高一数学必修四(公式汇总)

高一数学必修四(公式汇总)

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：




2

3
高一数学学习方法总结
前言

1． 注重基础和通性通法
在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材， 挖掘教材的
潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不
良 倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式
训练和变式引申来提高自 己的分析问题、解决问题的能力。
2.注重思维的严谨性
平时学习过程中应避免只 停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定
对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听—— 懂——会——对——美。
我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我 们宿
迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。
另外我们的学生的解题 的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老
师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够 听进去！
希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观” ：
1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观
3. 注重应用意识的培养
注重培 养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学
的信心，达到培养创新精神和实践 能力的目的。
4.培养学习与反思的整合
建构主义学习观认为知识并不是简单的由教 师或者其他人传授给学生的，而只
能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创 造的过程，
一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，
老 师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学
学习不但要对概念、结论 和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主
探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正 。（这也就是我们经常将让大家一定
要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给 “科学”下了一
个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实
很有道理！
所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得
到 拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让
数学反思成为我们的自然 的习惯！

5.注重平时的听课效率
听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识， 而且事半功倍，可以省好多的时
间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每 一点时间
做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，
国家 还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候
参加考试就行了。
想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师
是如何想到的，与自己预 习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的
是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程 。课后宁愿花时间去整理笔记，因
为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样 讲的，自己
在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维
火 花往往是稍纵即逝的。
在这里我再一次强调听课要做到“五得”
? 听得懂 ? 想得通 ? 记得住 ? 说得出 ? 用得上
6. 注重思想方法的学习
学习数学重再学习数学 思想方法，它是数学知识在更高层次上的抽象和概括，
它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，也 是历年来高考数学命题的特点之
一。不少学者认为：
“传授知识”是数学的一种境界，加上“ 能力培养”是稍高的境界，再加上“方
法渗透”是较高的境界，而再加上“提高修养（指数学文化和非智 力引力的介入）”
则是最高境界。作为学生一定要深刻理解数学的思想方法，它是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力，
才能体现数学的学 科特点，才能形成数学素养。即使在以后我们走上社会，在工作
岗位上我们的这种数学素养就会内化为自 身的较深的修养，从而使得自己的气质得
以升华，它对于我们今后的做人和处事有很大的指导意义，再加 上我们的人文素养
就可以造就自己哲学修养。









3

高一数学必修四
知识点总结
第一章 基本三角函数
Ⅰ
?

?
2

?
?
Ⅰ
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
?
Ⅱ
?
2
?
Ⅰ、Ⅲ
?
?
Ⅲ
?
2
?
Ⅱ、Ⅳ
?
?
Ⅳ
?
2
?
Ⅱ、Ⅳ
Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合：
?< br>??
?
??
,
?
?z
?

? 终 边落在y轴上的角的集合：
?
?
??
?
??
?
?< br>,
?
?z
?
?

?
2
?
? 终边落在坐标轴上的角的集合：
?
?
??
?
?
?
2
,
?
?z
?
?
?

?
? 基本三角函数符号记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”
或者“一全正，二正弦，三两切，四余弦”
360度?2
?
弧度
l?
?
r
?
S?
11

1
?
?
?
180
弧度
.

2
l r?
2

?
r
2
1 弧度?
180
?
度
180
?
?
?
弧度
tan
?
cot
?
?1

?倒数关系：
Sin
?
Csc
?
?1
正六边形对角线上对应
Cos
?
Sec
?
?1
的三角函数之 积为1 （ 正割余割了解即可，可以由老师适当补充）
4
tan
2
?
?1?Sec
2
?
平方关系：
Sin
2
?
?Cos
2
?
?1

三个倒立三角形上底边对应
1?C ot
2
?
?Csc
2
?
乘积关系：
Sin
?
?tan
?
Cos
?
， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
Ⅲ 诱导公式
? 终边相同的角的三角函数值相等?
角
?
与角?
?
关于x轴对称


Si n
?
?
?2k
?
?
?Sin
?
, k?z
Sin
?
?
?
?
??Sin
?
Co s
?
?
?2k
?
?
?Cos
?
, k?z

Cos
?
?
?
?
?Cos
?

t an
?
?
?2k
?
?
?tan
?
, k?z
tan
?
?
?
?
??tan
?
?
角
?
?
?
与角
?
关于y轴对称
?
角
?
?
?
与角
?
关于原点对称

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos?
?
?
?
?
??Cos
?

Sin
?
?
?
?
?
??Sin
?
Cos
?
?
?
?
?
??Cos
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
Sin
?
?
?
?
?
?
?
?Cos
?
Sin
?
?
?
?
?
?
?
角
?
2
?
?
与角
?
关于y?x对称
?
2
?
?
2
?
?
?Cos
?
Cos
?
?
?
?
?
?
?

