高中数学教师继续教育总结-2013年高中数学竞赛题
v1.0 可编辑可修改
高一数学必修四综合题型
知识点及例题
(一):角度的表示及其象限角的确定eg:1、300°的终边相同角的表示,为第
几象限的角.终边
在坐标轴上的角的集合为
_________.
(二)弧度之间的转换和弧长及扇形面积的计算:eg:
4
?
5
?
2
?
5
?
1、将.-300°化为弧度为(
)A.
?
B.
?
C.
?
D.
?
3336
2已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,则这个扇形的圆心角是
3.一个扇形的周长是6厘米,该扇形的中心角是1弧度,该扇形的面积是
_________
_______.
(三.)函数的平移:eg:
3、为得到函数
y?si
n(2x?)
的图象,只需将函数
y?sin(2x?)
的图像( )
36
??
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
44
??
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
22
(四)、对称轴及对称中心:eg.:
4、函数
y?sin(2x?)
图像的对称轴方程及对称中心的表示
3
(五)、正弦函数和余弦函数的图象、奇偶性、周期、单调性、值域:eg:
1.
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
在一个周期内的图象如下,
此函数的解析式为
?
?
?
?
2
?
y?2sin(2x?)
)
B. A.
y?2sin(2x?
3
3
C.
y?2sin(?
x
2
?
?
)
D.
y?2sin(2x?)
3
3
2.函数
y?sinx?tanx
的奇偶性是( )
A.奇函数
B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
3函数
f(x)?cos2x?23
sinxcosx
的最小正周期是_________
4函数
y?sin(2x?)
的单调递增、递减区间是
3
5已知
sin
1
?
?
2
?cos?
2
?
23
,
那么
sin
?
的值为
,
cos2
?
的值为
3
v1.0 可编辑可修改
、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑵cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑶
sin?
?
?
?
?
?sin
?
cos
??cos
?
sin
?
;
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos<
br>?
sin
?
;
⑸
tan
?
?
?<
br>?
?
?
tan
?
?tan
?
(
ta
n
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
);
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
1?
tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2<
br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
1?cos2
?
).
2
(
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
,
sin
2
?
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
?
.
?
?sin
???cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
(六)、向量
知识点
、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
⑷运算性质:①交换律:a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?
a?a
.
????
C
a
b
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
b?
?
x<
br>2
,y
2
?
,
eg:
已知
a
=(3
,4),
b
=(5,12),
a
+
b
为(
)
2
?
?
a?b??C?????C
v1.0 可编辑可修改
6、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,<
br>b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2?
.
Eg:设
?
、
?
两点的坐标分别为
?<
br>x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,
y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
7、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
②当<
br>?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?<
br>?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b<
br>.
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,<
br>?
y
?
Eg:.设
a
,
b
为不共线向量,
AB
=
a
+2
b
,
BC
=-4
a
-
b
,
CD
=
-5
a
-3
b
,则AD=KBC,则k为( ) 8、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数<
br>?
,使
b?
?
a
.
??
??
??
?
??
??
???
??
???
??
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,
向量
a
、
bb?0
共线.Eg:设
e
1
与
e
2
是不共线的非零向量,且k
e
1
+
e
2
与
e
1
+k
e
2
共线,
??
?????
?
则k的值是( )
9、平面向量基本定理:如果
e
1
、<
br>e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于
这一平面内的任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a
?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共
线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有
向量的一组基底)
10、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别
是
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
,当时,点的坐标是
x,y
???
?
??
?
?
22
?
??
12
1?
?
??
1?
?
3
v1.0 可编辑可修改
Eg:.已知M(-2,7)、N(10,-2),
点P是线段MN上的点,且
PN
=-2
PM
,
则P点的坐标为(
)
11、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为
0
.
⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?
b?0
.②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;当<
br>a
与
b
反向时,
a?b??ab
;
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
.③
a?b?ab
.
2<
br>???
???
??
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b;③
a?b?c?a?c?b?c
.
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x2
?y
1
y
2
.
若a?
?
x,y<
br>?
,则
a?x
2
?y
2
,或
a?x
2
?y
2
Eg:.若平面向量
a?(1,x)
和
b?(2x?3,?x)
互相平行,其中
x?R
.则
a?b?
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b
?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
Eg: .已知
a
=(1,2),
b
=(-2,3),且k
a
+
b
与
a
-k
b
垂直,则k=( ) 设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则
??????
2
??????
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
Eg:..如果向量 与b的夹角为θ,那么我们称 ×b为向量
与b的“向量
积”, ×b是一个向量,它的长度| ×b|=| ||b|sinθ,如果|
|=4, |b|=3,
·b=-2,则| ×b|=____________。
(七):解答题.
1、用图像解不等式。
①
sinx?
2.
4
已
3
1
②
cos2x?
2
2
知sin
?
是方程
5x
2
?7x?6?0
的根,求
v1.0 可编辑可修改 <
br>3
???
3
?
sin
?
?
?
??
?
?sin
?
