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重点高中数学必修四主要内容
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2
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
角的定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图
形.
角的分类:
正角:按逆时针方向
零角:射线没有任
负角:按顺时针方
象限角的概念:
①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的
终边(端点除
外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
终边相同的角的表示:
所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S={ β
| β = α + k·360
,
k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和.
<
br>我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制
叫做弧度制
.在弧度制下, 1弧度记做1rad.在实际运算中,常常将rad单位省略.
弧度制的性质:
①半圆所对的圆心角为
?
r
r
?
?
;
②整圆所对的圆心角为
2
?
r
?
2
?
.
r
l
r
③正角的弧度数是一个正数.
④负角的弧度数是一个负数.
⑤零角的弧度数是零.
⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
.
角度与弧度之间的转换:
①将角度化为弧度:
360??2
?
;
180??
?
;
1??
②将弧度化为角度:
?
1
80
?0.01745rad
;
n??
n
?
rad
.
180
180180n
)?
.
)
盎
57
.30
?
57
?
18
?
;
n=(
2p
=360?
;
p=180?
;
1rad
=
(
pp
弧长公式
a=
l
?l
r
r?a
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积.
3
1.2 任意角的三角函数
三角函数的定义:
诱导公式
sin(2k
?
?
?
)?sin
?
(k?Z)
cos(2k
?
?
?
)
?cos
?
(k?Z)
tan(2k
?
?
?)?tan
?
(k?Z)
有向线段:
坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。
三角函数线的定义:
设任意角
?
的顶点在原点
O
,始边与
x
轴非负半轴
重合,终边与单位圆相交与点
P
(x,y)
,
过
P
作x
轴的垂线,垂足为
M
;过点
A(1,0)
作单位圆的切线,它
与角
?
的终边或其反向
y
y
延
T
长线交与点
T
.
P
P
A
A
x
o
M
o
M
x
T
yy
T
M
A
M
A
x
o
x
o
PT
P
由四个图看出:
当角<
br>?
的终边不在坐标轴上时,有向线段
OM?x,MP?y
,于是有
(
(
Ⅱ)
(
(
yyxxyMPAT
sin
?
???y?MP
,
cos
?
???x?OM
,
tan
?
????AT
r1r1xOMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
<
br>(1)三条有向线段的位置:正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到
x
轴
的垂直线段;余弦线
在
x
轴上;正切线在过单位圆与
x
轴正方向的交
点的切线上,
三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外。
(2)三条有向线段的方向
:正弦线由垂足指向
?
的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指
向垂
足;正切线由切点指向与
?
的终边的交点。
Ⅲ)
4
(3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与
x轴或
y
轴同向的为正值,与
x
轴或
y
轴反
向的
为负值。
(4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。
三角函数定义
在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点
P
(
除了原点)的坐标为
(x,y)
,
x
2
?y
2
?0
)
,那么
yy
(1)比值叫做α的正弦,记作
sin
?
,
即
sin
?
?
;
rr
xx
(2)比值叫做α的余
弦,记作
cos
?
,即
cos
?
?
;
r
r
yy
(3)比值叫做α的正切,记作
tan
?
,即
tan
?
?
;
xx
x
x
(4)比值叫做α的余切,记作
cot
?
,即
cot
?
?
;
y
y
说明:①α的始边与
x
轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,
以及α
的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置;
②根据相似三角形的知识,对于确
定的角α,四个比值不以点
P(x,y)
在α的终边
上的位置的改变而改变大小;
③当
?
?
等于
0
,
它与原点的距离为
r
(r?|x|
2
?|y|
2
?
?
2
α的终边在y
轴上,终边上任意一点的横坐标
x
都
?k
?
(k?Z
)
时,
x
y
无意义;同理当
?
?k
?
(k
?Z)
时,
cot
?
?
无意义;
y
x
x
yxy
④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值、、、分别是一个确定
y
rrx
所以
tan
?
?
的实数,
正弦、余弦、正切、余切
是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称
为三角函数。
(1)商
数关系:
tan
?
?
sin
?
22
(2)平方关系:
sin
?
?cos
?
?1
con
?
1.3 诱导公式
诱导公式(一)
sin(360?k?
?
)?sin
?
cos(360?k?
?
)?cos
?
诱导公式(二)
tan(360?k?
?
)?tan
?
sin(180??
?
)??sin
?
cos(180??
?
)??cos
?
诱导公式(三)
tan(180??
?
)?tan
?
sin(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?cos
?
tan(?
?
)??tan
?