?
2
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?
2
?
?
?
?
?
??Sin
?
tan
??
?
?
2
?
?
?
?
?
?co t
?
tan
?
?
?
?
2
?
??
?
?
??cot
?
上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变， 符号看象限”
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
2
?
?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
Ⅳ 周期问题 ?
y?ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
2
?
?
?
y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
y?ASin
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?

?
y?Atan
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?< br>y?ASin
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b ?0 , T?
2
?y?Acot
?
?
x?
?
?
, A?0 ,
?
? 0 , T?
?
?
?
y?ACos
?
?
x?
?
?
?b , A?0 ,
?
? 0 , b?0 , T?
2
?
?



4

Ⅴ三角函数的性质
性 质
y?Sin x
y?tan x

y?Cos x


定义域 R R
?
?
?
xx?
??
?
?
2
,
?
?z
?
?

?
值 域
?
?1,1
?

?
?1,1
?

R
周期性
2
?

2
?

?

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性
?
??
2k
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?
,k?z,增函数

?
2k< br>?
?
?
,2k
?
?
,k?z,增函数
??
??
?
?
k
?
?
2
,k
?
?
2
?
?
,k?z,增函数
?
?
2k?
,2k
?
?
?
?
,k?z,减函数
?

?
2k
?
?
?
2
,2k
?
?
3
?
?
2
?
?
,k?z,减函数

对称中心
?
k
?
,0
?
,k?z

?
?
k
?
,0
?
,k?z

?< br>?
k
?
?
?
?
2
,0
?
?
,k?z

对称轴
x?k
?
?
?
2
,k?z

x?k
?
,k?z

无

图



像



怎样由y?Sinx变化为y? ASin
?
?
x?
?
?
?k
？
振幅变化：
y?Sinx

y?ASinx
左右伸缩变化：

y?ASin
?
x
左右平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)

上下平移变化
y?ASin(
?
x?
?
)?k


5
三角形中的三角问题
?
A?B?C?
?
,
A?B?C
2
?
?
2
,
A?B
?
C

2
?
2
-
2


Sin
?
A?B
?
?Sin< br>?
C
?
Cos
?
A?B
?
??Cos
?
C
?
Sin
?
?
A?B
??
C
?
?
2
?
?
?Cos
?
?
2
?
?

Co s
?
?
A?B
?
?
2
?
?
C?
?
?Sin
?
?
2
?
?
? 正弦定 理：
abca
SinA
?
SinB
?
SinC
?2 R?
?b?c
SinA?SinB?SinC

2
余弦定理：
a?b
2
?c
2
?2bcCosA , b
2
?a
2
?c
2
?2acCosB
c
2
?a
2
?b
2

?2abCosC
CosA ?
b
2
?c
2
?a
2
, CosB
a
2
?c
2
?b
2
变形：
2bc
?
2ac
222
（必修5中正余弦定理）
CosC ?
a?b?c
2ab
?
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC


















5

6
必修四 第二章 平面向量
Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量
a,a?0,b,如果有

??
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?
?
3
e
3
,
推广 空间向量基本定理：
??

其中e,e,e为该空间内的三个
123
??
?不共面的向量
?
??
Ⅸ一般地，设向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0,如果a
∥
b那么x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

反过来，如果
x
1y
2
?x
2
y
1
?0,则a
∥
b.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量
a,b
有
a?b?abCos
?
，其中θ为两向量的夹角。
一个实数
?
,使得b?
?
a,a?0,则b与a是共线向量；反之如果b与a是共线向 量

那么又且只有一个实数
?
,使得b?
?
a.

Ⅶ 线段的定比分点
点
P
分有向线段
P
1
P
2
所成的比的定义式
P
1
P?
?PP
2

.

??
线段定比分点
坐标公式
x?
?
x

x?
1?
?
12
线段 定比
12
Cos
?
?
?

a?bab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
2
?
y
1
2
x
2
2
?
y
2
2


OP?
OP?
?
OP
分点向量公式

特别的，
a?a?a?a 或者 a?
Ⅺ
2
2
a?a



1?
?

如果 a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
且a?0 , 则a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
特别的 , a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
?
当
?
?1
时
?
当
?
?1
时


线段中点坐标
x?x
Ⅻ
若正n边形A
1
A
2
???A
n
的中心为O , 则OA
1
?OA
2
?????OA
n
?0

线段中点
向量公式

公式

x?
12
2


2

y?
y
1
?y
2


Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理：
b?
?
a
?
a?0
?

?
推广 平面向量基本定理：
a?
?
e ?
?
e ,
?
?
其中e
1
,e
2
为该平面内的两个
?

1122
??
?
不共线的向量
?















