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人教版高中数学必修4课后习题答案详解04034

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 13:08
tags:高中数学必修4

江苏省高中数学竞赛初赛试题-高中数学选修系列目录








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第二章 平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
练习(P77)
uuur
uuur
1、略. 2、
AB

BA
. 这两个向量的长度相等,但它们不等.
uu uruuuruuuruuur
3、
AB?2

CD?2.5
EF?3

GH?22
.
4、(1)它们的终点相同; (2)它们的终点不同.
习题2.1 A组(P77)
1

B
45°


2

O
30°
C
A
D
. C
A
B
uuuruuuruuuruuur
uuuruuur
3 、与
DE
相等的向量有:
AF,FC
;与
EF
相等的向量有 :
BD,DA

uuuruuur
uuur

FD
相等的向量有:
CE,EB
.
rr
uuuruuuruuruuuuru uur
CO,QP,SRPM,DO
; 4、与
a
相等的向量有:;与
b
相等的向量有:
r
uuuruuuruuur

c
相等 的向量有:
DC,RQ,ST

uuur
33
5、
AD?
. 6、(1)×; (2)√; (3)√; (4)×.
2
习题2.1 B组(P78)
1、海拔和高度都不是向量.
uuuur
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与
AM
同向的共有6对,
uuuuruuuruuur

AM
反向的也有6对;与
AD
同向的共有3对,与
AD< br>反向的也有6对;模为
2
的向量共有4对;模为2的向量有2对

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2.2平面向量的线性运算
练习(P84)
uuur
uuur
1、图略. 2、图略. 3、(1)
DA
; (2)
CB
.
r
urur
ur
4、(1)
c
; (2)
f
; (3)
f
; (4)
g
.
练习(P87)
uruuur
uuuuuur
uu
ruuur
1、图略. 2、
DB

CA

AC

AD

BA
. 3、图略.
练习(P90)
1、图略.
uuu r
5
uuuruuurr
2
uuu
2、
AC?AB

BC??AB
.
77
uuur
说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是
BC
uuur

AB
反向.
rr
r
8
r
rr
7
r
1
r
3、(1)
b ?2a
; (2)
b??a
; (3)
b??a
; (4)
b?a
.
9
42
4、(1)共线; (2)共线.
rr
r
11
r
1
r
5、(1)
3a?2b
; (2)
?a?b
; (3)
2ya
. 6、图略.
123
习题2.2 A组(P91)
1、(1)向东走20 km; (2)向东走5 km; (3)向东北走
102
km;
(4)向西南走< br>52
km;(5)向西北走
102
km;(6)向东南走
102
km.
2、飞机飞行的路程为700 km;两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
uuuruuur
3、解:如右图所示:
AB
表示船速,
A D
表示河水
的流速,以
AB

AD
为邻边作
□< br>ABCD
,则
uuur
AC
表示船实际航行的速度.
B
C
uuuruuur
在Rt△ABC中,
AB?8

AD?2

uuur
所以
AC?
uuur
2
uuur
2
AB?AD?8
2< br>?2
2
?217

A
D
水流方向
因为
tan?CAD?4
,由计算器得
?CAD?76?

所以,实际航行的速 度是
217
kmh
,船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
rrruuur
uuuruuur
4、(1)
0
; (2)
AB
; (3)
BA
; (4)
0
; (5)
0
; (6)
CB
; (7)
r
0
.

第 25 页 共 50 页




5、略
6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三
个非零向 量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段
一定能构成三角形.
rr
rrrr
7、略. 8、(1)略; (2)当
a?b
时,
a?b?a?b

rrrrr
r
r
1
r
9、(1)
?2a?2b
; (2)
10a?22b?10c
; (3)
3a?b
; (4)
2(x?y)b
.
2
rrurrruruurrruruur
10、
a?b?4e
1

a?b??e
1
?4e
2

3a?2b??3e
1
?10e
2
.
uuu rruuurr
11、如图所示,
OC??a

OD??b

uuurrruuurrr
DC?b?a

BC??a?b
.

(第11题)
rrr
uuuuuur
1
r
uu u
r
1
rruuur
3
r
12、
AE?b

BC?b?a

DE?(b?a)

DB?a

444
uuur
3
ruuur
1
rruuur
1
uuuur
1
rr
EC?b

DN?(b?a)

AN?AM?(a?b)
.
4848
13、证明:在
?ABC
中,
E,F
分别是
AB,BC
的中点,
1
所以
EFAC

EF?AC

2
uuur
1
uuur

EF?AC

2
uuur
1
uuur
同理,
HG?AC

2
uuuruuur
所以
EF?HG
.
习题2.2 B组(P92)
1、丙地在甲地的北偏东45°方向,距甲地1400 km.
rr
2、不一定相等,可以验证在
a,b
不共线时它们不相等.
(第12题)
G
D
C
F
H
E
A
(第13题)
B


uuuuruuuruuuur
uuur
1
uuur uuuur
1
uuur
3、证明:因为
MN?AN?AM
,而
AN?AC

AM?AB

33
uuuur
1
uuur
1
uuur
1
uuuruuur
1
uuur
所以
MN?AC?AB?(AC?AB)?BC
.
3333
4、(1)四边形
ABCD
为平行四边形,证略
(2)四边形
ABCD
为梯形.
uuur
1
uuur
证明:∵
AD?BC

3

ADBC

AD?BC

∴四边形
ABCD
为梯形.
D
(3)四边形
ABCD
为菱形.


(第1题)
C
B
A
(第4题(2))
第 26 页 共 50 页




uuuruuur
证明:∵
AB?DC


ABDC

AB?DC

∴四边形
ABCD
为平行四边形
uuuruuur

AB?AD

∴四边形
ABCD
为菱形.
5、(1)通过作图可以发现四边形
ABCD
为平行四边形.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
证明:因为
OA?OB?BA

OD?OC?CD

C
B
A
D
(第4题(3))
M
uuuruuuruuuruuur

OA?OC?OB?OD

uuuruuuruuuruuur
所以
OA?OB?OD?OC

uuuruuur
所以
BA?CD
,即
AB

CD
.
A
B
D
C
O
(第5题)
因此,四边形
ABCD
为平行四边形.
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
练习(P100)
rrrrrrrr1、(1)
a?b?(3,6)

a?b?(?7,2)
; (2)
a?b?(1,11)

a?b?(7,?5)

rrrrrrrr
(3)
a?b?(0,0)

a?b?(4,6)
; (4)
a?b?(3,4)

a?b?(3,?4)
.
rrrr< br>2、
?2a?4b?(?6,?8)

4a?3b?(12,5)
.
uuuruuuruuuruuur
3、(1)
AB?(3,4)

BA?(?3,?4)
; (2)
AB?(9,?1)

BA?(?9,1)

uuuruuuruuuruuur
(3)
AB?(0,2)

BA?(0,?2)
; (4)
AB?(5,0)

BA?(?5,0)

uuuruuur
uuuruuur
4、
AB

CD
. 证明:
AB?(1,?1)

CD?(1,?1)
,所以
AB?CD
.所 以
AB

CD
.
1014
5、(1)
(3,2)
; (2)
(1,4)
; (3)
(4,?5)
. 6、
(,1)

(,?1)

33
uuur
3uuuruuurr
3
uuu
7、解:设
P(x,y)
,由点< br>P
在线段
AB
的延长线上,且
AP?PB
,得
AP? ?PB

22
uuuruuur

AP?(x,y) ?(2,3)?(x?2,y?3)

PB?(4,?3)?(x,y)?(4?x,?3?y )

3
?
x?2??(4?x)
?
3
?
2

(x?2,y?3)??(4?x,?3?y)

?

