高中数学必修4知识点(填空版)

第一章 三角函数
?
正角:按_______方向旋转形成的角< br>?
1、任意角
?
负角:按_______方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、与角
?
终边相同的角的集合为 ________________________________________
3、角?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限角．
第一象限角的集合为________________ _____________________________
第二象限角的集合为_______ ______________________________________
第三象限角的集 合为_____________________________________________ 第四象限角的集合为_______________________________________ ______
终边在
x
轴上的角的集合为___________________ __________________________
终边在
y
轴上的角的集合 为_____________________________________________
终边在坐标轴上的角的集合为____________________________________ _________
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
5、弧度制与角度制的换算公式．
__________________________ ______________________________________________
__________________________________________________ ____________________
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
______ ______________．
7、若扇形的圆心角为
?
?
?
为 弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，
则
_________________________ _______________________________________________

1

8、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与 原点的距
离是_________________，
_________________ __________________________________________________ _____
9、各象限的符号：第一象限全


10、三角函数线：sin
?
?_________
，
cos
?
?____ _____
，
tan
?
?_________
．
11、同角三角函数的基本关
———————————————————————————— —
——————————————————————————
_______________ _________________________________________
12、函数的诱导公式：
O
y
P
T
M
A
x
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?< br>?
?_______
，
cos
?
2k
?
?< br>?
?
?_______
，
tan
?
2k
?< br>?
?
?
?__________
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
?________
，
cos
?
?
?
?
?
?_________
，
tan
?
?
?
?
?
?___________< br>．
?
3
?
sin
?
?
?
?
?_________
，
cos
?
?
?
?
?__ ________
，
tan
?
?
?
?
?_____ ____
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?__________
，
cos
?
?
?< br>?
?
?_________
，
tan
?
?
?
?
?
?_________
．
?
错误！未指定书签。，< br>cos
?
?
?
??
?______

2??
?
?
6
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?________
，
cos
?
?
?
?
?____
．
?
2
??2
?
?
口诀：_____________________________
13利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：
__________ __________________________________________________ _________

2

14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函



性

数
质

y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义域
值域

最值


周期性
奇偶性


单调性




对称性




















3

15.y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系
y=sinx











16、函数
y??sin
?
?
x ?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质：
①振幅：________；②周期：___________；③频率：____________；
④相位__________；⑤初相：________．
函数
y??sin?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1时，取得最小值为
y
min
当
x?x
2
时，取得最大 值为
y
max
，
则
______________________ __________________________________________________
______________________________________________ ___________________
17
y=sin(x+φ)
y=sinωx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)
两种方法殊途同归
求函数 y?Asin(
?
x?
?
)的表达式:

________ __________________________________________________ ________

4

______________ __________________________________________________ __
第二章 平面向量
1、向量：____________________． 数量：____________________．
有向线段的三要素：____________________． 零向量：____________________．
单位向量：____________________．
平行向量（共线向量）：____ ______________________________________________
相等向量：____________________．
2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：
______________________________．
⑵平行四边形法则的特点：
______________________________ ____
．
⑶三角形不等式：_____________________________．
???
??
⑷运算性质：①交换律：_____________②结合律：_______ _________
a?0?0?a?a
．
?
?
?
?⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a? b?_________________
．
3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：__ __________________________________．
?
?
?
?
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1< br>?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?______________
．
????
设
?、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
??? _______________
．
4、向量数乘运算：⑴实数
?
与向量< br>a
的积是一个向量的运算叫做
向量的数乘，记作
?
a
．①?
a?___________
；
②当________时，
?
a
的方向与
a
的方向__________；
??
当_____ _____时，
?
a
的方向与
a
的方向__________；
?
当__________时，
?
a?__________
．
?
C

?
a

?
b

?
?
?
?
?

?

