⑵函数y = 3co s(x+
5
?
5?
个单位所得图像的函数表达式为
y?sin2(x ?)

12
12
7
?
??
)图像向左平移个单位所 得图像的函数表达式为
y?3cos(x?)

43
12
?
)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为
3
⑶函数y = 2log
a
2x图像向左平移3个单位所得图像的函数 表达式
y?2log
a
2(x?3)

⑷函数y = 2tan(2x+
y?2tan[2(x?3)?
?
3


3、函数y = Asin(wx+?)表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
数学

T：
T?
2
?
?
往复振动一次所需的时间，称为“周期” .

f
：
f?
?
x?
?
:
称为“相位” .
x
=0时的相位，称为“初相”.
?
:

例2.由右图所示函数图象，求
解析：由图象可知
A
=2，
1
?
?
单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
.

T2
?

.
4、
y?Asin(
?
x?< br>?
)(|
?
|?
?
)的表达式
7
??
?(?)?
?
,
88
?
?
，
?
?
?2.
y
2
1
?

T?
即
2
?
?
?
o
8
3
?
8
7
?
8
x
又
(?,0)
为五点作图的第一个点，
8
因此
2 ?
（
?
?
?
8
）
?
?
?0
，
?
?
?
?
?2
4
.
因此所求函数的表 达式为
y?2sin(2x?
?
4
).
1.6三角函数模型的简单应 用
1、画出函数
y
＝|sin
x
|的图象并观察其周期.
y＝|sinx|
?2
?
y
?
2
?
?
?< br>?
2
?
2
?
x


第二章：平面向量
2.1.1-2.1.2 向量的物理背景与概念及向量的几何表示
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
数学
a
A(起点)

B
（终点）

2、向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
AB
； ④向量
AB
的大小―长度称为向量的模，记作|
AB
|.
3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向 相同，这两个向量就是相同的
向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同 ，尽管大小和方向相同，也是不同的有向
线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
0.

0
的方向是任意的. 注意
0
与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定
0
与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量
ａ
、
ｂ
、ｃ
平行，记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
2.1.3 相等向量与共线向量
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量 叫相等向量.
说明：（1）向量
ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条 有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
．．．．．．．．．．
2、共线向量与平行向量关 系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.．．．．．．．．．．．
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3、判断：
（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
数学

（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
4、下列命题正确的是（ ）
A.
ａ
与
ｂ
共线，< br>ｂ
与
ｃ
共线，则
ａ
与
c
也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相
等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，
所 以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，
其条 件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至
少有一个 是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与
ｂ都是非零向 量，所以应选C.
5、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量
AB
与
CD
是共线向量，则
A
、
B
、
C
、
D
四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形
ABCD
是平行四边形当且仅 当
AB
＝
DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求 方向相同或相反即可，并不要求两个向量
AB
、
AC
在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图
AC
与
BC
共线，虽起点不同，但其终点却相同.





数学

2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
1、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点
A
，作
AB
＝a，
B C
＝ｂ，则向量
AC
叫做a与ｂ的
和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ
?AB?BC?AC
， 规定： a + 0-= 0 + a< br>2、已知向量
a
、
b
，求作向量
a
+
b
作法：在平面内取一点，作
OA?a

AB?b
，则
OB?a?b
.










2.2.2向量的减法运算及其几何意义
1、作法：在平面内取一点
O
，
作
OA
=
a
，
AB
=
b
则
BA
=
a
?
b

即
a
?
b
可以表示为从向量
b
的终点指向向量
a
的终点的向量.
注意：1?
AB
表示
a
?
b
. 强调：差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量，
a
?
b = a
+ (?
b
)



数学
B’
a
O
b
b
?
b
a
B
b
A
a+ (?b)

2.2.3 向量的数乘运算及几何意义
1、实数与向量的积的定义：

（1）
|
?
a|?|
?
||a|
；
一般 地，实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作
?
a
， 它的长度与方向规定如下：
（2）当
?
?0
时，
?
a的方向与
a
的方向相同；
当
?
?0
时，
?< br>a
的方向与
a
的方向相反；
当
?
?0
时，
?
a?0
．
2、实数与向量的积的运算律：
（1）
?
(
?
a)?(
??
)a
（结合律）；
（2）< br>(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a
（第一分配律）；
（a+b）=
?
a?
?
b
（第二分配 律）（3）
?
．

