高中数学必修四知识点汇总

第一章 三角函数
1. 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。
按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
角 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。
的 第一象限角{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}
分 象限角 第二象限角{α|90°+k·360°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}
类 第三象限角{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}
按终边的位置分 第四象限角{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}
或{α|-90°+k·360°＜α＜k·360°,k∈Z}
轴上角(象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限．
2.终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+ k·360°,k∈Z}即
任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和。
3.几种特殊位置的角：
⑴终边在x轴上的非负半轴上的角：α= k·360°,k∈Z
⑵终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180°+ k·360°,k∈Z
⑶终边在x轴上的角：α= k·180°,k∈Z
⑷终边在y轴上的角：α=90°+ k·180°,k∈Z
⑸终边在坐标轴上的角：α= k·90°,k∈Z
⑹终边在y=x上的角：α=45°+ k·180°,k∈Z
⑺终边在y=-x上的角：α= -45°+ k·180°,k∈Z 或α=135°+ k·180°,k∈Z
⑻终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α= k·45°,k∈Z
4.弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
5.一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
6. 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为
l
，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|=
l

r
1nπr
2
1
nπr
?|
?< br>|r
2
相关公式：⑴
l??|
?
|r
⑵
S?lr?
23602
180
7.角度制与弧度制的换算：⑴
1?
o
π180
o
rad
⑵
1rad?（）

18 0π
8.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。
9.利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）那么：
⑴y叫做α的正弦，记作sinα即sinα=y
⑵x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x
⑶
yy
叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）
xx
22
10. 平方关系：
sin
?
?cos
?
?1

?

sin
?
??1?cos
2
?
；
cos
?
??1?sin
2
?

同角三角函数的基本关系
商的关系【当α≠kπ+



11.三角函数的诱导公式：
1 6
πsin
?
?tan
?
（k∈Z）】：
2cos?

公sin
?
?
?k?2
?
?
?sin
?
式cos
?
?
?k?2
?
?
? cos
?
一tan
?
?
?k?2
?
?
?t an
?
【注】其中k?Z

公sin
?
?
?
?
?
??sin
?
二tan
?
?
?
?< br>?
?tan
?
公sin
?
?
?
?
? ?sin
?

式cos
?
?
?
?
?
??cos
?

式cos
??
?
?
?cos
?
三tan
?
?
?< br>?
??tan
?
公sin
?
?
?
?
?
?sin
?
式cos
?
?
?
?
?
??cos
?

四tan
?
?
?
?
?< br>??tan
?

公式一～四可以概括如下：
?
?k?2
?

?
k? Z
?
，
?
?
，
?
?
?
的三
角函数值，等于
?
的同名函数值，前面加上一个把
?
看成锐角时原
函数值的符号。

?
?
??
?
?
?
公s in
?
?
?
?
?cos
?
公sin
??
?
?
?cos
?
公式五和公式六可以概括如下：
?< br>?
的正弦（余弦）
?
2
??
2
?
2
?
?
??
?
?

?

余弦（正弦）函数值，前面加上一

式cos
?
?
?
?
?sin
?

式cos
?
?
?
?
??sin
?

函数值，分别等于
个把
?
看成锐角时原函数值的符号。
?
2
??
2
?
【奇变偶不变，符号看象限】
?< br>?
??
?
?
五tan
?
?
?
??cot
?
六tan
?
?
?
?
??cot?
2
???
2
?

