高中数学必修四----常见题型归类

题型归类 人教版数学必修（四）
- 1 -



高中数学必修四 题型归类
山石


第一章 三角函数

1.1任意角和弧度制

题型一：终边相同角
?
1.与
?2003
终边相同的最小正角是_ _____________，最大负角是_________。

2.终边在y轴上的角的集合为________。

3.若角
?
与5
?
的终边关于
y
轴对称，则角
?
的集合_______ _ __ 。

题型二：区域角
1.第二象限的角的集合为______ __

2.如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______ __

3.若
?
是第二象限的角，确定2
?
的终边所在位置 .确定
置 .

y
30
?
0
45
?
x
?
的终边所在位
2
题型三：弧度制

1.若扇形的面积是1cm
2
，它的周长是4cm
2
，则 扇形圆心角的弧度数为 .

2.若扇形周长为一定值
c
(
c
>0)，当α= ，该扇形面积最大．

1.2任意角的三角函数

题型一：三角函数定义

- 2 -
题型归类 人教版数学必修（四）
1.α是第 二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝
2x
，则sinα的值为 .
4

2.已知角
?
的终边在直线3x+y=0上，则sin
?
= ,tan
?
=


题型二：三角函数值的符号与角所在象限的关系

1.
sin2cos3tan4
的值。A 小于0 B 大于0 C 等于0 D 无法确定 （ ）

θ
2.已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在 ( )
2
A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x
轴上

题型三：三角函数线
1.设
MP< br>和
OM
分别是角
19
?
的正弦线和余弦线，则
MP< br>、
OM
和0的大小关系为
18
______

2.
sin1
、
cos1
、
tan1
的大小关系为______ _________

题型四：同角公式
1.化简1－2sin200°cos160°＝________.

tan1< br>?
?tan2
?
?????tan88
?
?tan89
?
2.的值为________．
2
?
2
?
2
?
sin1?sin2?????sin89

3.已知
（1）
1< br>sin
?
?cos
?
,求下列各式的值：
2
2sin
?
?3cos
?
22
; （2） 4sin
?
-3sin
?
cos
?
-5cos?
.
4sin
?
?9cos
?



110°＝k，则sin70°的值为 ( )
22
kk
1＋
k
1＋
k
A．－ B. C. D．－
22
kk
1＋
k
1＋
k

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- 3 -
1

?
?
?
0,
?
?
求值：（1）
sin
?
cos
?
;
5
33
（2）
sin
?
?cos
?
;（3）
tan
?< br> (4)
sin
?
?cos
?

5.已知
sin
?
?cos
?
?


1.3三角函数的诱导公式


题型：诱导公式
41
?
?23
?
37
?
1.
sin
= ________．

costan
634

3π
3
2.已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)=
25


3.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于 ( )
3
?
ππ
A．2 B．D.－2
?2
C．2－
2

2
2

2
4.已知sinα是方程5
x
－7
x
－6＝0的根，α
3π 3π
3
sin(－α－)sin(－α)tanα
22
＝
ππ
cos(－α)cos(＋α)
22
是第三象限角，则


1.4．三角函数的图像与性质

题型一：三角函数的定义域

1.（1）函数
y?lg(?2sin2x?1)
的定义域是



（2）函数
y
＝
tan(3x?
?
4
)?1
的定义域是________________．

题型二：三角函数的值域

1.（1）函数y＝cos
2
x＋sinx－1的值域为___________．

- 4 -
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（2）函数
y?

2cosx?1
的值域为___________．
3?cosx
πππ
－，
?
上的最大值与最小值的和为（3）函数f(x)＝sin xsin(x－)在
?
?
63
?
3
________．

ππ
－，
?
的值域为____ (4) 函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x在
?
?
63
?
31
2.设函数f(x)＝A＋Bsin 2x，若B＜0时，f(x)的最大值是，最小值是－，则A＝
22
________，B＝_ _______．

π
3.(1)(2012·高考湖南卷)函数f(x)＝sin x－cos
?
x＋
?
的值域为( )
?
6
?
33
A．[－2，2] B．[－3，3] C．[－1，1] D．[－，]
22



题型三：三角函数的周期
1.画出函数
y?tanx
的图象并指出函数的周期______

2.（1）函数
y
＝2sin（


（3）函数
y?sin(2x?

