高中数学必修四知识点总结

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必修四数学公式概念
第一章三角函数
1.1
任意角和弧度制
1.1.1
任意角
1、一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
Sk360,kZ.
与角终边垂直的角的集合：S90k180,kZ.
1.1.2
弧度制
2、如图，圆O的半径为1，的长等于1，AOB就是1弧度的角。
l
l
3、角的弧度数的绝对值是：r
变形：lrr
其中半径r，圆心角
，弧长
l.
4、特殊弧度数
度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°

弧度0

1264312
5
23
2 3
4
5
6
度180°210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度
5、弧长公式：lr
“弧度”与“度”计算公式：
6、扇形面积公式：
S
扇形

1 1
lr
2 2

2
r

弧度

度
180
180

度 弧度
7
6
5
4
4
3
3
2
5
3
7
4
11
6

2
1.2
任意角的三角函数
1.2.1
任意角的三角函数
2y
1、如图：OPrx0

y

①正弦：
sin②余弦：
r
y
③正切：tan(x0)
x
2三角函数定义域3、三角函数值的符号
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2

cos
x

r

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三角函数定义域
sinR
必修四数学1
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cosR
tank,kZ
2
4、诱导公式一
sin(k2)sin,
cos(k2)cos,
tan(k2)tan,
其中kZ.

_

_+

+
利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为0,2内的三角函数值。
5、三角函数线

如图，
sinyMP,cosxOM,tanAT
6、特殊角的三角函数
y
x
角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
sin
正弦

0
1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2
1
2

010
cos
余弦

1

3
2

2
2

1
2

0

1
2

2
2

3
2

101
tan

正切

0

3
3

13
不存

在31

3
3

0
不存

在

0
必修四数学2
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x=y
补充1、如图，角平分线落在一、三象限线xy
上方，则
sinxcosx.
补充2、如图，当0,时，sintan
2
证明：


SOPA
112
OAOMOA
22
MPAT
sintan
SOPAS

扇形
OAT

1

OAAT
2
1.3
同角三角函数的基本关系
22
7、平方关系：sincos1
sin
8、商数关系：tan
cos
2
cos②

2
③sincos12sincos
1tan

21cos
变形：
sin，

变形：sintancos，cos
1

2
sin
2

21sin
cos
sin

tan
2

9、推导公式：①2

2
tan
2
1
tan
22

④sincossincos2
1.1.3
三角函数的诱导公式
公式二：公式三：公式四：
sinsin,sinsin,sinsin,
coscos,coscos,coscos,
.
公式五：公式六：
sincos,sincos,
22

cos

tan
2

2
sin,

1
.
tan
cossin

2

tan
2
,

1
.
tan
1.1.4
三角函数图象与性质
1.2.2
正弦函数、余弦函数的图像
1、正弦、余弦函数图象
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2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：
3
ysinx，x0,2
：
0,0,,1,,0,,1,2,0
22
3
ycosx，x0,2：0,1,,0,,1,,0,2,1
22
1.4
正弦函数、余弦函数的性质
3、对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
fT fx
，那么函数
fx
就叫做周．期．函．数．、非零常数
T就叫做这个函数的 周期．．。
x
函数yAsinx及函数yAcosx的周期T2.
4、重要推论
（1）若函数faxfax
，则
fx
关于
xa
对称；

若函数faxfax
，则
fx
关于点
a,0对称.
（2）与周期相关的结论
①fxafx
，则函数
fx
的一个周期
T2a；

②
fxa
1
，则函数fx的一个周期T2a；
f x
1

，则函数fx的一个周期T2a；
f
x

③
fxa
④fxafxb
，则函数
fx
的一个周期
Tab；

a
1 f x
，则函数
⑤fx
fx
的一个周期
T4a；
1 f x
xb
对称，则
fx
周期
T2ab
；
⑥fx
关于
xa
和
⑦fx
关于
a,0
和
b,0
对称，则
fx
周期
T2ab
；

⑧fx
关于
a,0
和
xb
对称，则
fx
周期
T4ab.
5、正弦函数ysinx的定义域为R；值域为1,1.

