高一数学必修四知识点总结

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高一数学必修四知识点总结
1.
三角函数..... .................................................. ......2
2.
平面向量............................ .................................7
3.
三角恒等变 换................................................. ....10
1
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三角函数知识点
正角:按逆时针方向旋转形成的角
1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角
2、象限角：角的顶点与原点重合，
角的始边与
x
则称为第几象限角．
第一象限角的集合为2k2k,k第二象限角的集合为
2
2k2k,k
2
第三象限角的集合为223,
kkk第四象限角的集合为
2
3
2k2k2,k
2
轴线角：终边在x
k,k
2
终边在坐标轴上的角的集合为,
3、与角终边相同的角的集合为2k,k
4、已知是第几象限角，确定
从
轴上的角的集合为
轴的非负半轴重合，
终边落在第几象限，
k,k
终边在
y
轴上的角的集合为

k

k
2

n
n
*

所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
原来是第几象限对应
的标号即为终边所落在的区域．
n
6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是
长度lr的弧所对的圆心角叫做1rad。
7、弧度制与角度制的换算公式：1803.14rad，1
rad，1rad18057.3．

180
l

．尤其是
r
8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则

lr，C2rl，

11
2
Slrr．
22
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9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y
，它与原点的距离是

2
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x
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，
第四象限余弦为正．（取决于三角函数定义中的坐标正负）

0

6432

sin0
1

2

2
2

2
2

3
3

1331

3
2
1

2

0

3
1
2
1

2
2

3
3

4

2
2

2
2
5

6
1

2

3
2

3
3

00

010
3

2

2
220
rrxy，则sin
y

，cos
r
x

r
，tanx0
y

．

cos13
2

tan0

101
11、三角函数线（有方向的线段）：sin，cos，tan．
y
12、同角三角函数的基本关系：


22
1sincos1
sin
2tan
cos

2222
sin1cos,cos1sin；

sintancos,cos

sin
tan

．
OMx

T
P

A
13、三角函数的诱导公式：
1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．
2sinsin
，
coscos
，
tantan．
3sinsin
，
coscos
，
tantan．
4sinsin
，
coscos
，
tantan．
口诀：函数名不变，符号看象限（把当成是锐角，判断等号右边三角函数所在象限符号）．

5sincos
2

6sincos
2
，cossin

2
，cossin

2
．

．

口诀：奇变偶不变，符号看象限（奇偶看与90的倍数）．
14、函数yAsin(x)b的图像变换
第一种变换：先周期后相位
3
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1
ysinx纵坐标不变横坐标伸长(01)或缩短（1）到原来的倍ysinx
所有点向左(0)或向右(0)平移个单位ysin(x)
横坐标不变纵坐标伸长（A1）或缩短(0A1)到原来的A倍yAsin(x)
所有点向上 (b0)或向下(b0)
平移
b
个单位
yAsin(x)b
第二种变换：先相位后周期
ysinx所有点向左(0)或向右(0)平移个单位ysin(x)
1
纵坐标不变横坐标伸长(01)或缩短（1）到原来的倍ysin(x)
横坐标不变纵坐标伸长（A1）或缩短(0A1)到原来的A倍yAsin(x)
所有点向上(b0)或向下(b0)平移b个单位yAsin(x)b
15
、函数
ysinxB0,0
及
yAcos(x)B的性质：

①振幅：；②周期：

当
xx时，取得最小值为
1
1

yy，x
2
x
1
x
1
x
2
．
2
maxmin
2

1

；③频率：
f；④相位：x；⑤初相：．
2

y；当
min

xx时，取得最大值为
2

y，则y
m
y，
xamin
max
1
2

2
函数ytan(x)
，周期
T.
16、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
ysinxycosxytanx质
图
象

作
图
法

五点法(0,0)(,1)
2
(2,0)

3

(,0)
(,1)
2

五点法(0,1)(,0)
2
(2,1)

3

(,1)
(,0)
2

三点两线法

x
2
(0,0)(,1)
(,1)
4
4
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4
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定

义
域

值
域


最

值
RRxxk,k

2

1,11,1R
当x2kk时，
2
y
max
1；当y
max
1；当x2k

x2kk时，
2
y
min
1
．


k时，y
min
1．既无最大值也无最小值

当
x2kk时，
周22
期
性
奇奇函数偶函数奇函数
偶
性


单
调
性 2k,2k
22
在

2k,2k
22

k上是增；在
3
减


在2k,2kk
上是增函数；在

2k,2k
k上是减函数．

在,
kk
22
k上是增函数．
对
称
中
心

k,0kk,0k,0
2
k
2

k
对
称
xkkxkk无对称轴
轴2
注：
ysinx0,0
的性质则把
x当作整体进行处理。
5
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17、三角函数的奇偶性：f(x)Asin(x)B，则
①f(x)为偶函数的充要条件是k,kZ
2
②f(x)为奇函数的充要条件是k,kZ，且B=0
6
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平面向量知识点
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长 度为0
的向量，记为
0
，其方向是任意的，
0
与任意向量平行

