人教版高中数学必修四常见公式及知识点总结(完整版)

必修四常考公式及高频考点
第一部分 三角函数与三角恒等变换
考点一 角的表示方法
1.终边相同角的表示方法：
所有与角?终边相同的角，连同角?在内可以构成一个集合：{β|β= k?360 °+α,k∈Z }
2.象限角的表示方法：
第一象限角的集合为{α
第二象限角的集合为{α第三象限角的集合为{α
第四象限角的集合为{α
|k?360 °<α|k?360 °+90 °<α|k?360 °+180 °<α|k?360 °+270 °<α3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：
（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k?360 °+α,k∈Z },其中α为射线与x轴非负半
轴形成的夹角
（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k?180 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半
轴形成的任一夹角
（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k?90 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴
非负半轴形成的任一夹角
例：
终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α=k?360 °+270 °,k∈Z }
终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α=k?180 °+135 °,k∈Z }
终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α=k?90 °+45 °,k∈Z }
易错提醒：
区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角
考点二 弧度制有关概念与公式
1.弧度制与角度制互化
180??
?
，
1??
?
180?
?57.3?
，1弧度
?< br>180
?
2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）
n
?
R
?
?
R
, 其中
?
为弧所对圆心角的弧度数
180
1
n
?
R
2
1
?lR
= R
2
|
?
|, 其中
?
为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积 公式：
S?
2
3602
弧长公式：
l?
1
2
易错提醒：利用S=
R|
?
|求解扇形面积公式时，
?
为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数
2
规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧

1

考点三 任意角的三角函数
1.任意角的三角函数定义
设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点< br>P
?
x,y
?
，那么
sin
?
?
y
，
cos
?
?
x
，
tan
?
?< br>y
（
r?|OP|?
rrx
化简为
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
2.三角函数值符号
x
2
?y
2
）；
y
.
x


规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线 角的三角函数值符号.
3.特殊角三角函数值
SIN15?=SIN(60?-45?)= SIN60?COS45?-SIN45?COS60?=(√6-√2)4
COS15?=COS( 60?-45?)=COS60?COS45?+SIN60?SIN45?=(√6+√2)4
除此之外，还需记住15
0
、75
0
的正弦、余弦、正切值
4.三角函数线
y
?
终边
P


T

?
终边
y
P


O
M
A

x
正弦线
M
O
T

A

x
y
P

M
O

T

余弦线
正切线

y
M
O
A

x
A

x
P

T

?
终边
?
终边
P


经典结论：
(1)若
x?(0,
(2)若
x?(0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx

)
，则
1?sinx?cosx?2

?
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1

考点四 三角函数图像与性质




2

性

函
质
数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象


定义域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
R

值域
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时 ，
y
max
?1
；
2
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
；
最值
2
既无最大值也无最小值
当
x?2k
?
?
??
k??
?
时，
y
min
??1
．
当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
在
?
单调性
2
?

奇函数
上是增函数；
??
?
2k
?
?,2k
?
?
?
?
k??
?
?
22
??
?
3
?
?
2k
?
?,2k
?
?
??
2 2
??
2
?

偶函数
?
?
?

奇函数
?
2
?
在
?
2k
?
?< br>?
,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数；
在
?
??
?

k
?
?,k
??
2
在
?
?
k??
?
上是减函
在?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上是减函
数．
对称中心
?
k
?
?
?
,0
?
?
?
2
?
?
k??< br>?
?
?
k??
?
上是增函数．
对称中心
?
k
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
?
数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x?k
?
?


?
2
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴
考点五 正弦型（y=Asin(ωx＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx＋φ)）、正切性 函数（y=Atan(ωx＋φ)）图像与性质
1.解析式求法
（1）y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y=Acos(ωx＋φ)＋B解析式确定方法
字母
A
B

ω

φ
确定途径
由最值确定
由最值确定
说明
最大值－最小值
A＝
2
最大值＋最小值
B＝
2
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝 对值为半个周期，最高点(或
最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期
可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通
过解简单三角方程确定
由函数的周期确定
由图象上的特殊点确定

A、B通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路：
①φ求解思路：
3

代入图像的确定点的坐标.如带入最高点
(x
1
,y
1
)
或最低点坐标
(x
2
,y
2
)
，则< br>?
x
1
?
?
?
?
2
?2k
?
(k?Z)
或
?
x
2
?
?
?
3
?
?2k
?
(k?Z)
，求
?
值．
2< br>易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不 满足ω>0，先利用诱导公式
进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+ 60)的初相是-60
②ω求解思路：
利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的 对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周
期的一半；相邻的对称中心与对称轴之 间的距离是周期的四分之一.
2.“一图、两域、四性”
“一图”：学好三角函数，图像是关键。
00

