人教版A版高中数学必修4_三角函数知识点例题

三角函数知识点总结
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角 :不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限角．
??第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?< br>?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?18 0?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、已知
?
是第几象限角 ，确定
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份 ，再从
x
轴的正半轴的上方起，
?
n
*
依次将各区域标上一 、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标号即为
5、长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做
1
弧度．
?
终边所落在的区域．
n
l
．
r
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?8、若扇形的圆心角为
?
?
180
，
1?
?
?
180
?
?
?57.3
．
?
??
??
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
C?2r? l
，
11
S?lr?
?
r
2
．
229、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离是
rr?
则
sin
?
?
?
x
2
?y
2
?0
，
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数在各象 限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角 函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
y
22
12、同角三角函 数的基本关系：
?
1
?
sin
?
?cos
?
?1

P
T
O
- 1 -

M
A
x

?
sin
2
?< br>?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
sin
?
?tan
?

cos
?
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
? sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin< br>?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
??
??sin
?
，
cos
?
?
?
?< br>?cos
?
，
tan
?
?
?
?
?? tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象 限．{符号看象限，就是把α看作是某一个锐角（例如30°、45°、60°之类），
然后π+α、π -α、-α就看作是π与这个锐角相加减或者相反后的角，然后根据这个角在第几象限，来判断三角函数
的正负。例如把α看作是30°，所以π+α为210°第三象限角，所以sin为负、cos为负、tan为正 ，也就是诱导公
式二了。结论：当把把α看作是某一个锐角时，π+α、π-α、-α就分别为第三、第 二、第四象限角了，又例如：sin
（3π+α）先化成sin【2π+（π+α）】，再化成sin（ π+α），因为π+α第三象限角，而第三象限角的sin为负，所以sin
（π+α）=-sinα， 用等式表示为sin（3π+α）=sin【2π+（π+α）】=sin（π+α）=-sinα}

?
5
?
sin
?
?
??
?
??< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
．
?
6
?
sin
?
?
?
??cos
?
，
cos
?
?
?
?
??s in
?
．
?
2
??
2
??
2
?
?
2
?
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．（这里的符号看象限 ，跟上面的一样道理，不同的是π减小到一半而已，其
他没变，同样把α看作是某一个锐角，然后来判断 ）






















- 2 -

三角函数的图象与性质
※※※ 知识点归纳
一、三角函数的图象与性质
1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性
数
质

函



y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象


定义域
R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
R

值域
当
x
时，
最值
当
x
时，
周期性
奇偶性
?
?1,1
?

?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x ?2k
?
?
2
?
k??
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小值
y
max
?1
；
?2k
?
?
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

< br>?
2
?
k??
?
?
k??
?
时，< br>y
min
??1
．
?

奇函数
y
min
??1
．
2
?

2
?

奇函数 偶函数
在
??
??
< br>2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
在
?
k??
?
上是增函数；
单调性
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
是增函数；
在
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?
2
?
?
3
?
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上
?
k??
?
上是增函数．
是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
对称性
对称 轴
x
?
k
?
,0
??
k??
?

?k
?
?
对称中
?
2
?
k??
?

?
??
k?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称中心
?
无对称轴
?
k?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?

2、正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
- 3 -

y
y=sinx

1
o
-4?
-3?

?
-6?
-5?
-?
-2?
2?
-1

y

y=cosx
1

?
-?
-5?-3 ?
-4?2?
-6?
-2?
-1



3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
?
3
?
,1) (?,0) (,-1) (2?,0)
22
余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个关键点是：
3?
4?5?
6?
x
3?
4?5?
6?
x
(0,0) (
?
3
?
,0) (?,-1) (,0) (2?,1)
22
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度要求不太高时，常采用五点法作正弦 函数和余弦函
数的简图，要求熟练掌握。
优点是方便，缺点是精确度不高。
(0,1) (
二、函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象

1
、由函数
y?sinx
的图象通过变换得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象。有两种主要途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

法一：先平移后伸缩 (
?
?0)或向右(
?
?0)
y?sinx?
向左????????y?sin(x?
?
)

纵坐标不变
平移|
?
|个单位


?< br>??y?sin(
?
x?
?
)???????
1
横坐 标变为原来的倍


横坐标不变

法二：先伸缩后平移
A倍
?
纵坐标变为原来的
????????y?Asi n(
?
x?
?
)
1
横坐标变为原来的倍
纵坐标不变

?
??y?sinx???????