6

必修4 第三章 三角公式以及恒等变换
? 两角的和与差公式：
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
?
?
)

Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
Cos
?
?Cos
?
Sin
?
, S
(
?
??
)
Cos
?
?
?
?
?
?Cos?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
Cos
?
?
??
?
?Cos
?
Cos
?
?Sin
?
Sin
?
, C
(
?
?
?
)
ta n
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
变形：
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
1?tan
?
tan
?
, T
(
?
?
?
)
tan
?
?tan
?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
其中
?
,
?
,
?
为三角形的三 个内角
1?tan
?
tan
?
, T
(
?
?
?
)
? 二倍角公式：
Sin2
?
?2Sin
?
Cos
?
Cos2
?
?2Cos< br>2
?
?1?1?2Sin
2
?
?Cos
2
?
?Sin
2
?

tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
? 半角公式：
Sin
?2
??
1?Cos
?
2
tan
?
1?Cos< br>?
2
??
1?Cos
?
?
Sin
?
1?Cos
?
?
1?Cos
?

Cos
?
1?Cos
Sin
?
2
??
?
2
? 降幂扩角公式：
Cos
2
?
?
1?Cos2
?
, Sin
2
?
?
1?Cos2
?

22Sin
?
Cos
?
?
1
2
?
Sin< br>?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?
? 积化和差公式：
Cos
?
Sin
?< br>?
1
2
?
Sin
?
?
?
?
?
?Sin
?
?
?
?
?
?

Co s
?
Cos
?
?
1
2
?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
?
?
?
??
?
Sin
?
Sin
?
??
1
2?
Cos
?
?
?
?
?
?Cos
??
?
?
?
?
7
Sin
?
?Sin
?
?2Sin
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
?
?
Cos
?
?
2
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
S?S?2SC
? 和差化积公式：
Sin
?< br>?Sin
?
?2Cos
?
?
2
?
?
Sin
?
?
2
?
?
（
S?S?2CS
）
Cos
?
?Cos
?
?2Cos
?
?
?< br>?
?
??
?
?
?
?
C?C?2CC
?
2
?
?
Cos
?
?
2
?
?C?C??2SS
Cos
?
?Cos
?
??2Sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
Sin
?
?
?
?
2
?
?
2tan
?
Sin
?
?
2
1?tan
2
?
2
? 万能公式:
1?tan
2
?
tan
?
Cos
?
?
(
S?T?C??
)
2
2

1?tan
2
?
2
tan?
?
1?tan
2
?
2
2
? 三倍角公式：< br>Sin3
?
?3Sin
?
?4Sin
3
?

tan3
?
?
3tan
?
?tan
3
?< br>
Cos3
?
?4Cos
3
?
?3Cos
?
1?3tan
2
?
“三四立，四立三，中间横个小扁担”
?
7

8
?
1. y?aSin
?
? bCos
?
?a
2
?b
2
Sin
?
??
?
?
其中 , tan
?
?
b
a
2. y?aCos
?
?bS in
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
b
? a
2
?b< br>2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
a

3. y?aSin
?
?bCos
?
?a
2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
a

??a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
b

4. y?aCos
?
?bSin
?
?a
2?b
2
Sin
?
?
?
?
?

??a< br>2
?b
2
Sin
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
a
b

?a
2
?b
2
Cos
?
?
?
?
?
其中 , tan
?
?
b
a

注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以
求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它
的就可以直接写出.
一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一
项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.
tan
?
?tan
?
? 补充： 1. 由公式
tan
?
?
?
?
?
?
1?t an
?
tan
?
, T
(
?
?
?
)

tan
?
??
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?t an
?
tan
?
, T
(
?
?
?
)
可以推导 ：
当
?
?
?
?
??
?
?
4
时,
?
?z ,
?
1?tan
?
??
1?tan
?
?
?2

在有些题目中应用广泛。
2.
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
??
?
tan
?
tan
?
?tan
?
?
?
?
?

3. 柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.


补充
1．常见三角不等式：（1）若
x?(0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
(2) 若
x?(0,
2
)
，则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
2.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
??
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
定,
tan
?
?
b
a
).
3. 三倍角公式 ：
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
sin(
??
3
?
?
)sin(< br>3
?
?
)
.
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(
??< br>3
?
?
)cos(
3
?
?
)
.tan3
?
?
3tan
?
?tan
3
???< br>1?3tan
2
?
?tan
?
tan(
3
?
?
)tan(
3
?
?
)
.
4.三角形面 积定理：（1）
S?
1
2
ah
11
a
?
2
bh
b
?
2
ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边
上的高）.
（2）
S?
1
2
absinC?
1
bcsinA?
1casinB
(3)
S
1
uuur
2
2
|?|
u
OB
uur
2
.
|)
2
?(u
OA
uur
?
u
OB
uur
)
2< br>?OAB
?(|OA
.
5.三角形内角和定理 在△ABC中，有< br>A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
C
2
?
?
2
?
A?B
2
?2C?2
?
?2(A?B)
.
k
?
?
?
6. 正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
x?
2?
?
?
(k?Z)
；对称中
心为
(
k
?
?
?
?
,0)(k?Z)
；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中 心；
〈三〉易错点提示：
8

9
1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义 域了吗？你注意到正弦函数、
余弦函数的有界性了吗？
2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “1”
的种种代换有着广泛的应用．
3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊
角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()
9