高中数学必修四(全册)专题复习

专题一：三 角 函 数
【知识脉络】：
第一块：函数性质与图像









形 状
定义 函数性质 图像 平 移
伸 缩
定
义
域
值

域
奇
偶
性
单
调
性
周

期
对
称
性
教学目标：
1、正 弦、余弦、正切函数的性质，重点掌握
[0,2
?
]
上的函数的性质；
2、定义域、值域，重点能求正切函数的定义域；
3、能从图象上认识函数的各类性质，能用自己的语言把函数性质描述清楚，能
写出来。
4、理解平移与伸缩
第二块：同角基本关系和诱导公式
同角基本关系就掌握好三个公式：
sin
2
?
?cos
2
?
?1,tan
?
?
sin
?
1

,cos
2
?
?
2
cos
?
1?tan
?
特别需要说明的是：平方关系中的开方运算，易错！
诱导公式的记忆方法很简单，联系两角和与差来记就行！如：
cos(
3
?
3
?
3
?
?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
?sin
?

222
诱导公式的理解上，需从两角终边的位置关系来认识，如：
tan(
?
?
?
)?tan
?
中涉及两个角是
?
和
?
?
?
，它们的位置是关于原点对称，象限对应关
系是一、三或二、四，所以 正切符号相同，直接取等号。其它类似。
第三块：三角变换
和差公式：
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
sin(
?
?
?< br>)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

??
?
cos(
?
?
?
)? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
tan
?
?tan
?< br>?
tan(
?
?
?
)?
?
1?tan
?
tan
?
?
?
?
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
1?tan
?
tan
?
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
2222

tan2
?
?
注意：
2tan
?

1?tan
2
?
（1）、倍半关系是相对的，如：
sin
?
?2sin
?
2
cos
?
2
，
sin4< br>?
?2sin2
?
cos2
?
，
cos
?
?2cos
2
?
2
?1?1?2sin
2
?
2
?cos
2
?
2
?sin
2
?
2等，根据题目的需要来确定倍角还是半
角；
（2）几个常用的变式：
1?si n2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
,1 ?cos2
?
?2cos
2
?
,1?cos2
?
? 2sin
2
?

tan
?
2
?
sin?
1?cos
?

?
1?cos
?
sin?
a
,
?
的围根据需要来确定
b
b
或
acosx?bsinx?a
2
?b
2
cos(x?
?
)
，其中
tan
?
?
，
?
的围根据需要来确定 a
acosx?bsinx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
，其中
tan
?
?
cos(x?
?
4
)?
2
?
2
(cosx?sinx),sin(x?)?(sinx ?cosx)

242
【题型示例】：第一部份“三角函数的图象与性质”
? 熟记定义、定义域、三角值的符号
1、若角
?
的终边过点
P( 2a,3a)(a?0)
，则下列不等式正确的是（ ）
A、
sin
?
?tan
?
?0
B、
sin
?
?cos
?
?0

C、
cos
?
?tan
?
?0
D、
sin
?
?cos
?
?0

2、若角
?
终边上有一点
P(sin30,cos30)
，则
?
为（其中k?Z
）
A、
oo
?
6
?2k
?
B、
?
3
?2k
?
C、
?
6
?k
?
D、
?
3
?k
?

3、若
sin
?
?cos
?
?0,cos
?
?tan
?
?0
，则
?
位于
2
2
x
，则
x
=
4
A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、二象限 D、三、四象限
4、已知角
?
终边上一点
P(x,2)
，且
cos
?
?
5、函数
y?tan(2x?
?
4
)
的定义域为
? 单调性：求单调区间是重点，三角的单调区间的求法是比较特殊的，掌握好例题所示的
方法；另一类题型 为比较大小，但都比较简单。
【例题1】（1）求函数
y?sin(2x?
?
6
)
的单调增区间

解：由
?
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k< br>?
,k?Z
得，
?
?
3
?k
?
?x ?
?
6
?k
?
,k?Z
。
所以，函数的单调增区 间为：
[?
（2）求函数
y?cos(x?
（3）求函数
y?tan (2x?
7、函数
y?sin(x?
A、
[?
?
3
?k
?
,
?
6
?k
?
],k?Z

1
2
?
4
)
的单调减区间 。
?
4
)
的单调区间 。
?
6
)
的一个减区间是 。
?
?
3
?
3
?
7
?
,0]< br> B、
[,]
C、
[,
?
]
D、
[,
?
]

24422
3
6
2sinx?1
有意义的围是 8、在
[0 ,2
?
)
，使函数
y?
A、
[
?
5711 7
?
11
,
?
]
B、
[0,]?[
?
,
?
]
C、
[
?
,
?
]
D、
[
?
,]?[
?
,2
?
]

66666666
172431
9、
a?cos
?
,b?cos?
,c?cos
?
，则
555
A、
a?b?c
B、
a?b?c
C、
c?a?b
D、
c?b?a

?
5
10、若直线的斜率满足：
k?3
，则直线的倾斜角的围为
? 奇偶性：联系函数图像来理解奇偶性，即图像的对称性。
? 奇函数：
y?sinx,y?tanx
，偶函数：
y?cosx

? 注意变化：如，
y?
sin(
x?
?
6
)
。图像平 移，可能会改变函数的奇偶性，也有可能不发
生改变，如函数
y?sin(x?
?)
。观察图象，很容易得到正确的结论。
11、若函数
y?sin(x?
?
)
为奇函数，则
?
的值为（
k?Z
）
A、
k
?
B、
k
?
?
?
2
C、
k
?
?
?
6
D、
k
?
?
?
3

12、若函数
y?co s(x?
?
)
为奇函数，则
?
的值为（
k?Z
）
A、
k
?
B、
k
?
?
?
2
C、
k
?
?
?
6
D、
k
?
?
?
3

? 图像的对称性：注意观察图象，从图象上找出对称轴和对称中心的位置。
y?sinx



对称轴方程：
x?k
?
?
y
o
?
2
(k?Z)
对称中心：
(k
?
,0),k?Z

x

y?cosx




y
o
对称轴方程：
x?k
?
,k?Z
· 对称中心：
(k
?
?
?
2
x
,0),k?Z

理解：语义上，过顶点与X轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴 ，而正、余弦曲线与X
轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。
函数性质上看，若对称 轴为
x?x
o
，则
f(x
o
)
必为函数的最大或最 小值；若对称点为
(x
o
,0)
，则
f(x
o
)? 0
。注意，平移产生的变化。
13、函数
y?sin(2x?
A、
x?
?
4
)
的一条对称轴方程是
?
8
B、
x??
?
8
C、
x?
?
4
D、
x??
?
4

