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高中数学必修四最全知识点汇总-高中数学必修4知识点梳理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 12:44
tags:高中数学必修4

高中数学直线方程在必修几-西工大高中数学教学顺序


高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方 向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重 合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
?
为第几象限 角.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360 ?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360 ?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合 为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k???

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k? 180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数 的绝对值是
?
?
6、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?3 60

1?
7、若扇形的圆心角为
?
l

r?
180

1?
?
?
180
?
??57.3

?
??
半径为
r
,弧长为
l< br>,周长为
C
,面积为
S
,则
l?r
?
C?2r?l

?
?
为弧度制
?

11
S?lr?
?
r
2

22
8、设
?
是 一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x, y
?
,它与原
点的距离是
y
P
O
T
x
yxy
rr?x?y?0
,则
sin
?
?

cos
?
?

tan
?
?
?
x?0?

rrx
22
?
?
9、三角函数在各象限的符号: 第一象限全为正,第二象限正弦为正,
第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
10、三角 函数线:
sin
?
???

cos
?
???

tan
?
???

11、角三角函数的基本关系:
M
A


2
?
?
?
1
?< br>sin
2
?
?cos
2
?
?1

?
sin
2
1?co
?
s
2

, c
?
os??1
2
?
in
?
s

?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos?
,cos
?
?
??
..
tan
?
??
(3) 倒数关系:
tan
?
cot
?
?1


12、函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k< br>?
?
?
?
?sin
?

cos
?< br>2k
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?< br>k??
?

?
2
?
sin
?
?< br>?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?
??cos
?

tan
?
?
?
?
?
?tan
?

?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
?
?
?
?cos
?

tan?
?
?
?
??tan
?

?
4?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>,
tan
?
?
?
?
?
??tan
?

口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin< br>?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?

cos
?
?
?
?
?sin
?

?
6
?
sin
?
?
?
?
?cos
?

cos
?
?
?
?
??sin
?

?
2
??2
??
2
??
2
?
?
口诀:正弦与余弦互换, 符号看象限.
13、①的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
1
y ?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?

(横坐标不变) ,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
②数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长 度,得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象 上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?

(横坐标不变),得到函数
y? ?sin
?
?
x?
?
?
的图象.
14、函数y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
??0
?
的性质:
①振幅:
?
;②周期:
??
2
?
?
;③频率:
f?
1
?
;④相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?

?
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
, 当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x? x
2
时,取得最大值为
y
max
,则


??< br>11?
?
y
max
?y
min
?

??
?
y
max
?y
min
?

?x2
?x
1
?
x
1
?x
2
?

222

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:





y?sinx



y?cosx

y?tanx

y=cotx
y
y=cotx
图象
-
?
-

?< br>2
o
?
2
?
3
?
2
2
?< br>x
定义

R

R

?
?
??
?
?
xx?k
?
?,k??xx?k
?
?,k ??
????
22
????

值域

?
?1,1
?

x?2k
?
?


?
?1,1
?

?
2



x?2k
?
?
k??
?
时,
R

R

?
k??
?
y
max
?1
最值
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?

< br>?
k??
?
时,
y
min
??1

既无最大值也无最小

既无最大值也无最小

x?2k
?
?
?
2


?
k??
?

y
min
??1

周期

奇偶


2
?

奇函数

2
?

偶函数
?

奇函数

?

奇函数
单调

??
??
2k?
?,2k
?
?
?
22
?
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数;在

??
??
k
?
?,k
?
?
??

22
??
?
k??
?
上是增函数;

?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是减函数.

?
k??
?
数.
上是增函


?
3< br>?
??
2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??


?
k??
?
上是减函数.

对称

称中 心对称中心
对称中心对称中心
?
k
?
,0
??
k? ?
?

对称轴
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?







?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
无对称轴
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
无对称轴
x?k
?
?
?
2
?
k??
?





第二章 平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b

⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a

②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a
. < br>⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a ?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

18、向量减法运算:
????
C
a

b
?

?
a?b??C?????C


⑴ 三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?
?< br>x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?


?

?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1?

?
x
2
,y
2
?
,则
? ??
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

19、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a


?
a?
?
a

②当
?
?0< br>时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
? 0
时,
?
a?0

⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b

⑶坐标运算: 设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?< br>.
20、向量共线定理:向量
aa?0

b
共线,当且仅当 有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a


a ?
?
x
1
,y
1
?

b?
?x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅当x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时 ,向量
a

bb?0
共线.
21、平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任意向量
a

有且只有一对实数
?
1

?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
2< br>e
2
.(不共线的向量
e
1

e
2
作为这一平面内所有向量的一组基
底)
22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1

?< br>2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?