ππ
3．设函数f(x)＝3si n
?
x＋
?
，若存在这样的实数x
1
，x
2
，对任意的x∈R，都有
4
??
2
f(x
1
)≤f(x) ≤f(x
2
)
成立，则|x
1
－x
2
|的最小值为________．

ππ
??
4.已知函数
f
(
x
)＝sin(ωx
＋φ)
?
ω>0，－≤φ≤
?
的图象上的两个相邻的最
22
??
高点和最低点的距离为22，则ω＝________.
?
x
－）+1的周期为_____.
4
2
π
3x＋
?
的周期____ （2）函数y＝－2ta n
?
4
??
?
4
)?
1
的周期_____ __
2

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题型四：三角函数的奇偶性
1.判断下列函数的奇偶性
（1）
y?2xcos(4x?
（2）
y?2tanx?3


3
?
)

2
1?sinx?cos
2
x
（3）
y?


1?sinx

(x+1)
2
+sinx
2.函 数
f(x)
=
x
2
+1
的奇偶性____________ _____

π
3.函数f(x)＝sin(x+φ-) 是
R
上的奇函数，则
?
的值是__________________
12



4.已知f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )
ππππ
A. B. C．－ D．－
6363


题型五：三角函数的单调性

1.将
sin
2
?
6
?
7
?
，
cos
，
tan
按 从小到大的顺序排列，依次是_________________

555

2.指出下列函数的的单调递减区间
（1）y＝2
sin(

π< br>??
（2）
y
＝－2tan
?
3
x
＋
?
．

4
??

（3）
y?log
0.3
sin2x
.


3.下列函数中，周期为π，且在(0,
( )
?
x
?)
+1
42
π
)上单调递增的是
2

- 6 -
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A．y＝tan|x|
|cosx|
B．y＝sin|x| C．y＝|sinx| D．y＝



4.函数f(x)＝Msin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，
则函数g(x)＝ Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上
( )
A．是增函数 B．是减函数 C．可以取得最大值M D．可以取得最小值－
M

ππ< br>5.已知ω是正实数，函数f(x)＝2sinωx在[－，]上是增函数，那么ω的取值范围
3 4
是________．

6.★已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0 ,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点
3π
?
π
，0
对称， 且在区间
?
0，
?
上是单调函数，求ω和φ的值． M
?
?
4
??
2
?

7.已知函数
y
=
13
(1)当函数
y
取最大值时，求自变
cos2
x?sinxcosx
+1,
x
∈R.
22
量
x
的
集合；（2）指出此函数的振幅、周期、初相、频率和单调区间；





题型六：三角函数的对称性
π
2x＋
?
图象的对称轴为 ，对称中心为 ． 1.函数y＝cos
?
3
??

2. 函数y＝2sin(3x ＋φ)
?
|φ|＜
?
π
π
?
的一条对称轴为x＝， 则φ＝________；
12
2
?


3.函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________．

π5π
4.已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ω x＋φ)图象的
44
两条相邻的对称轴，则φ＝( )

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- 7 -
A.
πππ3π
B. C. D.
4324

5.如果函数
y?sin2x?aco s2x
的图象关于直线
x??
（ ）
A，
2
B，
?


?
8
对称，那么
a?

2
C，1 D，
?1

6.把函数y=3
cosx－sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得的图象关于y
轴对称，则 m的最小正值是 ．

7.已知函数f(x)＝3sin (ωx－
π
)(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全
6
π
相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是( )
2
3133
A．[－，3] B．[－3，3] C．[－，] D．[0，]
2222

π
8.函数f(x)＝sin xsin(x－)的最小正周期、最值、对称中心、单调区间.