3、计算：（1）
(?3)?4a
； （2）
3(a?b)?2(a?b)?a
；
（3）
(2a?3b?c)?(3a?2b?c)
．
解：（1）原式=
?12a
； （2）原式=
5b
； （3）原式=
?a?5b?2c
．



a?3ba?b1
4、
已知向量a 、 b满足??（3a?2b）,求证：向量a 和 b共线.
525



5、
证明三点共线的问题
?

AB?
?
BC(BC?0) ?A、B、C三点共线 .



2.3.1-2平面向量基本定理、平面向量的正交分解
数学

和坐标表示
1、平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一
向量
a
，有 且只有一对实数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
.
??
2、(1) 我们把 不共线向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量
a
在给出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
3、

?
P
O
B
A
如图， OA、 OB 不共线,且
AP?t AB (t?R), 用 OA，OB 表示 OP .
本题实质是
已知O、A、B三点不共线，

若点 P 在直线 AB 上，则 OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.
?
?
?
?
?
?
?
?
4、向量的夹角:已知两个非零向量
a
、
b
， 作
OA?a
，
OB?b
，则∠AOB＝
?
，叫向量
a
、
b
的夹
?
?
?
?
?
?
?
?
角，当
?
=0°，
a
、
b
同向，当
?
=180°，
a
、
b
反向，当
?
=90 °，
a
与
b
垂直，记作
a
⊥
b
。
6、正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
7、在直角坐标系内，我们分别取与x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作 为基底.任作一个向
1
量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数< br>x
、
y
，使得
a?xi?yj
…………○
2
我们把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x,y)
…………○






数学

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.




2．3．3平面向量的坐标运算
1、平面向量的坐标运算
（1） 若
a?(x
1
,y
1)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2 ）若
a?(x,y)
和实数
?
，则
?
a?(
?x,
?
y)
.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为
i
、
j
，则
?
a
?
?
(xi?yj)?
?< br>xi?
?
yj
，即
?
a?(
?
x,
?
y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
（3） 若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x< br>2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2?x
1
,y
2
?y
1
?

AB
=
OB
?
OA
=( x
2，
y
2
) ? (x
1
，y
1
)= (x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)
2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
3、思考：你能标出坐标为(x
2
? x
1
， y
2
? y
1
)的P点吗？
向量
AB
的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
4、已知三个力
F
1
(3， 4)，
F
2
(2， ?5)，
F
3
(x， y)的合力
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
，求
F
3
的坐标.
解：由题设
F
1
+
F
2
+
F
3
=
0
得：(3， 4)+ (2， ?5)+(x， y)=(0， 0)
即：
?
?
3?2?x?0
?
x??5
∴
?
∴
F
3
(?5，1)
4?5?y?0
y?1
?
?
5、若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则
AB
?2
BC
= .
数学

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
??
??
1、
设
a
=(x
1
， y
1
) ，
b
=(x
2
， y
2
) 其 中
b
?
a
.
?
?
x
1
?
?
x
2
?
由
a
=λ
b
得， (x
1
， y
1
) =λ(x
2
， y
2
)
?
?
消去λ，x
1
y
2
-x
2
y
1
=0
?
y
1
??
y
2
?
??
a
∥
b
(
b
?
0
)的充要条件是x
1
y
2
-x
2y
1
=0
?
?
2、若向量
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2)共线且方向相同，求x
?
?
解：∵
a
=(-1，x)与
b
=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2-
x
?(-
x
)=0
?
?
∴x=±
2
∵
a
与
b
方向相同 ∴x=
2








2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
1、平面向量数量积（内积）的定义：已知 两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它们的夹角是θ，
则数量|
a
||
b
|cos?叫
ａ
与
ｂ
的数量积，记作
a< br>?
b
，即有
a
?
b
= |
a
||
b
|cos?，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
? 探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量 的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
数学