?
x
2
,y
2
?
,当
?
1
??
?
??
2
时,点
?
的坐标是
?
??
??
??
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
时,就为中点公式。 )
(当
?
?1

?

1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积:

a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为
0

⑵性质:设
a

b
都是非零向量,则①
a? b?a?b?0
.②当
a

b
同向时,
a?b?ab
;当
a

b

向时,
a?b??ab

a?a?a
2
?a

a?a?a
.③
a?b?ab

⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?< br>?b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c ?b?c

⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2


a?
?
x,y
?
,则
a?x
2
?y
2
,或
a?
2
2
??????
??
x
2
?y
2
. 设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x2
,y
2
?
,则
a?b?
1
x
2x?
1

y
2
0y?



a< br>、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?< br>,
?

a

b
的夹角,则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y< br>1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y2
2
2
2





知识链接:空间向量

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空 间向量在立体几何中证明,求值的应用进行
总结归纳.


1、
直线的方向向量和平面的法向量

⑴.直线的方向向量:
若A、B是直线
l
上的任意两点,则
AB
为直线
l
的一个方 向向量;与
AB
平行的任意非零向量也是直
线
l
的方向向量.
⑵.平面的法向量:
若向量
n
所在直线垂直于平面
?
,则称这个向量垂直于平面
?
,记作
n?
?
,如果
n??
,那么向量
n
叫做平面
?
的法向量.
⑶.平面的法向量的求法(待定系数法):
①建立适当的坐标系.
②设平面
?
的法向量为
n?(x,y,z)

③求出平面 内两个不共线向量的坐标
a?(a
1
,a
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3
)

?
?
n?a?0
④根据法向量定义建立方程组
?
.
?
?
n?b?0
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面
?
的法向量 .

(如图)






1、


2、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、b< br>,则要证明
l
1

l
2
,只需证明
a

b
,即
a?kb(k?R)
.
即:两直线平行或重合
⑵线面平行
两直线的方向向量共线。
①(法一)设直线l
的方向向量是
a
,平面
?
的法向量是
u
,则 要证明
l

?
,只需证明
a?u
,即
a?u?0< br>.
即:直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外
②(法 二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
向量即可 .
⑶面面平行
若平面
?
的法向量为
u
,平面
?
的法向量为
v
,要证
?

?
,只需证
u< br>∥
v
,即证
u?
?
v
.
即:两平面平行或重合


3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、b
,则要证明
l
1
?l
2
,只需证明
a?b
,即
a?b?0
.
即:两直线垂直
⑵线面垂直
两直线的方向向量垂直。
两平面的法向量共线。
①(法一)设直线
l的方向向量是
a
,平面
?
的法向量是
u
,则要证明l?
?
,只需证明
a

u
,即
a?
?
u
.
?
?
a?m?0
,则l?
?
.
②(法二)设直线
l
的方向向量是
a
,平面
?
内的两个相交向量分别为
m、n
,若
?
?
?
a?n?0
即:直线与平面垂直
线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直
若平面
?
的法向量为
u
,平面
?
的法向量为
v
,要证?
?
?
,只需证
u?v
,即证
u?v?0
.
即:两平面垂直两平面的法向量垂直。


4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知
a,b
为两异面直线,A,C与B,D分别是< br>a,b
上的任意两点,
a,b
所成的角为
?


cos
?
?

AC?BD
ACBD
.


⑵求直线和平面所成的角
①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法:设 直线
l
的方向向量为
a
,平面
?
的法向量为
u,直线与平面所成的角为
?

a

u
的夹角为
?


?

?
的余角或
?
的补角
的余角.即有:
sin
?
?cos
?
?
a?u< br>au
.

⑶求二面角
①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分 ,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二 面角的棱,每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角
?
?l?
?
的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线
AO?l,BO?l
,则
?AOB
为二面角
?
?l?
?
的平面角.
如图:



A
B
O
l
B
O
A

②求法:设二面角
?
?l?
?
的两个半平面 的法向量分别为
m、n
,再设
m、n
的夹角为
?
,二面角< br>?
?l?
?
的平面角为
?
,则二面角
?
为< br>m、n
的夹角
?
或其补角
?
?
?
.