3
2
?
y?3??(?3?y)
?
?2

第 27 页 共 50 页




?
x?8

?
,所以点
P
的坐标为
(8,?15)
.
?
y??15
习题2.3 A组(P101)
1、(1)
(?2,1)
; (2)
(0,8)
; (3)
(1,2)
.
说明:解题时可设
B(x,y)
,利用向量坐标的定义解题.
uuruur uur
2、
F
1
?F
2
?F
3
?(8,0 )

uuuruuur
OA?(?1,?2)BC?(5?3,6?(?1))?(2 ,7)
3、解法一:,
uuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuur

AD?BC

OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
. 所以点
D
的坐
标为
(1,5)
.
uuur
解法二:设
D(x,y)
,则
AD?(x?(?1),y?(?2))?(x?1,y ?2)

uuur
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

uuuruuur
?
x?1?2

AD?BC< br>可得,
?
,解得点
D
的坐标为
(1,5)
.
?
y?2?7
uuuruuur
4、解:
OA?(1,1)
AB?(?2,4)
.
uuuruuur
uuur
1
uuur uuurr
1
uuu

AC?AB?(?1,2)
AD?2AB?(?4,8)

AE??AB?(1,?2)
.
22
uuuruuuruuur

OC?OA?AC?(0,3)
,所以,点
C
的坐标为
(0,3)

uuuruuuruuur

OD?OA?AD?(?3,9)
, 所以,点
D
的坐标为
(?3,9)

uuuruuuruuur

OE?OA?AE?(2,?1)
, 所以,点
E
的坐标为
(2,?1)
.
rr
23
5 、由向量
a,b
共线得
(2,3)?
?
(x,?6)
,所以
?
,解得
x??4
.
x?6
uuuruuurr
uuuruuur
uuur
uuu
6、
AB?(4,4)

CD?(?8,?8)

CD??2AB
,所以
AB

CD
共线.
uuuruuur
?
OA?2OA?(2,4)
,所以点< br>A
?
的坐标为
(2,4)
; 7、
uuuruuur

OB
?
?3OB?(?3,9)
,所以点
B
?
的坐 标为
(?3,9)
; 故
uuuur
A
?
B
?
?(?3,9)?(2,4)?(?5,5)

习题2.3 B组(P101)

第 28 页 共 50 页




uuur uuur
1、
OA?(1,2)

AB?(3,3)
.
uuuruuuruuuruuur

t?1
时,
OP?OA? AB?OB?(4,5)
,所以
P(4,5)

uuuruuur
1
uuur
1335757

t?< br>时,
OP?OA?AB?(1,2)?(,)?(,)
,所以
P(,)

222
22222
uuuruuuruuur

t??2< br>时,
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(?5,?4)
,所以
P (?5,?4)

uuuruuuruuur

t?2
时,< br>OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(7,8)
,所以
P(7,8)
.
uuuruuur
uuuruuur
AB?(?4,?6)AC?(1,1.5 )
2、(1)因为,,所以
AB??4AC
,所以
A

B< br>、
C

点共线;
uuuruuuruuuruuur
( 2)因为
PQ?(1.5,?2)

PR?(6,?8)
,所以
PR ?4PQ
,所以
P

Q

R

点共线;
uuuruuur
uuuruuur
(3)因为
EF?(?8,?4)< br>,
EG?(?1,?0.5)
,所以
EF?8EG
,所以
E< br>、
F

G
三点共线.
urur
uruurr
?
2
u
3、证明:假设
?
1
?0
,则由
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?0
,得
e
1
??e
2
.
?
1
uruur uruur
所以
e
1
,e
2
是共线向量,与已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误,
?
1
?0
. 同理
?
2
?0
. 综上
?
1
?
?
2
?0
.
uuur
uuururuur
4、(1)
OP?19
. (2)对于任意向量
OP?xe
1
?ye
2

x,y
都是唯一确
定的,
所以向量的坐标表示的规定合理.
2.4平面向量的数量积
练习(P106)
urrurrurr
1
1、
p?q?p?q?c os?p,q??8?6??24
.
2
rrrr
2、当
a?b?0
时,
?ABC
为钝角三角形;当
a?b?0
时,
?ABC< br>为直角三角形.
3、投影分别为
32
,0,
?32
. 图略
练习(P107)
rr
rr
2222
1、
a?(?3)? 4?5

b?5?2?29

a?b??3?5?4?2??7
.
rr
rrrrrrrrr
2
2、
a?b?8

(a ?b)(a?b)??7

a?(b?c)?0

(a?b)?49
.

第 29 页 共 50 页




rr
rr
3、
a?b?1

a?13

b?74

?
?88?
.
习题2.4 A组(P108)
rr
2
r
2
rrr
2
rr
rr
1、
a?b? ?63

(a?b)?a?2a?b?b?25?123

a?b?25?1 23
.
uuuruuuruuuruuur
2、
BC

C A
的夹角为120°,
BC?CA??20
.
rrr
2
r rr
2
rrr
2
rrr
2
3、
a?b?a?2a? b?b?23

a?b?a?2a?b?b?35
.
rr
4、证法一:设
a

b
的夹角为
?
.
(1)当
?
?0
时,等式显然成立;
rrrr
(2)当< br>?
?0
时,
?
a

b

a

?
b
的夹角都为
?

所以
rrrrrr(
?
a)?b?
?
abcos
?
?
?
abcos
?

rrrr
?
(a?b)?
?
abcos
?

rrrrrr
a?(
?
b)?a
?
bcos
?
?
?
abcos
?

rrrrrr
所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)

rrrr
(3)当
?
?0
时,
?
a

b< br>,
a

?
b
的夹角都为
180??
?

rrrrrr

(
?
a)?b?
?
abc os(180??
?
)??
?
abcos
?

rr rrrr
?
(a?b)?
?
abcos
?
??
?< br>abcos
?

rrrrrr
a?(
?
b)?a?
bcos(180??
?
)??
?
abcos
?
rrrrrr
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
; 所以
综上所述,等式成立.
rr
证法二 :设
a?(x
1
,y
1
)

b?(x
2< br>,y
2
)

rr
那么
(
?
a )?b?(
?
x
1
,
?
y
1
)?(x2
,y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

rr
?
(a?b) ?
?
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)?
?
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

rr
a?(
?
b)?(x1
,y
1
)?(
?
x
2
,
?
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

rrrrrr
所以
(
?< br>a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)

5、(1)直角三角形,
?B
为直角.

