高中数学 必修4 (王后雄电子版)

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例题1】 （1）化简：
cos (x?27?)cos(x?18?)?sin(x?27?)sin(x?18?)
.
（2）
cos
?
?
4
5
,
?
?(?
?
2
,0),求cos(
3
5
3
5
?
3
?
?
)
的值.
4
5
,求cos(
?
?
?
)
的值. 【例 题2】已知
cos
?
?cos
?
?
【例题3】在△ABC中 ，
sinA?
【例题4】已知
?
4
?
?
?
?
?
3
?
4
,sin
?
?sin
?
?
,cosB?
5
13
,求cosC
的值.
12
13
,sin(
?
?
?
)??
3
5
,求 sin2
?
的值.
,cos(
?
?
?
)?
【例题5】求出下列各式的值，完成填空。
（1）
3?tan15?
1?3t an15?
?____________________.

1?cot15?
1?tan75?
（2）
tan62??cot58?
1?cot28??tan32?
?____________;
（3）
?____________.

【例题6】求
cos80?cos35??cos10?cos55?
值.
【例题7】
sin7??cos15??sin8?
cos7??sin15??sin8?< br>12
13
的值为_________________.
3
?
2
),求tan(
?
?
【例题8】已知
cos
?
??,
?
?(
?
,
?
4
)
的值.
3?tan(
?
6
?
?
)
【例题9】化简：
1? 3cot(
?
3
.
?
?
)
3tan18?tan42?
. 【例题10】化简：（1）
tan15??tan30??tan15?tan30?
； （ 2）
tan18??tan42??
?
12
5
?
12
【例题11】（1）求
cos
1
3
cos
的值； （2）已 知
sinx?
?
2
5?1
2
,则sin2(x?
?
4
)?__________
.
（3）若
sin
?< br>?且2
?
?
?
?3
?
,则sin
5
?
?cos
?
2
=___________________.
（
【例题12】已知
?
?
3
?
1
，），|cos2< br>?
|?,则sin
?
的值是（ ）
425
A.
?
10
5
B.
10
5
C.
?
15
5
D.
15
15

【例题13】若
3
?
2
?
?
?2
?
,化简：
1
2
?
1
2
1
2
?
1
2
cos2
?
.
【例题14】（1）求下式的值：
cot5??tan40??tan85?cot50?
.
（2）化简
cos
2
A?cos(A?B)?2cosAcosBcos(A?B)
.
2
【例题15】求值：（1）
sin10?sin50?sin70?
； （2）
sin6?sin42?sin66?sin78?
.
【例题16】求值：< br>(1?tan1?)(1?tan2?)...(1?tan44?)
.

【例题17】化简： （1）
cos72??cos36?
； （2）
cos20??cos40??cos60??cos80?
；
（3）< br>cos
?
?cos
?
2
?cos
?
2
2
?cos
?
2
3
...cos
2
?
n ?1
；
2
2
【例题18】已知
tan
?
、tan
?
是方程
x?3x?3?0
的两根，试求
sin(
?
?
?
)?3sin(
?
?
?
)?