当x2kkZ
2
时，y取最大值1；当x2kkZ

2
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时，y取最小值1.

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6、余弦函数ycosx的定义域为R；值域为1,1.
当x2kkZ时，y取最大值1；当x2kkZ时，y取最小值1.
7、奇偶性
由诱导公式sinxsinx，cosxcosx可知：
正弦函数是奇．函．数．，余弦函数是偶函．数．．。
8、对称性
（1）正弦曲线对称中心坐标为k,0kZ；对称轴方程是xkkZ
2
（2）余弦曲线对称中心坐标为k,0kZ
2
9、单调性
（1）正弦函数ysinx在2k,2kkZ
22
3
到1；在2k,2kkZ
22
（2
）余弦函数
ycosx
在
2k,2kkZ
上都是增函数，其值从
1增大到1；
在2k,2kkZ上都是减函数，其值从1减小到1.
上都是增函数，其值从1增大


；对称轴方程是xkkZ.

.
上都是减函数，其值从1减小到1.

1.4.3
正切函数的性质与图像
10、正切函数的图像11、正切函数ytanx的定义域是：

xxk,
2
12、周期性
由诱导公式tanxtanx,xR,
xk,kZ
2
期函数，周期是T.
13、奇偶性
由诱导公式
kZ

.
可知，正切函数是周
tanxtanx,xR
，

kZ

可知，正切函数是

奇

xk,
2
函数。
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14、单调性：正切函数在开区间k,kkZ
内
22
数。
都是增函

15、值域：正切函数的值域为R.
1.5
函数yAsinx的图像
1、对ysinx，xR图像的影响
函数ysinx（0）的图像，可以看做是把ysinx的图像上各点向左（0）
或向右（0）平移个单位得到的。（可简记为左“”右“”）
2、0对ysinx图像的影响
函数ysin(x)的图像上点的横坐标缩短1或伸长01到原来的
（纵坐标不变）而得到的。
3、AA0对yAsinx图像的影响
函数yAsinx的图像，可以看做是把ysinx上所有点的纵坐标伸长
(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍（横坐标不变）而得到。
4、yAsinx
，
x0,
，
A0,0
的性质


k
（1）对称轴：令sinx1，即xk
，2(kZ)
2 x
（2）对称中心：令sinx0，xk，

k
x，
k
,0kZ
（3）最值：y1,x2k,y
max
min
1,x2k
22
（4
）单调区间：
A,均大于0以后，将x整体代入
5、当函数yAsinxx0A0,0表示一个振．动．量．时，A为振．幅．，
是周．期．，


1
f是频．率．，x为相．位．，为初．相．。
T2
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1
倍

2
T

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第二章平面向量
1.5
平面向量的基本概念
1.1.5
平面向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。
1.1.6
向量的几何表示
3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段
包含三个要素：起点、方向、长度。
4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量AB的大小，也
就是向量AB
的长度（或称模），记作
AB
或者
a.
5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向不确定，是任意的。
6、单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字母a、b、c、?表示向量；手写时，
写成带箭头的小写字母a、b、、c?表示。
8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记
ab。零向量与任一向量平行，即对于任意向量a
，都有
0a.
平行向量也叫做共线向量。
作
1.1.7
相等向量与共线向量
9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。
10、共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。
1.6
平面向量的线性运算
1.2.3
向量加法运算及其几何意义
1、三角形法则：如图，已知非零向量a、b，在平面内任
取一点A，作ABa，BCb，则向量AC
叫做
a
与
b
的和，记作ab，即abABBCAC.
对于零向量与任一向量a，仍然有0+a=a+0=a
2、平行四边形法则：如图，以同一点O为起点的两个已知向
量
a
、
b为邻边作OACB
，则以
O为起点的对角线OC就
是
a
与
b的和。记作ab=AC.
3、向量a、b、ab的关系
（1
）
a
、
b都为非零向量
（Ⅰ）当a、b不共线时，
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ababab
（Ⅱ）当
a
、
b共线时，①同向，则abab
；②反向，则
abab
（2
）当
a
、
b至少有一个为零向量时，ababab
综上所述：当
a
、
b不共线时，一般地，我们有ababab.
4、向量加法（1）交换律：abba（2）结合律：abcabc
2.2.2
向量减法运算及其几何意义
5、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.
若
a
、
b是互为相反的向量，则ab，ba
，
ab0.
6、向量的减法：如图，已知向量a于b，在平面
内任取一点O，作OAa，OBb，则
BAab，即ab表示的向量从向量b的终点
指向向量
a
的终点的向量。