14、函数
y?cos(x?
A 、
(
?
5
)
的一个对称中心是
334
?
?
?
,0)
B、
(?
?
,0)
C、
(,0)
D、
(?,0)

101055
1
?
15、函数
y ?2sin(x?)?1
的对称轴方程为 ，
23
对称中心为
? 值域和最值：
1、 掌握好基本函数的值域和最值情况
（1）
y?sinx(x? R)
值域为
[?1,1]
，当
x?2k
?
?
当x?2k
?
?
?
2
(k?Z)
时，
(sinx )
max
?1
；
?
2
(k?Z)
时，
( sinx)
min
??1
。
注解：联系图象或在象限认识和记忆值域，效果会更好。
（2）
y?cosx(x? R)
的值域为
[?1,1]
，当
x?2k
?
(k?Z)时，
(cosx)
max
?1
；
当
x?(2k?1)
?
(k?Z)
时，
(cosx)
min
??1
。
注解：联系图象或在象限认识和记忆值域，效果会更好。
（3）
y?tanx(x? k
?
?
?
2
)
的值域为
R
，不存在最大值 和最小值。
2、理解：函数值域会因定义域的改变而改变，掌握好下面例题所示的方法。
【 例题2】若
?
?
4
?x?
?
4
，求下列函数的值域 ：
（1）
y?2sinx?1
（2）
y?1?2sinx
（3）
y?2sin(2x?


?
6
)

16、若
?
?
4
?x?
3
?
?
，求函数
y?1?2sin(2x?)
的值域，并求出函数 取最大值时的
x
的
46
取值集合。



【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”
? 诱导公式：主要功能是用于化“大角”（超出
[0,2
?
]
）为“小角”
? 公式：略
3、掌握两类基本型：
（1）关于
sinx
或
cosx
的二次函数型
【例题3】 （1）求函数
y?cosx?sinx(x?R)
的最大值和最小值，并求出对应的
x
的取
值。
22
解：
y?cosx?sinx?cosx?cosx ?1
，若令
t?cosx
，则
y?t?t?1?(t?)?
222
1
2
5

4
y
max
?y(1)? 1,即t?cosx?1,得x?2k
?
,k?Z
由
t?cosx?[?1, 1]
得：
y
min

151
?
?y(?)??,即 t?cosx??得x?2k
?
?,k?Z
2423

17、求函数
y?sinx?2cosx(x?R)
的最大值和最小值，并求出对应的
x
的 取值。




（2）可转化为
y?Asin(
?
x?
?
)?B
或
y?Acos(
?
x?
?
)?B

【例题4】、形如
acosx?bsinx
的函数可转化为上面的型
求下列函数的最值：
（1）
y?sinx?cosx
，
x?R



（2）
y?cosx?sinx
，
x?R

2

（3）
y?cosx?3sinx
，
x?R



（4）
y?3cosx?sinx
，
x?R



（5）
y?3sinx?4cosx
，
x?R



（6）
y?


（7）
y?sinx?cosx
，
x?[0,


（8）
y?3sinx?cosx
，
x?[?
5cosx?15sinx，
x?R

?
2
]

??
,]

22





【例题5】借助三角变换转化成上面的型
求下列函数的最值：
?
??
（1） 已知函数
f(x)?2sin
?
x?
?
?2cosx,
6
??


2
（2） 已知< br>f(x)?2cosx?
?
?
?
x?
?
,
?
?

?
2
?
3sin2x?a,(a?R)



22
（3） 已知函数
f
(
x
)=s in
x
+
3
sin
x
cos
x
+2cos
x
,
x
?
R.

r< br>r
1
（4）已知向量
a?(sinx,1)
，
b?(cosx ,?)
，
f(x)?a?(a?b)

2


2< br>18、已知
f(x)?sinx?3sinxcosx?a,(a?R)
，（1）设x?[0,
?
2
]
，则
a
为何值时，
f(x) 的最大值为4？（2）若




? 周期性：
13
?f(x)?
，求
a
的取值围。
22
（1） 周期的符号形式：
f(x?T)?f(x),
T
为非零常数。如，
sin(x ?2k
?
)?sinx
，所以
2k
?
(k?Z)
为 正弦函数的周期。其它一些函数也是有周期的：
（2）最小正周期：若
T
为函数f(x)
的周期，则
n?T(n?Z)
也必为函数
f(x)
的周 期，因
此，函数的周期是有无数个的，其中正的最小的一个周期，称为函数的最小正周期，比如，
正弦、余弦函数的最小正周期为
2
?
，正切函数的最小正周期为
?

（3）最小正周期的计算公式：对于
y?Asin(
?
x?
?
)?B
或
y?Acos(
?
x?
?
)?B
，则< br>T?
2
?
?
；对于
y?Atan(
?
x?< br>?
)?B
，则
T?
?
。特别注意：也只有上面三种形式下的< br>?
三角函数才能使用最小正周期的计算公式！
19、求下列函数的最小正周期：
（1）
y?sin(2
?
x?


22
（4）
y?cosx?sinx
（5）
y?cosx?3sinx
（6）
y?sinxcosx

?
3
)
（2）
y?3cos(
5
?
1< br>?
?
?
)?2
（3）
y?1?2tan(3
?
x?)

623


1
(x?R)
，则
f(x)
是（ ）
2
A、最小正周期为
?
的偶函数 B、最小正周期为
?
的奇函数
?
C、最小正周期为
2
?
的偶函数 D、最小正周期为的奇函数
2
（7）（2007年高考）若函数，
f(x)?sin x?
2
（8）
y?tanx?cotx
（9）
y?1?sinx
（10）
y?sinx

? 图像：
（1）关于“五点作图法”，以正弦函数为例进行说明。
第一、
y?sinx
，
x?[0,2
?
]

表一
x
0
0
?

2
1
?

0
y?sinx

3
?

2
?1

2
?

0
此表是基础，请注意总结“五点”的规律或特征：
第二、请画出函数
y?sin(2 x?
处理思想，令
t?2x?
?
4
)
在一个周期上的草图。
?
4
，则
y?sint
，类比表一即可。
表二
x

?

8
t?2x?
?
4

0
3
?

8
?

2
1
5
?

8
?

0
y?sint?sin(2x?)

4

得到“五点”分别为：
(
?
0
7
?

8
3
?

2
?1

9
?

8
2
?

