人教版高中数学必修4知识点总结

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高中数学必修4知识点总结
第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意 角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成 的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负 半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限角的集 合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360 ?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360 ?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??< br>?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数 的绝对值是
?
?
6、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?3 60
，
1?
7、若扇形的圆心角为
?
l
．
r?
180
，
1?
?
?
180
?
??57.3
．
?
??
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S< br>，则
l?r
?
，
C?2r?l
，
11
S?l r?
?
r
2
．
22
8、设
?
是一个任意 大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
， 则
sin
?
?
?
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
y
P
T
O
系：
M
A
x
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：
sin
????
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
11、角三角函数的基本关
- 1 -

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?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
?
sin
2
?< br>?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
12、函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?co s
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
6
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
??
2
??
2
?
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
13、①的图象上所有点向左（右）平移< br>?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?的图象；再将函数
1
倍（纵坐标不变），得到函数
?
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
y?si n
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的< br>?
倍
（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x ?
?
?
的图象．
②数
y?sinx
的图象上所有点的横坐 标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变），得到函数
?
?
个单 位长度，得到函数
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin?
x
的图象上所有点向左（右）平移
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
14、函数
y??sin
?
?
x?
?< br>??
??0,
?
?0
?
的性质：
①振幅：
?
；②周期：
??
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?< br>?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
??
11?
?
y
max
?y
min< br>?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x2
?
．
222
- 2 -

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15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
质
函

数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义
域

R

R

?
??
?
xx?k
?
?,k??
?
2
??

值域
当
?
?1,1
?

x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

?
2
?
k??
?
时，
?
2

最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?< br>?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
既无最大值也无最小值

?
k??
?
时，
y< br>min
??1
．
周期
性
奇偶
性
在
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
2
?

奇函数
?

奇函数
??
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
单调
性
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
??
2 k
?
?,2k
?
?

??
22
??
上是增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对
对称
性
称 中心对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称轴
对称中心
?
??
k
?
?,0
??
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
无对称轴
x?k
?
?
- 3 -
?
2
?
k??
?

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第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
． < br>⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
????
C

a

b

?

?

a?b??C?????C

?
a?
?
a
；
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时 ，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个 实数
?
，使
b?
?
a
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量a
、
bb?0
共线．
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，
有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e< br>2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平 面内所有向量的一组基
底）
- 4 -
??
??
??

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22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2,y
2
?
，当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
时，就为中点公式。）
（当
?
?1

?
．1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
⑴a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
??< br>．零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反
向时 ，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③a?b?ab
．
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③< br>a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y?
，则
a?x?y
2
2
2
2
2
??? ???
，或
a?x
2
?y
2
． 设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
．
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?< br>，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
．
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan< br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan< br>?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
t an
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
t an
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?< br>tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
??
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2 sin
?
cos
?
．
?1?sin2
?
?sin< br>?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(s in
?
?cos
?
)

⑵
cos2
??cos
2
222
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
2,1?cos
?
?2sin
2
?
升幂公式
1?cos< br>?
?2cos
2
?
2

- 5 -

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

?
降幂公式
cos
2
?
?
⑶
tan2< br>?
?
cos2
?
?11?cos2
?
2
，< br>sin
?
?
．
22
2tan
?
．
2
1?tan
?
万能公式:
αα
1?tan
22
;cosα?
2
sinα?
αα
1?tan
2< br>1?tan
2
22
2tan
:
26、
半角公式


α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??

2222

α

1

?

cos

α

sin

1

?

cos

α

α
tan????

2

1

?

cos

α

1

?

cos

α

sin

α

?
（后两个不用判断符号，更加好用）
27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。
?sin< br>?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要 学会创设条件，灵活运用三角
公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： < br>（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差 ，
倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是2
?
的二倍；
?
是
?
?
?
的二倍；是 的二倍；
224
30
o
?
?
②
15?45?3 0?60?45?
；问：
sin?
；
cos?
；
2
1212
ooooo
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)
；
⑤< br>2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同 名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常
化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在 三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的
代换变形有：

1?sin
?
?cos
?
?tan
?< br>cot
?
?sin90?tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变 换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用
降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
22oo
1? cos
?
常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
1?tan
?
1?tan
?
?_______ ________
；
?______________
；
1?tan?
1?tan
?
tan
?
?tan
?
?___ _________
；
1?tan
?
tan
?
?_____ ______
；
tan
?
?tan
?
?________ ____
；
1?tan
?
tan
?
?__________ _
；
- 6 -

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
（其中
asin
?
?bcos
?
?
= ；
）
tan
?
?
；
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值
与特殊角的三角函数互化 。
oo
如：
sin50(1?3tan10)?
；
tan
?
?cot
?
?
。






- 7 -