高中数学向量的几何运算试题-高中数学人教版必修1课件
第二章 平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
练习(P77)
1、略.
2、
AB
,
BA
. 这两个向量的长度相等,但它们不等.
3、
AB?2
,
CD?2.5
,
EF?3
,
GH?22
.
4、(1)它们的终点相同; (2)它们的终点不同.
习题2.1
A组(P77)
1
、
B
45°
(
2
)
O
30°
C
A
D
. C
A
B
3、与
DE
相等的向量有:
AF,FC
;与
EF
相等的向量有:
BD,DA
;
与
FD
相等的向量有:
CE,EB
.
4、与
a<
br>相等的向量有:
CO,QP,SR
;与
b
相等的向量有:
PM
,DO
;
与
c
相等的向量有:
DC,RQ,ST
5、
AD?
33
. 6、(1)×; (2)√;
(3)√; (4)×.
2
习题2.1 B组(P78)
1、海拔和高度都不是向量.
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对.
其中与
AM
同向的共有6对,
与
AM
反向的也有6对;与
A
D
同向的共有3对,与
AD
反向的也有6对;模为
2
的向量共有4对
;模为2的向量有2对
2.2平面向量的线性运算
练习(P84)
1、图略. 2、图略.
3、(1)
DA
; (2)
CB
.
4、(1)
c
; (2)
f
; (3)
f
;
(4)
g
.
练习(P87)
1、图略. 2、
DB<
br>,
CA
,
AC
,
AD
,
BA
.
3、图略.
练习(P90)
1、图略.
52
2、
AC?AB
,
BC??AB
.
77
说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案.
值得注意的是
BC
与
AB
反向.
718
3、(1)
b?2a
; (2)
b??a
;
(3)
b??a
; (4)
b?a
.
9
42
4、(1)共线; (2)共线.
111
5、(1)
3a?2b
; (2)
?a?b
;
(3)
2ya
. 6、图略.
123
习题2.2
A组(P91)
1、(1)向东走20 km; (2)向东走5 km;
(3)向东北走
102
km;
(4)向西南走
52
km;(5
)向西北走
102
km;(6)向东南走
102
km.
2、飞机飞行的路程为700 km;两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
3、解:如右图所示:
AB
表示船速,
AD
表示河水
的流
速,以
AB
、
AD
为邻边作
□
ABCD
,则
B
C
AC
表示船实际航行的速度.
在Rt△ABC中,
AB?8
,
AD?2
,
所以
AC?AB?AD?8
2
?2
2
?217
<
br>22
A
D
水流方向
因为
tan?CAD?4
,由计算
器得
?CAD?76?
所以,实际航行的速度是
217
kmh,船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
4、(1)
0
;
(2)
AB
; (3)
BA
; (4)
0
;
(5)
0
; (6)
CB
; (7)
0
.
5、略
6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角
形法则,让学生理解,若三
个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向
线段
一定能构成三角形.
7、略. 8、(1)略;
(2)当
a?b
时,
a?b?a?b
1
9、(1)
?2a?2b
;
(2)
10a?22b?10c
; (3)
3a?b
;
(4)
2(x?y)b
.
2
10、
a?b?4e
1
,
a?b??e
1
?4e
2
,
3a?2b??3e
1
?10e
2
.
11、如图所示,
OC??a
,
OD??b
,
DC?b?a
,
BC??a?b
.
12、
AE?
(第11题)
113
b
,
BC?b
?a
,
DE?(b?a)
,
DB?a
,
444
3
111
EC?b
,
DN?(b?a)
,
AN?AM?(a?b).
4848
13、证明:在
?ABC
中,
E,F
分别
是
AB,BC
的中点,
1
所以
EFAC
且
EF?AC
,
2
1
即
EF?AC
;
2
1
同理,
HG?AC
,
2
所以
EF?HG
.
习题2.2 B组(P92)
1、丙地在甲地的北偏东45°方向,距甲地1400 km.
2、不一定相等,可以验证在
a,b
不共线时它们不相等.
(第12题)
G
D
C
F
H
E
A
(第13题)
B
乙
丙
11
AC
,
AM?AB
,
33
1111
所以
MN?AC?AB?(AC?AB)?BC
.
3333
4、(1)四边形
ABCD
为平行四边形,证略
(2)四边形
ABCD
为梯形.
1
证明:∵
AD?BC
,
3
∴
ADBC
且
AD?BC
∴四边形
ABCD
为梯形.
D
(3)四边形
ABCD
为菱形.
3、证明:因为
MN?AN?AM
,而
AN?
甲
(第1题)
C
B
A
(第4题(2))
证明:∵
AB?DC
,
∴
ABDC
且
AB?DC
∴四边形
ABCD
为平行四边形
又
AB?AD
∴四边形
ABCD
为菱形.
5、(1)通过作图可以发现四边形
ABCD
为平行四边形.
证明:因为
OA?OB?BA
,
OD?OC?CD
而
OA?OC?OB?OD
所以
OA?OB?OD?OC
所以
BA?CD
,即
AB
∥
CD
.
因此,四边形
ABCD
为平行四边形.
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
练习(P100)
O
(第5题)
B
C
D
A
(第4题(3))
M
A
BD
C
1、(1)
a?b?(3,6)
,
a?b?(?7,2)<
br>; (2)
a?b?(1,11)
,
a?b?(7,?5)
;
(3)
a?b?(0,0)
,
a?b?(4,6)
;
(4)
a?b?(3,4)
,
a?b?(3,?4)
.
2、
?2a?4b?(?6,?8)
,
4a?3b?(12,5)
.
3、(1)
AB?(3,4)
,
BA?(?3,?4)
;
(2)
AB?(9,?1)
,
BA?(?9,1)
;
(3)
AB?(0,2)
,
BA?(0,?2)
;
(4)
AB?(5,0)
,
BA?(?5,0)
4、
AB
∥
CD
. 证明:
AB?(1,?1),
CD?(1,?1)
,所以
AB?CD
.所以
AB
∥
CD
.
1014
5、(1)
(3,2)
;
(2)
(1,4)
; (3)
(4,?5)
.
6、
(,1)
或
(,?1)
33
33
7、解:设
P(x,y)
,由点
P
在线段
AB
的延长线上,且
AP?PB
,得
AP??PB
22
AP
?(x,y)?(2,3)?(x?2,y?3)
,
PB?(4,?3)?(x,y)?(4?
x,?3?y)
3
?
x?2??(4?x)
?
3
?
2
∴
(x?2,y?3)??(4?x,?3?y)
∴
?
3
2
?
y?3??(?3?y)
?