0
3579
,0),(
?,1),(
?
,0),(
?
,?1),(
?
,0)
88888
1
?
2
?
10
第三、画出函数< br>y?1?2sin(x?)
在区间
[?,
?
]
上的草图。 < br>2633
注意：与“第二”的区别，“第二”没有限定
x
的取值围，题中要求的 “一个周期”可以自
己设定，但“第三”中
x
的围是固定的.注意到这个给定的围也正 好是函数的一个周期。
问题：怎么求出“五点”呢？
分析：首先注意到，
x??< br>?
,y?2;
?
2
3
x?
10
?
, y?2
，这是函数的起点和终点，联系
3
正弦曲线的变化规律，第二个点应该回到“平 衡点”（类比
y?sinx
与X轴的交点），第
三个点应该是最低点，第四个点应该是 “平衡点”，第五个点应该是最高点，第六个点就是
终点。于是得到下表：
表三
x

2
?
?

3
1
?
x?

26
?
?
?

3
t?
?

6
0
2
?

3
?

2
5
?

3
?

7
?

3
3
?

2
10
?

3
11
?

6

y?1?2sint
1
?
?1?2sin(x?)
26


2

1

?1


1

2

3
（2）三类图象变换
第一、对称：知道几种常见的对称变换，不做深要求。
①
y?f(x)
与
y?f(?x)
关于
y
轴对称
②
y?f(x)
与
y??f(x)
关于
x
轴对称
③
y?f(x)
与
y??f(?x)
关于原点对称
④y?f(x)
即为
y?f(x)
图象在
x
轴下方的部分沿
x
轴翻折，
x
轴上方的图象不变化。
⑤
y?f(x)
即 为
y?f(x)
图象
y
轴右侧部分不变，左侧部分沿
y
轴翻 折形成。
第二、平移：只是位置变化，函数性质中除奇偶性外，其它性质不变。
横向平移：即
f(x)?f(x?
?
)
。
?
为正则向左平移，
?
为负则向右平移。
纵向平移：即
f(x)?f(x)?h

h
为正则向上平移，
h
为负则向下平移。
第三、伸缩：有横向和纵向的伸缩，只要求掌握三角函数的伸缩变化。
横向伸缩：
f(x)?f(
?
x)

若
?
?1
，则横向被压缩，导致周期变小； 若
?
?1
，则横向伸长，导致周期变大。
纵向伸缩：
f(x)?
?
f(x)

若
?
?1
，则振幅变大； 若
?
?1
，则振幅变小。
【例题6】认识
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
（1）几个名称：

符号
名称

A

振幅
T?
2
?
?

f?
1

T

?
x?
?

相位
?

初相 周期 频率
（2）平移伸缩的认识：举例
y?sinx?y?2sin(x ?
1
2
?
3
)

变换过程：有两种，“先平移，再伸缩”和“先伸缩，再平移”
①先平移，再伸缩：
?
1
?
将横坐标伸长为原来的两倍
y?sinx??????y?sin( x?)?????????y?sin(x?)
323
向右平移单位
3
?

1
?
将纵坐标伸长为原来的两倍
?????????y?2sin (x?)

23
②先伸缩，再平移。
2
?
向右平移单位< br>112
?
3
y?sinx?????????y?sinx???????y? sin(x?)

223
将横坐标伸长为原来的两倍
1
?
将 纵坐标伸长为原来的两倍
?????????y?2sin(x?)

23
说 明：若想更好、更清楚地认识这两个不同的过程（相同的结果），最好的办法就是用“五
点法”作图，把 上述过程中每一步都画一个图。
20、（1）仿上写出
y?sinx?y?




1
?
sin(2x?)
的变化过程
26
)
的图象，只需将函数
y?sin(x?)
图像上的点（ ）
55
1
A、 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
2
1
C、 纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变
2
1
?
1
（3）为了得到函数
y?sin(x?)
的图象，只需将
y?sinx
的图象上每一个点（ ）
232
??
A、横坐标向左平移个单位长度 B、横坐标向右平移个单位长度
33
2
?
2
?
C、横坐标向左平移个单位长度 D、横坐标向右平移个单位长度
33
1
（4）为了得到函数
y?cos(x ?)
的图像，只需将余弦函数图像上各点（ ）
3
??
A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
33
11
C、向左平移个单位长度 D、向左平移个单位长度
33
1
?
1
?
（5）为了得到函 数
y?sin(x?)
的图像，只需将函数
y?sin(x?)
的图像上各点
4434
（ ）
（2）为了得到函数
y?sin(2x?
??
43
倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
34
43
C、 纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变
34
4
?
（6）将函数
y ?cos(2x?
?
)
的图像上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原
5
2
A、 横坐标伸长为原来的
来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为（ ）

?
?
4
?
)
B、
y?4cos(x?)
C、
y?4cos(4x?)
D、
y?4sin(4x?)

5555
?
1
（7）将函数
y?2sin(x?)
的图像作怎样的变换可以得到函数
y?sinx
的图像 ？写出
32
?
1
y?2sin(x?)?y?cosx
的变换过程。
32
A、
y?4cos(4x?
?






（8）有以下四种变换方式：
1
?
个单位长度，现将每个点的横坐标缩短为原来的倍；
2
41
?
②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；
2
8
1
?
③每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度；
28
1
?
④每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度。
2
8
?
其中能将函数
y?sinx
的图像变为函数
y?sin (2x?)
的图像的是（ ）
4
①向左平移
A、①和④ B、①和③ C、②和④ D、②和③
（9）将函数
y?sin( 2x?
?
x
?
)
的图像作怎样的变换可以得到函数
y?si n(?)
的图像？
226
【单元过关练习】

A卷

满分：130分 时间：120分钟
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、已知集合
A?
?
??
A、
?
?
3
?
?
?
?
??
?
?
，则使
x?A
成立的
x
是（ ）
2
?
253
?
8
?
7
?

?
B、
?
C、 D、
?
6434
310
，则
cos
?
?
（ ）
10
2、已知
?
终边上一点
P(m,3m)
，且
sin
?
??
A、
1010
10310
B、
?
C、
?
D、
1010
1010
3、函数
y?tan2x
为（ ）
A、最小正周期为
?
的奇函数 B、最小正周期为
?
的偶函数

C、最小正周期为
?
?
的奇函数 D、最小正周期为的偶函数
22
2
4、函数
y?2sinx?cosx(x?R)
的最小值为（ ）
A、
?2
B、0 C、
?1
D、2
6、函数
y?sin(2x?< br>A、
x??
?
4
)
的一条对称轴方程是（ ）
?
8
B、
x?
?
8
C、
x?
?
D、
x?
?
2

7、要得到函数
y?3sin(2x?
A、向左平移
?
4
)
的图像，只需将函数
y?3sin2x
的图像（ ）
?
?
个单位 B、向右平移处单位
44
?
?
C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
88
1
?
8、函数
y?2cos(x?)的一个单调增区间是（ ）
26
5
?
11
?
7?
13
?
A、
[0,2
?
]
B、
[2
?
,4
?
]
C、
[,]
D、
[,]