(
?
?0)或向右(
?
?0)
y?sin
?
x?
向左< br>????????y?sin(
?
x?
?
)


横坐标不变
平移|
?
|个单位
?


A倍
?
纵坐标变为原来的
????????y?Asin(
?
x?
?
)

注意：第一种方法平移
|
?
|
个单位，第二种方法平移
|
?
|
个单位。原因在于相位变 换和周期变换都是针对变量
x
而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺 序，否则必然会出现错误。

2、函数
y
函数
y
?
?Asin(
?
x?
?
)
x?
?
0,??
?
其中
(A?0,
?
?0)
的物理意义：
?Asin(< br>?
x?
?
)
x?
?
0,??
?
其中
(A?0,
?
?0)
表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
- 4 -

T：
T?
2
?
?
往复振动一次所需的时间，称为“周期” .

f
：
f?
1
?
?
单位时间内往返振动 的次数，称为“频率”
.

T2
?
?
x?
?
:
：
称为“相位” .
?
：
x
=0时的相位，称为“初相”.
※※※ 例题选讲
例
1
、函数
y?tanx?3
的定义域。

解：由
tanx?3?0

得

tanx?3
，所 求定义域为
?
k
?
?
?
?
?
3
, k
?
?
?
?
?
?
k?Z
?
，
2
?
例2、求函数
y?2sin
?
2x?
?
?
?
?
?
4
?
的单调递减区间．
4?
?
3
?
?2k
?
,(k?Z)

2
解：由
解得
?
2
8
?2k
?< br>?2x?
?k
?
?x?
?
5
?
?k
?
,(k?Z)
；
8
函数的递减区间为
?
5
?
?
?
?
?k
?
,?k
?
?
,(k ?Z)
；
8
?
8
?
例
3
、用两种方法将 函数
y?sinx
的图象变换为函数
y?sin(2x?

分析
1
：
x?x?
?
?2x?
?

?
的图象。
)
3
33

解法
1
：
y?sinx
向左平移个单位

3
???????
?
y?sin(x?
?
3
)
1
2
?????????

纵坐标不变
横坐标缩短到原来的
y?sin( 2x?
?
3
)

分析
2
：
x?2x?2(x?

解法
2：
y?sinx
?
6
)?2x?
?

3
1
2
?

????????
纵坐标不变
横坐标缩短到原来的
y?sin2x
向左平移个单位

6
???????
?

y?sin[2(x?
?
)]?sin(2x?
?
)


注意：在解法
1
中，先平移，后伸缩；在解法
2
中， ，先伸缩，后平移。表面上看来，两种变换方法中的平移是
不同的（即

63
?
和
?
），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。

63
※※※ 巩固练习

5
，则
cosA
等于（ ）D
12
125512
A、 B、 C、
?
D、
?

13131313
1、已知 ΔABC中，
tanA??
2、化简
sin(
?
?2)?cos(< br>?
2
?2)
的结果等于（ ）A
- 5 -

A、0 B、-1 C、
3
3
D、
?

2
2
3、下列等式中，恒成立的是（ ）C
A、
s in(
?
2
?x)?cos(
?
2
?x)
B、
sin(
?
?x)??sinx

C、
sin(2
?
?x)?sinx
D、
cos(
?
?x)?cosx

4、函数
f(x)?3 sin(
x
2
?
?
4
),(x?R)
的最小正周期 为（ ）D
A、
?
2
B、
?
C、
2
?
D、
4
?