3











1.5
函数y=Asin(ωx+φ)图象

题型一：三角函数的图象变换

- 8 -
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1.要得到y＝
sin(?)
的图象，只需将y＝
s in(?
x
2
x
?
?)
的图象( )
26
ππππ
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移
3366
个单位

3
x
?
sin（+）
2
6
2
（1）当< br>x?
?
0,??
?
，指出此函数的振幅、周期、初相、相位、频率；
3
x
?
(2)用五点作图法画出函数
y
=sin（+）< br>x?
?
0,4
?
?
的图象；
2
6
2
（3）说明此函数的图象可以由
y
=sin
x
的图象经怎样的变换 得到？

2.已知函数
y
=















3. (2013·济宁模拟)给出下列六种图象变换方法：
1
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
2
②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
π
③图象向右平移个单位长度；
3
π
④图象向左平移个单位长度；
3
2π
⑤图象向右平移个单位长度；
3
2π
⑥图象向左平移个单位长度．
3

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- 9 -
x
π
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图象变换到函数y＝sin (＋)
23
的图象，那么这两种变换正确的标号是________________(要求按 变换先后顺序填上
一种你认为正确的标号即可)．


Y

2

1

2
（1）先将
y?f(x)
化 成
y?Asin(
?
x?
?
)?B

(A?0,
?
?0)
的形式，再求函数
f(x)

4.已知函数
f(x)?cosx?3sinxcosx?
2
1
的周期；
（2）列表、描点画出
y?f(x)
在
?

O
?

12
12
?
?
6

?
4

?

5
?

?

3
12
2
7
?
12

2
?

3
?

5
?

11
?

12
34
6
?
?
11< br>?
?,
?
?
上的图象。
?
?
1212
?
-1
（3）说明此函数的图象可以由y
=sin
x
的图象经怎样的变换得到？











题型二：求函数的解析式

π
1. 如图所示的是函数y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|<)的图象，
2
则ω＝________，φ＝________.



2．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象为上图所示．则函数的解析式是
( )
x2πx4πx2πx
A．y＝2sin(－)B．y＝2sin(＋) C．y＝2sin(＋)D．y＝2sin(－
y

2323232
2

4π
－
3

2π
3

8π

3
o

－2

x

- 10 -
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π
)
3




3..函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)＝( )

13
A．－ B．－ C．－1 D．－3
22



π
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，| φ|＜)的部分图象如图所示．
2
则函数f(x)的解析式；



π
5. (2013·河北衡水中学模拟)若函数y＝Asin(ωx＋φ)
?
A>0，ω>0，|φ|<
?
在一个周
2
??
→→期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM·ON＝0，
则A·ω＝( )

π7π
77
A. B. C.π D.π
61263


π
6. (2013·安徽合肥八中模拟)将函数f (x)＝2sin
?
2x＋
?
的图象向右平移φ(φ>0)个单
4< br>??
π
1
位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x＝ 对称，则
24
φ的最小正值为________．

7.把函数
y ?cosx
的图象上的所有点的坐标缩短到原来的一半，纵坐标伸长到原来
的两倍，然后把图象 向左平移
?
个单位，则所得图象表示的函数解析式为
4
__________ _



8.把函数
y?cosx
的图象上的所有点的坐 标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来

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- 11 -
的两倍，然后把图象向左平移
___________
?
个单位，则所得图形表示的函数的解析式为
4


9.. (2013·佛山调研)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0＜φ＜π)的图象的两个相邻零点为
ππ
(－，0)和(，0)，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为( )
62
3x
π
x
π
3x
π
x
A．y ＝2sin(＋) B．y＝2sin(＋) C．y＝2sin(＋) D．y＝2sin(
2424262
π
＋)
6




1.6三角函数的模型



题型三：三角函数的模型
时刻 0：00 3：00 6：00

水深米 5.0 7.5 5.0
1.某港口在某季节每天的时间x与水深y满
时刻 9：00 12：00 15：00
足
水深米 2.5 5.0 7.5
y
＝A
sin（ω
x
＋
?
）＋
k
，（
A< br>＞0，ω＞0）
时刻 18：00 21：00 24：00
关系如表：
水深米 5.0 2.5 5.0
则表示的函数的解析式为___________