第 30 页 共 50 页




uuuruuur
证明:∵
BA?(?1,?4)?(5,2)?(?6,?6)

BC?(3,4)?(5,2)?(? 2,2)

uuuruuur

BA?BC??6?(?2)?(?6)?2?0
uuuruuur

BA?BC

?B
为直角,
?AB C
为直角三角形
(2)直角三角形,
?A
为直角
uuuruuur
证明:∵
AB?(19,4)?(?2,?3)?(21 ,7)

AC?(?1,?6)?(?2,?3)?(1,?3)

uuuruuur

AB?AC?21?1?7?(?3)?0

u uuruuur

AB?AC

?A
为直角,
?ABC为直角三角形
(3)直角三角形,
?B
为直角
uuuruuur
证明:∵
BA?(2,5)?(5,2)?(?3,3)

BC?(10,7)?(5,2)?(5,5)

uuuruuur

BA?BC??3?5?3?5?0

uuur uuur

BA?BC

?B
为直角,
?ABC
为 直角三角形
6、
?
?135?
.
7、
?
?120?
.
rr
rrrrr
2
rrr
2

(2a?3b) (2a?b)?4a?4a?b?3b?61
,于是可得
a?b??6

r r
a?b1
cos
?
?
rr
??
,所以
?
?120?
.
2
ab
23

?
?55?
.
40
uuuruuur
9、证明:∵
AB?(5,?2)?(1,0)?(4,?2)

BC?(8,4)?(5,?2)?(3,6)

8、
cos
?< br>?
uuur
DC?(8,4)?(4,6)?(4,?2)

uuur uuur
uuuruuur

AB?DC

AB?BC?4?3?( ?2)?6?0


A,B,C,D
为顶点的四边形是矩形.
r
a
10、解:设
?(x,y)

?
?
35
35
?
x?y?9
?
x?
?
x??
?
?
?
5
5

?
,解得,或.
?
?
y
?
y?
65
?
y??
65
?
x?
?2
?
?
5
5
?
?
22

第 31 页 共 50 页




rr
35653565
,)

a?(?,?)
. 于是a?(
5555
r
r
11、解:设与
a
垂直的单位向量
e?(x,y)

??
55
x?x??
22
??
?
x?y?1
??
55

?
,解得
?
?
.
4x?2y?0
?
?
y??
25?
y?
25
??
55
??
rr
525525< br>,?)

e?(?,)
. 于是
e?(
5555
习题2.4 B组(P108)
rrrrrrrrr rrrrr
1、证法一:
a?b?a?c?a?b?a?c?0?a?(b?c)?0?a?( b?c)

证法二:设
a?(x
1
,y
1
)

b?(x
2
,y
2
)

c?(x
3
,y
3
)
.
rrr
rrrrrrr
先证
a?b?a?c?a?(b?c)
rrrr
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

a?c?x
1
x
3
?y
1
y
3


rrrr
a?b?a?c

x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
,即
x
1
(x
2
? x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0

rrr
rr

b?c?(x
2
?x
3
,y
2
?y
3
)
,所以
a?(b?c)?0

rrrrrrr
再证
a?(b?c)?a?b?a?c

rrr

a?(b?c)?0

x
1
(x
2
?x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0

rrrr

x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
,因此
a?b?a?c

uuuruuur
OA?OB
2、
cos?AOB?
uuuruuur
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
.
OAOB
rr
u?(a,b)v
3、证明:构造向量,
?(c,d)
.
rrrrrr
rr
2222

u?v?uvcos? u,v?
,所以
ac?bd?a?bc?dcos?u,v?

rr

(ac?bd)?(a?b)(c?d)cos?u,v??(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)

222222
uuu ruuur
4、
AB?AC
的值只与弦
AB
的长有关,与圆的半径无 关.

第 32 页 共 50 页
C




uuuur
AM
uuuruuuruuuruuur

AB?AC? ABACcos?BAC
,而
?BAC?
uuur

AC
u uuruuuruuuruuuur
1
uuur
2
所以
AB?AC? ABAM?AB

2
uuur
2
uuur
2
uuu r
2
5、(1)勾股定理:
Rt?ABC
中,
?C?90?
,则
CA?CB?AB

uuuruuuruuur
证明:∵
AB?CB?CA

证明:取
AB
的中点
M
,连接
CM

u uuur
1
uuur

CM?AB

AM?AB

2
uuur
2
uuuruuur
2
uuur
2uuuruuuruuur
2

AB?(CB?CA)?CB?2CA?CB?C A
.
uuuruuur

?C?90?
,有
CA?CB< br>,于是
CA?CB?0

uuur
2
uuur
2uuur
2

CA?CB?AB

(2)菱形
ABCD
中,求证:
AC?BD

uuuruuuruu ur
uuuruuuruuur
证明:∵
AC?AB?AD

DB? AB?AD,

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
2uuur
2

AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB?AD
.
uuur
2
uuur
2
∵四边形
ABCD
为 菱形,∴
AB?AD
,所以
AB?AD?0

uuuruuur

AC?DB?0
,所以
AC?BD

(3)长方形
ABCD
中,求证:
AC?BD

uuuruuur
证明:∵ 四边形
ABCD
为长方形,所以
AB? AD
,所以
AB?AD?0

uuur
2
uuuruuur uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuur
2
AB?2AB?AD?AD?AB?2AB?AD?AD
.
uuur
2
uuur
2
uuuruuur
2
uuuruuur
2
(AB?AD)?(AB?AD)
,所以
AC?BD
,所以
AC?BD< br>
(4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2)(3)的证明即可.
2.5平面向量应用举例
习题2.5 A组(P113)
1、解:设
P(x,y)

R(x
1
,y
1
)

uuur
uuur

RA?(1,0)?(x
1,y
1
)?(1?x
1
,?y
1
)

AP?(x,y)?(1,0)?(x?1,0)

uuuruuur
?
x
1
??2x?3
由< br>RA?2AP

(1?x
1
,?y
1
)?2(x?1 ,y)
,即
?

?
y
1
??2y

第 33 页 共 50 页




代入直线
l
的方程得
y?2x
. 所以,点
P
的轨迹方程为
y?2x
.
2、解:(1)易知,
?OFD

?OBC

DF?
A
1
BC
,
2
D
O
F
2
所以
BO?BF
. 3
uuuruuuruuur
2
uuurr
21
rrr
1
rr
AO?BO?BA?BF?a?(b?a)?a?(a?b)

332 3
B
uuur
1
rr
(2)因为
AE?(a?b)

2
uuur
2
uuur
AO
所以
AO?AE
,因此
A,O,E
三点共线,而且
?2

OE
3
BOCOAOBOCO
同理可知:
?2,?2
,所以
???2
OFODOEOFOD
ruuruur
3、解:(1)
v?v
B
?v
A
?(?2,7)

ruur
v?v
A
13
r
uur
(2 )
v

v
A
方向上的投影为
uur
?
.
5
v
A
urur
uuuruurur
4、解:设
F
1

F
2
的合力为
F

F
F
1
的夹角为
?

