南阳高中数学竞赛班-高中数学直角坐标系百度文库
高中数学必修4知识点
第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向
旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
<
br>?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合
,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象
限,则称
?
为第
几象限角.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?
360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?
360?180?
?
?k?360?270,k??
?
第四象限角
的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k?
?
?
终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?<
br>??
?k?180?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
4、已知
?
是第几象限角
,确定
?
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n<
br>等
n
*
份,再从
x
轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一
、二、三、四,则
?
原来
?
是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域.
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
l
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
.
r
7、弧度制与角度制的
换算公式:
2
?
?360
,
1?
?
180
?
,
1?
??
?57.3
.
180
?
?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为
S
,
11
则
l?r
?
,
C?2r?l
,S?lr?
?
r
2
.
22
9、设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x
,y
?
,它与原点
..
yxy
,
cos<
br>?
?
,
tan
?
?
?
x?0
?.
rrx
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象
限
正切为正,第四象限余弦为正.
11、三角函数线:
sin
?
?
??
,
cos
?
???
,
tan
?
???
.
的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
,则
sin
?
?
12、同角三角函数的基本关系:
?
1
?
sin
?
?cos
?
?1
22
?
?<
br>y
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
;
?<
br>2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
P
T
OM
A
x
sin
?
??
s
in
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
.
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式: ?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
2k
??
?
?
?tan
?
?
k??
?
. <
br>?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
??tan
?
.
?
3
?
sin
?
?<
br>?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
??tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
??
?
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin
??
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
?sin
?
. ?
2
?
?
2
?
?
?
6
?sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
??
2
?
?
口诀:正
弦与余弦互换,符号看象限.
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平
移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上
所有点的横坐标伸长(缩
短)到原来的
1
倍(纵坐标不变),得到函数
y?s
in
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
?
y
?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短
)到原来的
?
倍(横坐标不
变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
得到函数
1
倍(纵坐标不变),
?
?
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移个单?
..
位长度,得到函数
y?sin
?
?x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x
?
?
?
的图象上所
有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍
(横坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?的图象.
函数y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质:
①
振幅:
?
;
②
周期:
??
2
?
?
;
③
频率
:
f?
1
?
;
④
相位:
?
x?
?
;
⑤
初相:
?
?2
?
?
.
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时
,取得
11?
?
y
max
?y
min
?
,
??
?
y
max
?y
min
?
,
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?<
br>.
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y?cosx
y?tanx
数
y?sinx
性
最大值为
y
max
,则
??
质
图
象
定
义
域
值
域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时,
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
R
?
2
最
值
时,<
br>y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
2
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
2
?
既无最大值也无最小
值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周
期
性
奇
偶
性
2
?
?
奇函数 偶函数 奇函数
..
??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?
22
??
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
单
?<
br>k??
?
上是增函数;在
上是增函数;在
在
?
k<
br>?
?,k
?
?
?
22
??
调?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
3
?
?
性
?
2k
?
?,2k
?
?
?
?
k??
?
上是增函数.
?
22
??
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心对称中心
对称中心?
??
对
?
k
?
,0
??
k???
k
?
?,0
?
?
k??
?
?
称
2
??
对称轴
性
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?
x?k
?
?
?
k??
?
2
?<
br>k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
2
??
无对称轴
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
⑷运算
性质:①交换律:
a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
????
a?0?0?a?a
.
⑸坐标运算:设
a?
?<
br>x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b
?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2<
br>?
.
C
a
b
?
?
a?b??C?????C
..
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
19、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作?
a
.
①
?
a?
?
a
;
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相
同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向
相反;当
?
?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①<
br>?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a??
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b.
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?<
br>a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,?
y
?
.
20、向量共线定理:向量
aa?0
与b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a.
??
??
bb?0
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
b?
?
x
2
,y
2
?
,
共线.
??
21、平面向量基本定理:如果
e
1
、
e<
br>2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
内的任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?
?
(不共线的向量
e
1
、
e
2
作
2
e
2
.
为这一平面内所有向
量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,
当
?
1
??
???
2
时,点
?
的坐标是
?
23、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?
.
1?
?
1?
?
??
??
.零向量与任一向量的数量积为
0
. <
br>2
a?b?ab
;⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,
则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与
b
同向时,
当
a
与
b
反向时,
a?b??ab
;
a?a?a?a
或
a?a?a
.③
a?b?ab
.
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a
?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c
.
⑷坐
标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
若
a?
?
x,y
?
,则
a?x?y
,或
a?
22
2
2
??????
x
2
?y
2<
br>.
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a
?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x<
br>1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
..
?
是
a
与
b<
br>的夹角,则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
.
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?
;
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑶
sin
?
?<
br>?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
s
in
?
;
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
ta
n
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?<
br>?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
);
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?<
br>?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2<
br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
(
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
).
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,
其中
tan
?
?
?
?
.
单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善
教育之通病是教用脑
的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不
可思议。
..
,