3333
9、关于函数
y?cosx?3sinx
的四个论断中错误的是（ ）
A、最小正周期为
2
?
B、值域为
[?2,2]

C、一个对称中心为
(?
?
6
,0)
D、可由
y?cosx
向右平移
?
所得
3
10、在区间< br>[0,2
?
]
使不等式：
?1?2sinx?1
成立的角x
的围是（ ）
5
?
7
?
11
?
?
7
?
11
?
,]?[,2
?
]
B、
[,]?[,2
?
]

6666666
5
?< br>7
?
11
?
?
5
?
7
?
1 1
?
C、
[,]?[,2
?
]
D、
[0,]?[,]?[,2
?
]

6666666
A、
[0,
?
]?[
二、填空题（每小题5分，共30分）
11、已知 角
?
的终边上一点
P(4m,?3m)(m?0)
，则
sin
?
?
，
tan
?
?
；
12、函数
y?tan(
?
x
?
3
?)
的最小正 周期为 ；
5
13、函数
y?asin(2x?
?
4
)?1(a?0)
的最大值为 ，最小值为 ，
取最小值时
x
的取值集合为 ；
14、函数
y?cos(
?
5
?2x)
的增区间为 ；
2
15、关于函数
y?cos(x?
?
)?sin
2< br>(x?)
有四个论断：
44
?
①是偶函数；②最小正周期是
?
；③值域为
[1?,1]
；④一个对称中心为
(?
?
,0 )

其中正确命题的序号是 （填上你认为所有正确的命题序号）
16、如果一个函数满足：
f(x?1)??f(x?1 ),f(?x)?f(x)?0
，且
f(1)?0
，试写出一
个这样的函数： 。
三、解答题
17、（10分）用“五点法”作出函数
y?sin(3x?








18、（12分）试用图像变换的两种方式写出：函数y = sinx的图像变换到函数y = sin (
的图像的变换过程．








19、（14分）已知点
P(?2,y)
是角
?
终边上一点，且
sin
?
?
?
4
)
一个周期的草 图（要求列表）。
x
?
+)
2
3
22
求
y
的值；
3
（1） 设
0?
?
?2
?
，以
OP为半径，原点O为圆心作圆，与
x
轴正半轴交于Q点，求
?OPQ
的面积 。









20、（14分）简谐振动
y?3sin(2x?
5
?
)

6

（1）求简谐振动的振幅、初相和频率；（2）若
0?x?2
?
，求函数的最大值和最小值。
（3）要得到函数
y?sinx
的图像， 可由
y?3sin(2x?
变换过程。









5
?
)
经过怎样的变换得到？试 写出
6
【单元过关练习】

B卷

一、选择题（每小题5分，共50分）
1、已知集合
A?
A、
(2 k
?
,2k
?
?

?
?
sin
?
?cos
?
?0
?
,B?
?
?
tan?
?cos
?
?0
?
，
k?Z
，则
A ?B?
（ ）
?
2
)
B、
(2k
?
?
?
2
,2k
?
?
?
)

3
?
?
)
D、
(2k
?
?,2k
?
)

22
2?
2
?
2、扇形的中心角为，半径为3，则扇形的弧长为（ ）A、
?
B、
2
?
C、 D、
33
2

3
?
3、已知
?
为第三象限角，则所在的象限是 （ ） 2
C、
(2k
?
?
?
,2k
?
?A、第一或第二象限 B、第二或第三象限 C、第一或第三象限 D、第二或第四象限
4、时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是 （ ）
A、
24
42
?
B、
?
C、
?
?
D、
?
?

93
39
sinx
cosx
t anx
??
5、函数
y?
的值域是（ ）
sinxcosxtanx
1,?1,3
?
A、
?
?1
?
B、
?
3,?1
?
C、
?
3
?
D、
?
6、角α的终边落在y=-x(x＞0)上，则sinα的值等于（ ）
A. ±
222
1
B. C.± D. -
222
2
7、函数y＝
?sinx
+
cosx< br>的定义域为（ ）

?
,2kπ+π］，k∈Z
2
3
?
?
C. ［2kπ-,2kπ］，k∈Z D. ［2kπ+π,2kπ+］，k∈Z
2
2
?
8、把函数
y? sin3x
的图像向右平移个单位，所得曲线的对应函数式（ ）
4
33
?
?
A. y=sin(3x-π) B.y=sin(3x+) C. y=sin(3x-) D.y=sin(3x+π)
44
44
?
9、函数
y?3sin(?2x?)(x?[0,
?])
的单调递增区间是（ ）
6
5
?
?
2
?
?
11
?
2
?
11
?
A、
[0,]

B、
[,]

C、
[,]

D、
[,]

1263612312
A.［2kπ,2kπ+ B.［2kπ+

?
］，k∈Z
2
10、
f(x)
是定义在
R< br>上的奇函数，且
f(x?5)?f(x),f(17)?5,
则
f(?2)?< br>（ ）
A 、5 B、
?5
C 、0 D 、
二、填空题（每小题5分，共30分）
11、
如果角
?
的终边过 点(2sin30?,?2cos30?),则sin
?
的值等于
；
12、若函数
y?cos(kx?
1

5
?
6
)
的周期为4π，则
k
的值为 ；
31
，最小值为
?
，则
2a?b
的值为 ；
22
13、如果函数
y?b?acosx(a?0)
的最大值为
14、写出函数
y?3sin(2x?
2
?
4
)
的两条对称 轴方程分别为 ；
15、函数
y?c osx?sinx(0?x?
?
2
)
的最大值为 ；
3
成立；②对任
2
16、关于函数
y?sinx?cosx的四个论断：①存在
x
，使
sinx?cosx?
意的
x
，都有
f(x?2
?
)?f(x)
；③对任意的
x
，都有
f(
一个对称中心是
(
3
?
3
?
?x)? f(?x)
；④函数的
44
?
4
,0)
。
其中正确的序号为 。
三、解答题 17、（14分）函数
y?Asin(
?
?x?
?
),(A?0 ,
?
?0,
?
?
（1） 求函数的解析式；
（2） 用“五点法” 画出函数在区间
[



?
2
)
的部分图象如图所示，
?
7
?
6
,
6
]
上的草图。

r
r
1
18、（14分）已知向量
a?(si nx,1)
，
b?(cosx,?)
，定义函数
f(x)?a?(a+b)< br>
2
（1） 求函数的最小正周期；求函数的单调区间；（3） 求函数的最值。










19、（16分）弹簧上挂着的小球做上下振动,它在时间
t
(秒)离开平衡位置(就 是静止时位置)
的距离为
h
(厘米)由下面函数关系决定:
h?3sin?
2t?
?
?
?
?
?
.
4
?
①以
t
为横坐标,
h
为纵坐标作出这个函数的图象(0≤
t
≤π);
②求小球开始振动的位置;
③求小球上升到最高点和下降到最低点的位置;
④经过多少时间, 小球往返振动一次?