E
(第2题)
C
(第4题)
uruur
uuruur

F?3?1
?
?30?

F
3
?3?1

F
3

F
1
的夹角为150°.
习题2.5 B组(P113)
uur
uuruur
1、解:设
v
0
在 水平方向的速度大小为
v
x
,竖直方向的速度的大小为
v
y

uuruuruuruur

v
x
?v
0
co s
?

v
y
?v
0
sin
?
.
设在时刻
t
时的上升高度为
h
,抛掷距离为
s
,则
uur
1
?
h?vtsin
?
?gt,(g为重力加速度)
0
?
2

?
uur
?
s?v
0< br>tcos
?
?
所以,最大高度为
uruur
uur
2
2
v
0
sin
?
2g
,最大投掷距离为
r
uur
uur
2
v
0
sin2
?
g
.
2、解:设
v
1

v
2
的夹角为
?
,合速度为
v

v
2

v
的夹角为
?
,行驶距离为
d
.
r
ur
v
v
1< br>sin
?
10sin
?
0.5
d1
d??

sin
?
?
,. ∴
r
?
.
?
rr
sin
?
20sin
?
20sin
?v
vv
r
所以当
?
?90?
,即船垂直于对岸行驶时所 用时间最短.
3、(1)
(0,?1)


第 34 页 共 50 页




uuuruuur
解:设
P(x,y)
,则
AP?(x?1,y?2)
.
AB?(2,?22)
.
uuuruuur
?
7

AB
绕点
A
沿顺时针方向旋转到
AP
,相当于沿逆时针方向旋转< br>?

44
uuur
AP

uuur
777 7
于是
AP?(2cos
?
?22sin
?
,2sin?
?22cos
?
)?(?1,?3)

4444
所以
?
(2)
y??
?
x?1??1
,解得
x?0,y??1

y?2??3
?
3

2x
uuur
?
解:设曲线
C
上任一点
P
的坐标为
(x,y)

O P

O
逆时针旋转后,点
P
的坐
4
标为
( x
?
,y
?
)

?
??
?
?x?xcos?ysin
?
x
?
?
?
?
44< br>,即
?

?
?
??
?
y
?
?
?
y
?
?xsin?ycos
?
?
44
?
?
2
(x?y)
2

2
(x?y)
2< br>113
又因为
x
?
2
?y
?
2
?3
,所以
(x?y)
2
?(x?y)
2
?3
,化简得
y??

222x
第二章 复习参考题
A组(P118)
1、(1)√; (2)√; (3)×; (4)×.
2、(1)
D
; (2)
B
; (3)
D
; (4)
C
; (5)
D
; (6)
B
.
uuur
1
rruuur
1
rr3、
AB?(a?b)

AD?(a?b)

22
uu uruuuruuuruuur
2
r
1
r
4、略解:
DE? BA?MA?MB??a?b

33
uuur
2
r
2
ruuur
1
r
1
r
AD?a?b

BC?a? b

3333
uuuruuuruuur
1
r
2
r
1
r
1
r
EF??a?b

FA?DC?a?b< br>
3333
uuurr
2
r
1
r
1
r
2
ruuu
CD??a?b

AB?a?b

3333
uuurrr
CE??a?b

uuur
uuur
AB?(8,?8)
5、(1),
AB?82

uuuruuur
uuuruuur
OC?(2,?16)OD?(?8,8)
(2),; (3)
OA?OB?33
.
(第4题)

第 35 页 共 50 页




r
uuur
uuu
6、
AB

CD
共线.
uuuruuur
uuuruuurr
uuur
uuu
AB?(1, ?1)CD?(1,?1)
证明:因为,,所以
AB?CD
. 所以
AB

CD
共线.
7、
D(?2,0)
. 8、
n?2
. 9、
?
??1,
?
?0
.
34
10、
cosA?,cosB?0,cosC?

55
rurur
rururrurur
2
11、证明:
(2n?m)?m?2n? m?m?2cos60??1?0
,所以
(2n?m)?m
.
rrrr
519
12、
?
??1
. 13、
a?b?13

a?b?1
. 14、
cos
?
?,cos
?
?

820
第二章 复习参考题
B组(P119)
1、(1)
A
; (2)
D
; (3)
B
; (4)
C
; (5)
C
; (6)
C
; (7)
D
.
rrrrrr
2、证明:先证
a?b?a?b?a?b
.
rrrr
2

a?b?(a?b)?
rrr r
a?b?(a?b)
2
?
r
2
r
2
rr
a?b?2a?b
.
r
2
r
2
rr
a?b?a?b
.
r2
r
2
rr
a?b?2a?b

rrrr
rr
因为
a?b
,所以
a?b?0
,于是a?b?
rrrrrr
再证
a?b?a?b?a?b
.
rrr
2
rrr
2
rrr
2
rrr
2
由于
a?b?a?2a?b?b

a?b?a?2a?b?b

rrrr
rrrr

a?b?a?b
可得
a?b?0
,于是
a?b

rrrrrr
所以
a?b?a?b?a?b
. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
rrrur
3、证明:先证
a?b?c?d

rurrrrrr
2
r
2

c?d?(a?b)?(a?b)?a?b

rurrur
rr

a?b
,所以
c?d?0
,所以
c?d

rurrr
再证
c?d?a?b
.
rrrrr
2
r
2
rurrur

c?d

c?d?0
,即
(a?b)?(a?b)?a?b?0< br>
(第3题)
rr
所以
a?b
【几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所

第 36 页 共 50 页




示】
uuuruuuruuuruuur
1
rruuur
1
r
1
r
4、
AD?AB?BC? CD?a?b

AE?a?b

242
uuur
3
ruuuur
1
ruuuuruuuruuuur
1
r
1
r
1
r
1
rr

EF?a

EM?a< br>,所以
AM?AE?EM?a?b?a?(a?b)

444242
u uuruuuruuuuruuuruuuuruuurr
5、证明:如图所示,
OD?OP< br>1
?OP
2
,由于
OP
1
?OP
2
?OP
3
?0

uuuruuur
uuur
所以
OP
3
??OD

OD?1

P
3
OP
2
uuuruuuruuur
所以
OD?OP

?P D
11
P
1
所以
?OPP
12
?30?
, 同理可得
?OPP
13
?30?

(第5题)
D
所以
?P
3
PP
12
?60?
,同理可得
?PP< br>12
P
3
?60?

