人教版A版高中数学必修4课后习题解答

新人教版高中数学必修4课后习题解答

第一章 三角函数
1．1任意角和弧度制
练习（P5）
1、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是 锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何
一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限 角不一定是钝角.
2、三，三，五
说明：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上. 题目联系实际，
把 教科书中的除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”（这里余数是3）来确定
7k
天
后、
7k
天前也是星期三，这样的练习不难，可以口答.
3、（1）第一象限角； （2）第四象限角； （3）第二象限角； （4）第三象限角.
4、（1）305°42′第四象限角；（2）35°8′第一象限角；（3）249°30′第三象限角. < br>5、（1）
{
??
?1303?18
?
+k?360?,k? Z}
，
?496?42
?
，
?136?42
?
，< br>223?18
?
；
（2）
{
??
??225?+k ?360?,k?Z}
，
?585?
，
?225?
，
135 ?
.
练习（P9）
?
7
?
20
?
； （2）
?
； （3）.
863
2、（1）15°；（2）
?240?
； （3）54°.
1、（1）
3、（1）
{
??
?k
?
,k?Z}
； （2）
{
??
?
?
2
?k
?
,k? Z}
.
4、（1）
cos0.75??cos0.75
； （2）
tan1.2??tan1.2
.
说明：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制. 注
意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置. 如求
cos0.75 ?
之前，要
将角模式设置为DEG（角度制）；求
cos0.75
之前，要将 角模式设置为RAD（弧度制）.
5、
?
m. 6、弧度数为1.2.
3
习题1.1 A组（P9）
1、（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限；
（3）
236?50
?
，第三象限； （4）300°，第四象限.
2、
S?{
??
?k?180?,k?Z}
.
3、（1 ）
{
??
?60??k?360?,k?Z}
，
?300?
，
60?
；
（2）
{
??
??75??k?360?,k ?Z}
，
?75?
，
285?
；
（3）
{
??
??824?30
?
?k?360?,k?Z}
，
?104? 30
?
，
255?30
?
；
（4）
{
? ?
??75??k?360?,k?Z}
，
?75?
，
285?；
（5）
{
??
?90??k?360?,k?Z}
，
?270?
，
90?
；
（6）
{
??
?270 ??k?360?,k?Z}
，
?90?
，
270?
；
1

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（7）
{
??
?180??k?360?,k?Z}
，
?180?
，
180?
；
（8）
{
??
?k?360?,k?Z}
，
? 360?
，
0?
.
说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的 角的集合，并在给定范围内找出
与指定的角终边相同的角.
4、
象限
一
角度制 弧度制
{
?
k?360??
?
?90??k?360?,k?Z}

{
?
2k
?
?
?
?
?
2
?2k
?
,k?Z}

二
{
?
90??k?36 0??
?
?180??k?360?,k?Z}

{
?
?< br>2
?2k
?
?
?
?
?
?2k
?,k?Z}

3
?
?2k
?
,k?Z}

2
三
{
?
180??k?360??
?
?270 ??k?360?,k?Z}

{
??
?2k
?
?
?
?
四
{< br>?
270??k?360??
?
?360??k?360?,k?Z}

{
?
3
?
?2k
?
?
?
?2?
?2k
?
,k?Z}

2
5、（1）
C
. 说明：因为
0??
?
? 90?
，所以
0??2
?
?180?
.
（2）
D
. 说明：因为
k?360??
?
?90??k?360?,k?Z
，
所以
k?180??
当
k
为奇数时，
?
2
?45? ?k?180?,k?Z

?
?
是第三象限角；当
k
为偶数时，是第一象限角.
22
6、不等于1弧度. 这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所
对的弧比半径长.
5
?
?
73
?
7、（1）； （2）
?
； （3）； （4）
8
?
.
6
512
8、（1）
?210?
；（2）
?600?
；（3）
80.21?
；（4）38.2?
.
9、64°. 10、14 cm..
习题1.1 B组（P10）
1
2
r
?
S
1
2
1、（1）略； （2）设扇子的圆心角为
?
，由
??0.618
.
1
S< br>2
r
2
(2
?
?
?
)
2
可 得
?
?0.618(2
?
?
?
)
，则
?< br>?0.764
?
?140?
.
说明：本题是一个数学实践活动，题目 对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生
先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所 以“美观”是因为基本都满足
（黄金分割比）的道理.
2

S
1
?0.618
S
2

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?
弧度；分针转了
?1440?
，等于
?8
?弧度.
3
（2）设经过
t
min分针就与时针重合，
n
为两针重合的次数.
2
??
因为分针旋转的角速度为（rad∕min）
?
6030
2
??
时针旋转的角速度为（rad∕min）
?
12?60360
??
720
所以
(?)t?2
?n
，即
t?n

3036011
因为时针旋转一天所需的时间为
24?60?1440
（min）
720
所以
n?1440
，于是
n?22
.
11
故时针与分针一天内只会重合22次.
24
?
2、864°，，
151.2
?
cm.
5
说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式. 当大齿轮转动一周时，小
4824
?
齿轮转动的角是
?360??864??
rad.
205
由于大齿轮的转速为3 r∕s
48
所以小齿轮周上一点每1 s转过的弧长是
?3?2
?
?10.5?151.2
?
（cm）
20
1．2任意角的三角函数
练习（P15）
2、（1）时针转了
?120?
，等于
?
1、
sin
7
?
37
?
3
7
?
1
???
，
tan
.
??
，
cos
6263
62
5125
，
cos< br>?
??
，
tan
?
??
.
131312
角
?
0°
0
0
1
0
90° 180° 270° 360°
2、
sin
?
?
3、
角
?
的弧度数
?

2
1
0
不存在
?

0
3
?

2
2
?

0
1
0
sin
?

cos
?

?1

0
不存在
?1

0
tan
?
4、当
?
为钝角时，
cos
?
和
tan
?取负值.
5、（1）正； （2）负； （3）零； （4）负； （5）正； （6）正.
6、（1）①③或①⑤或③⑤； （2）①④或①⑥或④⑥；
（3）②④或②⑤或④⑤； （4）②③或②⑥或③⑥.
7、（1）0.8746； （2）
3
； （3）0.5； （4）1.
练习（P17）
1、终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情 况，终边相同
的角的同一三角函数的值相等.
3

2、（1）如图所示：

1

P


π

3
A
O
M
x




—1
（2）、（3）、（4）略.
（第2（1）题）
3、225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为3.5cm，3.5cm，5cm；330°角的正弦、余弦 、
正切线长分别为2.5cm，4.3cm，2.9cm，其中5，2.5是准确数，其余都是近似数（ 图略）.
3.53.5

tan22

??5
；
1
sin225?????0.7
，
cos22?5????
，
0.

7
55
4.32.9
， .
58
sin330???0.5
，
cos33?0??0.86

tan33?0????0.
55
4 、三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念. 与三角函数的定
义结合起来， 可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值
符号的变化规律、公式一 等的理解容易了.
练习（P20）
2、解：∵
tan
?
?0


1

、解：由
sin
2
?
?cos
2
?
?1

∴
?
为第二或第四象限角

49
222
得
sin
?
?1?cos
?
?1?(?)?

525
sin
?

tan
?
???3
∵
∵
?
为第三象限角
cos
?

93

??
∴
sin
?
??
∴
sin
?
??3cos
?

255


sin
?
353
22
∴
tan
?
??( ?)?(?)?
sin
?
?cos
?
?1
∵

cos
?
544

1
22
2
3cos?
?cos
?
?1
∴，得
cos
?
?

4
3、解：∵
sin
??0
且
sin
?
?1


（1）当
?
为第二象限角
∴
?
为第一或第二象限角


1
由
sin
2
?
?cos
2
?
?1


cos
?
??

2

得
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1?0.35
2
?0.8775

13

s in
?
?tan
?
?cos
?
??3?(?)?

22

（1）当
?
为第一象限角
cos
?
?0.94


（2）当
?
为第四象限角
sin
?
0.35

tan
?
???0.37


cos
?
0.94
1

cos
?
?