?2
?
x?8
∴
?
,所以点
P
的坐标为
(8,?15)
.
?
y??15
习题2.3 A组(P101)
1、(1)
(?2,1)
; (2)
(0,8)
;
(3)
(1,2)
.
说明:解题时可设
B(x,y)
,利用向量坐标的定义解题.
2、
F
1
?F
2
?F
3
?(8,0)
3、解
法一:
OA?(?1,?2)
,
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)
而
AD?BC
,
OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
.
所以点
D
的坐
标为
(1,5)
.
解法二:设
D(x,y)
,则
AD?(x?(?1),y?(?2))?(x?1,y?2)
,
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)
?
x?1?2
由
AD?BC
可得,
?
,解得点
D
的坐标为
(1,
5)
.
?
y?2?7
4、解:
OA?(1,1)
,
AB?(?2,4)
.
AC?
11
AB?(?1,
2)
,
AD?2AB?(?4,8)
,
AE??AB?(1,?2)
.
22
OC?OA?AC?(0,3)
,所以,点
C
的坐标为
(0,3)
;
OD?OA?AD?(?3,
9)
,所以,点
D
的坐标为
(?3,9)
;
OE?OA?AE?(2,?1)
,所以,点
E
的坐标为
(2,?1
)
.
5、由向量
a,b
共线得
(2,3)?
?
(
x,?6)
,所以
23
,解得
x??4
.
?
x?
6
6、
AB?(4,4)
,
CD?(?8,?8)
,
CD?
?2AB
,所以
AB
与
CD
共线.
7、
OA?
?2OA?(2,4)
,所以点
A
?
的坐标为
(2,
4)
;
OB
?
?3OB?(?3,9)
,所以点B
?
的坐标为
(?3,9)
; 故
A
?
B
?
?(?3,9)?(2,4)?(?5,5)
习题2.3 B组(P101)
1、
OA?(1,2)
,
AB?(3,3)
.
当t?1
时,
OP?OA?AB?OB?(4,5)
,所以
P(4,5)<
br>;
当
t?
11335757
时,
OP?OA?AB?(
1,2)?(,)?(,)
,所以
P(,)
;
222
22222
当
t??2
时,
OP?OA?2AB
?(1,2)?(6,6)?(?5,?4)
,所以
P(?5,?4)
;
当
t?2
时,
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(7,8)
,
所以
P(7,8)
.
2、(1)因为
AB?(?4,?6)
,AC?(1,1.5)
,所以
AB??4AC
,所以
A
、
B
、
C
三
点共线;
(2)因为
PQ?(1.5,?
2)
,
PR?(6,?8)
,所以
PR?4PQ
,所以
P<
br>、
Q
、
R
三
点共线;
(3)因为
EF
?(?8,?4)
,
EG?(?1,?0.5)
,所以
EF?8EG
,所以
E
、
F
、
G
三点共线.
3、证明:假设<
br>?
1
?0
,则由
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?0
,得
e
1
??
?
2
e
2
.
?
1
所以
e
1
,e
2
是共线向量,与已知
e
1
,e
2
是平面内
的一组基底矛盾,
因此假设错误,
?
1
?0
.
同理
?
2
?0
.
综上
?
1
?
?
2
?0
.
4、(1)
OP?19
. (2)对于任意向量
OP?xe1
?ye
2
,
x,y
都是唯一确
定的,
所以向量的坐标表示的规定合理.
2.4平面向量的数量积
练习(P106)
1、
p?q?p?q?cos?p,q??8?6?
1
?24
. <
br>2
2、当
a?b?0
时,
?ABC
为钝角三角形;当
a?b?0
时,
?ABC
为直角三角形.
3、投影分别为
32
,0,
?32
. 图略
练习(P107)
1、
a?(?3)
2
?4
2
?
5
,
b?5
2
?2
2
?29
,
a?b??
3?5?4?2??7
.
2、
a?b?8
,
(a?b)(a?b)
??7
,
a?(b?c)?0
,
(a?b)
2
?49
.
3、
a?b?1
,
a?13
,b?74
,
?
?88?
.
习题2.4 A组(P108)
1、
a?b??63
,
(a?b)
2
?a?2a?b?b?
25?123
,
a?b?25?123
.
2、
BC
与CA
的夹角为120°,
BC?CA??20
.
3、
a?b?
a?2a?b?b?23
,
a?b?a?2a?b?b?35
.
4、证法一:设
a
与
b
的夹角为
?
.
(1)当
?
?0
时,等式显然成立;
(2)当
?
?0
时,
?
a
与
b
,
a
与
?b
的夹角都为
?
,
所以
2222
22
(<
br>?
a)?b?
?
abcos
?
?
?
abco
s
?
?
(a?b)?
?
abcos
?
a?(
?
b)?a
?
bcos
?
?
?
abcos
?
所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
;
(3)当
?
?0
时,
?a
与
b
,
a
与
?
b
的夹角都为
180??
?
,
则
(
?
a)?b?
?
abcos(180??
?
)??
?
abcos
?
?
(a?b)?
?
abcos
?
??
?
abc
os
?
a?(
?
b)?a
?
bcos(180?
?
?
)??
?
abcos
?
所以
(<
br>?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
;
综上所述,等式成立.
证法二:设
a?(x
1
,y
1<
br>)
,
b?(x
2
,y
2
)
,
那么
(
?
a)?b?(
?
x
1
,
?
y
1
)?(x
2
,y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2
?
(a?b)?
?
(x
1
,y
1
)?
(x
2
,y
2
)?
?
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2
a?(
?<
br>b)?(x
1
,y
1
)?(
?
x
2
,
?
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2
所以
(
?<
br>a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
;
5、(1)直角三角形,
?B
为直角.
证明:∵
BA?(?1,?4)?(5,2)?(?6,?6)
,
BC?(3,4)?
(5,2)?(?2,2)
∴
BA?BC??6?(?2)?(?6)?2?0
∴
BA?BC
,
?B
为直角,
?ABC
为直角三角形
(2)直角三角形,
?A
为直角
证明:∵
AB?(19,4)?
(?2,?3)?(21,7)
,
AC?(?1,?6)?(?2,?3)?(1,?3)
∴
AB?AC?21?1?7?(?3)?0
∴
AB?AC
,
?A
为直角,
?ABC
为直角三角形
(3)直角三角形,
?B
为直角
证明:∵
BA?(2,5)?(
5,2)?(?3,3)
,
BC?(10,7)?(5,2)?(5,5)
∴
BA?BC??3?5?3?5?0
∴
BA?BC
,<
br>?B
为直角,
?ABC
为直角三角形
6、
?