?P
2
P
3< br>P
1
?60?
,所以
?PP
12
P
3

正三角形.
6、连接
AB
.
uuuuruuurrr
由对称性可知,
AB

?SMN的中位线,
MN?2AB?2b?2a
.
N
7、(1)实际前进速度大 小为
4
2
?(43)
2
?8
(千米/时),
沿与水流方向成60°的方向前进;
(2)实际前进速度大小为
42
千米/时,
沿与水流方向成
90??arc cos
M
A
B
6
O
S
的方向前进.
3< br>uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
(第6 题)
8、解:因为
OA?OB?OB?OC
,所以
OB?(OA?OC)? 0
,所以
OB?CA?0

uuuruuuruuuruuur
同理,
OA?BC?0

OC?AB?0
,所以点
O
?ABC
的垂心.
9、(1)
a
2
x?a
1
y?a
1
y
0
?a
2
x
0
?0
; (2)垂直;
(3)当
A
1
B
2
?A
2B
1
?0
时,
l
1

l
2
; 当
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0时,
l
1
?l
2

夹角
?
的余弦< br>cos
?
?
Ax
0
?By
0
?C
A ?B
22
A
1
A
2
?B
1
B
2< br>A?B
2
1
2
1
A
2
?B
2
22

(4)
d?






第 37 页 共 50 页




第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习(P127)
?? ?
1、
cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin< br>?
?0?cos
?
?1?sin
?
?sin
?
.
222

cos(2
?
?
?
)?cos 2
?
cos
?
?sin2
?
sin
?
?1 ?cos
?
?0?sin
?
?cos
?
.
34< br>3
?
2、解:由
cos
?
??,
?
?(,< br>?
)
,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?

55
52
???
23242
所以
cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
?
. < br>?(?)???
444252510
3、解:由
sin
?
?< br>158
15

?
是第二象限角,得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??

1717
17
???
81153?8?153
所以< br>cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin ?????
.
?
33317217234
25
23
?4、解:由
sin
?
??,
?
?(
?
,),得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?)2
??

33
32
37
33
?
又由
cos
?
?,
?
?(,2
?
)
,得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?()
2
? ?
.
44
42

3572?35?27
.
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
??(?)?(?)?(?)?
4343 12
练习(P131)

1、(1)
6?26?26?2
; (2); (3); (4)
2?3
.
444
34
3
?
2、解:由
cos
?
??,
?
?(,
?
)
,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)< br>2
?

55
52
???
41334?33
所以
sin(
?
?)?sin
?
cos?cos
?
sin???(?)?
.
?
333525210
3、解:由
sin
?
??
125
12
,得
cos
?
??1? sin
2
?
??1?(?)
2
??

?
是第三象限角,
1313
13

???
35112?53?12
.
cos(?
?
)?c oscos
?
?sinsin
?
??(?)??(?)?
66621 321326
?
tan
?
?tan
?
4
?
3?1
??2
. 4、解:
tan(
?
?)?
4
1 ?tan
?
?tan
?
1?3?1
4


第 38 页 共 50 页




3
1
5、(1)1; (2); (3)1; (4)
?

2
2
1
(5)原式=
?(cos 34?cos26??sin34?sin26?)??cos(34??26?)??cos60???

2
(6)原式
=
?sin20?cos70??cos20?si n70???(sin20?cos70??cos20?sin70?)??sin90???1
.
???
6、(1)原式=
coscosx?sinsinx?cos(?x)

333
31
???
(2)原式=
2(sinx?cosx) ?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)

22666
22
???
(3)原式=
2(sinx?cosx) ?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)

22444
13
???
(4)原式=
22(cosx?sinx )?22(coscosx?sinsinx)?22cos(?x)
.
22333
3
7、解:由已知得
sin(
?
?
?
)cos
?< br>?cos(
?
?
?
)sin
?
?

5
33

sin[(
?
?
?
)?
?
]?

sin(?
?
)?

55
3
所以
sin
?
??
. 又
?
是第三象限角,
5
34
于是
cos< br>?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
.
55

5
?
5
?
5
?
324272
.
sin(
?
?)?sin
?
cos?cos
?
sin?( ?)(?)?(?)(?)?
444525210
练习(P135)
?
3< br>?
1、解:因为
8
?
?
?
?12
?
,所以
?
??

82
3
?
?
43
?
4
8
?
5
?
3
又由
c os??
,得
sin??1?(?)
2
??

tan?8
cos
?
?
4
4
855
85
85< br>sin?

?
???
3424

?sin(2?)? 2sincos?2?(?)?(?)?
48885525
????
437

cos?cos(2?)?cos
2
?sin
2
?(?)
2
?(?)
2
?

48885525
所以sin
3
??
8
?
4
?
3
?
16
?
24

tan?tan(2?)?
4 8
1?tan
2
?
1?(
3
)
2
277< br>84
2tan
2?
?
?
33316
2、解:由
sin(
?
?
?
)?
,得
sin
?
??
,所以
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1 ?(?)
2
?

55525

第 39 页 共 50 页




1637

?(?)
2
?
25525
1
3、解:由
sin2
?
??sin
?

sin
?
?0
可得
cos
?
??

2
所以
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?

tan
?
?

?
?
?(,
?
)
2
,得
13
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?22
,所以
sin
?
3
??(?2)??3
.
cos
?
2
12tan
?
1
2
4、解:由
tan2
?
?
,得. 所以
tan
?
?6tan
?
?1?0
,所以
?
2
31?tan
?
3
tan
?
??3?10

???
2
11
5、(1 )
sin15?cos15??sin30??
; (2)
cos
2
?sin
2
?cos?

8842
24
2
12tan22.5?11
(3)原式=
?
; (4)原式=.
cos45??
?tan45??
2
21?tan
2
22.5?22
习题3.1 A组(P137)
3
?
3
?
3
?
1、(1)
cos(??
)?coscos
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?(?1)?sin
?
??sin
?

222
3
?
3
?
3
?
(2)
sin(?
?
)?sincos
?
?cossin
?
??1 ?cos
?
?0?sin
?
??cos
?

222
(3)
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
?sin
?
sin
?
??1?co s
?
?0?sin
?
??cos
?

(4)
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
?0?cos
?
?(?1)?s in
?
?sin
?
.
34
3
2、解:由
cos
?
?,0?
?
?
?
,得
sin
?< br>?1?cos
2
?
?1?()
2
?

55
5
???
433143?3
所以
cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin??
.
???
666525210
25
2
?
3、解:由
s in
?
?,
?
?(,
?
)
,得
cos?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??

33
32
37
33
?
又由
cos
?
??,
?
?(
?
,)
,得
sin
?< br>??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??

44
42

cos(
?
?
?
) ?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??
532735?27
.
?(?)??(?)?
343412

143
1
4、解:由
cos
?
?

?是锐角,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?()2
?

77
7
因为
?
,?
是锐角,所以
?
?
?
?(0,
?
)


第 40 页 共 50 页




又因为
cos(
?
?
?
)??
11
2
53

)?
1414
11
14
,所以
sin(
?
?
?
)?1?cos
2
(
?
?
?
)?1?(?
所以
cos
?
?cos[(
??
?
)?
?
]?cos(
?
?
?
)c os
?
?sin(
?
?
?
)sin
?

11153431
)????