（2）当
?
为第二象限角
2

cos
?
??0.94

13
sin
?
0.35
sin
?
?tan
?
?cos
?
??3???

tan
?
????0.37

22
cos
?
?0.94
4

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y
T

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2cos
2
?
?(cos
2
?
?sin
2
?
)c os
2
?
?sin
2
?
sin
?
??1< br>. 4、（1）原式=
cos
?
?
（2）原式=
?sin?
；
22222
cos
?
(cos
?
?sin
?
)?2sin
?
cos
?
?sin
?
5 、（1）左边=
(sin
2
?
?cos
2
?
)(s in
2
?
?cos
2
?
)?sin
2
?< br>?cos
2
?
；
（2）左边=
sin
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
习题1.2 A组（P20）
1、（1）
sin(?
17
?
3
)?
3
2
，
cos(?
17
?
3
)?
1
2
，
tan(?
17
?
3)?3
；
（2）
sin
21
?
2
21
4
??
2
，
cos
?
4
??
2
2
，
tan
21
?
4
?1
；
（3）sin(?
23
?
1
23
?
6
)?
2
，
cos(?
6
)?
3
2
，
tan(?< br>23
?
6
)?
3
3
；
（4）
si n1500??
3
2
，
cos1500??
1
2
，
tan1500??3
.
2、当
a?0
时，
sin
?
?
4
5
，
cos
?
?
3
5< br>，
tan
?
?
4
3
；
当
a?0< br>时，
sin
?
??
43
5
，
cos
?
??
5
，
tan
?
?
4
3
.
3、（1）
?10
； （2）15； （3）
?
39
2
； （4）
?
4
.
4、（1）0； （2）
(p?q)
2
； （3）
(a?b)
2
； （4）0.
5、（1）
?2
； （2）2
6、（1）负； （2）负； （3）负； （4）正； （5）负； （6）负.
7、（1）正； （2）负； （3）负； （4）正.
8、（1）0.9659； （2）1； （3）0.7857； （4）1.045.
9、（1）先证如果角
?
为第二或第三象限角，那么
s in
?
?tan
?
?0
.
当角
?
为第二 象限角时，
sin
?
?0
，
tan
?
?0
，则
sin
?
?tan
?
?0
；
当角
?
为第三象限角时，
sin
?
?0
，
tan
?
?0
，则
sin
?
?tan
?
?0
，
所以如果角
?
为第二或第三象限角，那么
sin
?
?tan
?
?0
.
再证如果
sin
?
?tan
?
?0
，那么角
?
为第二或第三象限角.
因为
sin
??tan
?
?0
，所以
sin
?
?0
且
tan
?
?0
，或
sin
?
?0
且
ta n
?
?0
，
当
sin
?
?0
且
tan
?
?0
时，角
?
为第二象限角；
当
sin
?
?0
且
tan
?
?0
时，角
?
为第三象限角；
所以如果
sin
?
?tan
?
?0
，那么角
?
为第二或第三象限角.
综上所述，原命题成立.
（其他小题同上，略）



5

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10、
1）解： 由
sin
2
?
?cos
2
?
?1
（
（2）解： 由
sin
2
?
?cos
2
?
?1


5144

3
2
1
得
sin
2
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?

22
)?
得
cos
?
?1?sin
?
?1?(?
13169

24
∵
?
为第二象限角

∵
?
为第四象限角
12

∴
sin
?
?

1
13
∴
cos
?
?


2
sin
?
121312

tan
?
???(?)??

cos
?
1355

sin
?
3
tan
?
????2??3


cos
?
2



（3）解：∵
tan
?
?0
（4）解：∵
cos
?
?0
且
cos
?
?1


∴
?
是第二或第四象限角 ∴
?
是第一或第四象限角

sin
?
3

∵
tan
?
???

∵
sin
2
?
?cos
2
?
?1

cos
?
4

3

∴
sin
?
??cos
?

∴
sin2
?
?1?cos
2
?
?1?0.68
2
?0 .5376

4

（1）当
?
是第一象限角时

∵
sin
2
?
?cos
2
?
?1


sin
?
?0.5376?0.73

9
22

∴
cos
?
?cos
?
?1

sin
?
0.73
16

tan
?
???1.1

16
cos
?
0.68

∴
cos
2
?
?

（2）当
?
是第四象限角时
25

（1）当
?
是第二象限角时

sin
?
??0.5376??0.73

4

cos
?
??

sin
?
?0.73
5

tan
?
????1.1

3343
cos
?
0.68

sin
?
??cos
?
???(?)?

4455

（2）当
?
是第四象限角时

4

cos
?
?

5

3343

sin
?
??cos
?
?????

4455












6

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11、解：∵
sinx?0
且
sinx??1

12、解：∵
tan
?
?
sin
?

∴
x
是第三或第四象限角
cos
?
?3


∴
sin
?
?3cos
?


∵
sin
2
x?cos
2
x?1

1
∵
sin
2
?
?cos
2
?
?1< br>
∴
cos
2
x?1?sin
2
x?1?(?
3
)
2
?
8
9



（1）当
?
是第三象限角时
∴
3cos
2
??cos
2
?
?1



cosx??
22

∴
cos
2
?
?
1

3
4
，
sin
2
?
?
3
4


∵
?
?
?
?
3

tanx?
sinx
??
1
?
32

2
?


cosx3
(?
22
)?
4

（2）当
?
是第四象限角时
∴
cos
?
??1
3
2
，
sin
?
??

2

cosx?
22


3
∴
cos
?
?sin
?
??
13

2
?
2


tanx?
sinx132


cosx
??< br>3
?
22
??
4
(cosx?sinx)
2
13、（1）左边=
(cosx?sinx)(cosx?sinx)
?
cosx?s inx
cosx?sinx
?
1?tanx
1?tanx
；
（2）左边=
sin
2
x(
11?cos
2
xsin2
cos
2
x
?1)?sin
2
x?
2
x
cos
2
x
?sinx?
cos
2
x
?sin
2
x?tan
2
x
；
（3）左边=
1? 2cos
?
?cos
2
?
?sin
2
?
? 2?2cos
?
；
（4）左边=
(sin
2
x?cos< br>2
x)
2
?2sin
2
x?cos
2
x?1 ?2sin
2
x?cos
2
x
.
1.2 B组（P22）
1、原式=
(1?
sin
2
?
cos2
?
)?cos
2
?
?cos
2
?
? sin
2
?
?1
.
2、原式=
(1?sin
?< br>)
2
1?sin
2
?
?
(1?sin
?)
2
1?sin
2
?
=
1?sin
?
1?sin
?
cos
?
?
cos
?
.
∵
?
为第二象限角.
∴原式=
1?sin
?
?c os
?
?
1?sin
?
?cos
?
??
1
cos
?
?tan
?
?
1
cos
?
?tan
?
??2tan
?
.
3、∵
tan
?
?2
，∴
sin
?
?cos
?
sin
?< br>?cos
?
?
tan
?
?1
tan
?
?1
?
2?1
2?1
?3
.
4、又如
sin< br>4
x?cos
4
x?1?2sin
2
x?cos
2< br>x
也是
sin
2
x?cos
2
x?1
的一个 变形；
1
2
cos
2
x
?1?tanx
是
sin
2
x?cos
2
x?1
和
sinx
cos x
?tanx
的变形；等等.
7

习题

新人教版高中数学必修4课后习题解答
1．3三角函数的诱导公式
练习（P27）
4
?
1、（1）
?cos
?
；（ 2）
?sin1
； （3）
?sin
； （4）
cos70?6
?
.
95
2、（1）
3
11
； （2）； （3）
0.6428
； （4）
?
.
2
22
3、（1）
?sin
2
?
cos
?
； （2）
sin
4
?
.
4、








?

sin
?

?
4
?

3
?
5
?

4
?
5
?

3
?
7
?

4
?
8
?

3
?
11
?

4
3

2
?
1

2
2

2
?
2

2
3

2
1

2
2

2
2

2
?
3

2
1

2
?
2

2
2

2
cos
?

?
?
25
5、（1）
?tan
?
；（2）
?tan79?39
?
； （3）
?tan
?
； （4）
?tan35?28
?
. < br>536
2
3
6、（1）
?
；（2）；（3）
?0.2 116
；（4）
?0.7587
；（5）
3
；（6）
?0. 6475
.
2
2
7、（1）
sin
2
?
； （2）
cos
2
?
?
习题1.3 A组（P29）
1、 （1）
?cos30?
；（2）
?sin83?42
?
；（3）cos
1
.
cos
?
?
6
；（4）
sin
?
； 3
（5）
?cos
?
2
?
；（6）
?cos7 5?34
?
；（7）
?tan87?36
?
；（8）
?ta n
.
6
9
2、（1）
23
；（2）
?0.719 3
；（3）
?0.0151
；（4）
0.6639
；（5）
?0.9964
；（6）
?
.
22
3、（1）0； （2）
?cos
2
?