易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等.
例：
“两域”：
(1) 定义域
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.
(2) 值域(最值)：
a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.
b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函 数的值域(最值).
c.换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区 间上的值域(最值)问题.
例：
1.y=asinx+bsinx+c
22
2.y=asinx+bsinxcosx+ccosx
3.y=(asinx+c)(bcosx+d)
4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c
“四性”：
(1)单调性
ππ
①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-<ωx+φ<2kπ＋，k∈Z解得, 单调递减区间由
22
π
2kπ+<ωx+φ<2 kπ＋1.5π，k∈Z解得;
2
②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k∈Z解得, 单调递减区间由
2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k∈Z解得;
4

2

ππ
③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-<ωx+φ22
规律总结：注意ω、A为负数时的处理技巧．
(2)对称性
π
①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;
2
π
②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋(k∈Z) 解得;
2
③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得.
规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.
(3)奇偶性
π
①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)，函数y＝Asin(ω x＋φ)，x∈R是偶函数?φ＝kπ＋(k
2
∈Z)；
②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ＋
∈Z)；
kπ
③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝(k∈Z)．
2
规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.
(4)周期性
2π
函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，
|ω|
y＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T＝
考点六 常见公式
常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用
1.同角三角函数的基本关系
π
.
|ω|
π
(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈ R是偶函数?φ＝kπ(k
2
sin
2
?
?cos
2
?
?1
；
tan
?
=
sin
?

cos
?
2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”
（1）去负，即负角化正角：
sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；
（2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角：
sin(2kπ+a)=sina； cos(2kπ+a)=cosa；tan(2kπ+a)=-tana；
（3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角：
6组诱导公式
?
1?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin< br>?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
??
?tan
?
?
k??
?
．
?
2< br>?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?< br>??sin
?
，
cos
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan< br>?
．
5

?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
ta n
?
?
?
?
?
??tan
?
．
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?< br>?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?< br>?
?sin
?
．
?
2
??
2
?< br>?
?
?
??
?
?
，
6sin?
?< br>?cos
?
cos
??
???
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
?
口诀： 奇变偶不变，符号看象限.均化为“kπ2±a”,做到“两观察、一变”。一观察：k是奇数还是偶数；二观察 ：
kπ2±a终边所在象限，再由kπ2±a终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：正弦 变余弦、余弦变正弦、
正切利用商的关系变换. 其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解
3.两角和差公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin< br>?
sin
?
；
tan(
?
?
?
) ?
tan
?
?tan
?
,
1
?
tan
?
tan
?
4.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
；
cos2?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos2
?
?1?1?2sin
2
?
；
tan2
?
?
2tan
?
，
1?tan
2
?
二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当α=β时的特殊情况
倍角是相对的，如0.5α是0.25α的倍角，3α是1.5α的倍角
5.升降幂公式 < br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
??2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（升幂缩角） .
1?cos2
?
1?cos2
?
cos
2
?< br>?,sin
2
?
?
（降幂扩角），
22
6.辅助角公式
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)< br>(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan?
?
7.半角公式
b
ππ
，- <
?
<).
22
a
sin
AA
1?cosA1?cosA
=±；cos =±
22
22
sinA
AA
1?cosA
1?cosA< br>=；tan==
sinA1?cosA
22
1?cosA
tan
8.其它公式
1+sina=(sin

aa
2
aa
2
+cos)；1-sina= (sin-cos)
2222
6

9.万能公式
aaa
1?(tan)
2
2tan
2
；cosa=
2
；tana=
2 sina=
aaa
1?(tan)
2
1?(tan)
2
1?(tan)
2
222
2tan
10.和差化积
a?b
a?ba?ba?b
cos；sina-sinb=2cossin
222
2
a?ba?ba?ba?b
cosa+cosb = 2coscos；cosa-cosb = -2sinsin
2222
sin(a?b)
tan a+tan b =
cosacosb
sin a+sinb=2sin
11.积化和差
11
[cos(A+B)-cos(A-B)]；cosAcosB =[cos(A+B)+cos(A-B)]
22
11
sinAcosB =[sin(A+B)+sin(A-B)]；cosAsinB =[sin(A+B)-sin(A-B)]
22
sinAsinB =-
12.三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
si n(?
?
)sin(?
?
)
33
3
??
；
3tan
?
?tan
3
???
cos3
?
?4cos
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
；
tan3
?
??tan< br>?
tan(?
?
)tan(?
?
)