③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设ABa,BCb
，则
a+b=ABBC=AC
（1
）
0aa0a
；（
2）向量加法满足交换律与结合律；
ABBCCDPQQRAR
，但这时必须“首尾相连”
．
3、向量的减法：①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量
②向量减 法：向量a
加上
b
的相反向量叫做
a
与
b
的差，③ 作图法：
ab
可以表示为从
b
的终点指向a的终点的向量（a
、
b
有共同起点）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如
下：
（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λ
a的方向与a的方向相反；当0时，a0
，方向是任意的

5、两个向量共线 定理：向量b
与非零向量
a共线有且只有一个实数
，使得
b=a
6、平面向量的基本定理：如果
e
1
,e
任一向量a，有且只有一对实数
是一个平面内的两个不共线向量，
2
那么对这一平面内的

1< br>,使：a
1
e
12
e
2
，其中不共线的向量e
1
,e
2
叫做
2
表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a
可表示成axiyj
，记作
a=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：
(1)
若
ax
1
,y
1
,bx
2
,y
2 ，则
abx
1
x
2
,y
1
y
2


(2)若

Ax
1
,y,Bx,y
，则
ABx
2
x
1
,y
2
y
1

122
7
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(3)若a=(x,y)，则a=(x,y)

(4)若

axybxy
，则
abxyxy0
1
,
1
,
2
,
2

1221

(5)若

ax
1
,y
1
,bx2
,y
2，则
abx
1
x
2
y
1y
2

若
ab
，则
x
1
xyy0
212
三．平面向量的数量积
1两个向量的数量积：
已知两个非零向量 a
与
b
，它们的夹角为
，则a
·
b=︱a
︱·︱< br>b
︱
cos
叫做a
与
b
的数量积（或内积）规定
0a0
2向量的投影：︱b

ab

︱
cos=
∈R
，称为向量
b
在
a方向上的投影投影的绝对值称为射
|a|
影
3数量积的几何意义：a
·
b
等于
a
的长度与
b
在
a方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系：
2||
2

aaaa
5乘法公式成立：
22
2
2
abababab
；


2
222

2
a2abb

2
abaabb
6平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：abba
②对实数的结合律成立：abababR
③分配律成立：abcacbccab
特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；
（2
）消去律不成立
abac
不能得到
bc
（3）ab=0不能得到a=0或b=0
7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量
axybxy
，则
a·b= x
1212
xyy
(,),(,)
1122
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8向量的夹角：已知两个非零向量a
与
b，作
OA=a,OB=b,则∠AOB=
8
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0180
（
0）叫做向量a
与
b
的夹角

cos=cosa,b
ab
ab

=
x
2
x
1
x
2
1
2
y
1
y
y
2
2


1

2
y
2
0
00当且仅当两个非零向量a
与
x
2
b
同方向时，θ
=0，当且仅当a
与
b
反方向时θ
=180
，同时
0
与

其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直：如果a
与
b
的夹角为
90
0
则称a
与
b
垂直，记作
a⊥b

10两个非零向量垂直的充要条件：
a⊥ba
·
b
＝
O
1
xyy0
x平面向量数量积的性质
212
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9
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第三章公式总结
：
sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosαsin（α-β）=sinαcosβ- sinβcosα
sin
α-sinβ=sin（α+β）sin（α-β）sin2α=2sinαcosα
2
21-sin2α=（sinα-cosα）
1+sin2α=（sinα+cosα）

2
sin
2

1
cos
2
2tan
2
sin
1tan
2

sin
2

sinsin
1

cos

2
1

[cos(
2

) cos(

)
]
2
22
sinsin2cossin
22
sinsin2sincos
22
：
cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβcos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβcos2α=cos
2
α-sinα=2cosα-1=1-2sinα=（cosα+sinα）（cosα- sinα）
2
222

2
cos

1

cos

2

2

1
tan
2
1
2
tan
2

2 2
2
cos
1 1 sin
2
cos
2
coscos2sinsin
22
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coscos2coscos
22

coscos
1

2
[cos(

2

cos
)

cos(

)

]
2

2

sin
1cos2

1

cos
2
&cos：
2
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10

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22
sinα-cosα=-cos2α（sin2α-cos2α）
1

sincos sin 2
2
1 )

sin( )

sincos
]
2
=1-sin4α

2
[sin(
角A、B、C为△ABC的三个内角：A+B+C=180°，sin（A+B）=sinC，

cos(AB)cosC,sin
AB

2
CA

cos
2
,cos
B

C

sin .
2
2
：

tan()
tan
1tan
tan
1tan

2

tan
1
tan
2
2tan
tan,tan
2
1tan
2
1cos
2
21cos
2
tan

tan
tan

tan

2
,
tan

2
sin
2
cos

1

cos2
1 cos2

1

cos
sin1
2
1
2
sin
）
（α+t）
sin
cos
1

sin

1 sin
cos

cos

tan()

tan2
辅助角公式：Asinα+Bcosα=（A+B
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11
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