2.一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的 距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，
水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系式y＝As in(ωx＋φ)＋7(A＞0，ω
＞0)，则A＝_______，ω＝________．


3.★一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分 钟转动
4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P
0
)点开始计算时间.
求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式。

y

P
O
-2
?
P
0
x

- 12 -
题型归类 人教版数学必修（四）







第二章平面向量


2.1平面向量的基本概念

题型：向量的基本概念判断

1.给出下列命题：
①若|
a
|＝|
b
|，则
a
=
b
；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定
不平行；
b
=
c
，
b

c
，④若
a
=b
，则
a
=
c
；⑤若
a

b
， 则
a

c
；⑥
0?a?0
；③
0?a?0
；
其中正确的序号是 。

2.已知向量
a
表 示“向东航行1km”，向量
b
表示“向北航行
3
km”，则向量
a
+
b
表示


A. 向东北方向航行2km B. 向北偏东30°方向航行2km
C. 向北偏东60°方向航行2km D. 向东北方向航行（
1?3
）km

2.2平面向量的线性运算
题型一：化简

1.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①
AB?BC?
AD?
DE
= ， ②
?OA?OC?OB?CO
= 。
?

题型二：向量的作图
1.如图,已知
a
,
b
作出
a
+
b
,
b
-2
a



a

b

题型归类 人教版数学必修（四）
- 13 -



题型三：共线向量定理

1.设
a,b
不共线，
ka?b
与
a?3b
平行，则实数
k
的值是

2.
e
1
,e
2
是平面内不共线两向量，已知< br>AB?e
1
?ke
2
,CB?2e
1
?e
2
,CD?3e
1
?e
2
，若

A,B,D
三点共线，则
k
=
3.★设O是直 线
l
外一定点，A、B、C在直线
l
上，且
OB?3OA?xOC< br>,则
x
=

4.★设
a
，
b
是两个不共线向量，若
a
与
b
起点相同，t∈R，t= 时
，
a
，t
b
，
1
3
(
a＋
b
)
三向量的终点在一条直线上。



题型四：向量线性运算的几何意义

1.已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平 面内一点P满足
PA?PB?PC?AB
，则点P
与△ABC的关系是
( )
A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的外部
C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点

→→
，2.★已知O是△ABC内一点，OA ＋
→
OC＝－3OB则△AOB与△AOC的面积的比值为____


题型五：向量的模

b
满足
|a|?1
、|b|?4
，1.已知向量
a
、则|
a
－
b
| 的最大值是 最小值是 。

2.若向量
|a|?2
、
|b|?1
，
|
a
－
b
|=
3
， 则
|a?b|?
。

3.已知|
a
|＝ 3，|
b
|＝4，|
a
＋
b
|＝5，求|2
a－3
b
|的值．

- 14 -
题型归类 人教版数学必修（四）
题型六：向量中的三角形四心问题

1.已知
?A BC
的三个顶点A、B、C及
?ABC
所在平面内的一点P，若
（ ）
A．
?2
B．
2
C． 1.5 D.3

2.★O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
PA?PB?PC?0
若实数
?
满足
AB?AC?
?AP
，则实数
?
等于
OP?OA?
?
(
AB
|AB|
?
AC
|AC|
),
?< br>?[0,??),
则P的轨迹一定通过△ABC的
心 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂
（ ）

3.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP?OA?
?
(AB?AC),
?
?[0,??),
则P的轨迹一定通过△AB C的
A．外心
（ ）

B．内心 C．重心 D．垂

心
4.★
?ABC
的外接圆的圆心为O， H是
?ABC
的一点，且
OH?(OA?OB?OC)
，则H是
△A BC的 A．外心 B．内心 C．重心 D
（ ）