3cos(
?
?
?
)
的值.
2
【例题1 9】已知
0?
?
?
??
4
,
4
?
?
?
3
?
4
,cos(
?
4
?
?
)?
11
14
3
5
,sin(
3
?
4
?
?
)?
5
13
,求sin(
?
?< br>?
)
的值.
【例题20】（1）已知
tan
?
?4 3,cos(
?
?
?
)??
（2）已知
?
?( 0,
2
,0??
?
?90?,0??
?
?90?,求cos
?
的值；
?
4
),sin(
?
4
2?
?
)?
7
25
,求cos2
?
.
【例题21】求
sin20??cos50??sin20?cos50?
的值. < br>【例题22】求
[2sin50??sin10?(1?3tan10?)]?2sin
2
80?
.
【例题23】（1）函数
y?cosx?cos(x?
（2）当
?
?
2
?
3
)
的最大值是_______ __________.
3cosx
的（ ）. ≤
x
≤
?
2
，函数
f(x)?sinx?
A. 最大值是1，最小值是-1. B. 最大值是1，最小值是-
1
2
.
C. 最大值是2，最小值是-2. D. 最大值是2，最小值是-1.
【例题24】已知
sin
?
?sin< br>?
??
2
1
3
,cos
?
?cos
?
?
2
1
2
,求cos(
?
?
?
)
的值.
【例题25】化简
sin
?
sin3
?
?cos
?
cos3
?
.
【例题26】求
sin10?sin30?sin50?sin70?
的值.
【例题27】已知
?
、
?
都是锐角，且
sin
?
?
5
5
,sin
?
?
10
10
,求
?
?
?
.
【例题28】已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C= 2B，且
1
cosA
?tan
?
C
2
1
c osC
?
??
2
cosB
A
2
tan
,求 cos
C
2
A?C
2
的值.
【例题29】在△ABC中， 已知A、B、C成等差数列，求
tan
【例题30】已知
a1?b
2
A
2
2
3tan
的值.
?b1?a
2
?1
，求证：
a
2
?b?1
.
【例题31】化简：
tanx ?tan2x?tan2x?tan3x?...?tan(n?1)xtannx
.

【例题32】如图3-1-2，扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，PQRS是扇形的内接矩形，
问P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值.
4能力?题型设计
速效基础演练
1.
cos70?cos335??sin110?sin25?
的结果是（ ）
A. 1 B.
2
C.
3
D.
1

22
2
2.
2cosx?6sinx?
（ ）
A.
22cos(
?
6
?x)
B.
22cos(
?
3
?x)

C.
22cos(x?
?
6
)
D.
22cos(x?
?
3
)

3. 已知
tanx?2,则tan2(x?
?
4
)
等于（ ）
A.
4
B.
?
4
3
3
3
C.
4
D.
?
3
4

4. 已知
?
?
?
?
?
,cot
?
??
33
24
,则cos(
?
?
4
?
)
的值是（ ）
A.
22
C.
72
D. -
72
10
B. -
101010

5. 已知
tan(
?
?
?
)?
2
,tan(
?
?
?
)?
1
554
,那么tan(
?
?
?
5
)
的值为___ ____________.
6. △ABC中，若
sinAsinB?cosAcosB,
则这个三角形是_________________三角形.
知能提升突破
1.
sin163?sin223??sin253?sin313??
（ ）
A.
?
1
1
3
2
B.
2
C.
?
2
D.
3
2

2. 设
?
?(0,
?
3< br>,则2cos(
?
?
?
2
),若sin
?
?
54
)?
（ ）
A.
7
B.
1
55
C. -
7
5
D. -
1
5

3.
3sinx?3cosx?23sin(x?
?
),
?
?(?
?
,
?
),则
?
的值是（ ）
A. -
?
6
B.
?
?5
?
5
?
6
C.
6
D.
6

4. 若
sin (
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
??
)sin
?
?0,则sin(
?
?2
?
)? sin(
?
?2
?
)
等于（
A. 1 B. -1 C. 0 D. ±1
5. 已知α是第三象限角，且
sin
?
??
24
25
,则tan
?
2
等于（ ）
A.
4
3
B.
34
4
C. -
3
D. -
3
4

）

6. 化简
1?cos 4
?
?sin4
?
1?cos4
?
?sin4
?< br>的值为（ ）
A.
tan2
?
B.
cot2
?
C.
tan
?
D.
cot
?