?
?
?
?
?tan<
br>2
(2
?
?
?
)
2
???
2
?
的值,
?
?
??
?
?
cos
??
?
?
?cos
?
?
?
?
?cot(
?
?
?
)
?
2
??
2
?
?
?
?
已知
tan
?
?
?
?
?3
, 计算:
?
4
?
2sin
?
cos
?
?3cos2
?
5cos2
?
?3sin2
?
xx
3.已知函数
y?sin?3cos,x?R.
22
(1)
tan
?
; (2)
(1)求
y
取最大值时相应的
x
的集合;
(2)该函数的
图象经过怎样的平移和伸变换可以得到
y?sinx(x?R)
的图象.
4、求函数
y=-
cos
2
x
+
3cosx
+
函数有最大值和
最小值。
5、设平面三点A(1,0),B(0,1),C(2,5).
(1)试求向量2
AB
+
AC
的模;
(2)试求向量
AB
与
AC
的夹角;
(3)试求与
BC
垂直的单位向量的坐标.
6、已知函数
f(x)?a(cos
2
x?sinxcosx)?b
(1)当
a?0
时,求
f(x)
的单调递增区间;
5
的最大值及最小值,并写出x取何值时
4
?
(2)当
a
?0
且
x?[0,]
时,
f(x)
的值域是
[3,4],<
br>求
a,b
的值.
2
3
a?b(a?0)
7、.已知函数
f(x)?asinx?cosx?3
acos
2
x?
2
5
v1.0 可编辑可修改
(1)写出函数的单调递减区间;
?
(2)设
x?[0,]
,f(x)
的最小值是
?2
,最大值是
3
,求实数
a,b
的值
2
8、已知向量a、b是两个非零向量,当a+tb(t∈R)的模取最小值时,
(1)求t的值
(2)已知a、b共线同向时,求证b与a+tb垂直
9、已知
f(x)??cos
2
x?3sinxcosx
(1)求
f(x)
的最小正周期(2)求
f(x)
的单调增区间
10、已知向量
a
,
b
的夹角为
60
,
且
|a|?2
,
|b|?1
, 若
c?a?4b
,
d?a?2b
,
求
(1)
ab
;
(2)
|c?d|
.
答案2、解:由sin
?是方程
5x
2
?7x?6?0
的根,可得
3
sin
?
=
?
或sin
?
=2(舍)
-----------3分
5
?sin(
原式=
3<
br>?
3
?
?
?
)?sin(?
?
)?(?ta
n
?
)
2
22
sin
?
?(?sin<
br>?
)?(?cot
?
)
cos
?
?(?cos
?
)?tan
2
?
=
sin
?
?(?sin
?
)?(?cot
?
)
=-tan
?
------------10分
3
由sin
?
=
?
可知
?
是第三象限或者第四象限角。
5
33
所以tan
?
=或?
44
6
v1.0 可编辑可修改
即所求式子的值为
?
3
-------------14分
4
4、解:令t=cosx,
则
t?[?1,1]
-------------2分
所以函数解析式可化为:
y??t
2
?3t?
=
?(t?
5
4
3
2
)?2
------------6分
2
因为
t?[?1,1]
, 所以由二次函数的图像可知:
当
t?
3
?
11
?
时,函数有最大值为2,此时
x?2k
?
?或2k
?
?,k?Z
2
66
1
?3
,此时
x?2k
?
?
?
,k?Z
4
当t=-1时,函数有最小值为
5、 (1)∵
AB
=(
0-1,1-0)=(-1,1),
AC
=(2-1,5-0)=(1,
5).
∴
2
AB
+
AC
=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7).
∴
|2
AB
+
AC
|=
(?1)
2
?7
2<
br>=
50
.
(2)∵ |
AB
|=
(?1)
2
?1
2
=
2
.|
AC
|=
1
2
?5
2
=
26
,
AB
·
AC
=(-1)×1+1×5=4.
∴ cos
?
=
AB?AC
|AB|?|AC|
=
4
2?2
6
=
213
.
13
(3)设所求向量为
m
=(x,y),则x2+y2=1. ①
又
BC
=(2-0,5-1)=(2,4),由
BC
⊥
m
,得2 x +4 y =0. ②
??
2525
x?x?-
??
25525
??
55
由①、②,得
?
或
? ∴ (,-)或(-,
55
5
?
y??
5
.<
br>?
y?
5
.
??
55
??
5
)即为
所求.
5
7
v1.0 可编辑可修改
8.解:(1)由
(a?tb)
2
?|b|
2
t
2
?2a?bt?|
a|
2
当
t??
2a?b|a|
??cos
?<
br>(
?
是a与b的夹角)
时a+tb(t∈R)的模取最小值
|b|<
br>2|b|
2
(2)当a、b共线同向时,则
?
?0
,此时t??
|a|
|b|
∴
b?(a?tb)?b?a?tb2
?b?a?|a||b|?|b||a|?|a||b|?0
∴b⊥(a+tb)
8
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