?135?
.
7、
?
?120?
.
(2a?3b)(2a?b)
?4a?4a?b?3b?61
,于是可得
a?b??6
,
22
c
os
?
?
8、
cos
?
?
a?b1
??<
br>,所以
?
?120?
.
2
ab
23
,
?
?55?
.
40
9、证明:∵
AB?(5,?2)?(1,0)?(4,?2)
,
BC?(8,4)
?(5,?2)?(3,6)
,
DC?(8,4)?(4,6)?(4,?2)
∴
AB?DC
,
AB?BC?4?3?(?2)?6?0
∴
A,B,C,D
为顶点的四边形是矩形.
10、解:设
a?(x,y)
,
?
?
35
35<
br>?
x?y?9
?
x?
?
x??
?
?
?
5
5
则
?
,解得,或.
?
?
y
?
y?
65
?
y??
65
?
x?
?2<
br>?
?
5
5
?
?
22
于是
a?(
35653565
,)
或
a?(?,?)
.
5555
11、解:设与
a
垂直的单位向量
e?(x,y)
,
??
55
x?x??
22
??
?
x?y?1<
br>??
55
则
?
,解得
?
或
?
. <
br>4x?2y?0
?
?
y??
25
?
y?
25
??
55
??
于是
e?(
525525
,?)或
e?(?,)
.
5555
习题2.4 B组(P108)
1、证法一:
a?b?a?c?a?b?a?c?0?a?(b?c)?0?a?(b?c)
证法二:设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
,
c?(x
3
,y<
br>3
)
.
先证
a?b?a?c?a?(b?c)
a
?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
,
a
?c?x
1
x
3
?y
1
y
3
由
a?b?a?c
得
x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3<
br>,即
x
1
(x
2
?x
3
)?y
1<
br>(y
2
?y
3
)?0
而
b?c?(x2
?x
3
,y
2
?y
3
)
,所以a?(b?c)?0
再证
a?(b?c)?a?b?a?c
由
a?(b?c)?0
得
x
1
(x
2
?
x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0
,
即
x
1
x
2
?y
1
y
2<
br>?x
1
x
3
?y
1
y
3
,因此a?b?a?c
2、
cos?AOB?
OA?OB
OAOB<
br>?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?<
br>.
3、证明:构造向量
u?(a,b)
,
v?(c,d)
.
u?v?uvcos?u,v?
,所以
ac?bd?a2
?b
2
c
2
?d
2
cos?u,v?
∴
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)cos
2
?u,v??(a
2<
br>?b
2
)(c
2
?d
2
)
4、
AB?AC
的值只与弦
AB
的长有关,与圆的半径无关.
C
证明:取
AB
的中点
M
,连接
CM
,
1
则
CM?AB
,
AM?AB
2
又AB?AC?ABACcos?BAC
,而
?BAC?
2
1
所以
AB?AC?ABAM?AB
2
AM
AC
5、
(1)勾股定理:
Rt?ABC
中,
?C?90?
,则
CA?CB?
AB
证明:∵
AB?CB?CA
∴
AB?(CB?CA)?CB?2CA?CB?CA
.
由
?C?
90?
,有
CA?CB
,于是
CA?CB?0
∴
CA?CB?AB
(2)菱形
ABCD
中,求证:
AC?BD
证明:∵
AC?AB?AD
,
DB?AB?AD,
∴
AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB?AD
.
∵四边形
ABCD
为菱形,∴
AB?AD
,所以
AB?AD?0
∴
AC?DB?0
,所以
AC?BD
(3)长方形
ABCD
中,求证:
AC?BD
证明:∵ 四边形<
br>ABCD
为长方形,所以
AB?AD
,所以
AB?AD?0
∴
AB?2AB?AD?AD?AB?2AB?AD?AD
.
∴
(
AB?AD)?(AB?AD)
,所以
AC?BD
,所以
AC?BD
(4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2)(3)的证明即可.
2.5平面向量应用举例
习题2.5 A组(P113)
1、解:设
P(x,y)
,
R(x
1
,y
1
)
则
RA?(1,0)?(x
1
,y
1
)?(1?x
1
,?y
1
)
,
AP?(x,y)?(1,0)?(x?1,0)
22
22
222
2
2
22
222
222222
22
?
x
1
??2x?3
由<
br>RA?2AP
得
(1?x
1
,?y
1
)?2(x?1
,y)
,即
?
?
y
1
??2y
代入直线
l
的方程得
y?2x
.
所以,点
P
的轨迹方程为
y?2x
.
2、解:(1)易知,
?OFD
∽
?OBC
,
DF?
A
1
BC
,
2
D
O
F
2
所以
BO?BF
.
3
2211
AO?BO?BA?BF?a?(b?a)?a?(a?b)
3323
B
1
(2)因为
AE?(a?b)
2<
br>2AO
所以
AO?AE
,因此
A,O,E
三点共线,而且?2
OE
3
BOCOAOBOCO
同理可知:
?2,
?2
,所以
???2
OFODOEOFOD
3、解:(1)
v?v
B
?v
A
?(?2,7)
;
(2)
v
在
v
A
方向上的投影为
E
(第2题)
C
v?v
A
v
A
?
13
.
5
(第4题)
4、解:设
F
1
,
F
2<
br>的合力为
F
,
F
与
F
1
的夹角为
?
,
则
F?3?1
,
?
?30?
;
F
3
?3?1
,
F
3
与
F
1
的夹角
为150°.
习题2.5 B组(P113)
1、解:设
v
0
在水平方向的速度大小为
v
x
,竖直方向的速度的大小为
v
y
,
则
v
x
?v
0
cos
?
,
v
y
?v
0
sin
?
.
设在时刻
t时的上升高度为
h
,抛掷距离为
s
,则
1
?
h
?vtsin
?
?gt,(g为重力加速度)
0
?
2
?
?
s?v
0
tcos
?
?
所以,最大高度为
v
0
sin
?
2g
2
2
,最大投掷距离为
v
0
sin2
?
g
2
.
2、解:设v
1
与
v
2
的夹角为
?
,合速度为
v
,
v
2
与
v
的夹角为
?
,行驶距离为d
.
则
sin
?
?
v
1
sin?
v
?
10sin
?
v
,
d?
v0.5
d1
?
. ∴
?
.
sin
?
20sin
?
v
20sin
?
所以当
?
?90?
,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
3、(1)
(0,?1)
解:设
P(x,y)
,则
AP?(x?1,y?2)
.
AB?(2,?22)
.