5
诱导公式(四)
sin(180??
?
)?sin
?
cos(180??
?
)??cos
?
这四个可以总结为:函数名不变,符号看象限
诱导公式(五)
sin(
诱导公式(六)
sin(
tan(180??
?
)??tan
?
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)?sin
?
22
?
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)??sin
?
22
?
这两个总结为:函数正变余,符号看象限
1.4
三角函数的图像与性质
(1)函数y=sinx的图象
第一步:在直角坐标系的
x轴上任取一点
O
1
,以
O
1
为圆心作单位圆,从这个圆与
x轴
的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)
等份.
(预备:取自变量x值—弧度制下角与实数的对应).
第二步:在单位圆中画出对应于
角
0,
?
6
,
??
,,…,2π的正弦线正弦线(等价于“
列
32
表” ).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,
则正
弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ).
第三步:连线.用光滑曲
线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x
∈[0,2π]的图象.
根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移
动,每次移
动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈R的图象.
把角x
(x?R)
的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正
弦线的终点的轨迹就是正弦函数
y=sinx的图象.
(2)余弦函数y=cosx的图象
6
探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函
数的图象? 根据诱导公式
cosx?sin(x?
?
2
)
,可以把正弦函数
y=sinx的图象向左平移
?
单位
2
即得余弦函数y=cosx的图象.
(课件第三页“平移曲线” )
y
y=sinx
2?
3?
4?5?
6?
x
1
o
-4?
-3?
正
?
-6?
-5?-?
-2?
-1
弦函
y
数
y=cosx
1y=sin
?
-?
-5?-3?
-4?
-6?
-2?<
br>-1
x的
图象
和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
2?
3?
4?5?
6?
x
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0
) (
(2?,0)
3
?
?
,1) (?,0) (,-1)
2
2
3
?
?
,0) (?,-1) (,0)
2
2
余弦函数y=cosx
x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (
(2?,1)
周期函数定义:对于函数f
(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个
值时,都有:f (x+T)=f
(x)那么函数f (x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的
周期。
说明:1?周期函数x?定义域M,则必有x+T?M,
且若T>0则定义域无上界;T<0则定义域无
下界;
2?“每一个值”只要有一个反例,则f (x)就不为周期函数(如f (x
0
+t)?f
(x
0
))
3?T往往是多值的(如y=sinx
2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期)周期T中
最小的正数叫做f
(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)
y=sinx,
y=cosx的最小正周期为2? (一般称为周期)
(1)一般结论:函数
y
?Asin(
?
x?
?
)
及函数
y?Acos(
?
x?
?
)
,
x?R
(其中
A,
?
,
?
为
常数,且
A?0
,
?
?0
)的周
期
T?
2
?
?
;
(2)若
?
?0
,如:①
y?3cos(?x)
;
②
y?sin(?2x)
;
③
y?2sin(?
则这三个函数的周期又是什么?
1
?
x?)
,
x?R
.
26
2
?
|
?
|
一般结论:函数
y?Asin(
?
x?
?
)
及函数
y?Acos(
?
x?
?
)
,
x?R
的周期
T?
奇偶性
:函数y=sinx是奇函数,函数y=cosx是偶函数。
单调性:2.单调性
7
从y=sinx,x∈[-
当x∈[-
?3
?
]的图象上可看出:
,
22
??
,]时,曲线逐渐上升,sinx的值由-1增大到1.
22
?
3
?
当x∈[,]时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到-1
.
2
2
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间[-
?<
br>?
+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值
22
3
??
从-1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都
2
2
是减函数,其值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k
∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到
1;
在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-
1.
对称轴:
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
<
br>二、函数y?Asin(
?
x?
?
),x?[0,??)(其中A?0
,
?
?0)的物理意义:
函数表示一个振动量时:
A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”.
T:
T?
2<
br>?
?
往复振动一次所需的时间,称为“周期”
.
f
:
f?
1
?
?
单位时间内往返振动的次数,称为“频率”
.
T2
?
?
x?
?
:
称为“相位” .
?
:
x=0时的相位,称为“初相”.
1.6三角函数模型的简单应用
第二章 平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。
8
数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向)
1、数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.
2.向量的表示方法:
①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示;
a
A(起点)
B
(终点)
③用有向线段的起点与终
点字母:
AB
;④向量
AB
的大小―长度称为向量的模,记作
|AB
|.
3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向
相同,这两个向
量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同
,尽管大小和方向相同,也
是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念:
①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区
别.
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.
说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.
