高中数学必修4知识点总结

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高中数学必修4知识点总结
第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合：2k,kZ.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
l

2、
.
r
3
、弧长公式：
lnRR
180
.
2
nR1
4、扇形面积公式：lR
S
3602
.

§1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y
，那么：

2
、设点
Ax,y为角终边上任意一点，那么：（设

y

，cos
r
x

，tan
r
y

，cot
x
22

rxy
）

x

y
y
T
P

MA

x

siny,cosx,tan
y

x
sin
3、s in
，
cos
，
tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT

4、特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.

0

63
sin
cos
tan
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
22.1、平方关系：sincos1
sin

2、商数关系：
tan.
cos
3
、倒数关系：
tancot1
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）
42

2
3

3
4
3

2
2


O
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-1-
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sin2ksin,
1
、诱导公式一：
cos2kcos,
（其中：
kZ
）
tan2ktan.
sinsin,
2、诱导公式二：coscos,
tantan.
sinsin,
coscos,3、诱导公式三：
tantan.
sinsin,
4、诱导公式四：coscos,
tantan.
sincos,
2
5、诱导公式五：
cossin.
2
sincos,
2
6、诱导公式六：
cossin.
2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：
y
y=sinx

-5
2
22
2
-4-3-2-o234
-75
222
37
-
1

x
-3
-1
2
y
y=cosx
-5

-3
2
-7
-4
2
-24
37
-
3
-2
1
22

x
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o
-3
22
-1
25
2
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最 小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性.
3、会用五点法作图.

ysinx在x[0,2]上的五个关键点为：

（0，0）（，，1）（，0）（，-1）（，2，0）.
3
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：
22
-2-
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y
y=tanx

3
-
2
--

2
o

2
3

2
x

2、记住余切函数的图象：
y
y=cotx

--
2
o

2
x
3

2

2
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
-2-
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图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
ysinycosxytanx
x
图象
定义域RR,}
{x|xkkZ
2
值域[-1,1][-1,1]R

最值
x2k,kZy1

2
x2k,kZ时，y1
2
周期性T2T2T
奇偶性奇偶奇
在[2k,2k]上单调递增

22
单调性
kZ
在[2,23]
kk上单调递减
22

xk
2
在[2k,2k]上单调递增

在[2k,2k]上单调递减

在(k,k)上单调递
22
增
x2k,kZy1

无

时，
max
时，
max
min
x2k,kZ时，y1
min

对称性
对称轴方程：
kZ
对称轴方程：xk

对称中心(,0)
k
2
无对称轴

k
对称中心(,0)
2
对称中心(k,0)
§1.5、函数yAsinx的图象
1、对于函数：

yAsinxBA0,0有：振幅A，周期

2
f.
2、能够讲出函数ysinx的图象与
yAsinxB的图象之间的平移伸缩变换关系.
①先平移后伸缩：
yx
平移
||
个单位
ysinx
sin
（左加右减）
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1
T
T，初相，相位x，频率2

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横坐标不变yAsinx
纵坐标变为原来的A倍
2
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纵坐标不变yAsinx

横坐标变为原来的

1
||
倍

平移
|B|
个单位
yAsinxB
（上加下减）
②先伸缩后平移：
yx横坐标不变yAsinx
sin
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变yAsinx

横坐标变为原来的

1
||
倍

平移个单位yAsinx
（左加右减）
平移
|B|
个单位
yAsinxB
（上加下减）
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期
函数ytan(x)
，
,

T.
xkkZ(A,ω,为常数，且A≠0)的周期 ||
2
对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，只需令()
xkkZ与
2xk(kZ)
解出
x
即可
.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
yy
利用图像特征：maxmin

yy
maxmin
A，
B.
2
2
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：
sincostan
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2
T；
||

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124
6

2
623

2
4
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3
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1、sinsincoscossin
2、sinsincoscossin
3、coscoscossinsin
4
、
coscoscossinsin
5、tantan
tan.
1tantan
6、

tantan
tan.
1tantan
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1
、
sin22sincos，
变形：1
sincossin2.
2
2、

cos2

2sin
2
cos
2
2cos1
2
12sin.
变形如下：
2
1cos22cos升幂公式：
2
1cos22sin

2
1
降幂公式：
cos(1cos2)
2
2
1
sin(1cos2)
2

3、
2tan
tan2.
2
1tan

4、

tan

sin21cos2
1cos2sin2
§3.2、简单的三角恒等变换
1、注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式

yasinxbcosxa
2b
2
x )
sin(
（其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan
第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
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b
a
)
.
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1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度
4
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等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、ab≤ab.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.
2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 < br>1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定如下：
⑴aa,
⑵当0
时
,a的方向与a的方向相同；当0
时
,a的方向与a的方向相反.
2、平面向量共线定理
：向量
aa0
与
b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理
：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的 两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，

有且只有一对实数

1
,
，使
2
a
1
e
12
e
2
.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1
、
axiyjx,y.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、设
ax
1
,y,bx,y
122
，则：
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5
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⑴
abx
1
x,yy，

⑵
abx
1
x,yy，

212
212
⑶ax
1
,y
1
，

⑷
abxyxy.
1221
2、设
Ax
1
,y,Bx,y，则：
122
ABx
2
x,yy.
121
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设Ax
1
,y
1,Bx
2
,y
2
,Cx
3
,y
3
，则
xx

y y
2

1
⑴线段AB中点坐标为
，
12,
2
2
xxx y

y

y

1 2 3
. ⑵△ABC的重心坐标为
123,
3
3
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1
、
ababcos.
2、a在b方向上的投影为：acos.

22
3、
aa.

4、
aa.
5、abab0.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、设

ax
1
,y,bx,y，则：
122




⑴
ab

⑵

a
x
1
xyy

212

22
x
1
y
1
1212
1221
2
⑶
abab0xxyy0
⑷
ababxyxy0
2、设
Ax
1
,y
1
,Bx
2
,y
2< br>，则：
22
ABx
2
xyy.
121
3、两向量的夹角公式
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cos
ab

xxyy
1212
2222
abxyxy
1122
4、点的平移公式
平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应 点为P(x,y)（新坐标），平移向量为PP(h,k)，
则
xxh
yyk.
函数yf(x)的图像按向量a(h,k)平移后的图像的解析式为ykf(xh).
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7
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