4、（1）
sin(360???
)?sin(?
?
)??sin
?
360； （2）（3）略
习题1.3 B组（P29）
1、（1）1； （2）0； （3）0.
?
3
?
, 当
?
为第一象限角
?
11
?
2
?
3, 当
?
为第一象限角
2、（1）；（2）
?
；（3）
?
；（4）
?
.
22
?
?
?
3
,当
?
为第二象限角
?
?3,当
?
为第二象限角
?
? 2
8

新人教版高中数学必修4课后习题解答
1．4三角函数的图象与性质
练习（P34）
1、可以用单位圆中的三角函数作出 它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还
可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象. 两条曲线形状相同，位置不同，例如函数
?
3
?
?
可以通过将函数< br>y?cosx
，
x?[?,]
的图象向右平行移动
y?sinx
，
x?[0,2
?
]
的图象，
22
2
个单位长度 而得到.
2、两个函数的图象相同.
练习（P36）
1、成立. 但不能说12 0°是正弦函数
y?sinx
的一个周期，因为此等式不是对
x
的一切值都< br>成立，例如
sin(20??120?)?sin20?
.
8
?
?
； （2）； （3）
2
?
； （4）
6
?
.
3
2
3、可以先在一个周期的区间上研究函 数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性
质扩展到整个定义域.
练习（P40）
2、（1）
1、（1）
(2k
?
,
?
?2k
?
),k?Z
； （2）
(?
?
?2k
?
,2k
?
),k?Z
；
（3）
(?
?
3
?
?2k
?
),k?Z
； （4）
(?2k
?
,?2k
?
),k?Z
.
2222
3
2、（1）不成立. 因为余弦函数的最大值是1，而
cosx??1
.
2
?2k
?
,
??
inx??
（2）成立. 因为
sin
2
x?0.5
，即
s
22
?[?1,1 ]
. ，而正弦函数的值域是
[?1,1]
，
?
22
3、当
x?{xx?
?
2
?2k
?
,k?Z}
时，函数取 得最大值2；
当
x?{xx??
?
2
?2k
?
, k?Z}
时，函数取得最大值
?2
.
15
?
14
?
；
?cos
89
5463
（3）
cos515??cos530?
； （4）
sin(?
?
)?sin(?
?
)
.
78
4、
B
. 5、（1）
sin250??sin260?
； （2）
cos
8
练习（P45）
6、
[k
?
?< br>?
,k
?
?
5
?
],k?Z

8< br>1、在
x
轴上任取一点
O
1
，以
O
1
为圆心，单位长为半径作圆. 作垂直于
x
轴的直径，将
O
1
分成 左右两个半圆，过右半圆与
x
轴的交点作
O
1
的切线，然后从圆心< br>O
1
引7条射线把右半圆
分成8等份，并与切线相交，得到对应于
?< br>3
?
?
?
??
3
?
，
?
，
?
，0，，，等角的正切线.
8488
84
9

新人教版高中数学必修4课后习题解答
相应地，再把
x
轴上 从
?
?
?
到这一段分成8等份.把角
x
的正切线向右平行移 动，使它的起点
2
2
与
x
轴上的点
x
重合，再把这 些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数
y?tanx
，
x?(?
??
,)
的图象.
22
2、（1）
{xk
?
?x ?
?
2
?k
?
,k?Z}
；（2）
{xx?k?
,k?Z}
；（3）
{x?
?
2
?k
??x?k
?
,k?Z}
.
3、
{xx?
?
6
?
k
?
?
,k?Z}
4、（1）； （2）
2
?
.
3
2
5、（1）不是. 例如
0?
?
，但
tan0?tan
?
?0
.
（2）不会. 因为对于任何区间
A
来说，如果
A
不含有数
y?tanx,x?A
是增函数；如果
A
至少含有一个
?2
?k
?
(k?Z)
这样的数，那么函
?
2
? k
?
(k?Z)
这样的数，那么在直线
x?
?
2
? k
?
两侧的图象都是上升的（随自变量由小到大）.
1317
?
)?tan(?
?
)
.
45

6、（1）
tan138??tan143?
； （2）
tan(?
习题1.4 A组（P46）
（
1
）
y
1
、
2
（
2
）
y
4
3
1
2
O
π
2
π
3π
2
2π
x1
O
π
2
π
3π
2
2π
x
- 1
-2
2、（1）使
y
取得最大值的集合是
{xx?6k?3,k? Z}
，最大值是
使
y
取得最小值的集合是
{xx?6k,k?Z}< br>，最小值是
（2）使
y
取得最大值的集合是
{xx?
3
；
2
1
；
2
?
8
?k
?
,k?Z}
，最大值是3；
3
?
?k
?
,k?Z}
，最小值是
?3
；
8
10
使
y
取得最小值的集合是
{xx??

新人教版高中数学必修4课后习题解答
（3）使
y
取得最大 值的集合是
{xx?2(2k?1)?
?
3
,k?Z}
，最大值是；
3
2
使
y
取得最小值的集合是
{xx?
?
3
?4k
?
,k?Z}
，最小值是
?
；
3
2
1
?4k
?
,k?Z}
，最大值是；
3
2
（4）使
y
取得最大值的集合是
{xx?
?
使
y
取得最小值的集合是
{xx??
3、（1）
3
?
； （2）
5
?
1
?4k
?
,k?Z}
，最 小值是
?
.
3
2
?
.
2
4744
?
)?cos(?
?
)
；
1 09
4、（1）
sin103?15
?
?sin164?30
?； （2）
cos(?
（3）
sin508??sin144?
； （4）
cos760??cos(?770?)
.
5、（1）当
x?[?
当
x?[
?
2
?2k
?
,
?
2
?2k
?
],k?Z
时 ，
y?1?sinx
是增函数；
?
2
?2k
?
,
3
?
?2k
?
],k?Z
时，
y?1?sinx< br>是减函数.
2
（2）当
x?[?
?
?2k
?
,2k
?
],k?Z
时，
y??cosx
是减函数；
当
x?[2k
?
,
?
?2k
?
],k?Z
时，
y??cosx
是增函数.
6、
{x?
?
3
?k
?
,k?Z}
. 7、
?

2
13
8、（1）
tan(?
?
)?tan(?
?
)
； （2）
tan1519??tan1493?
；
57
937
??
（3）
tan6
?
)?tan(?5
?
)
； （4）
tan
?
?tan
.
111186
9、（1）{x?
?
4
?k
?
?x?
?
2
?k< br>?
,k?Z}
； （2）
{x
?
3
?k
?
?x?
?
2
?k
?
,k?Z}
.
10、 由于
f(x)
以2为最小正周期，所以对任意
x?R
，有
f(x?2 )?f(x)
.
2
于是：
f(3)?f(1?2)?f(1)?(1?1)?0

73331
f()?f(?2)?f()?(?1)
2
?

22224
11、由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标< br>为
(k
?
,0)
，
k?Z
. 正弦曲线是轴对称图形 ，其对称轴的方程是
x?
?
2
?k
?
,k?Z
.
由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为
(
?
2
?k
?
,0).k?Z
，
11

新人教版高中数学必修4课后习题解答
对称轴的方程是
x?k
?
,k?Z
；正切曲线的对称中心坐标为
(
称图形.
习题1.4 B组（P47）
1、（1）
{x
k
?
,0).k?Z
. 正切曲线不是轴 对
2
?
3
?2k
?
?x?
2
?
3
?
3
?
（2）
{x??2k
?
,k?Z}
；
?2k
?
?x??2k
?
,k?Z}
.
344
2、单调递减区间
(
?
8
?
k
?
5
?
k
?
,?),k?Z
.
282
y
3、（1） 2；（2）
y?f(x?1)
的图象如下：（3）
y?x?2k,x?[2k?1,2 k?1],k?Z
.






2< br>1
-2
-1
O
1
23
4
x
第3（2 ）题
1．5函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
练习（P55）
1、






2、（1）
C
； （2）
B
； （3）
C
.
1
2
3、
A?
，
T?4?
，
f?

4
?
3
向右平移
y?si nx?????y?sixn?(
?
?
4

4
个单位横坐标伸长到原来
??????)?y?
的2倍，纵坐标不变
1
?
sxi?n(
24
)

21
?
纵坐标缩短到原来
???????y?sin(x?)
2
的倍，横坐标不变
324
3
?
?
?
. 把正弦曲线在区间
[,??)
的部分向左平移个单位长度， 就可得到函数
121212
?
.
y?sin(x?),x?[0,??的图象
]
12
4、
习题1.5 A组（P57）
1、（1）
C
； （2）
A
； （3）
D
.
（
1
）

y
2
、

（
2
）

4
3

2

1
O

3?
?2?
4?
x
-1
-2

-3
-4
y
0.5
0.1
O
-0.1
?
6
?
3
?
2
2?
x
3
-0.5
12

新人教版高中数学必修4课后习题解答
（
3
）
y
3

（
4
）
y

2
1
2
-
?
3?
7?
2
2
2
O
?
5?
x2
2
1
-1
5?
11?
-2
12
12
?
O
?x
-
2?
12
6
3
-1< br>-2
-3
3、（1）
A?8
，
T?8
?
，< br>?
??
?
8

y?sinx????
向右平移
?y?sin?
?
??????
横坐标伸长到原来
x
?
x (
的
)
4倍，纵坐标不变
??ys
?

8
个单位
84
?in
8
()
??????
纵坐标伸长到原来
x
?

把y
的8倍，横坐标不变
?y?8sin
4
(?
8
????)
轴左侧
的部分抹去
?y?8
x< br>s
4
i?n
?
(
8
，x?)??[0,)
（ 2）
A?
12
?
3
，
T?
3
，
?
?
?
7

y?sinx????
向左平移
?y?s in(x+
?
)
横坐标缩短到原来
?
?