说明:(1)综合
①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥
b∥c.
1、相等向量定义:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;
(3)任意两个相
等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起
.......
点无关.
...
2、共线向量与平行向量关系:
平行向量就是共线向量,因为任一组平行向量
都可移到同一直线上(与有向线段的起点
........
无关).
...
说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;
9
(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
共线向量一定在同一直线上吗?(不一定)
2.2 平面向量的线性运算
向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
三角形法则(“首尾相接,首尾连”)
平行四边形法则
C
A
当向量
a
与
b
不共线时, |
a
+
b|<|
a
|+|
b
|;什么时候|
a
+
b|=|
a
|+|
b
|,什么时候|
a
+
b|=|
a
|
-|
b
|,
当向量
a
与
b
不共线时,
a
+
b
的方向不同向,且|
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|;
当
a与
b
同向时,则
a
+
b
、
a
、
b
同向,且|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|,
当
a
与
b
反向时,若|
a
|>|<
br>b
|,则
a
+
b
的方向与
a
相同,且|a
+
b
|=|
a
|-|
b
|;
若|
a
|<|
b
|,则
a
+
b
的方向与
b
相同,且|
a
+b|=|
b
|-|
a
|. <
br>“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n
个向量连加
一、 向量的减法
1. 用“相反向量”定义向量的减法
(1)
“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a
(2)
规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量,则a = ?b, b = ?a, a + b = 0
(3)
向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差.
即:a ? b = a
+ (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2. 用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
若b + x = a,则x叫做a与b的差,记作a ?
b
3. 求作差向量:已知向量a、b,求作向量a ? b
10
∵(a?b) + b = a + (?b) +
b = a + 0 = a
作法:在平面内取一点O,
作
OA
= a,
AB
= b 则
BA
= a
? b
即a ?
b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意:1?
AB
表示a ? b. 强调:差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b)
(1)|λ
a
|=|λ||
a
|;
实数与向量的积:实数λ与向量
a
的积是一个向量,记作:λ
a
<
br>??
??
(2)λ>0时λ
a
与
a
方向相同;λ<0
时λ
a
与
a
方向相反;λ=0时λ
a
=
0
?????
2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
?
?
?
?
?
?
?
向量的夹角:已知两个非零向量
a
、
b,作
OA?a
,
OB?b
,则∠AOB=
?
,叫向量<
br>a
、
?
?
?
?
?
?
?
b<
br>的夹角,当
?
=0°
bb
,
a
、同向,当
?
=180°,
a
、反向,当
?
=90°,
a
与b
垂直,记
?
?
作
a
⊥
b
。
11
平面向量的坐标表示
(1)正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。
(2)思考:在平面直角坐标系
中,每一个点都可以用一对有序实数表示,平面内的每一
个向量,如何表示呢?
如图,在直
角坐标系内,我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i<
br>、
j
作为基
底.任作一个向量
a
,由平面向量基本定理知,有
且只有一对实数
x
、
y
,使得
1
a?xi?yj
…………○
2
我们把
(x,y)
叫做向量
a
的(直角)坐标,记作
a?(x,y)
…………○
2
式叫做向量的坐标表示.与其中
x叫做
a
在
x
轴上的坐标,
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标,○
.
a
相
.
等的向量的坐标也为<
br>.........
(x,y)
. 特别地,
i?(1,0)
,<
br>j?(0,1)
,
0?(0,0)
.
如图,在直角坐标平面内,以原
点O为起点作
OA?a
,则点
A
的位置由
a
唯一确定.
12
设
OA?xi?yj
,则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标;反过来,点
A
的坐标
(x,y)
也
就是向量
OA
的坐标.因此,在平面直角坐标系
内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一
表示.
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,
则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作a?b,即有a?b =
|a||b|cos?,(0≤θ≤π).
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
向量的数量积的几何意义:数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a?b
?x
1
x
2
?y
1
y
2
向量垂直的判定 设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
,则
a?b
?
x
1<
br>x
2
?y
1
y
2
?0
13
两向量夹角的余弦(
0?
?
?
?
)
cos? =
a?b
?
|a|?|b|
x
1
x2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
2
2
x
2
?y
2
22
平面内两点间的距离公式 <
br>|a|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
2.5 平面向量的应用举例
第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦公式、余弦公式和正切公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
s
in(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?c
os
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
c
os
?
?sin
?
sin
?
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?
1?tan
??tan
?
1?tan
?
?tan
?
sin2
?
?sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
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3.2 简单的三角恒等变换
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