将
AB
绕点
A
沿顺时针方向旋转
AP
,
?
7
到
AP
,相当于沿逆时针方向旋转
?
到
44<
br>7777
于是
AP?(2cos
?
?22sin
?
,
2sin
?
?22cos
?
)?(?1,?3)
4444
所以
?
(2)
y??
?
x?1??1
,解得
x?0,y??1
y?2??3
?
3
2x
解:设曲线
C
上任一点
P
的坐标为
(x,y)
,
OP
绕
O逆时针旋转
标为
(x
?
,y
?
)
?
??
?
?
x?xcos?ysin
?
x
?
?
?
?
44
,即
?
则
?
?
??<
br>?
y
?
?
?
y
?
?xsin?ycos?
?
44
?
?
2
(x?y)
2
2
(x?y)
2
?
后,点
P
的坐
4
1
13
又因为
x
?
2
?y
?
2
?3
,所以
(x?y)
2
?(x?y)
2
?3
,化简得
y??
222x
第二章 复习参考题
A组(P118)
1、(1)√; (2)√; (3)×; (4)×.
2、(1)
D
; (2)
B
;
(3)
D
; (4)
C
; (5)
D
;
(6)
B
.
11
3、
AB?(a?b)
,
AD?(a?b)
22
21
4、略解:
DE?BA?MA?MB??a?b
33
2211
AD?a?b
,
BC?a?b
3333
1112
EF??a?b
,
FA?DC?a?b
3333
1221
CD??a?b
,
AB?a?b
3333
CE??a?b
(第4题)
5、(1)
AB?(8,?8)
,
AB?82
;
(2)
OC?(2,?16)
,
OD?(?8,8)
;
(3)
OA?OB?33
.
6、
AB
与
CD
共线.
证明:因为
AB?(
1,?1)
,
CD?(1,?1)
,所以
AB?CD
.
所以
AB
与
CD
共线.
7、
D(?2,0)
.
8、
n?2
.
9、
?
??1,
?
?0
.
34
10、
cosA?,cosB?0,cosC?
55
11、证明:
(2n?m)?m?2n?m?m?2cos60??1?0
,所以
(2
n?m)?m
.
519
12、
?
??1
.
13、
a?b?13
,
a?b?1
.
14、
cos
?
?,cos
?
?
820
2
第二章 复习参考题
B组(P119)
1、(1)
A
; (2)
D
; (3)
B
;
(4)
C
; (5)
C
; (6)
C
;
(7)
D
.
2、证明:先证
a?b?a?b?a?b
.
a?b?(a?b)?a?b?2a?b
a?b?(a?b)
2
?a?b?2
a?b
.
22
22
2
22
,
因为
a?b
,所以
a?b?0
,于是
a?b?a?b?a?b
.
再证
a?b?a?b?a?b
.
由于
a?b?a?2a?b?b
,
a?b?a?2a?b?b
由
a?b?a?b
可得
a?b?0
,于是
a?b
所以
a?b?a?b?a?b
. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
3、证明:先证
a?b?c?d
c?d?(a?b)?(a?b)?a?b
又
a?b
,所以
c?d?0
,所以
c?d
再证
c?d?a?b
.
由
c?d
得c?d?0
,即
(a?b)?(a?b)?a?b?0
所以
a?b
【几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所
22
22
2222
(第3题)
示】
111
4、
AD?AB?BC?CD?a?
b
,
AE?a?b
242
311111
而
E
F?a
,
EM?a
,所以
AM?AE?EM?a?b?a?(a?b)
444242
P
3
5、证明:如图所示,
OD?OP
1
?OP
2
,由于
OP
1
?OP
2
?OP<
br>3
?0
,
所以
OP
3
??OD
,
OD?1
所以
OD?OP
1
?PD
1
所以
?OP
P
12
?30?
,同理可得
?OPP
13
?30?
P
1
O
P
2
(第5题)
D
所以
?P
3
PP
12
?60?
,同理可得
?PP
12<
br>P
3
?60?
,
?P
2
P
3
P1
?60?
,所以
?PP
12
P
3
为
正三角形.
6、连接
AB
.
由对称性可知,
AB
是
?SMN
的中位线,
MN?2AB?2b?2a
.
7、(1)实
际前进速度大小为
4
2
?(43)
2
?8
(千米/时),
沿与水流方向成60°的方向前进;
(2)实际前进速度大小为
42
千米/时,
沿与水流方向成
90??arccos
6
的方向前进.
3
N
M
A
O
S
(第6题)
B
8
、解:因为
OA?OB?OB?OC
,所以
OB?(OA?OC)?0
,所以
OB?CA?0
同理,
OA?BC?0
,
OC?AB?0
,所以点
O
是
?ABC
的垂心.
9、(1
)
a
2
x?a
1
y?a
1
y
0
?
a
2
x
0
?0
; (2)垂直;
(3)当<
br>A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
时,
l
1
∥
l
2
;当
A
1
A2
?B
1
B
2
?0
时,
l
1
?l
2
,
夹角
?
的余弦
cos
?
?Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
A
1
A
2
?B
1
B
2
A?B
2
12
1
A
2
?B
2
22
;
(4)
d?
第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习(P127)
???
1、
cos(?
?
)?cosc
os
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?1?sin?
?sin
?
.
222
cos(2
?
?
?
)?cos2
?
cos
?
?sin2
?
sin
?
?1?cos
?
?0?sin
?
?co
s
?
.
34
3
?
2、解:由
cos
?<
br>??,
?
?(,
?
)
,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?
;
55
52
???
23242
所以
cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
?
. <
br>?(?)???
444252510
3、解:由
sin
?
?<
br>158
15
,
?
是第二象限角,得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
;
1717
17
???
81153?8?153
所以<
br>cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin
?????
.
?
33317217234
25
23
?4、解:由
sin
?
??,
?
?(
?
,),得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?)2
??
;
33
32
37
33
?
又由
cos
?
?,
?
?(,2
?
)
,得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?()
2
?
?
.
44
42
所
3572?35?27
.
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?<
br>?sin
?
sin
?
??(?)?(?)?(?)?
4343
12
练习(P131)
以
1、(1)
6?26?26?2
;
(2); (3); (4)
2?3
.
444
34
3
?
2、解:由
cos
?
??,
?
?(,
?
)
,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)<
br>2
?
;
55
52
???
41334?33
所以
sin(
?
?)?sin
?
cos?cos
?
sin???(?)?
.
?
333525210
3、解:由
sin
?
??
125
12
,得
cos
?
??1?
sin
2
?
??1?(?)
2
??
;
?