20、（8分）已知
f(x)?
?
?
sin
?< br>x(x<0),
求
f(x?1)?1(x>0),
?
?
11
?
f
?
?
?
?
?
6
?
?
11
?
f
??
的值．
?
6
?

专题一（副题）三角函数的图象和性质（一）
教学目标：
1、
了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和< br>函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图；
2、
理解
A,
?
,
?
的物理意义，掌握由函数< br>y?sinx
的图象到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象
的变换原理;
3、
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
教学重点：
函数
y?sinx
的图象到函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象的 变换方法．
一、
知识点归纳：

1.
“五点法”画正弦、余弦函 数和函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图.
2 .
函数
y?sinx
的图象到函数
y?Asin(
?
x?< br>?
)
的图象的两种主要途径．
3.
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
4.
会由三角函数图象求出相应的解析式.
二、知识点解析：
1.
“五点法”画正弦、余弦函数和函数
y?Asin(
?
x?
?
)< br>的简图，五个特殊点通常都是取
三个平衡点，一个最高、一个最低点；
本质为待定系数 法，
2.
给出图象求
y?Asin(
?
x?
?
)? B
的解析式的难点在于
?
,
?
的确定，
基本方法是：①寻找 特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知
图象可由哪个函数的图象经过变换得 到的，通常可由平衡点或最值点确定周期
T
，进而确
定
?
．
2
中心的横坐标是方程
?
x?
?
?k
?
?
k?Z
?
的解，对称中心的纵坐标为
0
.(
即整体代换法
)
3.
对称性:
?
1
?
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
对称轴可由
?
x?< br>?
?k
?
?
?
?
k?Z
?
解出；对 称
?
2
?
函数
y?Acos
?
?
x?< br>?
?
对称轴可由
?
x?
?
?k
?
?
k?Z
?
解出；对称中心的纵坐标是方
?
程
?
x?
?
?k
?
?
?
k?Z
?
的解，对称中心的 横坐标为
0
.(
即整体代换法
)
2
?
3
?
函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
对称 中心的横坐标可由
?
x?
?
?
k
?
?
k? Z
?
解出，对称中心的
2
纵坐标为
0
，函数
y?t an
?
?
x?
?
?
不具有轴对称性.
4.A?0
时，
y?Asin
?
?
x?
?
?
，当?
x?
?
?2k
?
?
?
2
?
k?Z
?
时，有最大值
A
，
当
?
x?
?
?2k
?
?
?
?
k?Z
?
时,有最小值< br>?A
；
A?0
时，与上述情况相反.
2
（三）典例分析：
问题1．
已知函数
y?2sin(
x
?
?
)?
x?R
?
.
23

?
1
?< br>用“五点法”画出它的图象；
?
2
?
求它的振幅、周期和初相； ?
3
?
说明该函数的图象可由
y?sinx
的图象经过怎样的变 换而得到.





π
??
π
?
问题2．
?
1
?
(
07
)函数
y?s in
?
在区
2x?
?，
π
??
??
的简图 是
y
?
3
?












?
?
3
1

x

?
2
y
?
1


?

?
2

O

?
6
?1


1

A.

y

?

?
?
?
?
2

3
O

?1

y
?
6
?
x




?
?
?
3

1

.
?
B

6

?
?
?
?
2

6

O


x

?
?
2

O

?1

?
3
?
?1




x

?
2
?
(
05
天津文)函 数
y?Asin(
?
x?
?
)
?
?
?0,
?
C.

的部分图象如图所示，则函数表达式为

A.
y??4sin(
D.

y


?
?
,x?R
?
2
4

?
8
x?
?
4
)

B.
y?4 sin(
?
8
x?
?
4
)

??
??
C.
y??4sin(x?)

D.
y?4sin(x?)

84
84

?2

O

?4

6

x

?
3
?
已知函数
y?Asin(
?< br>x?
?
)
（
A?0,|
?
|?
?
）
的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．

y

2

2
?
3

O




到图象对应解析式是
4
?
?
3

?2

8
?
3

x

问题3．
?
1?
将函数
y?5sin(?3x)
的周期扩大到原来的
2
倍，再 将函数图象左移
?
3
，得

A.
y?5sin(
3
?
3x7
?
3x
?
3x
?)
B.y?5sin(?)
C.
y?5sin(?6x)

D.
y?5cos

2210262
?
?
?
?

?
?
?
2
?
（
07
文）要得到函数
y?sinx
的图象 ，只需将函数
y?cos
?
?
x?
的图象
A.
向右平移
??
个单位；
B.
向右平移个单位；
??
??
C.
向左平移个单位；
D.
向左平移个单位 ??
?
3
?
（
04
）为了得到函数
y?sin (2x?
?
6
)
的图象，可以将函数
y?cos2x
的图象
??
个单位长度
B.
向右平移个单位长度
63
??
C.
向左平移个单位长度
D.
向左平移个单位长度
63
A.
向右平移
?
?
?
x?
问题4．
?
1
?
(
07
) 已知函数
f(x)?sin
?
??
(
?
?0)
的最 小正周期为
?
，则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
?
对称
B.
关于直线
x?
该函数的图象
A.
关于点
?
，
?
?
?
?
?
?
?
对称
?
?
对称
?
0
?
对称
D.
.关于直线
x?
C.
关于点
?
，
?
2
?< br>（
05
）已知函数
y?sin(x?
??
)cos(x?)< br>，则下列判断正确的是
1212
?
?
?
,0
?

?
12
?

A.
此函数的最小正周期为
2?
，其图象的一个对称中心是
?

B.
此函数的最小正周期为
?，其图象的一个对称中心是
?
?
?
?
,0
?

12
??
?
?
?
,0
?

?
6
?

C.
此函数的最小正周期为
2?
，其图象的一个对称中心是
?
D.
此函数的最小正周期为
?
，其图象 的一个对称中心是
?
?
?
?
,0
?

6< br>??
问题
rr
rr
cos2x)
，
b
?(1 ?sin2x
，
1)
，
x?R
，
5．
（
0 7
）设函数
f(x)?a?b
，其中向量
a?(m，
2
?< br>．（Ⅰ）求实数
m
的值；（Ⅱ）求函数
f(x)
的最小值及此且
y?f(x)
的图象经过点
?
，
时
x
值的集合．
?
π
?
4
?
?