（1）两个向量的数 量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成< br>a
?
b
；今后要学到两个向量的外积
a
×
b
，而
a
?
b
是两个向量
的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”
代替.
（3）在实数中，若
a
?0，且
a
?
b
=0，则
b
=0；但是在数量积中 ，若
a
?
0
，且
a
?
b
=
0，不能推出
b
=
0
.因
为其中cos?有可能为0.
（ 4）已知实数
a
、
b
、
c
(
b
?0)，则
ab=bc ? a=c
.但是
a
?
b
=
b
?
c

a
=
c

如右图：
a
?
b
= |
a
||
b
|cos? = |
b
||OA|，
b
?
c
= |
b
||
c
|cos? = |
b
||OA|
?
a
?
b
=
b
?
c
但
a
?
c
(5)在实数中，有(
a
?
b
)
c
=
a
(
b
?
c
)，但是(
a
?
b
)
c
?
a
(
b
?
c
)
显然，这是因为左端是与
c
共线的向量，而右端是与
a
共线的向量，而一般< br>a
与
c
不共线.
2、“投影”的概念：作图

定义：|
b
|cos?叫做向量
b
在
a
方向上的投 影.投影也是一个数量，不是向量；
当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0；
当? = 0?时投影为 |
b
|； 当? = 180?时投影为 ?|
b
|.
3、向量的数量积的几何意义：
数量积< br>a
?
b
等于
a
的长度与
b
在
a方向上投影|
b
|cos?的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设
a
、
b
为两个非零向量，
1、
a
?
b
?
a
?
b
= 0
2、当
a
与
b
同向时，
a
?
b
= |
a
||
b
|； 当
a
与
b
反向时，
a
?
b
= ?|
a
||
b
|.
特别的
a
?
a
= |
a
|或
|a|?
2
a?a

|
a
?
b
| ≤ |
a
||
b
| cos? =
a?b

|a||b|
4、平面向量数量积的运算律
1．交换律：
a
?
b
=
b
?
a

证：设
a
，
b
夹角为?，则
a
?
b
= |
a
||
b
|cos?，
b
?
a
= |
b
||
a
|cos? ∴
a
?
b
=
b
?
a

2．数乘结合律：(
?
a
)?
b
=
?
(
a
?
b
) =
a
?(
?
b
)
数学

证：若
?
> 0，(
?
a
)?
b
=
?
|
a
||
b
|cos?，
?
(
a
?
b
) =
?
|
a
||
b
|cos?，
a
?(
?
b
) =
?
|
a
||
b
|cos?，
若
?
< 0，(
?
a
)?
b
=|
?
a
||
b
|cos(???) = ?
?
|
a
||
b
|(?cos?) =
?
|
a
||
b
|cos?，
?
(
a
?
b
)
=
?
|
a
||
b
|cos?，
a
?(
?
b
) =|
a
||
?
b
|cos(???) = ?
?
|
a
||
b
|(?cos?) =
?
|
a
||
b
|cos?.
3．分配律：(
a
+
b
)?
c
=
a
?c +
b
?
c

在平面内取一点
O
，作
OA
=
a
，
AB
=
b
，
OC
=
c
， ∵
a
+
b
（即
OB
）在
c
方向上的 投影等
于
a
、
b
在
c
方向上的投影和，即 |
a
+
b
| cos? = |
a
| cos?
1
+ |
b
| cos?
2

∴|
c
| |
a
+
b
| cos? =|
c
| |
a
| cos?
1
+ |
c
| |
b
| cos?
2
， ∴
c
?(
a
+
b
) =
c
?
a
+
c
?
b
即：(
a
+
b
)?
c
=
a
?
c
+
b
?
c

说明：（ 1）一般地，(
ａ
·
ｂ
)с≠
ａ
（
ｂ
·с ）
（2）
ａ
·с＝
ｂ
·с，с≠0
２
ａ
＝
ｂ

２
（3）有如下常用性质：
ａ
＝｜
ａ
｜，
（ａ
＋
ｂ
）（с＋
ｄ
）＝
ａ
·с＋
ａ< br>·
ｄ
＋
ｂ
·с＋
ｂ
·
ｄ
?
?
?
?
5、已知|
a
|=12， |
b
|=9，
a?b??542
，求
a
与
b
的夹角。< br>
6、已知|
a
|=6， |
b
|=4，
a
与
b
的夹角为60求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|
a
+
b
|与|
a
-
b
|.
（ 利用
o
|a|?a?a
）
7、已知|
a
|=3， |
b
|=4，

且
a
与
b
不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.