7个单位
7
??????
的
1
?y?sin(3x+)
3
倍，纵坐标不变
7

??????
纵坐标缩短到原来
1?
把
1
?
的
1
?y?sin(3x+)????
y轴左侧
?y?sin(3x+)，x?[0,??)
3
倍，横坐标不变
3 7
的部分抹去
37
4、（1）
T?
1
50
，
f?50
，
A?5
，
?
?
?
3

（2）
t?0
时，
i?
53
2
；
t?
1
600
时，
i?5
；
t?
1
150
时，< br>i?0
；
t?
7
600
时，
i??5
；< br>t?
1
60
时，
i?0
；
5、（1）
T?2
?
l
g
； （2）约
24.8
cm
1.5 B组（P58）
1、根据已知数据作出散点图.
由散点图可知，振子的振动函数解析式为
y?20s in(
?
x
6t
?
?
),x?[0,??)
0
2
2、函数
h?2sin(t?
?
4
)
在< br>[0,2
?
]
上的图象为

13
习题

y
2
新人教版高中数学必修4课后习题解答
（1）小球在开始振动时的位置在
(0,2)
；
?

7

3

?
（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；

O

4

4

x
（3）经过
2
?
秒小球往复运动一次；
5?
?2?
1

-1

4

4
（4）每秒钟小球能往复振动次.
2
?

-2
1
3、点
P
的纵坐标关于时间
t
的函数关系式为
y?rsin(
?
t?
?
),t ?[0,??)
；
点
P
的运动周期和频率分别为
2
?
?
和
?
.
2
?
1．6三角函数模型的简单应用
练习（P65）
1、乙点的位置将移至它关于
x
轴的对称点处.
2、如CCTV-1新闻联播节目播出的周期是1天.
3、可以上网下载有关人体节律的软件 ，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人
体节律曲线，它们都是正弦型函数图象. 根据曲线不难回答题中的问题.
习题1.6 A组（P65）
1、（1）
30?
或
150?
； （2）
135?
； （3）
45?
； （4）
150?
.
4
?
5
?
3
?
?
3
?
?
5
?
2、（1）或； （2）； （3）或； （4）或.
33224
24
3、5.5天；约3.7等星；约4.4等星.
4、先收集 每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”
的电价方案.
习题1.6 B组（P66） 1、略； 2、略.
第一章 复习参考题
A组（P69）
{
??
?
1、（1）
?
4
?2k
?
,k?Z},?
7
??
9
?
22410
,,{
??
??
?
?2k
?
,k?Z} ,?
?
,
?
,
?
；；（2）
4443333（3）
{
??
?
128212
?
?2k
?,k?Z},?
?
,
?
,
?
；（4）
{
??
?2k
?
,k?Z},?2
?
,0,2
?
.
5555
2、周长约44 cm，面积约为
1.1?10
2
cm
2
.
3、（1）负； （2）正； （3）负； （4）正.
4

、解：∵
cos
?
?0
且
cos
?
?1


∴
?
为第一或第四象限角


∵
sin
2
?
?cos
2
?
?1



15
22
∴
sin
?
?1?cos
?
?

16


（1）当
?
为第一象限角时

sin
?
?
15

4
tan
?
?
sin
?
??15
cos
?
tan
?
?
sin
?
?15

cos
?
（2）当
?
为第四象限角时
sin
?
??
15

4
14

新人教版高中数学必修4课后习题解答

5、解：∵
sinx?2cosx
（1）当
x
是第一象限角时

sinx
∴
?2
，即
tanx?2


5
cosx?

cosx

5
∵
tanx?0


∴
x
是第一或第三象限角

25
sinx?2cosx?

22

∵
sinx?cosx?1

5

（2）当
x
是第三象限角时

∴
4cos
2
x?cos
2
x?1

< br>25
5
1
cosx??
，
sinx?2cosx??

2
∴
cosx?


5
5
5

6
、

原式=sin
2
?
(sin
2?
?1)?cos
2
?
?sin
2
?
( ?cos
2
?
)?cos
2
?
?cos
2
?
(?sin
2
?
?1)
?co s
4
?
7、(1)原式?2?2sin
?
?2cos
??2sin
?
cos
?
?1?sin
2?
?cos
2
?
?2sin
?
?2cos
?< br>?2sin
?
cos
?
?(1?sin
?
)?2cos
?
(1?sin
?
)?cos
?
?(1?sin
?
?cos
?
)
2
?右边
(2)原 式?sin
2
?
(1?sin
2
?
)?sin
2< br>?
?cos
2
?
cos
2
?
? cos
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?< br>)?sin
2
?
?1?右边

22
< br>4sin
?
?2cos
?
4tan
?
?24?3?2 5
???
；
5cos
?
?3sin
?
5?3ta n
?
5?3?37
sin
?
cos
?
tan
?
33
（2）
sin
?
cos
?
?
；
???
s in
2
?
?cos
2
?
tan
2
?
?13
2
?110
8、（1）
(sin
?
?cos
?
)
2
(tan
?
?1)
2
(3?1)
2
8
??
2
?
. （3）
(sin
?
?cos
?
)?
sin
2
?
?cos
2
?
tan
2
?
?13?15
2
9、（1）0； （2）
1.0771
.
cos(2
?
?
?
)?< br>10、（1）当
?
为第一象限角时，
33
cos(2
?
?
?
)??
，当
?
为第二象限角时，；
22
3
3
tan(
?
?7
?
)??
，当
?
为第二象限角时，.
3
3
tan(
?
?7
?
) ?
（2）当
?
为第一象限角时，
11、（1）
tan1111??0 .601
，
sin378?21
?
?0.315
，
cos6 42.5??0.216
；
33
?
13
?
（2）< br>sin(?879?)??0.358
，
tan(?)??0.414
，
cos(?)??0.588
；
810
（3）
sin3?0.141
，
cos(sin2)?0.614
.
15

新人教版高中数学必修4课后习题解答
12、












x

7
?

6
?
1

2
5
?

4
2
?

2
?
2

2
1
4
?

3
3
?

2
3
?

2
7
?

4
2
?

2
2

2
11
?

6
?
1

2
sinx

?1

cosx

?
3

2
?
1

2
3

0
3

2
tanx

3

3
不存在

?1

?
3

313、（1）因为
cosx?1.5
,或
cosx??1.5
，而
1.5?1
,
?1.5??1
，所以原式不能成立.
（2）因为< br>sinx?
3
?
?
4
1
，而
3
?< br>?
4
?1
，所以原式有可能成立.
14、（1）最大值为
2 ?
?
1
，此时
x
的集合为
{xx?
?
2< br>?2k
?
,k?Z}
.
最小值为
2??
，此时
x
的集合为
{xx??
?
2
?2k< br>?
,k?Z}
.
（2）最大值为5，此时
x
的集合为
{xx?
?
?2k
?
,k?Z}
.
最小值为1，此时
x
的集合为
{xx?2k
?
,k?Z}
.
15、（1）
{x
（
1
）
16
、
y
0.5
3
?
?
?
3
?
?x?2
?
}
；（2）
{x?x?
?
}
；（3）
{x0?x?}；（4）
{x
?
?x?}
.
2
222
（2
）
4?
9
?
9
5?
18
11?18
7?
9
y
2

3?
4
?
4
5?
4
0.1
O
-0.1
x
?
-
4
1
O
-1
-2
-0.5
7?
x
4（
3
）
y
2
1

（
4
）y
3
2
1
O
-1
-2
-3

?
2
2?
7?
2
5?
13?
x
2
O
?
7?3?
17?11?
x
10
205
2010
16

新人教版高中数学必修4课后习题解答
17、（1）
x


（图略）
sinx


0
0
?

18
?

9
?

6
2
?

9
5
?

18
?

3
7
?

18
4
?

9
?

2
1 0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.98
（2）由
sin(
?
?x)?sinx
，可知函数
y?sinx,x?[0,
?
]
的图象关于直线
x?
?
2
对称，据此
可得函数
y?sinx,x?[,
?< br>]
的图象；又由
sin(2
?
?x)??sinx
，可知y?sinx,x?[0,2
?
]
的图
2
象关于点
(< br>?
,0)
对称，据此可得出函数
y?sinx,x?[
?
,2
?
]
的图象.
（3）先把
y
轴向右（当
?< br>?0
时）或向左（当
?
?0
时）平行移动
?
个单位长 度，再把
x
轴向下（当
k?0
时）或向上（当
k?0
时）平 行移动
k
个单位长度，最后将图象向左或向右平
行移动
2
?
个单位长度，并擦去
[0,2
?
]
之外的部分，便得出函数
y?si n(x?
?
)?k,x?[0,2
?
]
的
图象.
18、（1）
A?1,T?
?
2
??
,
?
?
.
56
向左平移横坐标缩短到原来
y?sinx,x?R?????y?sin( x+),x?R???????y?sin(5x+),x?R

?
1
个单位 的倍，纵坐标不变
67
65
??
（2）
A?2,T?12
?
,
?
?0
.
11
横坐标伸长到原来纵坐标缩短到原来y?sinx,x?R???????y?sinx,x?R???????y?2sinx,x?R

的6倍，纵坐标不变的2倍，横坐标不变
66
第一章 复习参考题
B组（P71）
1、（1）
3
??
?
?k?
??
?
?k
?
，所以的终边在第二或第四象限；
42
2
（2）
90??k?120??
?
3
?3 0??90??k?120?
，所以
?
的终边在第二、第三或第四象限；
3
（3）
3
?
?4k
?
?2
?
?4
?
?4k
?
,所以
2
?
的终边在第三或第四象 限,也可在
y
轴的负半轴上.
2、约
143?