（四）课外作业：
1.< br>要得到
y?sin2x?cos2x
的图象，只需将
y?sin2x?cos2 x
的图象
ππππ

A.
向左平移
B.
向右平移
C.
向左平移
D.
向右平移
8844
?
2.
如果函数
y?sin2x?acos2x
的图象关于直线
x? ?
对称，则
a?

8
（五）走向高考：
图象上所有的点的
?
4.
（
05
天津）要得到函数y?2cosx
的图象，只需将函数
y?2sin(2x?)
的
41
?
A.
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度 < br>28
1
?
B.
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
24
?
C.
横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标 不变），再向左平行移动个单位长度
4
?
D.
横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
8
5.
（
06< br>）为了得到函数
y?2sin(?),x?R
的图像，只需把函数
y?2sin x,x?R
的图像
6
x
3
?
上所有的点
?
1
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
6
3
?
1
B.
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 的倍（纵坐标不变）
6
3
?
C.
向左平移个单位长度，再把所得各 点的横坐标伸长到原来的
3
倍（纵坐标不变）
6
?
D.
向 右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
3
倍（纵坐标不变）

6
A.
向左平移
?
??
6.
(
07)函数
f(x)?3sin
?
2x?
?
的图象为
C，
?
??
①图象
C
关于直线
x?
11
?
?5?
?
?
对称；②函数
f(x)
在区间
?< br>?，
?
是增函数；
12
?
????
?

③由
y?3sin2x
的图象向右平移
?
个单位长度可以得到图象
C
．
?
以上三个论断中，正确论断的个数是
A.0

B.
1

C.
2

D.3

7.
（
06
）将函数
y?sin
?
x(
?
?0)
的图象按向量
r
?
?
?
a?
?
?,0
?
平移，平移后的图象如图所示，
?
6
?
y

1

则平移后的图象所对应函数的解析式是
?
?
A.
y?sin(x?)

B.
y?sin(x?)

66
??
C.
y?sin(2x?)

D.
y?sin(2x?)

33
8.
（
05）函数
y?sin(
?
x?
?
)
(x?R,
?
?0
,
0?
?
?2
?
)的部分图象如图，则
????

A.
?
?,
?
?

B.
?
?,
?
?

2436
??
?
5
?

C.
?
?,
?
?

D.
?
?,< br>?
?
4444
?
?
?
?
?
O

?1

7
?
12

x

y

1

O

1

3

x

9.
（
07
）已知函数
f(x)?sin?
?
x?
?
(
?
?0)
的最小正周期为
?
，则该函数的图象
?
0
?
对称
B.
关于直线
x?
A.
关于点
?
，
?
?
?
?< br>?
?
??
?
?
?
0
?
对称
D.
关于直线
x?
对称 对称
C.
关于点
?
，??
?
?
?
?
π
?
??
??
π
?
?
1)
，则该简
10.
（
07
文）已 知简谐运动
f(x)?2sin
?
x?
?
??
?
?
?
的图象经过点
(0，
32
谐运动的最小正周期
T
和初相
?
分别为
A.T?6
，
?
?
ππππ；
B.T?6
，
?
?
；
C.T?6π
，
?
?
；
D.T?6π
，
?
?

6363
??
11.
（
06
）已知函数
f(x)?3sin(2x? )?2sin
2
(x?)(x?R).

612
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期；（Ⅱ）求使函数
f(x)
取得最大值的
x
集合.

12.
（
05
全国Ⅰ文）设函数
f(x)?si n(2x?
?
) (?
?
?
?
?0),y?f(x)图像的一条对称轴
是直线
x?
?
8
.（Ⅰ）求
?
；（Ⅱ）求函数
y?f(x)
的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数
y?f(x )
在区间
[0,
?
]
上的图像。

其图象关
13.
(
03
全国)已知函数
f(x)?sin (
?
x?
?
)(
?
?0,0?
?
?
?
)
是
R
上的偶函数，

于点
M(






3
?
?
?
上 是单调函数。求
?
和
?
的值。
,0)
对称，且在区间?
0,
?
4
?
2
?
?
三角函数的图象 和性质（二）
教学目标：
掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的 意义，会
求经过简单的恒等变形可化为
y?Asin(
?
x?
?)
或
y?Atan(
?
x?
?
)
的三角函数的 周期．
教学重点：
求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提．
（一）
知识点归纳：

值域
[?1,1]

周期
2
?

三角函数的定义域、值域及周期如下表：
函数 定义域
y?sinx

R

y?cosx

R

[?1,1]

2
?

y?tanx

{x|x?k
?
?
?
2
,k?Z}

R

?

（二）知识点解析：
1.
求三角函数的 定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函
数线确定三角不等式的解．列三 角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开
方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于 零且不等于1，又要考虑三角函数本身的
定义域；
2.
求三角函数的值域的常用方法 ：①化为求代数函数的值域；②化为求
y?Asin(
?
x?
?
)? B
的值域；③化为关于
sinx
（或
cosx
）的二次函数式； < br>3.
三角函数的周期问题一般将函数式化为
y?Af(
?
x?
?
)
（其中
f(x)
为三角函数，
?
?0
）．
（三）典例分析：
问题1．
求下列函数的定义域:
?
1
?

f(x)?






3?tanx
；
?
2
?

f(x)?tan(sinx)
；
?
3
?

f(x)?
2cosx?1

tanx?1


问题2．
求下列函数的值域：

2sinxcos
2
x
cosx3?sinx1?sinx
；
?
2
?
y?
；
?
3
?
y?log
2
；
?
4
?
y?
．
?
1
?
y?
1?sinx
2c osx?13?sinx3?cosx









问题3．
求下列函数的周期：
sin2x?sin (2x?)
3
；
?
2
?
y?2sin(x?
?)sinx
；
?
3
?
y?
cos4x?sin4x
?
1
?
y?
?
2cos4x?sin4x
c os2x?cos(2x?)
3





?
问题4．
已知函数
f
?
x
?
??acos2 x?2
为
?
?5,1
?
，求常数
a,b
的值．







3asinxcosx? 2a?b
的定义域为
?
0,
?
?
?
，值域
?
2
??
（四）课后作业：
1.
求函数
y?lgsinx?
1
?cosx
的定义域.
2
2.
函数
y?sinx?16?x
2
的定义域为
3.
若方程
cos2x?23sinxcosx?k?1
有解，则
k ?

4.
（
05
）设函数
f(x)? sin3x?sin3x
，则
f(x)
为（ ）
2
?
?
A.
周期函数，最小正周期为
B.
周期函数，最小正周期为
33
C.
周期函数，数小正周期为
2
?

