高中数学4-4典例-2017江西高中数学版本
高中数学必修4常用公式
11
?lr?
?
r
2
．
22
yxy22
2．
sin??,cos??,tan??,(r?x?y)
rr
x
1.
l?r
?
，
S
3．三角函数符号特征是：一是全正、
二正弦正、三正切正、四余弦正.
4．特殊角的弧度数及三角函数值
角
?
角
?
的弧度数
0
0 0 0 0 0 0 0 0
3045
60
90
180
270360
0
?
1
6
?
4
?
3
2
?
2
1
?
0
3
?
2
2
?
0
sin?
cos?
0
1
0
不存在
2
2
2
2
3
-1
3
3
2
3
2
1
2
0
-1 0 1
tan?
1
3
3
3
不存在 0 不存在 0
cot?
5．三角函数线
3
1 0 不存在 0 不存在
设角
?
的终边OP与单位圆的交点为P，过P作轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线交OP
或OP的反向延长线于T，则MP—正弦线 OP—余弦线 AT—正切线
Y T Y Y T Y
O X O X O
X
6．同角公式
⑴
sin
2
O X
T
??cos
2
??1
?sin
2
?
?1?cos
2
?,(sin??cos?)
2
?1?2sin?cos?,
sin?sin?
?sin??cos?tan?,cos??
cos?t
an?
⑶
tan?cot??1
⑵
tan?
sin?1
?cos?
?,
1?cos?sin?
?
7．三角诱导公式
??
?
?
?
?
?
?
2???
2k???
sin
?sin?
sin?
?sin?
?sin?
sin?
cos
cos?
?cos?
?cos?
cos?
cos?
??
??
??
22
cos?
cos?
3?3?
??
??
22
?cos?
?cos?
sin?
?sin?
?sin?
sin?
tan
?tan?
?tan?
tan?
?tan?
tan?
cot?
?cot?
cot?
?cot?
1
8．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y
正弦函数
y
余弦函数
?
?
1
正切函数
2
?
5
?
2
x
0
-
图像
?
?
2
0
?
2
?
3
?
2
2
?
5
?
2
x
?
2
?
3
?
2
定义域
值域
x?R
y?[?1,1]
x?R
y?[?1,1]
{x|x?
?
?k?,k?Z}
2
y?R
最
值
?
?2k?(k?
Z)，y
max
?1,
x?2k?(k?z),y
max
?1,2
?
x???2k?(k?Z),y
min
??1
x???2k?(k?Z),y
min
??1
2
x?
无最值
单
调
性
??
?2k?,?2k?],<
br>22
?3?
[?2k?,?2k?],
22
以上k?Z
[?<
br>奇函数
[???2k?,2k?],k?Z
[2k?,2k???],k?Z
??
（k??,k??),k?Z增
22
奇偶性
周期
对
称
对
称
性
轴
对
称
中
心
9．函数
偶函数
奇函数
2?
?
?k?,k?Z
2
2?
?
x?
x?k?,k?Z
无对称轴
(k?,0),k?Z
?
(?k?,0),k?Z
2
(
k?
,0),k?Z
2
y??sin
?
?
x?
?
?
(A?0,
?
?0)
的图
象可以由
y?sinx
经过哪些图象变换而得到？
?sinx
图象上有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数法一: 由<
br>y
将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（或缩短）到期的
1
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来
的
?倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
2
法二：将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），
?
得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?
sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移
?
得到函数
个单
位长度，
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函
数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐
标伸长（缩短）
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象
． 到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
10．函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?的性质：
2
?
①振幅：
?
；②周期：
??
函
数
?
；③频率：
f?
1
?
?
?2
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
y??s
in
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时
，取得最大值为
y
max
，
11?
?
y
max?y
min
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x<
br>1
?x
2
?
．
222
则
??
11．
sin(???)?sin?cos??co
s?sin?,
cos(???)?cos?cos?sin?sin?,
tan??tan?
tan(???)??tan?tan??tan(???)(1tan?tan?)
1tan
?tan?
sin2??2sin?cos?
?
1?cos2?
?2sin
2
?,1?cos2??2cos
2
?,
?
co
s2??cos
2
??sin
2
??1?2sin
2
??2
cos
2
??1?
?
2
1?cos2?1?cos2?
2<
br>sin??,cos??
?
?22
tan2??
2tan?
2
1?tan?
2tan
sin
?
?
2
2
1?tan
2
cos
?
?
?
2
2
tan
?
2t
an
?
1?tan
?
2
2
?
1?tan
?
2
?
1?tan
2
?
2
12.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”!
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其<
br>和差角的变换.
如
?
?(
?
?
?
)??
?(
?
?
?
)?
?
，
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)<
br>，
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
?
?
?
?
?
??，
?
?
??
?
?
?
等.
?
?
?
?2?
222
2
??
??
常值变换主要指“1
”的变换：
1?sin
2
x?cos
2
x?sec
2x?tan
2
x?tanx?cotx?tan
?
?sin
?<
br>?cos0?
42
3
等.
三
角式变换主要有：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转
化
(和式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.