7、向量a、b
、
ab
的关系

（1）a、b都为非零向量，
（Ⅰ）当
a
、
b不共线时：ababab
（Ⅱ）当
a、
b共线时，①同向，则abab
；②方向，则
abab
（2
）当
a
、
b少有一个为零向量时，ababab
综上所述：当a、b不共线时，一般地，我们有ababab.
2.2.3
向量乘法运算及其几何意义
8、向量的数乘：实数于向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，
它的长度与方向规定如下：

aa
a
a
结果也是向量

a
当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当
0时，a0.
9、向量满足的运算律
设、为实数，则有结合律：aa；
第一分配律：aaa
；第二分配律：
abab.
特别的，我们有aaa
；
abab.
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10、数乘向量与原向量之间的位置关系
（1）当a0时，a
与
a
共线；

（2）当a0时，a
与
a
同向，则
0；反向，则0.
11、对于向量aa0、b，如果有一个实数，使ba，那么由向量数乘的定义知，
a与b共线。
12、共线向量定理
（1）判定定理：如果baR
，那么
ab
（2）性质定理：如果ab，a0，那么存在唯一一个实数，使得ba
2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
1.1.8
平面向量基本定理 1、平面向量基本定理：如果e
1、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量 ，那么对于这一平面内
的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量a
，有且只有一对实数

1
、
2
，使

aee.我们把不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
1122
2、两向量的夹角
如图，非零向量a
、
b中，作OAa，OBb，则
oo
AOB0108
叫做向量
a
与
b
的夹角。如 果
a
与
b的夹
角是90
°，我们说
a
与
b
垂直，记作
a⊥b.
1.1.9
平面性量的正交分解及坐标表示
3、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正
交分解
4、如图，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实x、y使得
axiyj.
ax,y
叫做向量的坐标表示。

把
1.1.10
平面向量的坐标运算
5、向量的加减法运算
若a x
1
,y
1
，bx
2
,y
2
，则abx< br>1
x
2
,y
1
y
2
，abx
1x
2
,y
1
y
2

两个向量的和与差的坐标分别分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
6、实数于向量的积
若ax
1
,y
1
，bx
2
,y
2
，则ax
1
,y
1
x
1
,y
1

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
7
、若
Ax
1
,y
1，
Bx
2
,y
2，则
ABx2
x
1
,y
2
y
1

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一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
2.3.4
平面向量共线的坐标表示
8、设Ax
1
,y
1
，Bx
2
,y
2
，其中b0，当且仅当x
1
y2
x
2
y
1
0
时，向量
a
、
b共线。
ab
（
b0
）
x
1
y
2
x
2
y
1
0.
即
1.1.11
平面向量的数量积
1.2.4
平面向量数量积的含义
1、数量积：已知两个非零向量a
与b，我们把数量abcos
叫做
a
与
b的数量积（或内
积）， 记作ab
，即
ababcos.其中，
是
a
与
b的夹角。
我们规定，零向量与任一向量的数量积为0.即0a0.