D.
非周期函数
?
?
5.
（
05
全国Ⅱ ）函数
f(x)?sinx?cosx
的最小正周期是
A.

B.C.
?

D.
2
?

42
6 .
函数
y?sin
6
x?cos
6
x
的最小正周期 为

7.
函数
y?tanx?cotx
的周期是
6cos
4
x?5sin
2
x?4
，求
f
?
x
?
的定义域，判断它的奇偶性，并求其
8.
已知函数
f
?
x
?
?
cos2x
值域




（五）走向高考：
9.
（
04
）函数
y?s in
4
x?cos
2
x
的最小正周期为
A.
?
?

B.

C.
?
D.2
?

42
π
??
π
??
10.
（
07
）函数
y?sin
?
x ?
?
sin
?
x?
?
的最小正周期
T?

3
??
2
??
?
??
?
11.
（
06
）已知函数
f(x)?2sin
?
x
?
??0
?
在区间
?
?,
?
上的最小值是
?2，则
?

?
34
?
的最小值等于
A.
23

B.

C.
2

D.3

32
12.
（
07
文）解不等式
(3x?1?1)(sinx?2)?0
．














1 3.
（
07
天津）已知函数
f(x)?2cosx(sinx?cosx)? 1
，
x?R
．
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期； < br>（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
?
，
?
上的最小值和最 大值．
84
?
π3π
?
??

14.
（
07
）设
f(x)?6cos
2
x?3sin2x
．（Ⅰ）求
f(x)
的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角
?
满足
f(
?
)?3?23
，求
t an

















4
?
的值．
5
专题二：平面向量及其运用
教学目标
考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.
考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.
考点3：解斜三角形.
考点4：线段的定比分点、平移公式.
考点5：向量的运用.
基本概念检测：

1、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量；
2、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）；
3、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量；
4、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.
5、 向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿.
6、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
?R
，
a?b?
＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a
－
b
＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
?
a
＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
cos<
a, b>=____________=__________________
.
a
∥
b
?
＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a
⊥
b
?
＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿.

6、 正弦定理的容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
7、 余弦定理的容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
9、定比分点坐标公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（其中
?
＝＿＿＿＿＿＿）.
10、平移公式是 ____________________.
【重点
?
难点
?
热点】
问题1：向量的有关概念与运算

此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充 分理解平面向量的相关概念，熟练
掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件 .
例1：已知
a
是以点
A
(3,－1)为起点，且与向量
b
= (－3,4)平行的单位向量，则向量
a
的终点坐标是 .
思路分析：与
a
平行的单位向量
e
=±
a
|a |

方法一：设向量
a
的终点坐标是(
x
,
y< br>),则
a
=(
x
-3,
y
+1)，则题意可知
1218
??
121189
x?x?
??
，故填 (,-)或(,-)
4(x?3)?3(y?1)?0
?
??
55
　解得或
???
5555
22
（）?（y＋1）?1
?
x－ 3
?
y??
1
?
y??
9
?
5
?
5
??
方法二 与向量
b
= (-3,4)平行的单位向量是±< br>134
(-3,4)，故可得
a
＝±(-,)，从而
555
向 量
a
的终点坐标是(
x
,
y
)=
a
－(3,－1),便可得结果.
点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要 分清、理解各概念的实质，注意区分
共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.
例2：已知|
a
|=1,|
b
|=1，
a
与
b
的夹角为60°,
x
=2
a< br>－
b
，
y
=3
b
－
a
,则
x
与
y
的
夹角是多少？
思路分析：要计算
x
与< br>y
的夹角
θ
，需求出|
x
|,|
y
|,x
·
y
的值.计算时要注意计算的
准确性.
解：由已知|a
|=|
b
|=1，
a
与
b
的夹角
α
为60°,得
a
·
b
=|
a
||
b
|
cosα
=
要计算
x
与
y
的夹角
θ< br>，需求出|
x
|，|
y
|，
x
·
y
的值.
1
.
2

∵|
x
|=
x< br>=(2
a
－
b
)=4
a
－4
a
·< br>b
+
b
=4－4×
|
y
|=
y
=( 3
b
－
a
)=9
b
－6
b
·
a< br>+
a
=9－6×
22222
22222
1
+1=3，
2
1
+1=7.
2
x
·
y
=(2
a
－
b
)·(3
b
－
a
)=6
a
·
b
－2
a
2
－3
b
2
+
a< br>·
b

13
－2－3=－，
22
3
又∵< br>x
·
y
=|
x
||
y
|
cosθ< br>，即－=
3
×
7
cosθ
，
2
=7
a
·
b
－2
a
－3
b
=7×
22
∴
cosθ
=－
212121
，
θ
=
π
－
arccos
.即
x
与
y
的夹角是
π
－
arccos

141414
22
点评：①本题利用模 的性质|
a
|=
a
，②在计算
x
,
y
的模 时，还可以借助向量加法、减
法的几何意义获得：如图所示，设
AB
=
b,
AC
=
a
,
AD
=2
a
,∠< br>BAC
=60°.由向量减法的几
何意义，得
BD
=
AD－
AB
=2
a
－
b
.由余弦定理易得|
BD< br>|=
3
，即|
x
|=
3
，同理可得
|
y
|=
7
.
问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用
当平 面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该
未知数的关系式.在此 基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路
是转化为代数运算，其转化途径主 要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向
量数量积的公式和性质.
例3．已知平面向量a＝(
3
，－1)，b＝(
1
,
2
2
3
).
2
(1) 若存在实数
k
和
t
，便得
x
＝a＋(
t
－3)b,
y
＝ －
ka
＋
t
b，且
x
⊥
y
，试求函数的关
系式k＝f(t)；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.
思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的
等量关系怎 么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区
间的简捷有效的方法？
t
2
?23?33t
2
?23?2
解：（1）法一：由题意 知
x
＝(,),
22
y
＝(
3
1
t－
3
k，t＋k)，又
x
⊥
y

2
2
3
t
2
?23?33t
2
?23?2
1
故
x
·
y
＝×（t－
3
k）＋×(t＋k)＝0.
2
22
2

整理得：t－3t－4k＝0，即k＝
3
1< br>3
3
t－t.
44
法二：∵a＝(
3
，－1)，b ＝(
2
1
3
, ), ∴.
a
＝2，
b
＝1且a⊥b
2
2
223
∵
x
⊥
y
，∴
x
·
y
＝0，即－ka
＋t(t－3)
b
＝0，∴t－3t－4k＝0,即k＝
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝
1
3
3
t－t
44
1
3
33
3
3
t－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t－,
4444
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的
坐标运算 分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的
充要条件，其过程要用 到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程
大大简化，值得注意）.第（2）问 中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇
点处的综合运用.
?
演变3： 已知平面向量
a
＝(
?
3
1
3
，－1)，
b
＝(，)，若存在不为零的实数k和
2
2
?
?
?
?
???
?
a
cac
角α，使向量＝ ＋(sinα－3)
b
,
d
＝－k＋(sinα)
b
,且⊥
d
，试求实数k 的
取值围.
点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地 考查
了向量与三角函数、不等式综合运用能力.
演变4：已知向量
a?(1,2),b?(?2,1)
，若正数k和t使得向量
1
x?a?(t
2
?1)b与y??ka?b
垂直，求k的最小值.
t
点拨与提示：（1）利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.（2）利用均值不
等式求最值.