33< br>1?3tan
2
?
33
??
14.三角形中三角函数关系 < br>在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)?
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B )
.
222
A?BC
?cos
等．
sin(A?B)? sinC
；
cos(A?B)??cosC
；tan(A+B)=-tanC;
sin
22
15.三角函数化简的常用技巧
1.三角函数化简要做到“四看、四变”
(1)看角、做好角的变换：观察角与角之间和、差 、倍、互补、互余等关系，采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、
拼凑角等办法化简.
( 2)看名、做好名的变换：利用同角三角函数基本关系实现弦切互化，掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法
(3)看次数、做好次数的变换：利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次
(4)看形、做好形的变换：利用辅助角公式，统一函数形式
2.具体技巧
(1)遇分式通分、遇根式升幂.
(2)和积转换法
2
掌握sin α±cos α，sin αcos α化简方法，利用(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α，“知一求二”．
(3)巧用“1”的变换
π
220
1＝sinθ＋cosθ＝＝tan45＝sin＝cos 0?.
2
7

3.四种常见题型
给角求值、给值求值、给值求角，辅助角公式
若角的范围在（0,90），选择正弦、余弦函 数均可；若角的范围在（0,180），选择余弦函数较好；若角的范围在（-90,90），
选择正弦 函数较好
第二部分 平面向量
考点一 向量的有关概念
1.向量：既有大小又有方向的量，用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示
2.向量的模：有向线段的长度，|a|
3.单位向量：模为1的向量.与a平行的单位向量 ：±a|a|；与a同向的单位向量：a|a|；单位向量有无数个
4.零向量：模为0的向量，方向是任意的.注意实数0与向量0的区别
5.相等向量：长度相等、方向相同.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移
6.相反向量：长度相等、方向相反.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移
7.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，对长度不作要求
易错提醒： 1.有向线段与向量的区别：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应 着无数多
条有向线段. 向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点、方向和大小 2.共线向量（平行向量）可重合，注意与直线平行的区别；不要单纯从字面上理解共线向量，注意与直线重 合的区别
3.规定零向量与任意向量平行；不可说零向量与任意向量垂直
4.零向量与单位向量的特殊性：长度确定、方向任意.ab, b c,不一定推出ac; a=b, b= c,一定推出a=c
6.向量不可以比较大小，如不能得出3i>2i
考点二 向量的线性运算
1.向量的加法法则
（1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限
（2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”
2. 向量的减法原则：起点相同、指向被减


111
???
???< br>1
OA?OB?OC
OA?OB?BA
(a+b)= OC , (a-b)= BA
2222
两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零
3.向量的数乘运算
??
实数
?
与向量
a
的积叫 做向量的数乘，记作
?
a
．其几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩
（1）
?
a?
?
a

??
????
?
?
（2）当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向 与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0

4.a与b的数量积运算
a?b=|
a
||b|cosθ=|a||b|c os=x
1
x
2
+y
1
y
2

（1）|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的 投影
8

（2）a?b的几何意义：a?b等于|a|与|b|在 a方向上的投影|b|cos的乘积
（3）θ为a与b的夹角，0≤θ≤π
（4）零向量与任一向量的数量积为
0

（5）a?b=-b?a
（6）向量没有除法，“ab”没有意义,注意与复数运算的区别

B
?

b

O
?

?
a


（7）向量的加法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数
易错提醒：
向量的数量积与实数运算的区别：
（1）向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)
（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c
（3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b
（4）|a?b|≤|a|?|b|
考点三 向量的运算律
1.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：
(1)
a
?b= b?
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）?b=
?
（
a
?b）=
?
a
?b=
a
?（
?
b）;
(3)（
a
+b）?c=
a
?c +b?c.
考点四 向量的坐标表示及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的 两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2，使得a=
λ
1
e
1
+λ
2
e
2．不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e
1
、e
2
叫 做表示这一平面内所有向量的一组基底．
该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量a、b共线.
解题思路：可用两个不共线 的向量e
1
、e
2
表示向量a、b，设b=λa（a≠0），化成关于e1
、e 即f(λ)e
1
+g(λ)e
2
=0,
2的方程，
由于e
1
、e
2
不共线，则f(λ)=0，g(λ) =0

2.向量的坐标表示
?
D A
i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得
a?xi?yj，称(x，y) 为向量a的坐标，记作：a?
?
x，y
?
，即为向量的坐标
表示
?
?????
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

9

(3)设
?a??
?
x
1
，y
1
?
?
?
?x
1
，?y
1
?
?