注意：和(差)角的函数结构
与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特
征.“正余弦‘三兄妹—sinx?cosx、 sinxcosx
’的内存联系”(常和三角换元法联系在一起
t
?sinx?cosx
?[?2,2],sinxcosx?
.
辅助角公式中辅助角的确定：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin
?
x?
?
?
(其中
?
角所在的
象限由
a,b
的符号确定，
?
角的值由
tan
?
?
对值之比为
1或
13．⑴正弦定理
注：①
a:b:c
b<
br>a
确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝
3
的情形.
Asinx?Bcosx?C
有实数解
?A
2
?B
2
?C
2
.
abc
???2R
（
2R
是
?ABC
外接圆直径）
sinAsinBsinC
?sinA:sinB:sinC
；②
a?2Rs
inA,b?2RsinB,c?2RsinC
；③
abca?b?c
。
?
??
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC
b
2
?c2
?a
2
⑵余弦定理：
a?b?c?2bccosA
等三个；注
：
cosA?
2bc
222
等三个。
⑶三角形面积公式：
111
ah?absinC?p(p?a)(p?b)(p?c),(p?(a?b?c))
222
1
?2R
2
sinAsinBsinC?(a?b?c)r(
其中r为内切圆半径
）
2
S
?ABC
?
2S?ABC
注其它：①内切圆半径r=
a?b?c
abc
??;
；②外接圆直径2R=
sinAsinBsinC
③在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：
⊿ABC中，
A?B?sinA?sinB
④内角和定理：三角形三角和为
?
，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角
总互余.锐角三角形
?
三内角都是锐角
?
三内角的余弦值为正值
?
任两角和都是钝角<
br>?
任意两边的
平方和大于第三边的平方.
14⑴几个概念：零向量、单位向量
(与
AB
共线的单位向量是
?
AB
，特别：
|AB|
(
AB
AB
?
ACAB
)?(?
ACAB
AC<
br>)
平行(共线)向量(无传递性，是因为有
0
)、相等向量(有传递性)、)、
AC
相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（
a
在b
上的投影是
4
?acos?a,b??
a?b
b
?R
).
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
?y
1
y
2
?0
.
⑵两非零向量平行(共线)的充要条件
ab?a?
?
b
?
⑶ 两个非零向量垂直的充要条件
a?b?a?b?0?
x
1
x
2
特别：零向量和任何向量共线.
a?
?
b
是向量平行的充分不必要条件!
⑷平面向量的基
本定理：如果
e
1
和
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
那么对该平面内的任一向量
a
有且只有一对实数
?
1
、
?<
br>2
，使
a
⑸三点
??
1
e
1
??<
br>2
e
2
；
AC
共线；向量
PA、
、B、C
共线
?
存
PB、
PC
中三终点
A
A、B、C
共线
?
AB、
在实数<
br>?
、
?
使得：
PA?
?
PB?
?
P
C
且
?
⑹向量的数量积：
|a|
2
?
?
?
1
.
?(a)
2
?a?a
?x
2
?y
2
，
a?b?|a||b|cos
?
?x
1
x
2?y
1
y
2
，
x
1
x
2
?
y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
cos
?
?
a?b
?
|a||b|
x?y
2
2<
br>2
2
，
a在b上的投影?|a|cos?a,b??
a?b
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
?22
|b|
x
2
?y
2
注意：
?
?
a,b?
为锐角
?
a?b?0
且
a、
b
不共线；
a,b?
为钝角
?
a?b?0
且
a、
b
不共线
向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为
零向量，这是题
目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一
个实数，两边同
时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；
向量的“乘法”
不满足结合律，即
a(b?c)?(a?b)c
，切记两向量不能相除
(相约).
⑺
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
b<
br>同向或有
0
注意：
a、
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；
a、 b
反向或有
0?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
；
a、 b
不共线
?
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
.(这些和实数集中类似)
⑻
5
x1
?x
2
?
x?
?
1
?MP
2
2
，
MP?
MP
①中点坐标公式
?
?P
为P
1
P
2
的中点.
?
2
?
y?y
1
?y
2
?
?2
x
1
?x
2
?x
3
?
x?,
?
?
3
②重心坐标公式
?
其中
A(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
),C(x
3
,y
3
)
y?
y?y
23
?
y?
1
?
3
?
③
?
ABC
中，
AB?AC
过
BC
边中点；
(
AB?
AC
)?(
AB
?
AC
)
；
|A
B||AC||AB||AC|
④
与AB共线的单位向量是?
AB
.
|AB|
⑤
PG?
1
(PA?PB?PC)
?
G
为
?ABC
的重心；
3
⑥特别
PA?PB?PC
⑦
PA?PB
?0?P
为
?ABC
的重心.
?PB?PC?PC?PA?P
为
?ABC
的垂心；
⑧
?
(
AB
?
AC
)(
?
?0)
所在直线过<
br>?ABC
的内心(是
?BAC
的角平分线所在直线)；
|AB||AC|
⑨
|
⑩
S
AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P
?ABC
的内心.
AB
C
?
11
ABACsinA?
22
ABAC?(AB?AC)
2
22
6