2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2
2、平面内两点间的距离公式
数学

（1）设
a?(x,y)
，则
|a|?x?y
或
|a|?
222
x
2
?y
2
.
（2）如果表示向量
a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
，< br> 那么
|a|?
3、 向量垂直的判定
设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b

?
x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0

4、 两向量夹角的余弦（
0?
?
?
?
）
co
s
? =
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
(平面内两点间的距离公式)
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y< br>1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22

5、已知
a
＝（１，
3< br>），
b
＝（
3
＋１，
3
－１），则
a
与
b
的夹角是多少?
分析：为求
a
与
b
夹角， 需先求
a
·
b
及｜
a
｜·｜
b
｜，再结合 夹角θ的范围确定其值.
解：由
a
＝（１，
3
），
b＝（
3
＋１，
3
－１）
有
a
·
b< br>＝
3
＋１＋
3
（
3
－１）＝４，｜
a
｜＝２，｜
b
｜＝２
2
．
记
a
与
b< br>的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
a?b2
?
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
?
4
a?b2
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
6、在△
ABC
中，
AB
=(2， 3)，
AC
=(1，
k
)，且△
ABC
的一个内角为直角，求
k
值.
解：当
A
= 90?时，
AB
?
AC
= 0，∴2×1 +3×
k
= 0 ∴
k
=
?
3

2
当
B
= 90?时，
AB
?
BC
= 0，
BC
=
AC
?
AB
= (1?2，
k
?3) = (?1，
k
?3)
∴2×(?1) +3×(
k
?3) = 0 ∴
k
=
11

3
数学

当
C
= 90?时，
AC
?
BC
= 0，∴?1 +
k
(
k
?3) = 0 ∴
k
=


3?13

2
2.5.1平面几何中的向量方法
例1. 已知< br>AC
为⊙
O
的一条直径，∠
ABC
为圆周角.求证：∠
ABC
＝90.
证明：设
AO?a?OC,OB?b,
a?b,

o
B
A
O
C
AB?AO?OB?a?b,BC?a?b,< br>
AB?BC?(a?b)?(a?b)?a?b?0,

22
?AB?BC,

??ABC?90
o



2.5.2向量在物理中的应用举例
1、如图，一条河的两岸平行，河的宽度
d
＝500 m，一艘船从
A
处出发到河对岸.已知船的速度|
v
1
|
＝10 kmh，水流速度|
v
2
|＝2 kmh，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？
数学

数学

第三章：三角恒等变换
3.1.1 两角差的余弦公式
1、两角和差的余弦公式：
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
2、利用和、差角余弦公式求
cos75
、
cos15
的值.
解：分析：把
75
、
15
构造成两个特殊角的和、差.
sin
?
sin
?

cos75?cos
?
45?30
?
?cos45cos30?sin45sin30?
cos15?co s
?
45?30
?
?cos45cos30?sin45sin30?
23216?2
????
22224
23216?2

????
22224

3、已知
sin
?
?5
4
?
?
?
，
?
?
?
,?
?
,cos
?
??,
?
是第三象限角，求
c os
?
?
?
?
?
的值.
13
5
?
2
?
2
3
4
?
?
?
?
4
?
2
解：因为
?
?
?
,
?
?< br>，
sin
?
?
由此得
cos
?
??1?si n
?
??1?
??
??

5
5
?
2
?
?
5
?
12
5
?
5
?
2
又因为
cos
?
??,
?
是第三象限角，所以
sin
?
??1?cos
?
??1?
?
?
?
??

13
13
?
13
?
所以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin< br>?
sin
?
?
?
?
?
?
?
?







