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高一数学必修4知识总结及典型例题(精简版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 12:36
tags:高中数学必修4

教高中生物好还是高中数学好-高中数学试讲选那节



数学必修4知识点总结
第一章:三角函数
1、与角
?
终边相同的角的集合: .
§1.1.2弧度制 1、1弧度的角的定义 . (
1rad?

2、 圆心角公式: ( 扇形周长 = )
3、弧长公式: .
4、扇形面积公式: .
[例1]
已知扇形AOB的周长是6cm,该圆心角是1弧度,则扇形的面积为 cm
2
.

[例2]
已知弧度数为
2
的圆心角所对的弦长也是
2
,则扇形的面积为

§1.2.任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角,它的终 边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
,那么
sin
?< br>?

cos
?
?

tan
?
?

2、设点
A
?x,y
?
为角
?
终边上任意一点,那么(设
r?x
2< br>?y
2

sin
?
?

cos
?
?

tan
?
?

3、
sin
?

cos
?

tan< br>?
在四个象限的符号:
§1.2.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:
(2)商数关系: .
[例1]
已知点的类型 :角α的终边经过点
P(?3a,4a)
,那么
sin
?
?2cos
?
的值等于
?
sin
?
?cos
?
1
[例2]
已 知函数值的类型:已知
tan(?
?
)?2
,求(1)的值;(2) 的值。
22
4sin
?
?cos
?
sin
?
?c os
?

§1.3、三角函数的诱导公式
1、
sin
?< br>,
cos
?

tan
?
在各个象限的正负:
2、
?
?
?

?
?

2k
?< br>?
?
k?Z
:概括为
“函数名不变,符号看象限”

3
?
?
?
:概括为
“函数名改变,符号看象限”
22
[例1]
已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角
?
的终边在第 象限。

?
[例2]
已知
?
是第三象限角,那么是 ( )
2
3、
?
?
?

A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D.第一或第三象限角
cos(?
?
)sin(?
?
?
?
)
2
[例3]
已知角
?
终边上一点
P(?4,3)
,求的值.
11?
9
?
cos(?
?
)sin(?
?
)
22

?


- 1 -



§1.4.正弦、余弦、正切函数的图象和性质
1、会用五点法作图:
y?sinx

x?[0,2
?
]
上的五个关键点为:
2、周期函数公式:
T?

周期函数定义 :对于函数
f
?
x
?
,如果存在一个非零常数T,使得当
x
取定义域内的每一个值时,
都有 ,那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.

- 2 -



3、图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx


图象
y?cosx


y?tanx

定义域
值域
最值
周期性
奇偶性



R









R


R






上单调递增

上单调递增

单调性

上单调递增

k?Z


上单调递减

上单调递减

对称性 对称轴方程:
对称中心
对称轴方程:
对称中心
无对称轴
对称中心
k?Z

§1.5、函数
y?Asin
?
?
x?< br>?
?
的图象:1、A 是 ;
?
是 ; 相位是 ;
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
y?A sin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩变 换关系.


[例1]
函数
y?3sin2x
的图象可以 看成是将函数
y?3sin(2x?
?
)
的图象( )
3
(A)向左平移个
????
单位 (B)向右平移个单位(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位
6633
[例2]
函数
y?1?2sin
2
(x?)
是( )
A.最小正周期为
?
的偶函数
4
??
B. 最小正周期为
?
的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数
2
2
[例3]
由函数
y?sinx
的图象如何变换得到
y?3sin(2x?




?
?
3
)
的图象? ( 先平移后伸缩法)
[例4]
求函数
y?tan(
1
x?
?
)
的周期、定义域和单调区间。
23

- 1 -




第三章、三角恒等变换
1、 两角和与差的
正弦:
sin(
?
?
?
)?
余弦:
cos(
?
?
?
)?

正切:
tan(
?
?
?
)?

tan(
?
?
?
)?

2、 二倍角:正弦:
sin2
?
?
正切:
tan2
?
?


余弦:
cos2
?
?
= =
?
cos
2
?
?
1
(1?cos2
?)
?
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
2
升幂公式:
?
降幂公式:
?

2
?
?
sin
2
?
?
1
(1?cos2?
)
?
1?cos2
?
?2sin
?
?22
3、辅助角公式:
y?asinx?bcosx?

(其中辅助角
?
所在象限由
tan
?
?
b
与点
(a,b)
的象限决定).
a
253
,sin(
?< br>?
?
)?,则cos
?
?

55
[例1]
若均
?
,
?
为锐角,
sin
?
?


[例2]
已知
tan
?
、tan
?
是 方程
x
2
?33x?4?0
的两根,且
?

??(?




??
,)
,求
?
?
?
的值.
22
[例3]
函数
y?3sinx?cosx

x?[?




??
,]
的最大值和增区间。
22
[例4]
已 知函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
),x?R
(其中< br>A?0,
?
?0,0?
?
?
?
)的周期为
?
,且图象上一个最低点为
2
M(









2
?
(2)求
f(x)
的单调递增区间. (1答案:
f(x)?2sin(2x?
?
)

,?2)
. (1)求
f(x)
的解析式;
3
6



第二章:平面向量:

?
?
1、向量的加法:
a?b?

?
?
向量的减法:
a?b?

2、平面向量共线定理:向量
aa?0

b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使 .
3、平面向 量基本定理:如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么 对于这一平面内任一向量
a

有且只有一对实数
?
1
,
?
2
,使 .
4、设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
, 则: ⑴
a?b?
, ⑵
?
a?

??
?
?
?
?
(1)坐标公式:
a?b?
.其中:
a?

b?

?
?
(2)夹角公式:
a?b?
. 两向量的夹角公式
cos
?
?
a?b
?
abx
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x2
?y
2
2
1
2
1
22

5、
a

b
方向上的投影为: .
?
?
?
2

a?
(求模先求平方:如求
a?2b
,则先求
6、平行:
ab?

?

7、垂直:
a?b?

?

8、设
A
?x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
, y
2
?
,则
AB?

AB?

→→
[例1]
设平面三点
A(1,0)

B(0,1)

C(2,5)
,(1) 试求向量2AB+AC 的模;
→→
(2)若向量AB 与AC 的夹角为
?
,求
cos
?
.


?
?
?
?
?
?
[例2]
已知平 面向量
a?(1,x)

b?(2x?3

?x),x?R
.若
ab
,求
a?b
的值.


?
3< br>?

b?(?2,sin
?
)

[例3]
已知向量
a?(cos
?
,1)
,(Ⅰ)求
sin
?的值;(Ⅱ)求
tan(
?
?)
a?b

?
? (
?
,)

4
2
的值.


[例4]
已知向量
a?(sinx, cosx)

b?(cos x,sinx?2cosx)

0?x?
(2)设
f(x)?a?b
,(1)求

?
2
.(1)若
a∥b
,求
x

f(x)
的单调增区间;
- 2 -

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