根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角:
◆如果
?
是锐角, 则
cos
?
?cos
?
?
m?n
mn


?
?arccos
m?n
mn

◆ 如果?
是钝角,则
cos
?
??cos
?
??
m? n
mn

?
m?n
?
?
. 即
?
?arccos
?
?
?
mn
?
??< br>5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线
l
距离
若Q为直线< br>l
外的一点,
P
在直线
l
上,
a
为直线l
的方向向量,
b
=
PQ
,则点Q到直线
l
距 离为


h?
1
(|a||b|)
2
?(a?b)
2

|a|
⑵点A到平面
?
的距离
若点P为平面
?
外一点,点M为平面
?
内任一点,
平面< br>?
的法向量为
n
,则P到平面
?
的距离就等于
MP< br>在法向量
n
方向上的投影的绝对值.

d?MPcosn,MP


?MP?
n?MP
nMP


?
n?MP
n
⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
当一条直线和一个平 面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化
为求直线上任一点到平 面的距离,即转化为点面距离。


d?

⑷两平行平面
?
,
?
之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

d?
n?MP
n
.

n?MP
n
.

⑸异面直线间的距离
设向量
n
与两异面直线
a,b
都垂直,
M?a,P?b,
则两异面直线a,b
间的距离
d
就是
MP
在向量
n
方向上投影的绝对值。

d?
n?MP
n
.

6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜 线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂


P
O
PO?
?
,O?
?
?
?
推理模式:
PA
?
?A
?
?a?PA
a?
?
,a?OA
?
?
A< br>?
a

概括为:垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的
射影垂直
PO ?
?
,O?
?
?
?
推理模式:
PA
??A
?
?a?AO

a?
?
,a?AP
?
?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理
设AC是平面
?
内的任一条直线,AD是
?
的一条斜线AB在
?
内的射影,且BD⊥AD,垂足为D.设AB与
?< br> (AD)所成的角为
?
1
, AD与AC所成的角为
?
2
, AB与AC所成的角为
?
.则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.

B
A
?
?
1
?
2
?
D
C



8、 面积射影定理
已知平面
?
内一个多边形的面积为
SS

,它在平面
?
内的射影图形的面积为
S
?
S

,平面
?
与平

?所成的二面角的大小为锐二面角
?
,则
??
??
S
'
S


cos
?
?=.

SS

9、一个结论
长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
,夹角分别为
?
1

?2

?
3
,则有
l
2
?l
1
2
?l
2
2
?l
3
2
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
?1

?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2< br>.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).




第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?


sin
?
?
?
?
?
?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?


tan< br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan< br>?

?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
t an
?
?
);
1?tan
?
tan
?
t an
?
?tan
?

?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
1?tan
?< br>tan
?

tan
?
?
?
?
??
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin2
?
?2 sin
?
cos
?

?1?sin2
?
?sin< br>?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(s in
?
?cos
?
)


cos2
??cos
2
222
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
,1? cos
?
?2sin
2
?
升幂公式
1?cos
?< br>?2cos
2
?
22
cos2
?
?11?cos2< br>?

sin
2
?
?

?
降幂公式
cos
2
?
?
22
26、





万能公式:
2tan
αα1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα?
αα< br>1?tan
2
1?tan
2
22
2tan
?

tan2
?
?

2
1?tan
?
27、
半角公式:

α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??

2222

α1?cosαsinα1?cosα
tan????

21?cosα1?cosαsinα


?
(后两个不用判断符号,更加好用)
28、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。
?sin< br>?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
?

?
29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要 学会创设条件,灵活运用三角
公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: < /p>


(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角 与角之间的和差,
倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解, 对角的变形如:

2
?

?
的二倍;
4
?

2
?
的二倍;
?

?
2
的二 倍;
?
?
是的二倍;
24
30
o
?
?

15?45?30?60?45?
;问:
sin?

cos?

2
1212
ooooo

?
?(
?
?
?
)?
?
;④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)


2
?
?(
?
??
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
;等等
(2)函 数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常
化切为 弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函 数值,例如常数“1”的
代换变形有:

1?sin
2
?
?cos
2
?
?tan
?
cot
?
?si n90
o
?tan45
o

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用 方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用
降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:
1?tan
?
1?tan
?
?_______ ________

?______________

1?tan?
1?tan
?
tan
?
?tan
?
?___ _________

1?tan
?
tan
?
?_____ ______

tan
?
?tan
?
?________ ____

1?tan
?
tan
?
?__________ _

2tan
?
?

1?tan
2
?
?
tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?

sin
?
?cos
?
?
= ;
(其中
tan
?
?
;)
asin
?
?bcos
?
?
= ;
1?cos
?
?

1?cos
?
?

(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化 弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值
与特殊角的三角函数互化 。
oo
如:
sin50(1?3tan10)?

tan
?
?cot
?
?


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