衰减系数公式圆的周长教学片段及反思

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操作 探究 发展

——人教版六年级上册“圆的周长”
罗华芹 襄樊市二十中小学部
【教学背景】
《数学课程标准》指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从
事数学活动的机会 ，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基
本的数学知识与技能、数学思想和方法，获 得广泛的数学活动经验。”鉴于此，我
在一次校内公开课中选择了《圆的周长》一课执教，旨在通过该课 着力培养学生
的探究意识和探究能力，让学生经历动手操作、自主发现的知识形成过程。
学生 在第一学段已经直观地认识了圆，建立了周长的概念，并会求直线围成
的图形的周长，对圆的周长有丰富 的感性经验。教材是在学生掌握了长方形、正
方形等直线图形周长的基础上，第一次学习曲线图形的周长 。圆的周长计算公式
并不复杂，但这个公式如何得来，公式中的固定值“∏”是如何来的，都是值得研究的问题。因此，教学时应把重点放在让学生利用实验的手段，通过猜测、验
证等探究圆的周长公 式。在探究圆的周长计算公式时，最有价值的、最具有思维
含金量的地方是让学生经历圆周率的产生过程 。由于高年级学生能运用已有的知
识经验通过迁移探索发现新知识，并运用新知识解决实际问题。他们在 小组合作
的学习环境下，利用自主探究的学习方式，学习的积极性较高，他们善于探究，
敢于质 疑，敢于发表自己的主张和看法。在此基础上，本案例充分放手让学生经
历圆周率的探究过程。
【课堂写真】
片段一：创设情境，揭示课题
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。
播放课件：小黄狗和小灰狗赛跑，小黄狗沿着正方形路线跑，小灰
狗沿着圆形路线跑，结果小 灰狗获胜。小黄狗看到小灰狗得了第一名，
心里很不服气，它说这样的比赛不公平。
师：同学们，你认为这样的比赛公平吗？
生：我觉得不公平。
师：说说你是怎么想的？
生：他们跑的路程不一样长。小黄狗跑的路程是正方形的，小灰狗跑的路程
是圆形的。
师：那到底他们的路程是不是一样长呢？你们有什么好办法来判断一下呢？
生：量一量，算一算他们跑的路线就知道了。
师：求小黄狗所跑的路线,实际上就是求这个正方形的什么?
生：正方形的周长。
师：那什么叫正方形的周长呢？
生：围成正方形四条边的长度就叫做正方形的周长。
师：说的不错！还有谁能说说正方形的周长和什么有关系，有怎样的关系？
生1：正方形的周长是边长的4倍。
生2：正方形的周长=边长×4。
师：那么小灰狗围着圆形路线跑一圈的长度又是圆的什么？
生（齐答）：圆的周长。
板书课题：圆的周长
【反思：由小黄狗和小灰狗赛跑的情境入手 ,较好地激发了认知冲突, 为后继教
学埋下了伏笔。“同学们，你认为这样的比赛公平吗？说说你是怎么想的。”这两
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。
个问题的提出既包含了对旧知识的回顾，又包含了对新问题的提炼，触及了学 生
己有的认知领域，有效地唤起了学生对未知的探索欲望，朴素而有效地奏响了知
识探索的序曲 。】
片段二：构建圆周长概念
师：请你摸一摸自己手头这些圆的周长。
（生独立触摸，感受体验）
师：究竟什么是圆的周长呢？谁能试着用自己的话说一说。
生1 ：在圆中，外面的一圈叫做圆的周长。
生2 ：我认为“外面”这个词的意思不够确切，应该说“在圆中，围着的一
圈叫做圆的周长。”
生3 ：围成圆的一圈，叫做圆的周长。
生4 : 与长方形、正方形相比，圆的周长是一条曲线。所以，我认为圆周长
就是“围成圆的曲线的长度”。
（课件动态演示圆周长的形成过程，并呈现概念）
……
【反思：圆周长概念的构建 ，首先通过触摸圆周长，使学生获得感性认识；
接着通过对圆周长概念的个性化描述，引导学生尝试具体 表象向抽象提炼之间的
转轨。尽管学生在这里的表达显得稚嫩肤浅，但正是这些自然生成的富有个性的< br>思想，恰恰彰显了学生主体意识的流露。有效的触摸体验，充分的理性概括，使
圆周长概念的建构 过程充分而有效。】
片段三：探究圆的周长公式
1、操作
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。
师：（指圆）怎样求圆的周长？下面我们借助学具圆片来研究。大家请看，
这是一 个圆形纸片，用你手中的工具，有办法知道它的周长吗？请小组同学商量
好方法后，再合作求出每个圆片 的周长，并把结果记录在实验报告的表格中。
（小组活动，教师巡视）
学生汇报出绕绳法和滚动法，教师用课件动态演示。
师：这两种方法都是把圆的周长这条曲线巧妙的转化成了什么？
生：直线。
师：是直直的线段。在数学学习中，我们经常会用到转化的方法。
（板书：转化）
2、设疑
师：你们已经会用测量的方法求圆片的周长，真棒！大家请看。