3、解：
原式
?cos
?
?
1?sin
?
1?cos
?
1?sin
?
1?cos
?
?sin
?
??c os
?
??sin
?
?

1?sin
?
1 ?cos
?
cos
?
sin
?
∵
?
为第二象限角
1?sin
?
1?cos
?
) ?sin
?
???1?sin
?
?1?cos
?
?sin< br>?
?cos
?
.
∴原式
?cos
?
?(?
cos
?
sin
?
1
??2
sin
??2cos
?
tan
?
?25
4、（1）
??
3
?
；
5cos
?
?sin
?
5?tan
?
5?(?
1
)
16
3
17

新人教版高中数学必修4课后习题解答
1
(?)
2
?1
1sin
?
?cos
?
tan
?
?1103
（2）.
????
2sin
?
cos
?
? cos
2
?
2sin
?
cos
?
?cos
2
?
2tan
?
?1
2?(?
1
)?1
3
3
222
sin
2
?
?cos
2
?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?< br>5
、左边
?

1?sin
?
?cos
?(sin
?
?cos
?
)
2
?sin
?
?cos
?
?
1?sin
?
?cos
?
(sin
?
?cos
?
)(sin
?
?cos
?
? 1)
.
?
1?sin
?
?cos
?
?sin?
?cos
?
?右边
a
2
b
2
tan
2
?
1sin
2
?
1?sin
2
?
?????1
6、将已知条件代入左边，得：左边=
222222
acos
?
bcos
?
cos
?
cos
?
7、将已知条件 代入左边，得：左边=
[(tan
?
?sin
?
)
2
?(tan
?
?sin
?
)
2
]
2
?1 6tan
2
?
sin
2
?

再将已知条件代入右 边，得：右边=
16(tan
?
?sin
?
)(tan
?< br>?sin
?
)
?16(tan
2
?
?sin
2
?
)

sin
2
?
?sin
2
?
cos
2
?
sin
2
?
?sin
2?
?16??16?

22
cos
?
cos
?
?16tan
2
?
?sin
2
?
. 所以，左边=右边
2
?
?
2k
?
7
?
2 k
?
?k
?
],k?Z
； （2）
[?,?],k?Z
.
6343123
9、（1）表示以原点为圆心，
r
为半径的圆.
8、（1）
[
?
?k
?
,
（2）表示以
(a,b)
为圆心，
r
为半径的圆.
















18

新人教版高中数学必修4课后习题解答
第二章 平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念
练习（P77）
1、略. 2、
AB
，
BA
. 这两个向量的长度相等，但它们不等.
3、
AB?2
，
CD?2.5
，
EF?3
，
GH?22
.
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.
习题2.1 A组（P77）
1
、
B
45°

（
2
）
D
.
C
A
B
O
30°
C
A
3、与
DE
相等的向量有：
AF,FC
；与
EF
相等的向量有：
BD,DA
；
与
FD
相等的向量有：
CE,EB
.
4、与
a< br>相等的向量有：
CO,QP,SR
；与
b
相等的向量有：
PM ,DO
；
与
c
相等的向量有：
DC,RQ,ST

5、
AD?
33
. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.
2
习题2.1 B组（P78）
1、海拔和高度都不是向量.
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与
AM
同向的共有6对，与
AM
反
向的也有6对；与
A D
同向的共有3对，与
AD
反向的也有6对；模为
2
的向量共有4对 ；
模为2的向量有2对
2．2平面向量的线性运算
练习（P84）
1、图略. 2、图略. 3、（1）
DA
； （2）
CB
.
4、（1）
c
； （2）
f
； （3）
f
； （4）
g
.
练习（P87）
1、图略. 2、
DB
，
CA
，
AC
，
AD
，
BA
. 3、图略.
19

新人教版高中数学必修4课后习题解答
练习（P90）
1、图略.
52
2、
AC?AB
，
BC??AB
.
77
说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是
BC
与
AB
反向.
718
3、（1）
b?2a
； （2）
b??a
； （3）
b??a
； （4）
b?a
.
429
4、（1）共线； （2）共线.
111
5、（1）
3a?2b
； （2）
?a?b
； （3）
2ya
. 6、图略.
123
习题2.2 A组（P91）
1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走
102
km；
（4）向西南走
52
km；（5 ）向西北走
102
km；（6）向东南走
102
km.
2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
3、解：如右图所示：
AB
表示船速，
AD
表示河水
的流 速，以
AB
、
AD
为邻边作
□
ABCD
，则
B
C
AC
表示船实际航行的速度.
在Rt△ABC中，
AB?8
，
AD?2
，
所以
AC?AB?AD?8
2
?2
2
?217
< br>22
A
D
水流方向
因为
tan?CAD?4
，由计算 器得
?CAD?76?

所以，实际航行的速度是
217
kmh，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
4、（1）
0
； （2）
AB
； （3）
BA
； （4）
0
； （5）
0
； （6）
CB
； （7）
0
.
5、略
6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向
量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.
7、略. 8、（1）略； （2）当
a?b
时，
a?b?a?b

1
9、（1）
?2a?2b
； （2）
10a?22b?10c
； （3）
3a?b
； （4）
2(x?y)b
.
2
10、
a?b?4e
1
，
a?b??e
1
?4e
2
，
3a?2b??3e
1
?10e
2
.
11、如图所示，
OC??a
，
OD??b
，
DC?b?a
，
BC??a?b
.
12、
AE?
（第11题）
113
b
，
BC?b ?a
，
DE?(b?a)
，
DB?a
，
444
20

新人教版高中数学必修4课后习题解答 3111
EC?b
，
DN?(b?a)
，
AN?AM?(a?b )
.
4848
13、证明：在
?ABC
中，
E,F
分别是
AB,BC
的中点，
所以
EFAC
且
EF?
1
AC
，
2
G
D
C
F
1
即
EF?AC
；
2
1
同理，
HG?AC
，
2
所以
EF?HG
.
习题2.2 B组（P92）
1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.
2、不一定相等，可以验证在
a,b
不共线时它们不相等.
H
E
A
（第13题）
B
乙
丙
11
AC
，
AM?AB
，
33
1111
所以
MN?AC?AB?(AC?AB)?BC
.
3333
4、（1）四边形
ABCD
为平行四边形，证略
（2）四边形
ABCD
为梯形.
1
证明：∵
AD?BC
，
3
∴
ADBC
且
AD?BC

∴四边形
ABCD
为梯形.
D
（3）四边形
ABCD
为菱形.
3、证明：因为
MN?AN?AM
，而
AN?
证明：∵
AB?DC
，
∴
ABDC
且
AB?DC

∴四边形
ABCD
为平行四边形
又
AB?AD

∴四边形
ABCD
为菱形.
5、（1）通过作图可以发现四边形
ABCD
为平行四边形.
证明：因为
OA?OB?BA
，
OD?OC?CD

而
OA?OC?OB?OD

所以
OA?OB?OD?OC

所以
BA?CD
，即
AB
∥
CD
.
因此，四边形
ABCD
为平行四边形.
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
练习（P100）
A
甲
（第1题）
C
B
A
（第4题(2)）
B
C
D
A
（第4题(3)）
M
D
B
C
O
（第5题）
21

新人教版高中数学必修4课后习题解答
1、（1）
a?b?(3,6)
，
a?b?(?7,2)
； （2）
a?b?(1,11)
，
a?b?(7,?5)
；
（3）
a?b?(0,0)
，
a?b?(4,6)
； （4）
a?b?(3,4)
，
a?b?(3,?4)
.
2、
?2a?4b?(?6,?8)
，
4a?3b?(12,5)
.
3、（1）
AB?(3,4)
，
BA?(?3,?4)
； （2）
AB?(9,?1)
，
BA?(?9,1)
；
（3）
AB?(0,2)
，
BA?(0,?2)
； （4）
AB?(5,0)
，
BA?(?5,0)

4、
AB
∥
CD
. 证明：
AB?(1,?1)，
CD?(1,?1)
，所以
AB?CD
.所以
AB
∥
CD
.
1014
5、（1）
(3,2)
； （2）
(1,4)
； （3）
(4,?5)
. 6、
(,1)
或
(,?1)

33
33
7、解：设
P(x,y)
，由点
P
在线段
AB
的延长线上，且
AP?PB
，得
AP??PB

22
,y)?(2,3?)x?(

AP?(x2y?,，
PB?(4,?3)?(x,y)?(4?x,?3?y)

3
?
x?2??(4?x)
?
3
?
2
∴
(x?2,y?3)??(4?x,?3?y)
∴
?