1471472
5、解:由
60??
?
?150?
,得
90??30??
?
?180?

?(?
34
3
又由
sin(30??
?
)?
,得
cos(30??
?
)??1?sin
2(30??
?
)??1?()
2
??

55
5
所以
cos
?
?cos[(30? ?
?
)?30?]?cos(30??
?
)cos30??sin(30??
?
)sin30?

4331?43?3

??????
525210
6?22?6
6、(1)
?
; (2)
?
; (3)
?2?3
.
44
25
2
?
7、解:由
sin
?
?,
?
?(,
?< br>)
,得
cos
?
??1?sin
2
?
??1 ?()
2
??
.
33
32
又由
cos
?
??
3
4

?
是第三象限角,得
37
si n
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??< br>.
44
所以
cos(
?
?
?
)?cos< br>?
cos
?
?sin
?
sin
?

5327
?(?)??(?)

3434
35?27
?
12
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

??
2357
??(?)?(?)?(?)

3434
?6?35

?
12
53
8、解:∵sinA?,cosB?

A,B

?ABC
的内角
135
?
124

0?A?
?
,0?B?

cosA??,sinB?

2135
12

cosA??
时,
sin(A? B)?sinAcosB?cosAsinB

13

第 41 页 共 50 页




?
5312433
??(?)????0

13513565

A?B?
?
,不合题意,舍去
124

cosA?,sinB?

135

co sC??cos(A?B)??(cosAcosB?sinAsinB)

1235416
?(???)??

13513565
34
3
?
9、解:由
sin
?
?,
?
?(,
?
)
,得
cos
?
??1?sin
2
?
?? 1?()
2
??
.
55
52

tan
?
?
sin
?
353
??(?)??
.
cos?
544
31
??
tan
?
?tan
?
42
??
2
.
?

tan(
?
??
)?
1?tan
?
?tan
?
1?(?
3< br>)?
1
11
42
31
??
tan
?
?tan
?
42
??2
.
?

tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?tan
?
1 ?(?
3
)?
1
42
10、解:∵
tan
?
,tan
?

2x
2
?3x?7?0
的两个实数根. < br>37

tan
?
?tan
?
??

tan
?
?tan
?
??
.
22

ta n(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?1
???
.
1?tan
?
?tan
?
1?( ?
7
)
3
2
?
3
2
11、解:∵
tan(
?
?
?
)?3,tan(
?
?
?
)?5


tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
tan(
?
??
)?tan(
?
?
?
)
3?54
???
1?tan(
?
?
?
)?tan(
?
??
)
1?3?57
tan(
?
?
?
)?tan (
?
?
?
)
3?51
tan2
?
?tan [(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
???

1?tan(
?
?
?
)?tan(
??
?
)
1?3?58
B
D
12、解:∵
BD: DC:AD?2:3:6

BD1DC1

tan
?
??, tan
?
??

AD3AD2
11
?
tan
?
?tan
?
32
?1

?

tan? BAC?tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?ta n
?
1?
1
?
1
32
α
又∵
0? ??BAC?180?
,∴
?BAC?45?


A
β
(第12题)
C
第 42 页 共 50 页




27
?
?
?
x
?
13、(1) (2)
3sin(?x)
; (3) (4)
sin(?x)

6 5sin(x?)

2sin(?)

212
6326
2< br>1
(5); (6); (7)
sin(
?
?
?
)
; (8)
?cos(
?
?
?
)
; (9)
?3
; (10)
2
2
tan(
?
?
?
)
. ?
14、解:由
sin
?
?0.8,
?
?(0,),得
cos
?
?1?sin
2
?
?1?0.8
2
?0.6

2

sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?0.8?0.6?0.96

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?0.6
2< br>?0.8
2
??0.28

15、解:由
cos
?< br>??
36
3

sin
?
??1?cos
2< br>?
??1?(?)
2
??

,180??
?
?270?

33
3

sin2
?
?2sin?
cos
?
?2?(?
6
)?(?
3
3
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?(?)
2
?(?
3
tan2
?
?
sin2
?
22
??(?3)??22

cos2
?
3
322

)?
33
6
2
1
)??

33
1 6、解:设
sinB?sinC?
512
,且
0??B?90?
,所 以
cosB?
.
1313
512120

sinA?si n(180??2B)?sin2B?2sinBcosB?2???

1313169
125119
cosA?cos(180??2B)??cos2B??(cos
2
B?sin
2
B)??(()
2
?()
2
)??
1 313169
tanA?
sinA120169120

??(?)??
cosA169119119
2?

113
?
2tan
?
3tan
?
?tan2
?
374?1
.
??

tan(
?
?2
?
) ??
17、解:
tan2
?
?
2
1?tan
?1?(
1
)
2
4
1?tan
?
?tan2?
1?
1
?
3
3
74
18、解:
co s(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?< br>?
)sin
?
?

?
?(
111
?
cos[(
?
?
?
)?
?
]?
,即
cos
?
?

333
122
3
?
,2
?
)
,所以
sin
?
??1?cos
2< br>?
??1?()
2
??
33
2
22142

)???
339
122
2
7
cos2
?
? cos
2
?
?sin
2
?
?()
2
?(? )??

339


sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?(?

第 43 页 共 50 页




???
72422?72?8

c os(2
?
?)?cos2
?
cos?sin2
?
sin? ???(?)??
444929218
1
19、(1)
1?sin2
?
; (2)
cos2
?
; (3)
sin4x
; (4)
tan2
?
.
4
习题3.1 B组(P138)
1、略.
2、解:∵
tan A,tanB

x
的方程
x
2
?p(x?1)?1?0,即
x
2
?px?p?1?0
的两个实


tanA?tanB??p

tanA?tanB?p?1

tanC?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)
??由于
0?C?
?
,所以
C?
tanA?tanB?p
? ???1

1?tanA?tanB1?(p?1)
3
?
.
4
3、反应一般的规律的等式是(表述形式不唯一)
3
(证明略)
4
本题是开放型问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是:
3
sin
2
(
?
?30?)?cos
2
?
?sin(
?
?30?)cos
?
?

4
3
sin
2
(
?
?15?)?cos
2
(
?
?15?)?s in(
?
?15?)cos(
?
?15?)?

4
3
sin
2
?
?cos
2
?
?sin
?< br>cos
?
?
,其中
?
?
?
?30?
,等等
4
思考过程要求从角,三角函数种类,式子结构形式三个方面寻找共同特点,从
而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助,证明过程也会促进推理能力、运算能
力的提高.
sin
2
?
?cos
2
(
?
?30?)?sin
?cos(
?
?30?)?
4、因为
PA?PP

(co s(
?
?
?
)?1)
2
?sin
2
(?
?
?
)?(cos
?
?cos
?
)
2
?(sin
?
?sin
?
)
2

12< br>,

2?2cos(
?
?
?
)?2?2cos
?
cos
?
?2sin
?
sin
?