12.三角函数的图像与性质：

定义域
值 域
零 点
周期性
奇偶性
单增区间
调
性
减区间
对对称轴
称
性
对称
中心

图





像
正弦函数y=sinx
R
[-1,1]（有界性）
余弦函数y=cosx
R
[-1,1]（有界性）
正切函数y=tanx
{x|x?
?
2
?k
?
，k?Z}

R
{x|x?k
?
，k?Z}

T=2π
奇函数
{x|x?
?
2
?k
?
，k?Z}

T=2π
{x|x?k
?
，k?Z}

T=π
奇函数 偶函数
[?
[
?
2
?2k
?
,
?
2
?2k
?
](k?Z)

[?
?
?2k
?
,2k
?
](k?Z)

[2k
?
,
?
?2k
?
](k?Z)



(?
?
2
+k
?
,
?
2
+k
?
)(k?Z)

?
2
?2k
?
,
x?
3
?
+2k
?
](k?Z)

2
?k
?
(k?Z)

?
2
x?k
?
(k?Z)


(k
?
,0)(k?Z)

(
?
2
+k
?
,0)(k?Z)

3
(
k
?
,0)(k?Z)

2
5
4
3
2
2
3
2
1
1
1
-4-4-2
-224
-6-4-2246
0
246
-1
- 1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4< br>
-5

注意：
y?sinx
周期为2π；
y?| sinx|
周期为π；
y?|sinx?k|
周期为2π；
y?sin|x|
不是周期函数。
2 6

13.得到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图像的方法:
?y=sin(x+
?
)?????y?sin(
?
x?
?
)?????y?
①< br>y=sinx????
周期变换
向左或向右平移||个单位
平移变换周期变换振 幅变换
Asin(
?
x?
?
)

?y?sin?
x?????????y?sin(
?
x?
?
)?????y ?Asin(
?
x?
?
)
②
y=sinx????
14.简谐运动
①解析式：
y?Asin(
?
x?
?
),x?[0,+?)

②振幅：A就是这个简谐运动的振幅。
③周期：
T?
④频率：
f=
若函数的最大值为
a
，最小值为b，
则有
A?

?
?
振幅变换
2π
?

a-ba+b
，
k?

22
1
?

?
T2π
⑤ 相位和初相：
?
x?
?
称为相位，x=0时的相位
?
称为初 相。
第二章 平面向量
1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。
数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。
2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。
有向线段三要素：起点、方向、长度。
uuur
uuuruuur
3.向量的长度（模）：向量
AB
的大小 ，也就是向量
AB
的长度（或称模），记作
|AB|
。
r
4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作
0
，零向量的方向是任意的。
单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。
rrrr
5.平行向量：方向相同或相 反的非零向量叫做平行向量。若向量
a
、
b
是两个平行向量，那么通常记作< br>a
∥
b
。
rrr
平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量 与任一向量平行，即对于任一向量
a
，都有
0
∥
a
。 rrrr
6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量
a
、< br>b
是两个相等向量，那么通常记作
a
=
b
。
rrr ruuurrrrr
uuur
ruuu
b
，
BC
=
b
，7.如图，已知非零向量
a
、在平面内任取一点A，作
AB
=< br>a
，则向量
AC
叫做
a
与
b
的和，记作a?b
，
rruuuruuuruuur
即
a?b?AB?BC?AC< br>。
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。 < br>rrrrrr
8.对于零向量与任一向量
a
，我们规定：
a
+
0
=
0
+
a
=
a

uuuuuu ruuuuuuruuuuurr
rr
rr
9.公式及运算定律：①
A
1
A
2
+A
2
A
3
+...+A
nA
1
=0
②
|a+b|
≤
|a|+|b|

rrrrrrrrrr
（a+b）+c?a?（b+c）
③
a+b?b?a
④
rrrrr< br>10.相反向量：①我们规定，与
a
长度相等，方向相反的向量，叫做
a
的相反向量，记作-
a
。
a
和-
a
互为相反向
量 。
②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。
3 6

rrrrr
（-a）（=-a）+a=0
。 ③任一向量与其相反向量 的和是零向量，即
a+
rrrrrrrrr
④如果
a
、
b< br>是互为相反的向量，那么
a
= -
b
，
b
= -
a
，
a?b=0
。
rrrr
（-b）
⑤我们定 义
a-b=a+
，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
rr
11 .向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。 记作
?
a
，它的
rrr
rr
长度与方向规定如下：①
|
?
a|?|
?
||a|
②当λ＞0时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当λ＜0时，的方向与
a
的
rr
方向相反；λ=0时，
?
a
=
0