3
2
?
y?3??(?3?y)
?
?2
?
x?8< br> ∴
?
，所以点
P
的坐标为
(8,?15)
.
?
y??15
习题2.3 A组（P101）
1、（1）
(?2,1)
； （2）
(0,8)
； （3）
(1,2)
.
说明：解题时可设
B(x,y)
，利用向量坐标的定义解题.
2、
F
1
?F
2
?F
3
?(8,0)

3、解 法一：
OA?(?1,?2)
，
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

而
AD?BC
，
OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
. 所以点
D
的坐标为
(1,5)
.
解法二：设
D(x ,y)
，则
AD?(x?(?1),y?(?2))?(x?1,y?2)
，
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

?
x?1?2
AD?BC
由可得，
?
，解得点
D
的坐标为
(1,5)
.
y ?2?7
?
4、解：
OA?(1,1)
，
AB?(?2,4)
.
22

新人教版高中数学必修4课后习题解答

AC?
11
，
AB?(?1,2)
AD?2AB?(?4,8)，
AE??AB?(1,?2)
.
22
AC?(0,3
，所以 ，点
)
C
的坐标为
(0,3)
；
AD?(?3,9
，所以，点
)
D
的坐标为
(?3,9)
；
AE?(2,?1)
，所以，点
E
的坐标为
(2,?1)
.
?

OC?OA
?

OD?OA
?

OE?OA
5、由向量
a,b< br>共线得
(2,3)?
?
(x,?6)
，所以
23
，解 得
x??4
.
?
x?6
6、
AB?(4,4)
，
CD?(?8,?8)
，
CD??2AB
，所以
AB
与CD
共线.
7、
OA
?
?2OA?(2,4)
，所以 点
A
?
的坐标为
(2,4)
；
?
?3OB?(?3,9)

OB
，所以点
B
?
的坐标为
(?3,9)
； 故
A
?
B
?
?(?3,9)?(2,4)?(?5,5)

习题2.3 B组（P101）
1、
OA?(1,2)
，
AB?(3,3)
.
当t?1
时，
OP?OA?AB?OB?(4,5)
，所以
P(4,5)< br>；
当
t?
11335757
时，
OP?OA?AB?( 1,2)?(,)?(,)
，所以
P(,)
；
22222222
当
t??2
时，
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(?5,?4)，所以
P(?5,?4)
；
当
t?2
时，
OP? OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(7,8)
，所以
P(7,8)
.
2、（1）因为
AB?(?4,?6)
，
AC?(1,1.5)
，所以AB??4AC
，所以
A
、
B
、
C
三点共线；
（2）因为
PQ?(1.5,?2)
，
PR?(6,?8)
，所 以
PR?4PQ
，所以
P
、
Q
、
R
三点共 线；
（3）因为
EF?(?8,?4)
，
EG?(?1,?0.5)< br>，所以
EF?8EG
，所以
E
、
F
、
G三点共线.
3、证明：假设
?
1
?0
，则由
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?0
，得< br>e
1
??
?
2
e
2
.
?
1
所以
e
1
,e
2
是共线向量，与已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误，
?
1
?0
. 同理
?
2
?0
. 综上
?
1
?
?
2
?0
.
4、（1）
OP?19
. （2）对于任意向量
OP?xe1
?ye
2
，
x,y
都是唯一确定的，
所以向量的坐标表示的规定合理.
2．4平面向量的数量积
练习（P106）
23

新人教版高中数学必修4课后习题解答
1、
p?q?p?q?cos?p,q??8?6?
1
2
?24
.
2 、当
a?b?0
时，
?ABC
为钝角三角形；当
a?b?0
时，
?ABC
为直角三角形.
3、投影分别为
32
，0，
?32
. 图略
练习（P107）
1、
a?(?3)
2
?4
2
? 5
，
b?5
2
?2
2
?29
，
a?b?? 3?5?4?2??7
.
2、
a?b?8
，
(a?b)(a?b) ??7
，
a?(b?c)?0
，
(a?b)
2
?49
.
3、
a?b?1
，
a?13
，
b?74
，< br>?
?88?
.
2.4 A组（P108）
1、
a?b? ?63
，
(a?b)
2
?a
2
?2a?b?b
2< br>?25?123
，
a?b?25?123
.
2、
BC
与
CA
的夹角为120°，
BC?CA??20
.
3、
a?b?a
2
?2a?b?b
2
?23
，
a?b?a
2
?2a?b?b
2
?35
.
4、证法一：设
a
与
b
的夹角为
?
.
（1）当
?
?0
时，等式显然成立；
（2）当
?
?0
时，
?
a
与
b
，
a
与
?b
的夹角都为
?
，
所以
(
?
a)?b?< br>?
abcos
?
?
?
abcos
?

?
(a?b)?
?
abcos
?

a?(
?
b)?a
?
bcos
?
?
?
abcos
?

所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；
（3）当
?
?0
时，
?a
与
b
，
a
与
?
b
的夹角都为
180??
?
，
则
(
?
a)?b?
?
abcos(180??
?
)??
?
abcos
?
?
(a?b)?
?
abcos
?
??
?
abc os
?

a?(
?
b)?a
?
bcos(180? ?
?
)??
?
abcos
?

所以
(< br>?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；
综上所述，等式成立.
证法二：设
a?(x
1
,y
1< br>)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
那么
(
?
a)?b?(
?
x
1
,
?
y
1
)?(x
2
,y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

24
习题

新人教版高中数学必修4课后习题解答 < br>?
(a?b)?
?
(x
1
,y
1
)?(x< br>2
,y
2
)?
?
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?
?
x
1
x
2< br>?
?
y
1
y
2

a?(
?
b)?(x
1
,y
1
)?(
?
x
2
,?
y
2
)?
?
x
1
x
2
?< br>?
y
1
y
2

所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；
5、（1）直角三角形，
?B
为直角.
证明：∵
BA? (?1,?4)?(5,2)?(?6,?6)
，
BC?(3,4)?(5,2)?(?2,2 )

∴
BA?BC??6?(?2)?(?6)?2?0

∴
BA?BC
，
?B
为直角，
?ABC
为直角三角形
（2）直角三角形，
?A
为直角
证明：∵
AB?(19,4)? (?2,?3)?(21,7)
，
AC?(?1,?6)?(?2,?3)?(1,?3)∴
AB?AC?21?1?7?(?3)?0

∴
AB?AC
，
?A
为直角，
?ABC
为直角三角形
（3）直角三角形，
?B
为直角
证明：∵
BA?(2,5)?( 5,2)?(?3,3)
，
BC?(10,7)?(5,2)?(5,5)

∴
BA?BC??3?5?3?5?0

∴
BA?BC
，< br>?B
为直角，
?ABC
为直角三角形
6、
?
?135?
.
7、
?
?120?
.

(2a?3b)(2a?b) ?4a
2
?4a?b?3b
2
?61
，于是可得
a?b?? 6
，
cos
?
?
a?b
ab
??
12
，所以
?
?120?
.
8、
cos
??
23
40
，
?
?55?
.
9、证明：∵< br>AB?(5,?2)?(1,0)?(4,?2)
，
BC?(8,4)?(5,?2)? (3,6)
，
DC?(8,4)?(4,6)?(4,?2)

∴
AB?DC
，
AB?BC?4?3?(?2)?6?0

∴
A,B,C,D
为顶点的四边形是矩形.
10、解：设
a?(x,y)
，
25

新人教版高中数学必修4课后习题解答
?
x
2
?y
2
?9
?
x?
35
?
35
则
?< br>?
?
?
y
，解得
?
?
5
?
，或
?
x??
5
.
?
x?
2
?
?
?
y?
65
?
?
y??
65
?
5
?
5
于是
a?(
35
5
,
65
5
)
或
a?(?
3565
5
,?
5
).
11、解：设与
a
垂直的单位向量
e?(x,y)
， ?
?
x?
5
?
?
x??
5
则
?
?
x
2
?y
2
?1
4x?2y?0
，解 得
?
?
5
或
?
?
5
5
.
?
?
?
?
y??
25
?
5
?
?
y?
2
5
于是
e?(
5
5
,?
2 5525
5
)
或
e?(?
5
,
5
)
.
2.4 B组（P108）
1、证法一：
a?b?a?c?a?b?a?c ?0?a?(b?c)?0?a?(b?c)

证法二：设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
c?(x
3
,y
3
)
.
先证
a?b?a?c?a?(b?c)

a?b?x
1
x< br>2
?y
1
y
2
，
a?c?x
1
x< br>3
?y
1
y
3

由
a?b?a?c
得
x
1
x
2
?y
1
y
2
?x1
x
3
?y
1
y
3
，即
x
1
(x
2
?x
3
)?y
1
(y
2
? y
3
)?0
而
b?c?(x
2
?x
3
,y
2
?y
3
)
，所以
a?(b?c)?0

再证
a?(b?c)?a?b?a?c

由
a?(b?c)?0
得
x
1
(x
2
? x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0
，
即
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>?x
1
x
3
?y
1
y
3
，因此a?b?a?c

2、
cos?AOB?
OA?OB
OAOB< br>?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?< br>.
3、证明：构造向量
u?(a,b)
，
v?(c,d)
.

u?v?ucvos?u,v?
，所以
ac?bd?a2
?b
2
c
2
?d
2
cos?u,v?