问题3：平面向量与三角函数的综合运用
向量与三角函数 结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了
对双基的考查.
例4．设函数f (
x
)＝a · b，其中向量a＝(2cos
x
, 1), b＝(cos
x
,
3
sin2
x
),
x
∈
R.
（1）若f(
x
)＝1－
3
且
x
∈[－
??
，]，求
x
；
33
?)平移后得到函数
y
＝f(
x
)
2
（2）若函数
y
＝2sin2
x
的图象按向量c＝(m , n) (
m
﹤
的图象，求实数m、n的值.

思路分析：本题主要考 查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等
基本技能，
解： (1)依题 设，f(
x
)＝（2cos
x
，1）·(cos
x
,
3
sin2
x
)
＝2cos
x
＋
3
s in2
x
＝1＋2sin(2
x
＋
2
?
)
6
由1＋2sin(2
x
＋
3
?
?
)=1－3
，得sin(2
x
＋)＝－.
2
66
???
?
5
?
≤
x
≤ , ∴－≤2
x
＋≤,
33266
?
?
?
∴2
x
＋=－, 即
x
＝－.
634
∵－
（2）函数
y
＝2sin 2
x
的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数
y
＝2sin2(x
－m)+n
的图象，即函数
y
＝f(
x
)的图象.
由(1)得f (
x
)＝
2sin2(x?
?
12
)?1
∵
m
＜
?
?
， ∴m＝－，n＝1.
212
点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点
平移后的对应点所组 成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，
也就找到了此问题的解题途径.② 一般地，函数
y
＝f (
x
)的图象按向量a＝(h , k)平移后的
函数解析式为
y
－k＝f（
x
－h）
演变5 ：已知
a
=（
cosα
，
sinα
）,
b
=（
cosβ
,
sinβ
）(0<
α
<
β
<
π
)，
（1）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（ 2）若
ka
+
b
与
a
-
kb
的模大小相等 (
k
∈
R
且
k
≠0)，求
β
－
α







【临阵磨枪】
1．已知向量
a?(1,2),b?(?2,?4),|c|?5,若(a?b)?c?
5,则a与c的夹角为
（ ）
2
A 30° B 60° C 120° D 150°
2．已知点M
1
（6，2）和M
2
（ 1，7），直线
y?mx?7
与线段M
1
M
2
的交点分有向 线段M
1
M
2
的
比为3：2，则的值为 （ ）
A
?
321
B
?
C D 4
234
3．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a ，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（ ）
A
??2?5?
B C D
6336

uuur uuur
uuur
4．已知向量
OB
=(2，0),向量
OC
=（2，2），向量
CA
=（
2cos?,2sin?
），则向量
uuur
uuur
OA
与向量
OB
的夹角的围为 （ ）
??5?5???5?
］ B ［，］ C ［，］ D ［，］
44121221212
uuur
uuur
2
5．设坐标原点为O， 抛物线
y
=2
x
与过焦点的直线交于A，B两点，则
OA
·
OB
=（ ）
A ［0，
A
33
B
?
C 3 D －3
44uuur
uuur
6．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满 足
OP
=
OA
+λ()，
??[0,??)
，则点P的轨迹 一定通过△ABC的（ ）
A 外心 B 心 C 重心 D 垂心
7．点
P
在平面上作匀速直线运动，速度向量
v?(4,?3)< br>（即点
P
的运动方向与
v
相同，且
每秒移动的距离为
v
个单位）．设开始时点
P
的坐标为（－１０，１０），则５秒后点
P
的
坐标为（ ）
A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）
rrrrrrr
8．已知向量
a
≠
e
，|
e
|＝1，对任意
t
∈R，恒有|
a
－
t
e
|≥|
a
－
e
|，则（ ）
rrrrrrrrrrrr
A
a
⊥
e
B
a
⊥(
a
－
e
) C
e
⊥(
a
－
e
) D (
a
＋
e
)⊥(
a
－
e
)
9． P是△ABC所在平面上一点，若
PA?PB?PB?PC?PC?PA
，则P是△ABC的（ D ）
A 外心 B 心 C 重心 D 垂心
444222
10．△ABC中，若a+b+c=2c(a+b)，则∠C度数是：
A 60 B 45或135 C 120 D 30

11．已知向量a=(
cos?,sin?
)，向量b=(
3,?1
)，则|2a－b|的最大值是
12．把函数
y< br>=2
x
－4
x
＋5的图像按向量a平移，得到
y
=2
x
的图像，且
a
⊥b，c=(1,－1)，
b·c=4，则b=
13．已知平面上三点
A
、
B
、
C
满足|
AB
|=3,|
BC
|=4，|
CA
|=5,则
22
00000
AB?BC?BC?CA?CA?AB
的值等于 .
14．在< br>?ABC
中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则
OA?(OB?OC)
的最小值是_____.
15．已知向量
a
＝(sin
θ
，1)，
b
＝(1，cos
θ
)，－＜
θ
＜．
22
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求
θ
；（Ⅱ）求｜
a
＋
b
｜的最大值．

ππ

16．06年卷）如图， 已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是
边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，
设MGA＝（
?
3
?
?
?
2
?
）
3
（1） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S
1
与S
2
）
表示为的函数
（2） 求
y
＝
高考真题
11
＋
的最大值与最小值
22
S
1
S
2
r
r
2011（14）已知向量
a
，
b
满足（a
+2
b
）·（
a
-
b
）=－6，且
a?
，
b?2
，则
a
与
b
的夹
角为 .
2010 16、（本小题满分12分）

?ABC
的面积是 30，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，
cosA?
12
。
13
uuuruuur
(Ⅰ)求
ABgAC
；
(Ⅱ)若
c?b?1
，求
a
的值。
uuuv
uu uvuuuv
2009（14）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或
AC
=
?
AE
+
?
AF
,
其中
?
,
?
?
R ,则
?
+=
?
_________.