5、函数
y?sin(3x?
?
4)
是图象的一个对称中心是（ ）B
A．
?
?
?
?
?
12
,0
?
?
?
B．
??
?
?
7
?
12
,0
?
?
?
C．
?
?
7
?
?
12
,0
?
?
?
． D.
?
?
11
?
?
12
,0
?
?
?
．
6、在下列各区间中，函数
y
=sin（
x
＋
?
4
）的单调递增区间是（ ）B
A.［
?
，
?
?
2
π
］ B.［0，
4
］ C.［－
π
，0］ D.［
4
，
?
2
］
7、当函数
y?2cosx?1
取得最大值时，
x
的取值为（ ）C
A、
x?2k
?
?
?
2
,k?Z
B、
x?2k
?
?
?
2
,k?Z

C、
x?2k
?
,k?Z
D、
x?2k
?
?
?
,k?Z

8、函数
y?3sin(2x?
?
3
)
的图象可看作是函数
y?3sin2x
的图象，经过如下平移得到的，其中 正确的是（
A、向右平移
?
3
个单位 B、向左平移
?
3
个单位
C、向右平移
?
6
个单位 D、向左平移
?
6
个单位
9、已知sinαcosα =
1
8
,则cosα－sinα的值等于 （ ）B
A、±
3
333
4
B、±
2
C、
2
D、－
2

10、sin
4
?< br>25
?
5
3
·cos
6
·tan
?
4
的值是（ ）A
A、－
33
3
4
B、
4
C、－
4
D、
3
4

11、函数
f(x)?sin(2x?
?
)
的单调递减区间是 。
?
?
?
?k
?
5
?
6
?
3
,
6
?k
?
?
?
?
,(k?Z)
- 6 -

.D ）

12、若f(x)?2sin(
?
x?
?
)
（其中
?
? 0,
?
?
?
2
）的最小正周期是
?
，且
f (0)?1
，则
?
?
2 ，
?
?

?
。
6
13、将< br>cos10
0
,sin11
0
,sin168
0
从小 到大排列为 。
sin11
0
?sin168
0
?cos10
0

14、函数
y?2sin(2x?

15、记
f(x)?asin(
?
x?
?
)?bcos(
?
x?
?
)?4
，（
a
、
b
、
?
、
?
均为非零实 数），
若
f(2009)?2009
，则
f(2010)
= 15、
?2001
；
三.解答题
16、已知
tan
?
?
?
3
)
的图象的对称轴方程是 14、
x?
k
??
?
212
k?Z
；
3
3,
?
?
?
?
?
,求
sin
?< br>?cos
?
的值.
2
3
?
31
)且tan
?
?3?sin
?
??,cos
?
??
222
311?3
?sin
?
?cos
?
????
222
?
?
?(
?
,
17、⑴化简
sin(x?1 80
0
)cos(?x)sin(?x?180
0
)tan(?x?180< br>0
)
；
解：原式=
(?sinx)cosxsinx(?tanx)
=
(?sin x)cosxsinx(?
⑵证明：
tanx?sinx?tanxsinx
．
证：左边=
tanx?sinx?tanx?tanxcosx

=
tan
2
x(1?cos
2
x)
=
tanxsinx
=右边．
故原命题成立。
18、已知函数
f(x)?3sin(2x?
（2）求
f(x)< br>在区间
?
2222222
2222
sinx
)
=
sin
3
x
．
cosx
?
4
),
求：（1）
f(x)
的最小正周期；
?

?
32
?
?
?
3
?
?
,3
?

,
?
的值域。
?
?
?
64
?
?
2
?
19、如右图所示函数图象，求
f(x)?Asin(
?
x?
?
)
（
?
?0,
?
?
?
） 的表达式。
解析：由图象可知
A
=2，
T?
即
2
?
7
??
?(?)?
?
,
88
?
?，
?
?
?2.

y

1


?
o

8


2
?
又
( ?,0)
为五点作图的第一个点，
8
因此
2?
（
?
?
3
?
8
7
?
8
?
?
4
x


?
8
）
?
?
?0
，
?
?
?
?
4
.
).
?2
因此所求函数的 表达式为
y?2sin(2x?
- 7 -