∴
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)cos
2
?u,v??(a
2< br>?b
2
)(c
2
?d
2
)

26
习题

新人教版高中数学必修4课后习题解答
4、
AB?AC
的值只与弦
AB
的长有关，与圆的半径无关.
证明：取
AB
的中点
M
，连接
CM
，
则
CM?AB
，
AM?
1
2
AB

C
又
AB?AC?ABACcos?BAC
，而
?BAC?
AM< br>AC

A
M
所以
AB?AC?ABAM?
1
2
2
AB

（第4题）
5、（1）勾股定理：
Rt?AB C
中，
?C?90?
，则
CA
2
?CB
2
?AB
2

证明：∵
AB?CB?CA

∴
AB< br>2
?(CB?CA)
2
?CB
2
?2CA?CB?CA
2
.
由
?C?90?
，有
CA?CB
，于是
C A?CB?0

∴
CA
2
?CB
2
?AB
2

（2）菱形
ABCD
中，求证：
AC?BD

证明：∵
AC?AB?AD
，
DB?AB?AD,

∴AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB
2
?AD
2
. < br>∵四边形
ABCD
为菱形，∴
AB?AD
，所以
AB
2
?AD
2
?0

∴
AC?DB?0
，所以
AC?BD

（3）长方形
ABCD
中，求证：
AC?BD

证明：∵ 四边形< br>ABCD
为长方形，所以
AB?AD
，所以
AB?AD?0

∴
AB
2
?2AB?AD?AD
2
?AB
2
?2AB?AD?AD
2
.
∴
(AB?AD)
2
?(A B?AD)
2
，所以
AC
2
?BD
2
，所以
AC?BD

（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.
2．5平面向量应用举例
习题2.5 A组（P113）
1、解：设
P(x,y)
，
R(x
1
,y
1
)

则
RA?(1,0)?(x
1
,y
1
)?(1?x
1
,?y
1
)
，
AP?(x,y)?(1,0)?(x?1,0)

由
RA?2AP
得
(1?x
?
x
1
??2x?3
1
,?y
1
)?2(x?1,y)
，即
?
?
y

1
??2y
B
27

新人教版高中数学必修4课后习题解答
代入直线
l
的方程得
y?2x
. 所以，点
P
的轨迹方程为
y?2x
.
2、解：（1）易知，
?OFD
∽
?OBC
，
DF?
所以
BO?
A1
BC
,
2
D
O
F
2
BF
.
3
2211
AO?BO?BA?BF?a?(b?a)?a?(a?b)

3323
B
1
（2）因为
AE?(a?b)

2< br>2AO
所以
AO?AE
，因此
A,O,E
三点共线，而且?2

3OE
BOCOAOBOCO
同理可知：
?2,?2，所以
???2

OFODOEOFOD
3、解：（1）
v?v
B
?v
A
?(?2,7)
；
（2）
v
在
v
A
方向上的投影为
E
（第2题）
C
v?v
A
v
A
?
13
.
5
（第4题）
4、解：设
F
1
，
F
2< br>的合力为
F
，
F
与
F
1
的夹角为
?
，
则
F?3?1
，
?
?30?
；
F
3
?3?1
，
F
3
与
F
1
的夹角 为150°.
习题2.5 B组（P113）
1、解：设
v
0
在水平方向的速度大小为
v
x
，竖直方向的速度的大小为
v
y
，
则
v
x
?v
0
cos
?
，
v
y
?v
0
sin
?
.
1
?
h ?vtsin
?
?gt,(g为重力加速度)
0
?
2
设在时 刻
t
时的上升高度为
h
，抛掷距离为
s
，则
?
?
s?v
0
tcos
?
?
所以，最大高度为
v
0
sin
2
?
2g
2
，最大投掷距离为
v
0
sin2
?
g
2
.
2、解：设v
1
与
v
2
的夹角为
?
，合速度为
v
，
v
2
与
v
的夹角为
?
，行驶距离为d
.
则
sin
?
?
v
1
sin?
v
?
10sin
?
v
v
0.5
d1
?
，
d?
. ∴
?
.
sin
?
20sin
?
20sin
?
v
所以当
?
?90?
，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
3、（1）
(0,?1)

解：设
P(x,y)
，则
AP?(x?1,y?2)
.
AB?(2,?22)
.
28

新人教版高中数学必修4课后习题解答
7
?
到
AP
，相当于沿逆时针方向旋转
?
到
AP
，
4
47777
于是
AP?(2cos
?
?22sin
?
,2 sin
?
?22cos
?
)?(?1,?3)

4444< br>将
AB
绕点
A
沿顺时针方向旋转
所以
?
（2）
y??
?
x?1??1
，解得
x?0,y??1

y?2??3
?
3

2x
解：设曲线
C
上任一点
P
的坐标为
(x,y)
，
OP
绕
O逆时针旋转
?
??
?
?
x?xcos?ysin
?x
?
?
?
?
44
，即
?
则
?
?
??
?
y
?
?
?
y
?
?xsin?ycos
?
?
44
?
?
2
(x?y)
2

2
(x?y)
2
?
后，点
P
的坐标为
(x
?
,y
?
)

4
113又因为
x
?
2
?y
?
2
?3
，所以< br>(x?y)
2
?(x?y)
2
?3
，化简得
y??< br>
222x
第二章 复习参考题
A组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.
2、（1）
D
； （2）
B
； （3）
D
； （4）
C
； （5）
D
； （6）
B
.
1
1
3、
AB?(a?b)
，
AD?(a?b)

2
2
21
4、略解：
DE?BA?MA?MB??a?b

33
2211
AD?a?b
，
BC?a?b

3333
1112
EF??a?b
，
FA?DC?a?b

3333
21
12
CD??a?b
，
AB?a?b

33
33
CE??a?b

（第4题）
5、（1）
AB?(8,?8)
，
AB?82
；
（2）
OC?(2,?16)
，
OD?(?8,8)
； （3）
OA?OB?33
.
6、
AB
与
CD
共线.
证明：因为
AB?( 1,?1)
，
CD?(1,?1)
，所以
AB?CD
. 所以
AB
与
CD
共线.
7、
D(?2,0)
. 8、
n?2
. 9、
?
??1,
?
?0
.
34
10、
cosA?,cosB?0,cosC?

55
29

新人教版高中数学必修4课后习题解答
11、证明：
(2n?m)?m?2n?m?m?2cos60??1?0
，所以
( 2n?m)?m
.
519
12、
?
??1
. 13、
a?b?13
，
a?b?1
. 14、
cos
?
?,cos
?
?

820
2
第二章 复习参考题
B组（P119）
1、（1）
A
； （2）
D
； （3）
B
； （4）
C
； （5）
C
； （6）
C
； （7）
D
.
2、证明：先证
a?b?a?b?a?b
.

a?b?(a?b)
2
?a?b?2a?b
，
a?b?(a?b)< br>2
?a?b?2a?b
.
因为
a?b，所以
a?b?0
，于是
a?b?a?b?a?b
.
再证
a?b?a?b?a?b
.
由于
a?b?a?2a?b?b
，
a?b?a?2a?b?b

由
a?b?a?b
可得
a?b?0
，于是
a?b

所以
a?b?a?b?a?b
. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
3、证明：先证
a?b?c?d


c?d?(a?b)?(a?b)?a?b

又
a?b
，所以
c?d?0
，所以
c?d

再证
c?d?a?b
.
由
c?d
得c?d?0
，即
(a?b)?(a?b)?a?b?0

所以
a?b
【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】
111
4、
AD?AB?BC?CD?a?b
，
AE?a?b

2
42
311111
而
EF?a
，
EM?a< br>，所以
AM?AE?EM?a?b?a?(a?b)

444242
P
3
22
22
2222
22
2222
（第3题） < br>5、证明：如图所示，
OD?OP
1
?OP
2
，由于
OP
1
?OP
2
?OP
3
?0
，
所以
OP
3
??OD
，
OD?1

所以
OD?OP

1
?PD
1
所以
?OP P
12
?30?
，同理可得
?OPP
13
?30?