7. 已知
tan
?
和tan(
?
4
?
?
)
是方程
x
2
?px?q?0
的两个根，则
p、q
满足关系式___________.
8. 若
f(
?
)?
1
2
sin
cot
?
?
?
2
cos2
?
2
，那么
f(
?
)
的值为_______ ______.
?
12
2
5
13
1?2cos
3
5
,sin(
9. 已知
cos(
1
sin10?
?
3
?
?
)??
2
?
3
?
?)?,且0?
?
?
?
2
?
?
?
?,则cos(
?
?
?
)
的值为_____________.
10.
?
3
sin80?
=_____________.
2
?
3
11. 是否存在锐角
?
、
?
，使 得（1）
?
?2
?
?,(2)tan
?
2
tan< br>?
?2?3
同时成立？若存在，求出锐角
?
、
?
的值 ；若不存在，说明理由.
12. 已知
sin(
?
4
?x)sin (
?
4
?x)?
1
6
8
17
,x?(?
2
,
?
)求sin4x
的值.
21
29
13. 已知
?
、
?
为锐角，
s in
?
?,cos(
?
?
?
)?
，求
co s
?
.
14. 是否存在正实数
m
使得
sin50?(m ?3tan10?)?1
，如果存在，求出
m
的值；如果不存在，说明理由.
最新5年高考名题诠释
【考题1】已知函数
f(x)?
1
2
(sinx?cosx)?
1
2
|sinx?cosx|,则f(x)
的值 域是（ ）
A. [-1,1] B.
[?
2
2
,1]
C.
[?1,
2
2
]
D.
[?1,?
2
2
]

【考题2】函数
f(x)?sinx?
A.
[?
?
, ?
5
?
6
3cosx（x?[?
?
,0])
的单调 递增区间是（ ）
]
B.
[?
2
5
?
6
,?
?
6
]
C.
[?
?
3
,0]
D.
[?
?
6
,0]

【考题3】函数
f(x)?si nx?3sinxcosx
在区间
[
1?
2
4
5
? ?
4
,
2
]
上最大值是（ ）
3
2
A. 1 B.
【考题4】已知
cos(
?
?
23
5
3
C.
3,则sin(
?
?
7
?
6
D. 1+
3

?
6
)?sin
?
?)
的值是（ ）
A.
?
B.
23
5
C.
?
4
5
D.
4
5

【考题5】
3?sin70?
2?cos10?
2
=（ ）

A.
1
2
B.
2
2
C. 2 D.
?
2
3
2

【考题6】函数
f(x)?3sinx ?sin(
1
5
?x)
的最大值是__________.
35
,则tan
?
?tan
?
=_____________. 【考题7】若
cos(
?
?
?
)?,cos(
?
?
?
)?
2
【考题8】已知函数
f(x)?sin
(1)求
?
的值.
（2）求函数
f(x)
在区间
[0,
?
x?3sin
?
xsin(
?
x?
?
2
)(
?
?0)
的最小正周期为
?
.
2
?
3
]
上的取值范围.
【考题9】设
f(x)?6cos
2
x?3sin2x
.
（1）求
f(x)
的最大值及最小正周期.
（2）若锐角
?
满 足
f(
?
)?3?23,求tan
【考题10】已知函数
f(x)? cos(
?
3
?x)cos(
4
5
?
的值. ?x),g(x)?
1
2
sin2x?
1
4
?
3
.
（1）求函数
f(x)
的最小正周期.
（2） 求函数
h(x)?f(x)?g(x)
的最大值，并求使
h(x)
取得最大值 的
x
的集合.
【考题11】设函数
f(x)?(sin
?
x?cos
?
x)
2
?2cos
2
?
x(
?
?0)
的最小正周期为
（1）求
?
的值；
（2 ）若函数
y?g(x)
的图象是由
y?f(x)
的图象向右平移
区间 .
【考题12】 定义在区间
(0,
?
2
)
上的函数y?6cosx
的图象与
y?5tanx
的图象的交点为P，过点P作
2
?
3
.
?
2
个单位长度得到，求
y?g(x)< br>的单调递增
PP
1
?x
轴于点
P
1
，直线< br>PP
1
与y?sinx
的图象交于点
P
2
，则线段< br>P
1
P
2
的长为_____________.