?????
?
?
???????
a?b??C?????C


5

?
?
?
?
??? ??
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a ?
?
b
．
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x ,y
?
，则
?
a?____________________
．
5、向量共线定理：
?
?
?
??
?
?
?
b?
?
x
2
,y
2
?
，向量
aa ?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
?
?
??
??
?
?
?
?
其中
b?0
，则当且仅当_____________________时，向量
a
、
bb?0
共线．
??
6、平面向量基本定理：
??< br>???
?
如果
e
1
、
e
2
是同一平 面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有
?????
?
且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a??
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不 共线,不唯一）
7、分点坐标公式：
????????
设点
?
是 线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
?
1< br>??
?
??
2
时，
点
?
的坐标是_____ _________________．（当
?
?1时，就为中点公式。）

8、平面向量的数量积：
?
?
?
?
?
?
?
⑴
a?b?_____________a?0,b?0,0?
?
?180
?
．零向量与任一向量的数量积为_______．
??
?
??
?
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a ?b?_____________
．
??
?
?
?
???
②当
a
与
b
同向时，
a?b?_________ _
；当
a
与
b
反向时，
a?b?____________
；
?
a?__________
???
2
a?a?a?_ _______
或
??
．
??
|a?b|?__________ _________|a?b|?______________________
?
?
?
?
③
a?b?ab
．
?
?
?
??
??
?
???
?
?
?
??
?
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b ?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c< br>．
??????
?
?
?
?
b?x,y
a? x,y
a
⑷坐标运算：设两个非零向量
?
11
?
，
?
22
?
，则
?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?__________
，或
a?___________
． ?
?
?
?
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?_____________________
．
??
2
?
?
?
?
?
?
?
设a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
, y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则

6

cos
?
?_______________ _________________________

第三章 三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?__________________________
；⑵cos
?
?
?
?
?
?_______________ ___________
；
⑶
sin
?
?
?
?< br>?
?__________________________
；⑷
sin?
?
?
?
?
?______________________ _____
；
⑸
tan
?
?
?
?
??
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
t an
?
?tan
?

?
___________________________________________；
1 ?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

?
_____________________________________________．
1?tan
?
tan
?
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
?1?sin2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2

2222
cos2
?
?cos< br>?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?< br> ⑵

?
升幂公式
1?cos
?
?2cos< br>2
2
?
2
,1?cos
?
?2sin
2?
2

1?cos2
?
cos2
?
?1
2
sin
?
?
，．
?
降幂公式
cos
?
?
2
2
⑶
tan2
?
?
3、


2tan
?
．
1?tan
2
?
半角公式:
α
cos??
2
α
tan??
2
1?cosαα
;sin??
22
1?cosα
2
1?cosαsinα1?cosα
??
1?cosα1?cosαsinα

后两个不用判断符号，
更加好用


万能公式:
α
2
α
2tan1?tan

2
;cosα?
2
sinα?
2
α
2
α
1?tan1?tan

7
22

4、合一变形
?
把两个三角函数的 和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”
的
y?Asin(
?
x?< br>?
)?B
形式。
?sin
?
??cos
?
? ___________________
，其中
tan
?
?_____．
5、三角变换常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值， 证明中，表达式中往往出现较多的相异角，
可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角 的变换，沟通
条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍 ；
?
是的二倍；是的二倍；
30
o
?
?
②15?45?30?60?45?
；问：
sin?
；
cos?
；
2
1212
ooooo
?
2
?
2
?
4
③
?
?(
??
?
)?
?
；④
?
?
?
4
? ?
2
?(
?
4
?
?
)
；
⑤2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(?
?
)?(?
?
)
；
44
??
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函
数中正余弦是 基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将 常数转化为三角函
数值，例如常数“1”的代换变形有：

1?sin2
?
?cos
2
?
?tan
?
cot
?
?sin90
o
?tan45
o

（4）幂的变换：降幂 是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采
用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
1?cos< br>?
常用升幂化为有理式，常
用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变
形应用。

8

如：
1?tan
?
1?tan
?
?_______________
；
?______________
；
1?tan
?
1?tan
?
_
；
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?__________
_
；
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?< br>tan
?
?__________
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
asin
?
?bcos
?
?
= ；
（其中
tan
?
?
；）
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，
无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化 。
如：
sin50
o
(1?3tan10
o
)?
；
tan
?
?cot
?
?
。









9

易错点提示：
1. 在解三角问题时，你 注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正
弦函数、余弦函数的有界性了吗？
2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种
种代换有着广泛的应用．
3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转
化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(< br>5．常见三角不等式：（1）若
x?(0,)
，则
sinx?x?tanx.
2
)
?
(2) 若
x?(0,)
，则
1?sinx?cosx?2
. (3)
|sinx|?|cosx|?1
.
2
?



10