5. 在平面内有?ABC和点O，若
OA?OB?OB?OC?OC
，则点O是?ABC的
?OA
（ ）
A．重心 B．垂心

．垂心
C．内心 D．外心
2.3平面向量的基本定理

题型一：一组基底表示其它向量
1.如图所 示，OADB是以向量
AB?
＝
a
，
BD?
＝
b< br>为邻边的平行四边形，又
BM
＝
B
M
O
C
N
A
D

题型归类 人教版数学必修（四） < br>11
BC
，
CN
＝
CD
，试用
a
、
b
表示
OM
，
ON
，
MN
．
33
- 15 -
OM
=
，
ON
=
，
MN
=
．

2.★如图：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内 （不
含边界），且
OP?xOA?yOB
，则实数对（x,y）可以是
M B
（ ）

1313
2217
A.
(,)
B.
(?,)
C.
(?,)
D.
(?,)

4444
3355
O
A


2.4 平面向量的数量积

题型一：有关向量的数量积判断
1.判断下列各命题正确与否：
（1）
(a?b)?c?a?(b?c)
； （2）若
a?b?a?c
，则
b?c
当且仅当
a?0
时成立；
（3）
(a?b)?c?a?c?b?c
；（4）
(a?b)? c?a?(b?c)
对任意
a,b,c
向量都
成立；
2
（ 5）若
a?0,a?b?a?c
，则
b?c
；（6）对任意向量
a< br>，有
a?a
。
2
(7)m（
a?b
）=m
a
+m
b


题型二：平面向量的投影

1.若向量
|a|
=
|b|< br>=
|
a
－
b
|=2，则
b
在
a－
b
方向上的投影为 。


题型三：平面向量的夹角

1.
已知向量
a
、
b
满足
|a|?1
、
|b|?4
，且
a?b?2
，则
a
与
b
的夹角为


2.已知
? ABC
中
?ABC?50
,
BC?BA
,则
BA
与
AC
的夹角为

- 16 -
题型归类 人教版数学必修（四）
3.已知向量
a
与向量
b
的夹角为120°，若向量
c=a+b
，且
a
⊥
c，则


A．
|a|
的值为（ ）
|b|
D．
3

1

2
B．
23

3
C．2
a
和
b
的夹角为
135
?
，4.已知向量｜
a
｜=
2，｜
b
｜=2，当向量
a
+
?
b
与
?
a
+
b
的夹角为锐角时，求
?
的取值范围。




5.已知
a
与
b
的模均为
2
，且
ma?b?3a?mb
，其中
m?0
.
（1） 用
m
表示
a
·
b
;
（2） 求
a
·
b
的最小值及此时
a
与
b
的夹角. 21. (1)
m?



1
?
(2)
m
3

题型四：三角形中的向量数量积

1.在△ABC中，若
BA?BA?AB?CB?0
，则△
ABC
的形状为 （ ）
A．等腰三角形

B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
????
2.已知边长为1 的正三角形
ABC
中，则
BC?CA?CA?AB?AB?BC
的值为
A．

3.
★已知点P是△ABC所在平面内一点,|
P A
|＋|
BC
|＝|
PB
|＋
222
13
13
B．
?
C． D．
?

22
22
|
CA
|
2
，则
⊥AB 平分∠ACB 过AB的中点 D.P是△ABC的外心
（ ）

题型归类 人教版数学必修（四）
- 17 -

4.★若正方形
ABCD
边长为1，点
P
在线段
AC
上运动，则
AP?(PB?PD)
的取值
范围
是 ．


2.5 平面向量的坐标表示


题型一：平面向量的坐标运算

1.若三点
A(2B,3a)
共
C
线
b
，则有
（ ）
A.
a?3,b??5



2 .若平面向量
b
与向量
a?(2,1)
平行，且
|b|?25
，则
b?
( )
A.
(4,2)
B.
(?4,?2)
C.
(6,?3)
D.
B.
a?b?1?0
C.
2a?b?3
D.
a?2b?0

(4,2)
或
(?4,?2)