P
1
O
P
2
（第5题）
D
所以
?P
3
PP
12
?60?
，同理可得
?PP
12< br>P
3
?60?
，
?P
2
P
3
P1
?60?
，所以
?PP
12
P
3
为正三角形 .
30

新人教版高中数学必修4课后习题解答
6、连接
AB
.
由对称性可知，
AB
是
? SMN
的中位线，
MN?2AB?2b?2a
.
7、（1）实际前进速度大 小为
4
2
?(43)
2
?8
（千米／时），
N
M
B
沿与水流方向成60°的方向前进；
（2）实际前进速度大小为
42
千米／时，
A
沿与水流方向成
90??arccos
6
的方向前进.
O
S
3
（第6题）
8、解：因为
OA?OB?OB?OC
，所以
OB?(OA?OC)?0
，所以
OB?CA?0

同理，
OA?BC?0
，
OC?AB?0
，所以点
O
是?ABC
的垂心.
9、（1）
a
2
x?a
1
y?a
1
y
0
?a
2
x
0
?0
； （2）垂直；
（3）当
A
1
B
2
?A
2B
1
?0
时，
l
1
∥
l
2
； 当
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0时，
l
1
?l
2
，
夹角
?
的余弦< br>cos
?
?
A
1
A
2
?B
1
B
2
A
2
?
22
1
B
1
A2
?B
2
；
2
（4）
d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2























31

新人教版高中数学必修4课后习题解答
第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习（P127）
1、
cos(
?
2
?
?
)?cos
?
2
cos
?
?sin
?
2
sin
?
?0?cos
?
?1?sin
?
?sin
?
.

cos(
?
2?
?
?)co
?
s2
?
c?os
?
sin
?
2?s?in
?
?1?cos
?
?0
.
?
2、解：由
cos
?
??
3
5
,
?
?(
?
2
,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?
34
5
)
2
?
5
；
所以
cos(
?
4
?
?
)?cos
??
2 3242
4
cos
?
?sin
4
sin
?
?
2
?(?
5
)?
2
?
5
?
10
.
3、解：由
sin
?
?
15
17
，< br>?
是第二象限角，得
cos
?
??1?sin
2
?< br>??1?(
158
17
)
2
??
17
；
所以
cos(
?
?
???
81153?8< br>3
)?cos
?
cos
3
?sin
?
sin
?153
3
??
17
?
2
?
17
?
2
?
34
.
4、解：由
sin
?
??
23
?
25
3
,
?
?(
?
,2
)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?
3
)
2
??
3
；
又由
c os
?
?
3
4
,
?
?(
3
?37
2
,2
?
)
，得
sin
?
??1 ?cos
2
?
??1?(
4
)
2
??
4< br>.
所以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
3572?35?27
4
?(?
3
)?(?
4
)?(?< br>3
)?
12
.
练习（P131）
1、（1）
6?2
4
； （2）
6?2
4
； （3）
6?2
4
； （4）
2?3
.
2、解：由
cos
?
??
3
,
?
?(
?
,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1 ?(?
3
)
2
4
52
5
?
5
；
所以
sin(
?
?
???
41334?33
3
)?sin
?
cos
3
?cos
?
si n
3
?
5
?
2
?(?
5
)?
2< br>?
10
.
3、解：由
sin
?
??
12< br>13
，
?
是第三象限角，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?
125
13
)
2
??< br>13
；
所以
cos(
?
6
?
?
)?cos
??
35112?53?12
6
cos
?< br>?sin
6
sin
?
?
2
?(?
13
)?
2
?(?
13
)?
26
.
tan
?
?
?
4、解：
tan(
?
?
?
tan< br>4
4
)??
3?1
??2
.
1?tan
?
?tan
?
1?3?1
4
5、（1）1； （2）
1
2
； （3）1； （4）
?
3
2
；
（5）原式=
?(cos34?co s26??sin34?sin26?)??cos(34??26?)??cos60???
1
2
；

32

新人教版高中数学必修4课后习题解答
（6）原式=
?sin20?cos70??cos20?sin70???(sin20 ?cos70??cos20?sin70?)??sin90???1
.
???
6 、（1）原式=
coscosx?sinsinx?cos(?x)
；
333
31
???
（2）原式=
2(sinx?cosx)?2 (sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
；
22666
22
???
（3）原式=
2(sinx?cosx) ?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
；
22444
13
???
（4）原式=
22(cosx?sinx )?22(coscosx?sinsinx)?22cos(?x)
.
22333
3
7、解：由已知得
sin(
?
?
?
)cos
?< br>?cos(
?
?
?
)sin
?
?
，
5
33
即
sin[(
?
?
?
)?
?
]?
，
sin(?
?
)?

55
3
所以
sin
?
??
. 又
?
是第三象限角，
5
34
于是
cos< br>?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
.
55
因此
sin(
?
?
练习（P135）
5
?
5
?
5
?
324272
.
)?sin
?
cos?cos
?
sin?(?)(?)?(?)(?)?444525210
1、解：因为
8
?
?
?
?12?
，所以
?
?
?
8
?
3
?

2
sin
3
?
?
43
?
4
8?
5
?
3
又由
cos??
，得
sin??1?(?)
2
??
，
tan?
8
cos
?
?
4
4
855
85
85
?
?
???
3424

?sin(2?)?2sincos?2?(?)?(?)?
48885525
????
4
2
3
2
7

cos?cos?(2?)
2
co?s
2
si?n?(??)(
?)
48885525
所以
sin
3
??
8
?
4
?
3
?
16
?
24< br>
tan?tan(2?)?
48
1?tan
2
?
1?(
3
)
2
277
84
2tan< br>2?
?
?
33316
2、解：由
sin(
?
?
?
)?
，得
sin
?
??
，所以
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1?(?)
2
?

55525
1637
所以
cos2
??cos
2
?
?sin
2
?
??(?)
2?

25525
1
3、解：由
sin2
?
?? sin
?
且
sin
?
?0
可得
cos
?< br>??
，
2
13
sin
?
3
?
又由
?
?(,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?
，所以
tan
?< br>???(?2)??3
.
22
cos
?
2
2
33

新人教版高中数学必修4课后习题解答
12tan
?
14、解：由
tan2
?
?
，得. 所以
tan
2?
?6tan
?
?1?0
，所以
tan
?
?? 3?10

?
2
31?tan
?
3
5、（1）sin15?cos15??
1
2
sin30??
1
4
； （2）
cos
2
?
8
?sin
2
?
8
?cos
?
2
4
?
2
；
（3）原式=
12tan22.5?11
2
2
?
1?t an
2
22.5?
?
2
tan45??
2
； （4）原式=
cos45??
2
.
习题3.1 A组（P137） 1、（1）
cos(
3
?
2
?
?
)?cos< br>3
?
2
cos
?
?sin
3
?
2< br>sin
?
?0?cos
?
?(?1)?sin
?
?? sin
?
；
（2）
sin(
3
?
2
?
?
)?sin
3
?
2
cos
?
?cos
3
?
2
sin
?
??1?cos
?
?0? sin
?
??cos
?
；
（3）
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?
??1?cos
?
?0?sin
?
??co s
?
；
（4）
sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
? 0?cos
?
?(?1)?sin
?
?sin
?
.
2、解：由
cos
?
?
3
5
,0?
?
?
?
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1? (
3
)
2
4
5
?
5
，
所以
cos(
?
?
?
6
)?cos
?
co s
??
433143?3
6
?sin
?
sin
6< br>?
5
?
2
?
5
?
2
?
10
.
3、解：由
sin
?
?
2
,
?
?(
?
,
?
)
，得
cos
?
??1?s in
2
25
32
?
??1?(
3
)
2??
3
，
又由
cos
?
??
3< br>4
,
?
?(
?
,
3
?
2
)
，得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?(?< br>37
4
)
2
??
4
，
所以cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??
5327
3
?(?4
)?
35?27
3
?(?
4
)?
12
.
4、解：由
cos
?
?
1
，
?
是锐 角，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(
1)
2
43
7
7
?
7

因为
?
,
?
是锐角，所以
?
?
?
?(0,
?
)
，
又因为
cos(
?
??
)??
11
，所以
sin(
?
?
?
)?1?cos
2
(
?
?
?
)?1?(?
11)
2
53
14
14
?
14

所以
cos
?
?cos[(
?
?
?
)?
?
]?cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?

?(?
111534314
)?
7
?
14
?
1
7
?
2

5、解：由
60??
?
?150?
，得
90? ?30??
?
?180?

又由
sin(30???
)?
3
5
，得
cos(30??
?
)??1 ?sin
2
(30??
?
)??1?(
3
)
24
5
??
5

所以
cos
?< br>?cos[(30??
?
)?30?]?cos(30??
?
)cos 30??sin(30??
?
)sin30?

34