注意：（1）a、b运算结果是数量；（2）它在0,
2、根据向量数量积的定义得出的结论
（1
）
abab0
（2
）当
a
与
b同向时，
abab
；当
a
与
b
反向时，
aba b.特别的，
22

aaaa
或

2

aaaa.
为正，,

2
2
为负。

（3）abab（共线时取等号）
ab
.
b
ab

ab
（4
）求投影，由
ababcosacos

求夹角，由
ababcoscos
3、平面向量数量积的几何意义
数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos的乘积。
4、向量的运算律
（1
）交换律：
abba（2）结合律：ababab
（3）分配律：abcacbc
2222
（4）

abaabb（5）

ababab
22
1.2.5
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
5、平面向量数量积的坐标表示
设
Ax
1
,y
1，
Bx
2
,y
2
，则abx
1
x
2
y
1
y
2
.
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也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
6、向量的长度（模）的坐标表示
（1
）向量的长度（模）：若
ax,y
，则有

（2）两点间的距离公式：设A
、
B
两点坐标分别为
22

2xy
a，
x
A
,y
A
，

axy.
22
x,，则
By
B
22
ABxxyy
AABB
7、两向量垂直的充要条件的坐标表示
设
ax
1
,y
1，
bx
2
,y
2
，则ab x
1
x
2
y
1
y
2
0
8、两向量夹角的坐标表示
设ax
1
,y
1
，bx
2
,y
2
，a，b的夹角为，则有

cos
ab

ab

xxyy
1212
2222
xyxy
1122
平面向量补充内容
补充1、平面内不同四点为O,A,B,C，则
A,B,C三点共线OCOAOB1或
OCOA1OB.

特别的，当
1

1

时，C为AB中点，
OCOAOB.
2
2
补充2、（1）若GAGBGC0，则G为△ABC
的重心。

（2
）若
Ax
1
,y
1，
Bx
2
,y
2，Cx
3
,y
3
，则G坐标为
xxx

x
123
3
yyy
y
123
3

补充3、当
PPPP时，则xx
1
,yy
1
x
2
x,y
2
y
12

xxxx
12

yyyy
12
xx
x
12
1
yy
y
12
1
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xxyy
起终起终
总结：若
.

P
起
P
分
P
分
P
终
，则,
11
第三章三角恒等变换
1.7
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.1.12
两角差的余弦公式
1、coscoscossinsin（C）
给出任意角，的正弦、余弦值与其夹角的余弦值之间的关系.称为差角的余弦公
C.
式。简记作
1.1.13
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、两角和的余弦公式
coscoscossinsin（C）
3、两角和（差）的正弦公式
sinsincoscossin（S）
sinsincoscossin（S）
4、两角和（差）的正切公式

tan

tantan
1tantan

tantan
1tantan

（T）

tan

（T）
1.1.14
二倍角的正弦、余弦、正切公式
5、二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin22sincos（S
2
）
2222
cos2cossin2cos112si（nC
2
）

2tan
tan2
2
1tan
8、公式的逆运算即变形公式

22

（1）
1sin2sincos2sincossincos
（2）升幂公式：

1cos2cos
2

22
2
1cos2sin

（T
2
）
2

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2
cos

补充1：辅助角公式：
asinbcosabsincos

降幂公式：
21cos2 21cos2
sin
2
22
ab
2222
abab
补充2：若在三角形“△”中，sinAa,cosBb，
则abABsinAsinB.
1.8
简单的三角恒等变换
6、半倍角的正弦、余弦、正切公式

sin
22
1cossin1cos
tan
21cos1cossin
7、半倍角平方的正弦、余弦、正切公式
21cos

21cos
sin
22
22
cos
8、象限角符号的判定

22
第一象限第一、三象限、、
第二象限第一、三象限、、
第三象限第二、四象限、、
第四象限第二、四象限、、
的范围，然后再根据所在的范围来若给出角的范围（某一区间）时，可先求出
22
确定符号。如果没有决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号
9、三角函数的积化和差公式
1
sincossinsin
2
1
cossinsinsin
2
1
coscoscoscos
2
1
sinsincoscos
2
10、三角函数的和差化积公式
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1cos
cos
22
1cos

21cos
tan
21cos
sin costan

22

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sinsin2sincos
22
sinsin2cossin
22
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coscos2coscos
22
coscos2sinsin
22
11、三倍角的正弦、余弦、正切公式


3
sin33sin4sin
tan3

3tantan
2
13tan
12、其他一些恒等变换

sincos

2tan
2
2

1tan
2
2

1tan
2
2

1tan
2

tan
2

1tan
2

2tan

2
3
3

cos34cos3cos
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