3.已知向量
a?(1
若
2a?b
与
b
垂直，则
a?
（ ）
，n)，b?(?1，n)
，
A.
1
B.
2
C.
2
D. 4

4.已知平面向 量
a?(1,2),b?(?2,m)
，且
a
∥
b
，则2a?3b
=（ ）
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）

5．若
A(1,2), B(2,3),C(?2,5)
，试判断△ABC的形状_________。

6 ．若
a?(2,?2)
，则与
a
垂直的单位向量的坐标为_________ _。


?
?
7．平面向量
a,b
中，已知a?(4,?3)
，
b?1
，且
a?b?5
，则向量
b ?
______。

- 18 -
题型归类 人教版数学必修（四）
8．若
a
＝(2,3)，
b
＝(－4,7) ，则
a
在
b
方向上的投影为( )
→→
9.已知四边形
ABCD
的三个顶点
A
(0,2)，
B
(－1，－2)，< br>C
(3,1)，且
BC
＝2
AD
，则顶
点
D
的坐标为( )

→→→
10设
A
(
a,1)、
B
(2，
b
)、
C
(4,5)为坐标平面上三点 ，
O
为坐标原点，若
OA
与
OB
在
OC
方
向上的投影相同，则
a
与
b
满足的关系式为( )
A．4
a
－5
b
＝3 B．5
a
－4
b
＝3 C．4
a
＋5
b
＝14 D．5
a
＋4
b
＝14


题型二：平面向量共线的坐标表示
→→→
1.已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP＝OA＋tAB，求 < br>(1)
t
为何值时，点
P
在
x
轴上？点
P< br>在
y
轴上？点
P
在第四象限？
(2)四点
O
、
A
、
B
、
P
能否成为平行四边形的四个顶点




2.己知
P
1
(2,－1) 、
P
2
(0,5) 且点
P
在
P
1
P2
的延长线上,
|P
1
P|?2|PP
2
|
, 则
P
点
坐标为

A．(－2,11) B．(
( )

3.
ABC
的两个顶点
A
?
3,7
?
，
B
?
?2,5
?
.若
AC
的中点在
x
轴上，
BC
的中点在
y
轴
上，则
顶点
C
的坐标是 （ ）
A．
?
2,?7
?
B．
?
?7,2
?
C．
?
?3,?5
?
D．
?
?5,?3
?


4. 已知
ABC
中的顶点
A
?
4,5
?
，重心
G
?
?1 ,2
?
，则
BC
边的中点
D
的坐标
为 .

5.已知正方形
ABCD
的对角线交于点
M
，坐标原 点不在正方形内部，且
OA?(0,3),OD?(4,0)
，
则向量
CM
的坐标是 .
2
4
C．(,3) D．(2,－7)
,3)

3
3

题型归类 人教版数学必修（四）
- 19 -

题型三：平面向量数量积的坐标表示

1.若向 量
a
=
?
x,2x
?
，
b
=
?< br>?3x,2
?
，且
a
，
b
的夹角为钝角，
则
x
的取值范围是 .

2.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ）
A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11

3．a
?(2,1)
，b
?
?
3,4
?
，则向量a 在向量b方向上的投影长度为 （ ）
A．
25
B．
2
C．
5
D．
10


2.6 平面向量的应用举例
题型：平面向量的应用

1. 静水中船的速度是每分钟40m,水水流的速度是每 分钟20m,如果船沿着垂直水流
的方向到达对岸,那么船行进的方向与河岸的夹角为________ _.



2.
函数y?



x
2
?2x?2?x
2
?10x?34
的值域

第三章 三角恒等变换

3.1两角和差、二倍角、半角公式



题型一：公式正用
1． sin163°sin223°+sin253°sin313°等于
A.－

33
11
B. C.－ D.（ ）
22
22

- 20 -
44
题型归类 人教版数学必修（四）
2．Sin15?-cos15?的值为（ ）
A．

3.已知
tan
A.

11
33
B． C． D．-
22
32< br>?
2
?3
，则
cos
?
等于 （ ）
443
4
B.
?
C. D.
?