是第三象限角,
1313
13
所
???
35112?53?12
.
cos(?
?
)?c
oscos
?
?sinsin
?
??(?)??(?)?
66621
321326
?
tan
?
?tan
?
4
?
3?1
??2
. 4、解:
tan(
?
?)?
4
1
?tan
?
?tan
?
1?3?1
4
以
3
1
5、(1)1; (2); (3)1;
(4)
?
;
2
2
1
(5)原式=
?(cos
34?cos26??sin34?sin26?)??cos(34??26?)??cos60???
;
2
(6)原式
=
?sin20?cos70??cos20?si
n70???(sin20?cos70??cos20?sin70?)??sin90???1
.
???
6、(1)原式=
coscosx?sinsinx?cos(?x)
;
333
31
???
(2)原式=
2(sinx?cosx)
?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
;
22666
22
???
(3)原式=
2(sinx?cosx)
?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
;
22444
13
???
(4)原式=
22(cosx?sinx
)?22(coscosx?sinsinx)?22cos(?x)
.
22333
3
7、解:由已知得
sin(
?
?
?
)cos
?<
br>?cos(
?
?
?
)sin
?
?
,
5
33
即
sin[(
?
?
?
)?
?
]?
,
sin(?
?
)?
55
3
所以
sin
?
??
.
又
?
是第三象限角,
5
34
于是
cos<
br>?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
.
55
因
5
?
5
?
5
?
324272
.
sin(
?
?)?sin
?
cos?cos
?
sin?(
?)(?)?(?)(?)?
444525210
练习(P135)
?
3<
br>?
1、解:因为
8
?
?
?
?12
?
,所以
?
??
82
3
?
?
43
?
4
8
?
5
?
3
又由
c
os??
,得
sin??1?(?)
2
??
,
tan?8
cos
?
?
4
4
855
85
85<
br>sin?
此
?
???
3424
?sin(2?)?
2sincos?2?(?)?(?)?
48885525
????
437
cos?cos(2?)?cos
2
?sin
2
?(?)
2
?(?)
2
?
48885525
所以sin
3
??
8
?
4
?
3
?
16
?
24
tan?tan(2?)?
4
8
1?tan
2
?
1?(
3
)
2
277<
br>84
2tan
2?
?
?
33316
2、解:由
sin(
?
?
?
)?
,得
sin
?
??
,所以
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1
?(?)
2
?
55525
1637
?(?)
2
?
25525
1
3
、解:由
sin2
?
??sin
?
且
sin
??0
可得
cos
?
??
,
2
所以
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?
又
tan
?
?
由
?
?
?(,
?
)
2
,得
13
sin
?
?1?cos<
br>2
?
?1?(?)
2
?
22
,所以
sin<
br>?
3
??(?2)??3
.
cos
?
2
1
2tan
?
1
2
4、解:由
tan2
?
?
,得. 所以
tan
?
?6tan
?
?1?0
,所以?
2
31?tan
?
3
tan
?
??3?10
???
2
11
5、(1)
sin15?cos15??s
in30??
;
(2)
cos
2
?sin
2
?cos?
;
8842
24
2
12tan22.5?11
(3)原式=
?
; (4)原式=.
cos45??
?tan45??
2
21?tan
2
22.5?22
习题3.1 A组(P137)
3
?
3
?
3
?
1、(1)
cos(??
)?coscos
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?(?1)?sin
?
??sin
?
;
222
3
?
3
?
3
?
(2)
sin(?
?
)?sincos
?
?cossin
?
??1
?cos
?
?0?sin
?
??cos
?
;
222
(3)
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
?sin
?
sin
?
??1?co
s
?
?0?sin
?
??cos
?
;
(4)
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?<
br>?cos
?
sin
?
?0?cos
?
?(?1)?s
in
?
?sin
?
.
34
3
2、解:由
cos
?
?,0?
?
?
?
,得
sin
?<
br>?1?cos
2
?
?1?()
2
?
,
55
5
???
433143?3
所以
cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin??
.
???
666525210
25
2
?
3、解:由
s
in
?
?,
?
?(,
?
)
,得
cos?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
,
33
32
37
33
?
又由
cos
?
??,
?
?(
?
,)
,得
sin
?<
br>??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??
,
44
42
所
cos(
?
?
?
)
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??
532735?27
.
?(?)??(?)?
343412
以
143
1
4、解:由
cos
?
?
,
?是锐角,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?()2
?
77
7
因为
?
,?
是锐角,所以
?
?
?
?(0,
?
)
,
又因为
cos(
?
?
?
)??
11
2
53
)?
1414
1
1
14
,所以
sin(
?
?
?
)?1?cos2
(
?
?
?
)?1?(?
所以
cos
?
?cos[(
?
?
?
)?
?
]
?cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?
11153431
)????
1471472
5、解:由
60??
?
?150?
,得90??30??
?
?180?
?(?
34
3
又由
sin(30??
?
)?
,得
cos(30??
?
)??1?sin
2
(30
??
?
)??1?()
2
??
55
5
所以
cos
?
?cos[(30??
?
)?30?]?cos(30
??
?
)cos30??sin(30??
?
)sin30?
4331?43?3
??????
525210
6?22?6
6、(1)
?
;
(2)
?
; (3)
?2?3
.
44
25
2
?
7、解:由
sin
?
?,
?
?(,
?<
br>)
,得
cos
?
??1?sin
2
?
??1
?()
2
??
.
33
32
又由
cos
?
??
3
4
,
?
是第三象限角,得
37
si
n
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??<
br>.
44
所以
cos(
?
?
?
)?cos<
br>?
cos
?
?sin
?
sin
?
5327
?(?)??(?)
3434
35?27
?
12
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
??
2357
??(?)?(?)?(?)
3434
?6?35
?
12
53
8、解:∵sinA?,cosB?
且
A,B
为
?ABC
的内角
135
?
124
∴
0?A?
?
,0?B?
,
cosA??,sinB?
2135
12
当
cosA??
时,
sin(A?
B)?sinAcosB?cosAsinB
13
?
5312433
??(?)????0
13513565
A?B?
?
,不合题意,舍去
124
∴
cosA?,sinB?
135
∴
co
sC??cos(A?B)??(cosAcosB?sinAsinB)
1235416
?(???)??
13513565
34
3
?
9、解:由
sin
?
?,
?
?(,
?
)
,得
cos
?
??1?sin
2
?
??
1?()
2
??
.
55
52
∴
tan
?
?
sin
?
353
??(?)??
.
cos?
544
31
??
tan
?
?tan
?
42
??
2
.