数学
233
?
3
??
5
?
4
?
12
?
?????

???
65
?
5
??
13
?
5
?
13
?

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）
?
?
?
?
?
?
???
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?
?cos
?
?
??
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?< br>cos
?
?sin
?
?
?
?
sin
?
?
2
???
2
??
2
?
?
?< br>2
?
1、
?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?
．
sin
?
?
?
?< br>?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?
?
?
?cos
?
sin
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
tan< br>?
?
?
?
?
?
2、

sin
?
?
?
?
?
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
．
?
cos
?
?< br>?
?
?
cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
tan
?
?tan
?
?
??
tan
?
?tan
?

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
?
??
?
??
?
??
??
1?tan
?
tan?
?
1? tan
?
tan
?
??
3、已知
tan
?
?
?
?
?
?
2
?
?
1
?
?
3
??
,tan
?
?
?
?
?,
求
tan
?
?
?
?
的值．（）
54
?< br>44
?
22
??
4、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、
sin72cos42?cos72sin42
；（2）、
cos20co s70?sin20sin70
；（3）、
1?tan15
．
1?tan1 5
解：（1）、
sin72cos42?cos72sin42?sin72?42
（ 2）、
cos20cos70?sin20sin70?cos20?70
??
?si n30?
1
；
2
??
?cos90?0
；
（3）、



数学
1?tan15tan45?tan 15
??tan
?
45?15
?
?tan60?3
．
1?tan151?tan45tan15

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）
1、化简
2cosx?6sinx

解：
?
1
?
3
2cosx?6sinx?22
?
?
2
cosx?
2
sinx
?
?
?22
?
sin30cosx?cos30sinx
?
?22sin
?30?
??
2、归纳：
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
x?R

tan
?
?
a

b
3、已知：函数
f(x)?2sinx?23cosx,
（1） 求
f(x)
的最值。（2）求
f(x)
的周期、单调性。
4、已知 A、B、C为△ABC的三內角，向量
m?(?1,3)
，
n?(cosA,sinA )
，且
m?n?1
，
（1） 求角A。（2）若





?
?
?
?
1?2sinB?cos B
??3
，求tanC的值。
22
cosB?sinB
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
1、
sin2
?
?sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?2sin
?
cos
?
； < br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
??1?sin
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
；
cos2
?
?cos
2
?
?s in
2
?
?cos
2
?
?(1?cos
2
?
)?2cos
2
?
?1
．
tan2
?
?tan
?
?
?
?
?
?
注意：
2
?
?
数学
tan
?
?tan
?
2tan
?
?
． < br>2
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
?k
?

?
k?z
?

?
2
?k< br>?
,
?
?
?
2

2、已知< br>sin2
?
?
解：由
5
??
,?
?
?,
求
sin4
?
,cos4
?
,tan4
?的值．
1342
,
得
?
4
?
?
?< br>?
2
?
2
?2
?
?
?
．
2
12
5
?
5
?
又因为
sin2
?
?,
cos2
?
??1?sin
2
2
?
??1?
??
??
．
13
13
?
13
?
于是
sin4
?
?2sin2
?
cos2
?
?2?
5
?
12
?
120
?
?
?
???
；
13
?
13
?
169
2
12 0
sin4
?
120
?
5
?
119
；tan4
?
?
．
?
169
??
cos4?
?1?2sin
2
2
?
?1?2?
??
?< br>119
cos4
?
119
?
13
?
169< br>169
?
3、在△ABC中，
cosA?
4、已知
tan2< br>?
?
4
，
tanB?2,求tan(2A?2B)的值
。
5
1
,
求
tan
?
的值．
32tan
?
1
2
，由此得
tan
?
?6tan
?
?1?0

?
2
1?tan
?
3
解：
tan2
?
?
解得
tan
?
??2?5或
tan
?
??2?5
．
5、已知
tan
?
?