演示一：（课件出示）诸葛亮广场有一个很大的圆形喷泉，请你测量它的周
长。
生1：滚动法不可能，能用绳绕法。
生2：没有那么长的绳子，就算有，量起来也太麻烦。
演示二：教师轻轻地拿起一端栓有小白球的线绳，在空中旋转，使小白球划
过的痕迹形成一个圆 。师边演示边问：要想求这个圆的周长，还能用绳子绕一圈
吗？
生：（摇摇头）不能了。
师：看来，尽管我们的方法极富创造性，但也存在着一定的局限性。那么，
该怎么办呢？
生：计算长方形、正方形的周长都有公式。如果我们可以找到一个计算圆周
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。
长的公式，那就好了！
【反思：这两个环节的设计很好地体现了“探索性”与“ 人文性”的统一：
一方面，通过小组合作式的测量活动，使学生自主创造出“缠绕法”和“滚动法”两种测量圆周长的方法，既丰富了学生的课堂活动阅历，又形成了必要的探索能
力；另一方面，通过 对两种测量方法的有意反思和自由评价，使学生辩证性地感
受到了“缠绕”、“滚动”方法的局限性，激 发其探索“计算公式”的前强烈欲
望，为深入研究圆周长的计算问题作好了“心理”铺垫。】
3、实验猜测
教师将一端分别系上小球（一个白球，一个黄球）的两条绳子同时在空中旋转，使两个小球经过的轨迹形成大小不同的两个圆。
师：这两个圆有什么不同？
生1：大小不同。
生2：周长不同。
师：圆的周长由什么决定的呢？
生：是由老师手中的那条绳子决定的。绳子短，周长短。绳子长，周长长。
师：请认真观察，（再演示）这条绳子是这个圆的什么？
生：是这个圆的半径。
师 ：长方形的周长与长、宽有关，正方形的周长与边长有关，那么，请你大
胆猜想，圆的周长与什么有关呢 ？
生1 ：直径。
生2 ：半径。
生3 ：直径或半径。
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。
4、探究规律
师：究竟圆周长与直径或半径有没有关 系呢？如果有，又存在着怎样的关系
呢？下面，我们就来研究这个问题。小组合作，请测量出手中那些圆 片的直径，
并继续完成实验报告。
（小组合作、汇报交流，教师板书形成以下实验报告）
圆的直径与周长关系的实验报告（单位：毫米）
圆的名称
①
②
③
④
⑤
圆的周长（厘米） 圆的直径（厘米）
9.4
31.1
47.2
25.1
12.6
3
10
15
8
4
师：认真观察表格，你发现什么？
生1 ：直径最短的圆形，周长最短；直径最长的圆形，周长最长。
生2：一个圆的直径越长，周长就越长；直径越短，周长就越短。
师：看来，周长和直径还真 的存在着密切的联系。那么圆的周长与直径会存
在什么关系呢？再猜猜看。
生：我们知道正方形的周长是边长的4 倍，那么，圆的周长和直径可能也存
在这种倍数关系。
师：圆的周长和直径是否也存在一定的倍数关系呢？请同学们试着计算，看
看会有什么发现。
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（学生计算，汇报交流，教师板书形成如下数据）
圆的直径与周长关系的实验报告（单位：毫米）
圆的名称
①
②
③
④
⑤
圆的周长（厘米） 圆的直径（厘米） 圆的周长是直径的几倍
9.4
31.5
47.2
25.1
12.6
3
10
15
8
4
3.13
3.15
3.15
3.14
3.15
师：再次观察表格内容，你又有什么新的发现？
生1 ：我发现周长与直径的倍数都是3 倍多一些。
生2 ：我发现这个倍数在3.15左右。
……
【反思：使学生经历 知识的产生与形成过程非常重要。在“提出问题—猜测
—验证—形成结论”的过程中，学生对知识的理解 更加透彻，情感、态度、价值
观的培养更加有效。】
5、引入圆周率∏
师：其实， 关于圆周长和直径之间的这种关系，人们在一千多年前就开始研
究了。通过研究发现，任何一个圆的周长 与直径的比值都是一个固定的值。我们
没有算出固定的值，是由于测量中出现了不可避免的误差，人们把 这个固定的值，
称为“圆周率”，用字母“∏”表示。
（板书：∏）
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师：一起读。（板书：pai）
师：究竟“∏”的值 是多少？又是谁最早发明的？请同学们自己查阅课本中
的相关内容。（学生自学课本）
师：看书后，你知道了一些什么？
生1：“∏”是一个无限不循环小数，它的大小位于3.1415926-3.1415927 之
间；
生2 ：圆周率是我国古代的数学家祖冲之首先发现的，比西方早两千多年；
生3 ：为了计算方便，我们通常取“∏”值为3.14 。
师：现在，你明白周长与直径之间的倍数关系了吗？
生1：周长是直径的∏倍；
生2 ：周长大约是直径的3.14 倍。
师：根据这种倍数关系，你认为可以怎样计算圆的周长呢？
生1：因为周长大约是直径的∏倍，所以周长＝∏d 。
生2 ：因为直径是半径的2 倍，所以周长就是半径的2 ∏倍，所以周长=2
∏r 。
……
【反思：尽管这部 分内容的教学没有实践操作和合作讨论，但学生对圆周率