?
∴
tan(
?
??
)?
1?tan
?
?tan
?
1?(?
3<
br>)?
1
11
42
31
??
tan
?
?tan
?
42
??2
.
?
tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?tan
?
1
?(?
3
)?
1
42
10、解:∵
tan
?
,tan
?
是
2x
2
?3x?7?0
的两个实数根. <
br>37
∴
tan
?
?tan
?
??
,
tan
?
?tan
?
??
.
22
∴
ta
n(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?1
???
.
1?tan
?
?tan
?
1?(
?
7
)
3
2
?
3
2
11、解:∵
tan(
?
?
?
)?3,tan(
?
?
?
)?5
∴
tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
tan(
?
??
)?tan(
?
?
?
)
3?54
???
1?tan(
?
?
?
)?tan(
?
??
)
1?3?57
tan(
?
?
?
)?tan
(
?
?
?
)
3?51
tan2
?
?tan
[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
???
1?tan(
?
?
?
)?tan(
??
?
)
1?3?58
B
D
12、解:∵
BD:
DC:AD?2:3:6
BD1DC1
∴
tan
?
??,
tan
?
??
AD3AD2
11
?
tan
?
?tan
?
32
?1
?
∴
tan?
BAC?tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?ta
n
?
1?
1
?
1
32
α
又∵
0?
??BAC?180?
,∴
?BAC?45?
A
β
(第12题)
C
27
?
?
?
x
?
13、(1)
(2)
3sin(?x)
; (3) (4)
sin(?x)
;
6
5sin(x?)
;
2sin(?)
;
212
6326
2<
br>1
(5); (6);
(7)
sin(
?
?
?
)
;
(8)
?cos(
?
?
?
)
;
(9)
?3
;
(10)
2
2
tan(
?
?
?
)
. ?
14、解:由
sin
?
?0.8,
?
?(0,),得
cos
?
?1?sin
2
?
?1?0.8
2
?0.6
2
∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?0.8?0.6?0.96
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?0.6
2<
br>?0.8
2
??0.28
15、解:由
cos
?<
br>??
36
3
得
sin
?
??1?cos
2<
br>?
??1?(?)
2
??
,180??
?
?270?
,
33
3
∴
sin2
?
?2sin?
cos
?
?2?(?
6
)?(?
3
3
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?(?)
2
?(?
3
tan2
?
?
sin2
?
22
??(?3)??22
cos2
?
3
322
)?
33
6
2
1
)??
33
1
6、解:设
sinB?sinC?
512
,且
0??B?90?
,所
以
cosB?
.
1313
512120
∴
sinA?si
n(180??2B)?sin2B?2sinBcosB?2???
1313169
125119
cosA?cos(180??2B)??cos2B??(cos
2
B?sin
2
B)??(()
2
?()
2
)??
1
313169
tanA?
sinA120169120
??(?)??
cosA169119119
2?
113
?
2tan
?
3tan
?
?tan2
?
374?1
.
??
,
tan(
?
?2
?
)
??
17、解:
tan2
?
?
2
1?tan
?1?(
1
)
2
4
1?tan
?
?tan2?
1?
1
?
3
3
74
18、解:
co
s(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?<
br>?
)sin
?
?
又
?
?(
111
?
cos[(
?
?
?
)?
?
]?
,即
cos
?
?
333
122
3
?
,2
?
)
,所以
sin
?
??1?cos
2<
br>?
??1?()
2
??
33
2
22142
)???
339
122
2
7
cos2
?
?
cos
2
?
?sin
2
?
?()
2
?(?
)??
339
∴
∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?(?
???
72422?72?8
cos(2
?
?)?cos
2
?
cos?sin2
?
sin????(?)??
4449292
18
1
19、(1)
1?sin2
?
;
(2)
cos2
?
; (3)
sin4x
;
(4)
tan2
?
.
4
习题3.1 B组(P138)
1、略.
2、解:∵
tanA,tanB
是
x
的方程x
2
?p(x?1)?1?0
,即
x
2
?px?p?1
?0
的两个实
根
∴
tanA?tanB??p
,
tanA?tanB?p?1
∴
tanC?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)
??由于
0?C?
?
,所以
C?
tanA?tanB?p
?
???1
1?tanA?tanB1?(p?1)
3
?
.
4
3、反应一般的规律的等式是(表述形式不唯一)
3
(证明略)
4
本题是开放型问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是:
3
sin
2
(
?
?30?)?cos
2
?
?sin(
?
?30?)cos
?
?
4
3
sin
2
(
?
?15?)?cos
2
(
?
?15?)?s
in(
?
?15?)cos(
?
?15?)?
4
3
sin
2
?
?cos
2
?
?sin
?<
br>cos
?
?
,其中
?
?
?
?30?
,等等
4
思考过程要求从角,三角函数种类,式子结构形式三个方面寻找共同特点,从
而作出归纳.
对认识三角函数式特点有帮助,证明过程也会促进推理能力、运算能
力的提高.
sin
2
?
?cos
2
(
?
?30?)?sin
?cos(
?
?30?)?
4、因为
PA?PP
则
(co
s(
?
?
?
)?1)
2
?sin
2
(?
?
?
)?(cos
?
?cos
?
)
2
?(sin
?
?sin
?
)
2
12<
br>,
即
2?2cos(
?
?
?
)?2?2cos
?
cos
?
?2sin
?
sin
?
所
以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
3.2简单的三角恒等变换
练习(P142)
1、略. 2、略. 3、略.
1
?
?
k
??
k
?
4、(1)
y?sin4x
. 最
小正周期为,递增区间为
[??,?],k?Z
,最
228282
1
大值为;
2
(2)
y?cosx?2
. 最小正周期为
2
?
,递增区间为
[
?
?2k
?
,2
?
?2
k
?
],k?Z
,最大值
为3;
??
5
?
k
??
k
?
(3)
y?2si
n(4x?)
. 最小正周期为,递增区间为
[??,?],k?Z
,最
32
242242
大值为2.
习题3.2 A组( P143)
1、(1)略;
(2)提示:左式通分后分子分母同乘以2; (3)略;
(4)提示:用
sin<
br>2
?
?cos
2
?
代替1,用
2sin
?<
br>cos
?
代替
sin2
?
;
(5)略; (
6)提示:用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
;
(7)提示:用
2sin
2
?
代替
1?cos2
?
,用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
; (8)略.
11
2、由已知可有
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
……①,
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
……
②
23
(1)②×3-①×2可得
sin
?
cos
??5cos
?
sin
?
(2)把(1)所得的两边同除以cos
?
cos
?