rr
（
?
a）（?
??
）a
12.运算定律：①
?
< br>rrr
a?
?
a?
?
a
②
（
??
?
）

rrrr
（a?b）=
?
a?
?
b
③
?
rrrrrrr
（?
?
）a??（
?
a）?< br>?
（?a）（a?b）=
?
a?
?
b
④ ⑤< br>?
rrrrrrrrrr
13.定理：对于向量
a
（
a
≠
0
）、
b
，如果有一个实数λ，使
b
=
?a
，那么
a
与
b
共线。相反，已知向量
a
与< br>b
rrrrrrrrrr
r
共线，
a
≠
0
， 且向量
b
的长度是向量
a
的长度的μ倍，即|
b
|=μ|< br>a
|，那么当
a
与
b
同方向时，有
b
=?
a
；当
a
rrrrrr
r
与
b
反方 向时，有
b
=
?
?
a
。则得如下定理：向量向量
a
（
a
≠
0
）与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，
rr
使
b
=
?
a
。
ur
u r
r
14.平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2< br>是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有且
ru rurur
ur
只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e2
。我们把不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示 这一平面内所有向量的一组基
底。
rrrruuurruuurr
15.向量
a
与
b
的夹角：已知两个非零向量
a
和
b
。作< br>OA?a
，
OB?b
，则
?AOB?
?
（0°≤θ≤ 180°）叫
rrrrrrrr
做向量
a
与
b
的夹角。当θ =0°时，
a
与
b
同向；当θ=180°时，
a
与
b
反向。如果
a
与
b
的夹角是90°，我们
rrrr
说
a
与
b
垂直，记作
a?b
。
rrrrr16.补充结论：已知向量
a
、
b
是两个不共线的两个向量，且m、n∈ R，若
ma?nb?0
，则m=n=0。
17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
rr
18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若
a?(x
1< br>,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)< br>，则
rrrr
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

rr
19.实数与向量的积的 坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若
a?(x
1
,y
1
)
，则
?
a?(
?
x
1
,
?
y< br>1
)

rrrr
20.当且仅当x
1
y
2< br>-x
2
y
1
=0时，向量
a
、
b
（
b
≠
0
）共线
4 6
_

y
_

P
_
P

1

_

_
P

2

L
_

x

A
uuuuruuuur
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
21.定比 分点坐标公式：当
P
1
P?
?
PP
2
时，P点坐标 为
(,)

1?
?
1?
?
①当点P在线段P
1
P
2
上时，点P叫线段P
1
P
2
的内分点，λ ＞0
O
②当点P在线段P
1
P
2
的延长线上时，P叫线段 P
1
P
2
的外分点，λ＜-1；
当点P在线段P
1
P
2
的反向延长线上时，P叫线段P
1
P
2
的外分点，- 1＜λ＜0.
22. 从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，
C
B
uuuruuuruuur
则
OC?
?
OA?
?
OB，其中λ+μ=1
rrrr
rr
23.数量积（内积）：已知两个非零向量a
与
b
，我们把数量
|a||b|cos
?
叫做
a
与
b

rrrr
rr
rr
的数量积（或内积） ，记作
a
·
b
即
a
·
b
=
|a| |b|cos
?
。其中θ是
a
与
b
的夹角，
rr rr
rr
|a|cos
?
（
|b|cos
?
）叫做 向量
a
在
b
方向上（
b
在
a
方向上）的投 影。我们规定，零向量与任一向量的数量
积为0。
rrrrrrr
rr
24.
a
·
b
的几何意义： 数量积
a
·
b
等于
a
的长度
|a|
与b
在
a
的方向上的投影
|b|cos
?
的乘积。 rrrrrrrrrrrr
r
r
r
r
r
25.数量积的 运算定律：①
a
·
b
=
b
·
a
②（λ
a
）·
b
=λ（
a
·
b
）=
a< br>·（λ
b
） ③（
a
+
b
）·
c
=
a
·
c
+
b
·
c