5155
5
24
25
θ
2
4
已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为( )
3434
A. B. C．± D．±
5555


5
已知直线
l
：
x
tan α－
y
－3tan β＝0的斜率为2，在
y
轴上的截距为1，则tan(α
＋β)＝( )
775
A．－ B. C. D．1
337
2
sin 2α＋cos（π－α）
6.已知tan α＝2，求的值．
1＋cos 2α



π
42
7.若sin α＝，则sin
?
α＋
?
－cos α＝( )
5
4
?
2
?
22224242
A. B．－ C. D．－
5555

8.. 已知
?
为第三象限角，sin
?
??
24
?
tan?
25
，则
2
（ ）
C.
3
4

D.?
3
4

A.
4
3

B.?
4
3

题型二：公式变用
1.已知< br>sin(
?
?
?
)?
tan
?
13
=
,sin(
?
?
?
)?,
则
t an
?
55

题型归类 人教版数学必修（四）
- 21 -


0000
tan20?tan40?3tan20tan40 ?
_____________ 2 求值：（1）


1?tan15
?
?
____________ （2）
(1?ta n1)(1?tan44)?
__________（3）
1?tan15
?
??



3.
21?sin8?2?2cos8
等于 （ ）

A.2sin4?4cos4


B.?2sin4?4cos4C.?2sin4D.4cos4?2sin4

题型三：凑角求值
1.已知
?
,
?
为锐角，且cos
?
=

2.已知sin(α－45°)＝－


312ππ
3.已知sin(2α－β)＝，sin β＝－，且α∈(，π)，β∈(－，0)，求
51322
sin α的值．






5
，
3
则
c
4．在三角形ABC中，（ ）
osC?

cosA?sinB?
，
135
A．
16
B .
56
C.
16
或
56
D.-
16

65656565
65
111
cos
(
?
?
?
)
= -, 则cos
?
=_________．
714
2
，0°＜α＜90°，则cos α＝________．
10

- 22 -
题型归类 人教版数学必修（四）

5.已知α
?
(
?
3
?
?
35
3
?
?
，)，β
?
(0，),cos
(α－)＝，sin(＋β)＝，求
4
4
5
4
1 3
4
4
sin(α＋β)的值．




6.已知α为钝角、β为锐角且sinα=




7．已 知
?
、
?
都是锐角，且
sin
?
?




412
?
?
?
，sinβ=，则cos的值为_________.
513?
10
5
，
sin
?
?
，求
?
?
?
。
10
5
题型四：一角一函数
1．要 使
sin
?
?3cos
?
?
4m?6
4?m
有意义，则应有
（ ）
A.
m?
777
B.
m??1
C.
m??1
或
m?
D.
?1?m?

333< br>00
2．函数f(x)=3sin(x+10)+5sin(x+70)的最大值是 （ ）
A.5.5 B.6.5 C.7 D.8
3 .函数
y?2s
?
xi?n
?
x
的
s
最< br>n
大
ix
值
c
为
os
（ ）
A.
2
B.
2
C.
2?1
D.
2?1


4.函数
y?
222
1
?1
B.
?1
C.
1?
的最大值是 A．
222
2?sinx?cosx

题型归类 人教版数学必修（四）
- 23 -
D.
?1?
2
（ ）
2


题型五：非特殊角求值
sin 47°－sin 17°cos 30°
1. (2012·高考重庆卷)＝( )
cos 17°
A．－
3
2
B．－
11
2
C.
2
D.
3
2
2.
sin10?sin50
sin35sin55
（ ）
A.
?2
B.
2
C.
?
1
2
D.
3
1
sin10< br>?
?
3
cos10
?

4．求值： （1）
sin 20°cos 20°
cos 50°







（3）
2cos10?sin20
cos20




（5）
sin50
?
(1?3tan10
?
)



的值是
1
2

（2）
cos20?cos40?cos80?

???
（4）
si n7?sin8cos15
cos7
?
?sin15
?
sin8?

（6）
(tan10
?
?3)
cos10
?
sin50
?

- 24 -
题型归类 人教版数学必修（四）