得
tan
?
?5tan?
注意:这里
cos
?
cos
?
?0
隐含与①、②之中
1
2?(?)
2tan
?
1
2
??
4
?
3、由已知可解得
tan
?
??
. 于是
tan
2
?
?
1?tan
2
?
1?(?
1
)2
3
2
2
1
??1
?
1
42
tan(
?
?)???
4
1?tan
?
?tan
?
1?(?
1
)?1
3
42
tan
??tan
?
?
∴
tan2
?
??4tan(
?
?)
4
4、由已知可解得
x?sin
?
,
y?cos
?
,于是
x
2
?y
2
?sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
?
?
?
k
?
7
?
k
?
5、
f(x)?2si
n(4x?)
,最小正周期是,递减区间为
[?,?],k?Z
.
32242242
习题3.2 B组(P143)
1、略.
2、由于<
br>76?2?7?90
,所以
sin76??sin(90??14?)?cos14??
m
即
2cos
2
7??1?m
,得
cos7
??
3、设存在锐角
?
,
?
使
?
?2
?<
br>?
m?1
2
2
?
??
?
,所以<
br>?
?
?
,
tan(?
?
)?3
,
3232
又
tan
?
2
tan
?
?2
?3
,又因为
tan(
?
2
tan
?
?
)
?
?
2
?tan
?
1?tan
?
2
,
tan
?
所以
tan
?
?tan
?
?tan(?
?
)(1?tantan
?
)?3?3
222
??
由此可解得
tan
?
?1
, <
br>?
?
经检验
?
?
?
4
,所以
??
?
6
.
?
6
,
?
?
?
4
是符合题意的两锐角.
11
4、线段
AB
的中点
M
的坐标为
((cos<
br>?
?cos
?
),(sin
?
?sin
?
)
)
. 过
M
作
MM
1
垂
22
11
y
直于
x
轴,交
x
轴于
M
1
,
?
MOM
1
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)
.
22
B
?
?
??<
br>?
?
C
在
Rt?OMA
中,
OM?OAcos
.
?cos
M
22
A
?
?
??
??
在
Rt?OM
1
M
中,
OM
1
?O
Mcos?MOM
1
?cos
,
cos
22
O
M
1
?
?
??
?
?
.
M
1
M?OMsin?MOM
1
?sincos
22
1
?
?<
br>??
?
?
于是有
(cos
?
?cos
?
)?cos
,
cos
222
1
?
?
??
?
?
(sin
?
?sin
?
)?sincos
(第4题) 222
x
5、当
x?2
时,
f(
?
)?sin
2
?
?cos
2
?
?1
;
当x?4
时,
f(
?
)?sin
4
?
?cos<
br>4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
?
11
?1?sin
2
2
?
,此时有
≤f(
?)≤1
;
22
时
x?6
当,
f(
?<
br>)?sin
6
?
?cos
6
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
3
?3sin
2
?
cos
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?
)
31
?1?sin
2
2
?
,此时有
≤f(
?
)≤1
;
44
1
由此猜
想,当
x?2k,k?N
?
时,
k?1
≤f(
?
)
≤1
2
3434
6、(1)
y?5(sinx?cosx)?5s
in(x?
?
)
,其中
cos
?
?,sin
??
5555
所以,
y
的最大值为5,最小值为﹣5;
(2)
y?a
2?b
2
sin(x?
?
)
,其中
cos
??
a
a?b
22
,sin
?
?
b
a?
b
22
所以,
y
的最大值为
a
2?b
2
,最小值为
?a
2
?b
2
;
第三章 复习参考题
A组(P146)
16
.
提示:
?
?(
?
?
?
)?
?
65
565
??
2、. 提示:
sin(
?
??
)??sin[
?
?(
?
?
?
)]??si
n[(?
?
)?(?
?
)]
6544
3、1.
tan
?
?tan
?
4、(1)提示:把公式
tan(?
?
?
)?
变形;
1?tan
?
tan
?
1、
(2)
3
; (3)2; (4)
?3
.
提示:利用(1)的恒等式.
cos10??3sin10?4sin(30??10?)
??4
;
sin10?cos10?sin20?
sin10?sin10??3cos10?
(2)原式=
sin40?(
?3)?sin40??
cos10?cos
10?
?2sin40?cos40??sin80?
=
???1
;
cos10?cos10?
5、(1)原式=
(3)原式=
tan70?
cos10?(
3sin20?3sin20??cos20?
?1)?tan70
?cos10??
cos20?cos20?
sin70??2sin10??sin20?<
br>=
?cos10?????1
;
cos70?cos20?cos70?3sin10?cos10??3sin10?
)?sin50??
cos10
?cos10?
2cos50?sin100?
?sin50????1
cos10?cos10?
924
6、(1); (2);
5
25
(4)原式=
sin50??(1?
22
. 提
示:
sin
4
?
?cos
4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2?
cos
2
?
;
3
17
(4). 25
sin
?
sin
?
1
21
?
.
7、由已知可求得
cos
?
cos
?
?
,
sin<
br>?
sin
?
?
,于是
tan
?
tan
?
?
cos
?
cos
?
2
55
(3
)
?
8、(1)左边=
2cos
2
2
?
?1?4c
os2
?
?3?2(cos
2
2
?
?2cos2
?
?1)
?2(cos2
?
?1)
2
?2(2co
s
2
?
)
2
?8cos
4
?
=右边 sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?
(2)左边=
2cos
2
?
?2sin
?
c
os
?
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)
sin
?
?cos
?
11
?tan
?
?
=右边
2cos
?
22
sin(2
?
?
?
)?2cos(
?
?
?
)sin
?
sin[(<
br>?
?
?
)?
?
]?2cos(
?
?
?
)sin
?
?
(3)左边=
sin
?
2c
os
?
(cos
?
?sin
?
)
?
?sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
??
?
)sin
?
sin
?
=右边
?
sin
?
sin
?
3?4co
s2A?2cos
2
2A?12(cos
2
2A?2cos2A?1)
?
(4)左边=
22
3?4cos2A?2cos2A?12(cos2A?
2cos2A?1)
(1?cos2A)
2
(2sin
2
A)
2
???tan
4
A
=右边
222
(1?cos2A)
(2cosA)
?
9、(1)
y?1?sin2x?1?cos2x?sin2x?c
os2x?2?2sin(2x?)?2
4
?
5
?
递减区间为
[?k
?
,?k
?
],k?Z
88
(2)最大值为
2?2
,最小值为
2?2
. ?