所 以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

3.2简单的三角恒等变换
练习(P142)
1、略. 2、略. 3、略.
1
?
?
k
??
k
?
4、(1)
y?sin4x
. 最 小正周期为,递增区间为
[??,?],k?Z
,最
228282
1
大值为;
2
(2)
y?cosx?2
. 最小正周期为
2
?
,递增区间为
[
?
?2k
?
,2
?
?2 k
?
],k?Z
,最大值
为3;

第 44 页 共 50 页




?
?
5
?
k< br>??
k
?
(3)
y?2sin(4x?)
. 最小正周期为, 递增区间为
[??,?],k?Z
,最
32242242
大值为2.
习题3.2 A组( P143)
1、(1)略; (2)提示:左式通分后分子分母同乘以2; (3)略;
(4)提示:用
sin< br>2
?
?cos
2
?
代替1,用
2sin
?< br>cos
?
代替
sin2
?

(5)略; ( 6)提示:用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?

(7)提示:用
2sin
2
?
代替
1?cos2
?
,用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
; (8)略.
11
2、由已知可有
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
……①,
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
…… ②
23
(1)②×3-①×2可得
sin
?
cos
??5cos
?
sin
?

(2)把(1)所得的两边同除以cos
?
cos
?

tan
?
?5tan?

注意:这里
cos
?
cos
?
?0
隐含与①、②之中
1
2?(?)
2tan
?
1
2
??
4

?
3、由已知可解得
tan
?
??
. 于是
tan 2
?
?
1?tan
2
?
1?(?
1
)2
3
2
2
1
??1
?
1
42
tan(
?
?)???

4
1?tan
?
?tan
?
1?(?
1
)?1
3
42
tan
??tan
?
?

tan2
?
??4tan(
?
?)

4
4、由已知可解得
x?sin
?

y?cos
?
,于是
x
2
?y
2
?sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
?
?
?
k
?
7
?
k
?
5、
f(x)?2si n(4x?)
,最小正周期是,递减区间为
[?,?],k?Z
.
32242242
习题3.2 B组(P143)
1、略.
2、由于< br>76?2?7?90
,所以
sin76??sin(90??14?)?cos14?? m


2cos
2
7??1?m
,得
cos7 ??
3、设存在锐角
?
,
?
使
?
?2
?< br>?
m?1

2
2
?
??
?
,所以< br>?
?
?

tan(?
?
)?3

3232

tan
?
2
tan
?
?2 ?3
,又因为
tan(
?
2
tan
?
?
) ?
?
2
?tan
?
1?tan
?
2

tan
?

第 45 页 共 50 页




所以
tan
?
?tan
?
?tan(?
?
)(1?tantan
?
)?3?3

222
??
由此可解得
tan
?
?1

?
?
经检验
?
?
?
4
,所以
?
?
?
6
.
?
6

?
?
?
4
是符合题意的两锐角.
11
4、线段
AB
的中点
M
的坐标为
((cos< br>?
?cos
?
),(sin
?
?sin
?
) )
. 过
M

MM
1

22
11
y
直于
x
轴,交
x
轴于
M
1

? MOM
1
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)
.
22
B
?
?
??< br>?
?
C

Rt?OMA
中,
OM?OAcos
.
?cos
M
22
A
?
?
??
??

Rt?OM
1
M
中,
OM
1
?O Mcos?MOM
1
?cos

cos
22
O
M
1
?
?
??
?
?
.
M
1
M?OMsin?MOM
1
?sincos
22
1
?
?< br>??
?
?
于是有
(cos
?
?cos
?
)?cos

cos
222
1
?
?
??
?
?

(sin
?
?sin
?
)?sincos
(第4题) 222
x
5、当
x?2
时,
f(
?
)?sin
2
?
?cos
2
?
?1

x?4
时,
f(
?
)?sin
4
?
?cos< br>4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
?

11
?1?sin
2
2
?
,此时有
≤f(
?)≤1

22

x?6
当,
f(
?< br>)?sin
6
?
?cos
6
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
3
?3sin
2
?
cos
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?
)

31
?1?sin
2
2
?
,此时有
≤f(
?
)≤1

44
1
由此猜 想,当
x?2k,k?N
?
时,
k?1
≤f(
?
) ≤1

2
3434
6、(1)
y?5(sinx?cosx)?5s in(x?
?
)
,其中
cos
?
?,sin
??

5555
所以,
y
的最大值为5,最小值为﹣5;
(2)
y?a
2?b
2
sin(x?
?
)
,其中
cos
??
a
a?b
22
,sin
?
?
b
a? b
22

所以,
y
的最大值为
a
2?b
2
,最小值为
?a
2
?b
2

第三章 复习参考题
A组(P146)

第 46 页 共 50 页




16
. 提示:
?
?(
?
?
?
)?
?

65
565
??
2、. 提示:
sin(
?
??
)??sin[
?
?(
?
?
?
)]??si n[(?
?
)?(?
?
)]

6544
3、1.
tan
?
?tan
?
4、(1)提示:把公式
tan(?
?
?
)?
变形;
1?tan
?
tan
?
1、
(2)
3
; (3)2; (4)
?3
. 提示:利用(1)的恒等式.
cos10??3sin10?4sin(30??10?)
??4

sin10?cos10?sin20?
sin10?sin10??3cos10?
(2)原式=
sin40?(

?3)?sin40??
cos10?cos 10?
?2sin40?cos40??sin80?
=
???1

cos10?cos10?
5、(1)原式=
(3)原式=
tan70? cos10?(
3sin20?3sin20??cos20?

?1)?tan70 ?cos10??
cos20?cos20?
sin70??2sin10??sin20?< br>=
?cos10?????1

cos70?cos20?cos70?3sin10?cos10??3sin10?

)?sin50??
cos10 ?cos10?
2cos50?sin100?
?sin50????1

cos10?cos10?
924
6、(1); (2);
5
25
(4)原式=
sin50??(1?
22
. 提 示:
sin
4
?
?cos
4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2?
cos
2
?

3
17
(4). 25
sin
?
sin
?
1
21
?
. 7、由已知可求得
cos
?
cos
?
?

sin< br>?
sin
?
?
,于是
tan
?
tan
?
?
cos
?
cos
?
2
55
(3 )
?
8、(1)左边=
2cos
2
2
?
?1?4c os2
?
?3?2(cos
2
2
?
?2cos2
?
?1)

?2(cos2
?
?1)
2
?2(2co s
2
?
)
2
?8cos
4
?
=右边 sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?
(2)左边=
2cos
2
?
?2sin
?
c os
?
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)
sin
?
?cos
?
11
?tan
?
?
=右边
2cos
?
22
sin(2
?
?
?
)?2cos(
?
?
?
)sin
?
sin[(< br>?
?
?
)?
?
]?2cos(
?
?
?
)sin
?
?
(3)左边=
sin
?
2c os
?
(cos
?
?sin
?
)
?
?sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
??
?
)sin
?
sin
?
=右边
?
sin
?
sin
?
第 47 页 共 50 页




3?4cos2A?2cos
2
2A?12(cos
2
2A?2cos2A?1)
?
(4)左边= 22
3?4cos2A?2cos2A?12(cos2A?2cos2A?1)
(1?c os2A)
2
(2sin
2
A)
2
???tan
4
A
=右边
222
(1?cos2A)(2cosA)
?
9 、(1)
y?1?sin2x?1?cos2x?sin2x?cos2x?2?2sin(2x?)? 2

4
?
5
?
递减区间为
[?k
?
,?k
?
],k?Z

88
(2)最大值为
2?2
,最小值为
2?2
. ?
10、
f(x)?(cos
2
x?sin
2
x)(c os
2
x?sin
2
x)?2sinxcosx?cos2x?sin2x? 2cos(2x?)