11
,tan
?
?,求tan(
?
?2
?
)的值

73
3.2简单的三角恒等变换
1、试以
cos
?
表示
sin
2
?
2
,cos
2
?
2
,tan
2
2
?
2
．
解：我们可以通过二倍角
cos
?
?2cos
数学
?
2
?1
和< br>cos
?
?1?2sin
2
?
2
来做此题．

因为
cos
?
?1?2sin
因为
cos
?
?2cos
2
2
?
2
，可以得到
sin
2
?
2
?
1?cos
?
；
2
1?cos
?
．
2
?
2
?1
，可以得到
cos
2
?
2
?
又因为
tan
2
?
2
?
2
?
1?cos
?
．
?
1?cos
?
cos
2
2
5
?
，且?
在第二象限，求
tan
的值。
132
1
；
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
??
??
2
sin
2
?
2、已知
sin
?
?
3、求证：
（１）、
sin
?
cos
?
?
（２）、
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
2
cos
?
?
?
2
．
证明：（１）因为
sin
?
?
?
?
?
和
sin
?
?
?
?
?
是我 们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
sin
?
?
?
?< br>?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin< br>?
；
sin
?
?
?
?
?
?sin< br>?
cos
?
?cos
?
sin
?
．
两式相加得
2sin
?
cos
?
?sin
?
?< br>?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
；
即
sin
?
cos
?
?
1
； sin
?
?
?
?
?
?sin
?
??
?
?
??
??
2
（２）由（１）得
sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?2sin
?
cos
?
①；设
?
?
?
?
?
,
?
?
?
?
?
，
那么
?
?
?
?
?
2
,
?
?
?
?
?
2
．
把
?
,
?
的值代入①式中得
sin
?
?sin
?
?2sin
??
?
2
cos
?
?
?
2
．
5
?
sin
2
?
?sin2
?
4
的值(2)求tan(
?
?)的值
． 4、
已知0?
?
?,sin
?
?.

(1)求；
2
cos
?
?cos2
?
25
4
?
解：（1）由
0?
?
?
数学
?
43
,s in
?
?,
得
cos
?
?,

255

sin
2
?
?sin2
?
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
??? 20.

22
cos
?
?cos2
?
3cos?
?1
（2）
?tan
?
?
sin
?
45
?
tan
?
?11
?,tan(
?
?)??.

cos
?
341?tan
?
7
（?1?
5、
利用三角公式化简sin503tan10?）.

13
2(cos10 ??sin10?)
3sin10?
22
?1?）
?sin50??
解：
原式?sin50（

cos10?
cos10?
sin30? cos10??cos30?sin10?sin40?

?2cos40??


cos10?cos10?
sin80?cos10?

???1
.
cos10?cos10?
?2sin50??
6、已 知函数
f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx

（1） 求
f (x)
的最小正周期，（2）当
x?[0,
44
?
2
]时，求
f(x)
的最小值及取得最小值时
x
的集合．
7、把一 段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边
与角为自变量 ）
解：（1）如图，设矩形长为
l
，则面积
S?l4R
2
?l
2
，
4R
2
?2R
2
,
所以S?l(4R?l)??(l)?4Rl,
当且仅当
l?
2
222222 22
2
θ
即
l?2R
时，
S
2
取得最大 值
4R
4
，此时
S
取得最大值
2R
2
，矩 形的宽为
2R
2
?2R
即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.
2R
（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为
?
，矩形长与宽分别为
2Rsin
?
、
2Rcos
?
，所以面积
S?2R cos
?
?2Rsin
?
?2R
2
sin2
?.
而
sin2
?
?1
，所以
S?2R
，当且 仅当
sin2
?
?1
时，
S
取最大值
2R
，所以当且仅当
2
?
?90?
即
2
2
?
? 45?
时，
S
取最大值，此时矩形为内接正方形.
8、已知半径为1的半 圆，
PQRS
是半圆的内接矩形如图，问
P
点在什么位置时，矩形的面积最大 ，并
求最大面积时的值．
Q

P

数学
R

O

S

解：设< br>?SOP?
?
,
则
SP?sin
?
,OS?cos< br>?
,

故S
四边形
PQRS
?sin
??2cos
?
?sin2
?

故
?
为
45?
时，
S
max
?1





数学