知识的课本阅读、圆周长计算公式的顺势推导却 无一不是学生主体性的尽情挥洒。
这部分教学的“静”, 与前段教学的“动”相得益彰，互为衬托，形成了一 种“美”
的课堂氛围。】
片段四：照应启思，拓展延伸
（课件回放开头赛跑情境）
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师：现在你们能说一说，为什么小黄狗跑得路线长了吗？
生：小黄狗跑得是正方 形路线，小灰狗跑得是圆形路线。正方形的周长C=4a，
圆的周长C=∏d，而正方形的边长就是圆的 直径，a=d，所以4a＞∏d。
师：如果知道正方形路线长40米，那么圆形路线的长是多少？
（生汇报思考过程）
师：(课件)现在,小黄狗沿着大圆跑一圈,小灰狗沿着两个小圆∞的路 线跑一
圈,谁跑的路程多呢?请同学们课后思考。
【反思：前有孕伏,后有照应,有一种圆融 的美。课后思考题仍是同一情境,使整
节课浑然一体,课已尽而思未完。】
【分析研究】 < br>数学知识的探索，是一个外在的研究过程，它贯穿于课堂教学的始终。《数
学课程标准》明确指出 ：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重
要方式，数学学习活动应当是一个生动活泼、主 动探索和富有个性的过程。”也
就是说，学生学习数学并非单纯的依赖模仿和记忆，数学学习过程实质是 上学生
主体富有思考性的探索过程。所以，数学知识的探索轨迹，作为学生是否主动参
与的标志 ，展现于课堂教学的全过程。在上面的案例中，研究课题“圆的周长”
的引出，来自于学生知识反思和自 主猜想；“圆周长意义”的理解，立足于学生
的亲身体验和自由表达；“圆周长公式”的建构，则是借助 学生主体的猜测、测
量、计算、自学、推导、论证等充分的实践活动展开的。可以说，每个知识点的发现，都是学生自主探索的成果，而不是学生被动接受的结论。探究，作为学生
学习数学的重要方式 ，在本节课的教学中主要从两个途径得到最大化体现：一是
合理猜想，二是小心验证。
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1、合理猜想──有效探究的前提。猜想是人们依据事实、凭借 直觉所做出的
推测，是一种创造性的思维活动。纵观数学发展历史，很多著名的数学结论都是
从 猜想开始的。伟大的数学家高斯指出的：“若无某种大胆放肆地猜想，一般是不
可能有知识的进展的。” 数学方法理论的倡导者波亚利对数学猜想有过这样的描
述：“在数学的领域中，猜想是合理的、值得尊重 的、是负责任的态度。”他认为，
在有些情况下，教猜想比教证明更为重要。所以，教会学生学会数学猜 想就显得
尤其重要。本节课，我引导学生进行了两次合理猜想。一是猜想圆的周长与直径
或半径 有关，是通过直觉观察引发的。二是猜想圆的周长与直径有倍数关系，是
根据正方形的周长与边长的关系 而类比产生的。合理的猜想科学地定位了探究的
思路，提高了课堂的实效。学生在猜想过程中，新旧知识 的碰撞，激发智慧的火
花，思维有了很大的跳跃，提高了数感，发展了推理能力，锻炼了数学思维。 < br>2、小心验证──科学归纳的保证。美妙的猜想，只有经过科学的验证，才能
彰显智慧的光环。为 了提高探究的效率，验证时往往要融入讨论、实验、计算、
观察、归纳和概括于一体，教者应留给学生足 够的时间，充分解放学生的脑、手、
眼、口等多种感官参与探究过程。要在鼓励学生发表独特见解的基础 上，善于找
到结论的相似之处进行归纳。小心验证，还要讲求实事求是。尊重学生研究的结
果， 要正确处理好研究结果与科学的结论之间的差距，不能简单地否定学生研究
的结果，挫伤学生的积极性。 本节课探究圆的周长与直径的倍数关系，学生运用
“化曲为直”的方法测量圆的周长，算出周长与直径的 比值。由于测量的误差，
学生只能计算出圆的周长是直径的3倍多一些。我遵循实际，肯定学生验证的真
实性。课堂上教师实事求是的科学态度，会进一步激发学生探究的热情，同时这
种科学态度对学 生终身的影响也是不可估量的。
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借此案例，我想诠释着这样的 一种理念：当把课堂的主动权交给了学生，给
学生充分的探究空间，我们的学生才会获得更多的发展，我 们的课堂才会更精彩！
【资料链接】
1、《数学课程标准》指出：“教师应激发学生的学习 积极性，向学生提供充分
从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握
基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”
2、《数学课程标准 》明确指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学
习数学的重要方式，数学学习活动应当是一个生 动活泼、主动探索和富有个性的
过程。”
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