rr
2
r
2
rrr
2
rr
2
r
2
r rr
2
rrrrr
2
r
2
④
(a?b)?a?2a ?b?b
⑤
(a?b)?a?2a?b?b
⑥
(a?b)?(a?b)?a?b

rr
26.两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。即
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
。则：
r
rr
22
r
2
22
①若
a?(x,y)
，则
|a|?x?y
，或
|a|?x?y。如果表示向量
a
的有向线段的起点和中点的坐标分别为
r
r
2 2
（x
2
?x
1
，y
2
?y
1
）
（x
1
，y
1
）（x
2
，y
2
）
、，那么
a?
，
|a|?（x
2
?x
1
）
?

（y
2
?y
1
）
rrrrrr
（x
1
，y
1
）（x
2
，y
2
）
②设
a?
，
b?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0?a?b?0

rrrr
rr
（x
1
，y
1
）（x
2
，y
2
）
27.设
a
、
b
都是非零向量，
a?
，
b?
，θ是
a
与
b
的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表
rr
a?b
示可得：
cos
?
?
rr
?
|a||b|
x
1
x
2
?y
1
y
2

x
1
2
?y
1
2
x
2
2?y
2
2
第三章 三角恒等变换
1.两角和的余弦公式【简记C
(α+β)
】：
cos
?
?
?
?
?
?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
< br>2.两角差的余弦公式【简记C
(α-β)
】：
cos
?
?< br>?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

3.两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号。 ②同名函数之积的和与差。③α、β叫单角，α±β
叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值。 ④“正用”、“逆用”、“变用”
4.两角和的正弦公式【简记S
(α+β)
】：< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?

5.两角差的正弦公式 【简记S
(α-β)
】：
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

6.两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同。②右方是异名函数之 积的和与差，且正弦值
5 6

在前，余弦值在后。
用途：可以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值。
7.两角和的正切公式 【简记T
(α+β)
】：
tan(
?
?
?
)?tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan< br>?
8.两角差的正切公式【简记T
(α-β)
】：
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
9.两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形：① 左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母
运算符号相反。②
?
?k< br>?
?
?
2
,
?
?k
?
?
?
2
,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)

公式变形：①
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)(1?tan
?
tan
?
)
②
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)(1?tan
?
tan
?
)

10.辅助角公式：
acosx?bsinx?a
2
?b
2
(
a
a?b
b
a?b
2
22
cosx?
b
a?b
22
sinx)

令
sin
?
?
a
a?b
22
，
cos
??
2

∴
acosx?bsinx?a< br>2
?b
2
sin(x?
?
)

其中θ为辅助角，
tan
?
?
a

b
11.倍角的 正弦【简记S
2
α
】、余弦【简记C
2
α
】、正切【简记T
2
α
】公式（升幂公式）：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?cos
2
?
? sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
tan2
?
?
2tan
????
,(
?
?k
?
?,2
?
?k
?
?,
?
? k
?
?)
1?tan
2
?
224
?
??< br>2

作用：缩角升幂
12.半角的正弦【简记
S
2
】、余弦【简记
C
2
】、正切【简记
T
】公式（降幂公式）： ①
1?cos
?
cos?
22
?
1?cos
?
sin
2
?
22
?
1?cos
?
tan< br>2
?
21?cos
?
2
?
cos
②
?
2
2
??
??
??
1?cos
?
21?cos
?
2
1?cos
?
1?cos
?
③
sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?)
4
sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?)
4
cos
?
?sin
?
?2cos(
?
?)4
cos
?
?sin
?
?2cos(
?
?)< br>4
?
?
sin
tan
?
?
2
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④
1?sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
1?sin2
?
?(sin< br>?
?cos
?
)
2
⑤
tan
?
2
?
sin
?
1?cos
?
?

1?co s
?
sin
?
13.补充：若
A?B?
?
4
或
5
?
，则
(1?tanA)?(1?tanB)?2

4
6 6