4
(1)最小正周期是
?

?
??
5
?
?
3
?
(2)由
x?[0,]

2x??[,]
,所以当
2x??
?
,即< br>x?
时,
f(x)

244448
3
?
最小 值为
?2
.
f(x)
取最小值时
x
的集合为
{}
.
8
?
11、
f(x)?2sin
2
x?2sinxcosx?1?cos2x ?sin2x?2sin(2x?)?1

4
(1)最小正周期是
?
,最大值为
2?1

??
(2)
f(x)

[?,]
上的图象如右图:
22
?12、
f(x)?3sinx?cosx?a?2sin(x?)?a
.
6
(1)由
2?a?1

a??1

2
?
(2)
{x2k
?
≤x≤?2k
?
,k?Z}
.
3
13、如图,设
?ABD?
?
,则
?CAE?
?

hh

AB?
2

AC?
1

sin
?
cos
?
1hh
?
所以
S
?ABC
??AB?AC?
12

(0?
?
?)

2sin2
?
2
?
?

2?
?
,即
?
?
时,
S
?ABC
的最小 值为
h
1
h
2
.
24
(第12(2)题) E
C
h
1
l
1
A
h
2
D?
(第13题)
B
l
2
第三章 复习参考题
B组(P147)
1
?
4
?
sin
?
?cos
?
?
5
,及
0≤
?

?
,可解得
sin
?
?
, 1、解法一:由
?
5?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?< br>
第 48 页 共 50 页




13247

cos2
?
??

cos
?
?sin
?
??
,所以
sin2
?
?
5 52525
???
312
.
sin(2
?
?)?sin2
?
cos?cos2
?
sin?
44450
1124
解法二:由
sin
?
?cos
?
?

(s in
?
?cos
?
)
2
?

sin2?
?
,所以
52525
49
.
cos
22
?
?
625
?
2
1
又由
sin?
?cos
?
?
,得
sin(
?
?)?
.
410
5
??
3
?
因为
?
?[0,
?
]
,所以
?
??[?,]
.
444
? ?
?
而当
?
??[?,0]
时,
sin(
?
?)≤0

444
?
22
??
3
?

?
??[,]
时,
sin(
?
?)≥
.
?
4210
444
??
??
所以
?
??(0,)< br>,即
?
?(,)

4442
?
312
?7
所以
2
?
?(,
?
)

cos2< br>?
??
.
sin(2
?
?)?

450225
11
2、把
cos
?
?cos
?
?两边分别平方得
cos
2
?
?cos
2
?
?2 cos
?
cos
?
?

24
11

sin
?
?sin
?
?
两边分别平方得
sin2
?
?sin
2
?
?2sin
?
sin
?
?

39
13
把所得两式相加,得
2?2(co s
?
cos
?
?sin
?
sin
?
)?< br>,
36
1359

2?2cos(
?
?
?
)?
,所以
cos(
?
?
?
)??
3672
?
433343
?
4
3、由
sin(
?
?)?sin
?
??
可得
sin
?
?

sin(
?
?)??
. < br>cos
?
??
35225
65
?
???
?< br>3

??
?
?0
,所以
??
?
??
,于是
cos(
?
?)?
.
236665
??
33?4
所以
cos
?
?cos[(
?
?)?]?

661 0
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx?2sin
2
x2 sinxcosx(cosx?sinx)
4、
??
sinx
1?tanx cosx?sinx
1?
cosx
1?tanx
?
?sin2x?s in2xtan(?x)

1?tanx4
17
?
7
?5
??
?
3
由得
?x??x??2
?
,又
cos(?x)?

1243445
?
4
?
4
所以
sin(?x)??

tan(?x)??

4543

第 49 页 共 50 页




??????
2
所以
cosx?cos[(?x)?]?cos(?x)cos?sin(?x)sin??

44444410
72
sin2x?2sin
2
x28
7< br>,
sin2x?2sinxcosx?
, 所以
sinx??
??

10
1?tanx75
255、把已知代入
sin
2
?
?cos
2
?
?( sin
?
?cos
?
)
2
?2sin
?
c os
?
?1
,得
(2sin
?
)
2
?2s in
2
?
?1
.
变形得
2(1?cos2
?
)?(1?cos2
?
)?1

2cos2
?
? cos2
?

4cos
2
2
?
?4cos
2
2
?

本题从对比已知条件和所证等式开始,可发现应消去已知条件中含
?
的三角函
数. < br>考虑
sin
?
?cos
?

sin
?
cos
?
这两者又有什么关系?及得上解法.
5、6两题上述解法称为消去法 < br>?
6、
f(x)?3sin2x?1?cos2x?m?2sin(2x?)?m?1< br>.
6
?
??
7
?

x?[0,]

2x??[,]
,于是有
2?m?1?6
. 解得
m?3
.
2666
?

f(x)?2sin(2x?)?4(x?R)
的最小值为
?2?4?2

6
?
3
?
2
?
此时
x
的取值集合 由
2x???2k
?
(k?Z)
,求得为
x??k
?
(k?Z)

623
7、设
AP?x

AQ?y

?BCP?
?

?DCQ?
?
,则
tan
?
?1?x

tan
?
?1?y

于是
tan(
?
?
?
)?
2?(x?y)

(x?y)?xy

?APQ
的周长为2,即
x?y?x2
?y
2
?2
,变形可得
xy?2(x?y)?2

于是
tan(
?
?
?
)?

0?< br>?
?
?
?
2?(x?y)
?1
.
(x? y)?[2(x?y)?2]
?
2
,所以
?
?
?
?
?
4

?PCQ?
?
2
?(
?
?
?
)?
?
4
.
1
?
?
sin< br>?
?cos
?
?
8、(1)由
?
5
,可得< br>25sin
2
?
?5sin
?
?12?0

?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
43
解得
sin
?
?

sin
?
??
(由
?
?(0,
?
)
,舍去)
55
134
所以
cos
?
??sin
?< br>??
,于是
tan
?
??

553
(2 )根据所给条件,可求得仅由
sin
?
,cos
?
,tan
?
表示的三角函数式的值,
sin
?
?cos
?
sin< br>?
?cos
?
?
例如,
sin(
?
?)
cos2
?
?2
,,,等等.
2tan
?
3sin
?
?2cos
?
3

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