(4)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a?b=|
a
||b|cosθ= x
1
x
2
+y
1
y
2

???? ????????
（5）设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x2
?x
1
,y
2
?y
1
)

（6）
?
|AB|?
?
x
2
?x
1
??
?
y
2
?y
1
?
，A、B两点间距离公式< br>22

易错提醒：
公式（2）与公式（5）的区别
向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关
考点四 向量的常见公式
1.线段的定比分公式
????????
（1）定比分点向量公式：设
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
PP
12
的分点,
?
是实数，且
PP
1
?
?
PP
2
，则
?
的
?
x
1
??
x
2
????????
x?
?
????
OP
?
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
1
?
?
OP2
坐标是
?
1
，即
,
OP?
?
?< br>?
1?
?
1?
?
??
1?
?
?y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
?
????????????
1
t?
（）.
?(1?t) OP
?
OP?tOP
12
1?
?
（2）定比分点坐标公式：
设P
1
?
x
1
，y
1
?
，P2
?
x
2
，y
2
?
，分点P
?
x，y
?
，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在

??
l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一实数?，使P
1
P??PP
2
，则?叫做P分有向线段

?
P< br>1
P
2
所成的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且

x
1??x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
?
?
??
1??
2
，P为P
1
P< br>2
中点时，
??
?
y?
y
1
??y
2
?
y?
y
1
?y
2
?
?
1?? 2

?
?
如：?ABC，A
?
x
1
，y< br>1
?
，B
?
x
2
，y
2
?
，C
?
x
3
，y
3
?
y?y
2
? y
3
??
x?x
2
?x
3
则?ABC重心G的坐标 是
?
1
，
1
?
??
33
，
2.三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
? ???
2
????
2
????
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
??????????? ??
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0< br>.
????????????????????????
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
??? ??????????
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA ?bOB?cOC?0
.
????????????
（5）
O
为< br>?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
3. A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)、C(x
3
,y
3
)三点共线
?
OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1
(x
1
-x
2
)(y
2-y
3
)= (x
2
-x
3
) (y
1
-y
2
)等
4. 向量的三角形不等式和方程
（1）∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
10

① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；② 当且仅当a、b同向时，右边取等号
（2）∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；② 当且仅当a、b反向时，右边取等号
记忆规律：
（1）与（2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2222（3）∣a+b∣+∣a-b∣=2（∣a∣+∣b∣），该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条 边的平方和
（4）a?b>0推不出a与b的夹角为锐角，可能为0；a?b<0推不出a与b的夹角 为钝角，可能为180

5.点的平移公式
????
注:图形F上的任意 一点P(x，y)在平移后图形
F
上的对应点为
P(x,y)
，且
P P
'
的坐标为
(h,k)
.
'
????
????
????
'
?
x
'
?x?h
?
x?x'
?h
??
'
?
?
?OP?OP?PP
. < br>?
''
??
?
y?y?k
?
y?y?k
'' '
6.“按向量平移”的几个结论
(1)点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P
'
(x?h,y?k)
.
( 2)函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移 后得到图象
C
,则
C
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(3)图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数解析式 为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x,y) ?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5)向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.

考点五 向量的的四种常见题型
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
< br>1.两个向量的平行或共线关系：ab
?
b=λa（a≠0）
?x
1< br>y
2
?x
2
y
1
?0
（交叉相乘差为零），
若a=0,则λa=0，当b=0，λ不唯一；当b≠0，λ不存在.限定a≠0是保证λ的唯一性和存 在性
不可写为x
1
x
2
=y
1
y
2

2.两个向量的垂直关系 a
?
b
?
a
?b=0
?
|
a
||b|cosθ=0
?x
1
x
2
? y
1
y
2
?0
（对应相乘和为零）
3.两个向量的夹角公 式：
cos
?
?
''
''
''
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
?
2< br>2
2
1
2
1
2
2
2
2
, 其中θ为
a
与b的夹角
22
4.两个向量的模运算：若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
或
a?
?
?
x
2
?y
2

（a±b）=a±2ab+b,（a+b）（a-b）=a-b
解题技巧：
2222
1.如向量用模表示，且已知两个向量的夹角，遇模，先平方后开方，如
?
a?wb?
2.如向量用坐标表示，遇模不平方，直接按照坐标运算
?
?
a?wb
?
2

11