10、
f(x)?(cos
2
x?sin
2
x)(c
os
2
x?sin
2
x)?2sinxcosx?cos2x?sin2x?
2cos(2x?)
4
(1)最小正周期是
?
;
?
??
5
?
?
3
?
(2)由
x?[0,]
得
2x??[,]
,所以当
2x??
?
,即<
br>x?
时,
f(x)
的
244448
3
?
最小
值为
?2
.
f(x)
取最小值时
x
的集合为
{}
.
8
?
11、
f(x)?2sin
2
x?2sinxcosx?1?cos2x
?sin2x?2sin(2x?)?1
4
(1)最小正周期是
?
,最大值为
2?1
;
??
(2)
f(x)
在
[?,]
上的图象如右图:
22
?12、
f(x)?3sinx?cosx?a?2sin(x?)?a
.
6
(1)由
2?a?1
得
a??1
;
2
?
(2)
{x2k
?
≤x≤?2k
?
,k?Z}
.
3
13、如图,设
?ABD?
?
,则
?CAE?
?
,
hh
AB?
2
,
AC?
1
sin
?
cos
?
1hh
?
所以
S
?ABC
??AB?AC?
12
,
(0?
?
?)
2sin2
?
2
?
?
当
2?
?
,即
?
?
时,
S
?ABC
的最小
值为
h
1
h
2
.
24
(第12(2)题) E
C
h
1
l
1
A
h
2
D?
(第13题)
B
l
2
第三章
复习参考题
B组(P147)
1
?
4
?
sin
?
?cos
?
?
5
,及
0≤
?
≤
?
,可解得
sin
?
?
, 1、解法一:由
?
5?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?<
/p>
13247
,
cos2
?
??
,
cos
?
?sin
?
??
,所以
sin2
?
?
552525
???
312
.
sin(2
?
?)?sin2
?
cos?cos2
?
sin?
44450
1124
解法二:由
sin
?
?cos
?
?
得
(sin<
br>?
?cos
?
)
2
?
,
sin2
?
?
,所以
52525
49
.
cos
2
2
?
?
625
?
2
1
又由
sin
?
?cos
?
?
,得
sin(
?
?)?
.
410
5
??
3
?
因为
?
?[0,
?
]
,所以
?
??[?,]
.
444
???
而当
?
??[?,0]
时,
sin(
?
?)
≤0
;
444
?
22
??
3
?
当
?
??[,]
时,
sin(
?
?)≥
.
?4210
444
??
??
所以
?
??(0,)
,即
?
?(,)
4442
?
312
?
7
所以
2
?
?(,
?
)
,
cos2
?
??
.
sin(2
?
?)?
450
2
25
11
2、把
cos
?
?cos
?
?
两
边分别平方得
cos
2
?
?cos
2
?
?2cos
?
cos
?
?
24
11
把
sin
?
?sin
?
?
两边分别平方得
sin
2
?
?sin
2
?
?2sin
?
sin
?<
br>?
39
13
把所得两式相加,得
2?2(cos?
cos
?
?sin
?
sin
?
)?
,
36
1359
即
2?2cos(
?
?
?
)?
,所以
cos(
?
?
?
)??
3
672
?
433343
?
4
3、由
sin(
??)?sin
?
??
可得
sin
?
?
,
sin(
?
?)??
. <
br>cos
?
??
35225
65
?
???
?<
br>3
又
??
?
?0
,所以
??
?
??
,于是
cos(
?
?)?
.
236665
??
33?4
所以
cos
?
?cos[(
?
?)?]?
661
0
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx?2sin
2
x2
sinxcosx(cosx?sinx)
4、
??
sinx
1?tanx
cosx?sinx
1?
cosx
1?tanx
?
?sin2x?s
in2xtan(?x)
1?tanx4
17
?
7
?5
??
?
3
由得
?x??x??2
?
,又
cos(?x)?
,
1243445
?
4
?
4
所以
sin(?x)??
,
tan(?x)??
4543
??????
2
所以
cosx?cos[(?x)?]?cos(?x)cos?sin(?x)sin??
,
44444410
72
sin2x?2sin
2
x28
7<
br>,
sin2x?2sinxcosx?
,
所以
sinx??
??
,
10
1?tanx75
255、把已知代入
sin
2
?
?cos
2
?
?(
sin
?
?cos
?
)
2
?2sin
?
c
os
?
?1
,得
(2sin
?
)
2
?2s
in
2
?
?1
.
变形得
2(1?cos2
?
)?(1?cos2
?
)?1
,
2cos2
?
?
cos2
?
,
4cos
2
2
?
?4cos
2
2
?
本题从对比已知条件和所证等式开始,可发现应消去已知条件中含
?
的三角函
数. <
br>考虑
sin
?
?cos
?
,
sin
?
cos
?
这两者又有什么关系?及得上解法.
5、6两题上述解法称为消去法 <
br>?
6、
f(x)?3sin2x?1?cos2x?m?2sin(2x?)?m?1<
br>.
6
?
??
7
?
由
x?[0,]
得
2x??[,]
,于是有
2?m?1?6
.
解得
m?3
.
2666
?
f(x)?2sin(2x?)?4(x?R)
的最小值为
?2?4?2
,
6
?
3
?
2
?
此时
x
的取值集合
由
2x???2k
?
(k?Z)
,求得为
x??k
?
(k?Z)
623
7、设
AP?x
,
AQ?y
,
?BCP?
?
,
?DCQ?
?
,则
tan
?
?1?x
,
tan
?
?1?y
于是
tan(
?
?
?
)?
2?(x?y)
(x?y)?xy
又
?APQ
的周长为2,即
x?y?x2
?y
2
?2
,变形可得
xy?2(x?y)?2
于是
tan(
?
?
?
)?
又
0?<
br>?
?
?
?
2?(x?y)
?1
.
(x?
y)?[2(x?y)?2]
?
2
,所以
?
?
?
?
?
4
,
?PCQ?
?
2
?(
?
?
?
)?
?
4
.
1
?
?
sin<
br>?
?cos
?
?
8、(1)由
?
5
,可得<
br>25sin
2
?
?5sin
?
?12?0
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
43
解得
sin
?
?
或
sin
?
??
(由
?
?(0,
?
)
,舍去)
55
134
所以
cos
?
??sin
?<
br>??
,于是
tan
?
??
553
(2
)根据所给条件,可求得仅由
sin
?
,cos
?
,tan
?
表示的三角函数式的值,
sin
?
?cos
?
sin<
br>?
?cos
?
?
例如,
sin(
?
?),
cos2
?
?2
,,,等等.
2tan
?
3sin
?
?2cos
?
3
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