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高一数学必修四基本公式总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 13:11
tags:高中数学必修4

函数方程高中数学公式-高中数学必修3电子ban



高一数学必修四基本公式总结
·平方关系:
sin^2α+cos^2α=1
1+tan^2α=sec^2α
1+cot^2α=csc^2α
·积的关系:
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系:
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系:
sinαcosα=tanα=secαcscα
cosαsinα=cotα=cscαsecα
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以上弦、中切、下割;左正、右余、中间1的正六边形为模型。
(1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数;
(2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此,可得商数关系式。
(3)平方关系: 在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下
面顶点上的三角函数值的平方。

直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·[1]三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数:
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα ·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ


tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ- tanα·tanβ·tanγ)(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ- tanγ·tan
α)
·辅助角公式:
Asinα+Bcosα=(A?+B?)^(12)sin(α+t),其中
sint=B(A?+B?)^(12)
cost=A(A?+B?)^(12)
tant=BA
Asinα- Bcosα=(A?+B?)^(12)cos(α-t),tant=AB
·倍角公式:
sin(2α)=2sinα·cosα=2(tanα+cotα)
cos(2α)=cos?(α)-sin?(α)=2cos?(α)-1=1-2sin?(α)
tan(2α)=2tanα[1-tan?(α)]
·三倍角公式:
sin (3α)=3sinα-4sin?(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)
cos(3α)=4cos?(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)
tan(3α)=tan a · tan(π3+a)· tan(π3-a)
·半角公式:
sin(α2)=±√((1-cosα)2)
cos(α2)=±√((1+cosα)2)
tan(α2)=±√((1-cosα) (1+cosα))=sinα(1+cosα)=(1-cosα)sinα
·降幂公式
sin?(α)=(1-cos(2α))2=versin(2α)2
cos?(α)=(1+cos(2α))2=covers(2α)2
tan?(α)=(1-cos(2α))(1+cos(2α))
·万能公式:
sinα=2tan(α2)[1+tan?(α2)]
cosα=[1-tan?(α2)][1+tan?(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan?(α2)]
·积化和差公式:
sinα·cosβ=(12)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(12)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(12)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(12)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]
sinα- sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]
cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]
·推导公式
tanα+cotα=2sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos?α


1-cos2α=2sin?α
1+sinα=(sinα2+cosα2)?
·其他:
sinα+sin( α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+sin[α+2π*(n-1) n]=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n)+cos(α+2π*3n )+……+cos[α+2π*(n-1)n]=0
以及
sin?(α)+sin?(α-2π3)+sin?(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx- sinx]2sinx
证明:
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+
sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]2sinx (积化和差)
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx](-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx- cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x](-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]2sinx=右边
等式得证
诱导公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系:


sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π2+α)=cosα
cos(π2+α)=-sinα
tan(π2+α)=-cotα
cot(π2+α)=-tanα
sin(π2-α)=cosα
cos(π2-α)=sinα
tan(π2-α)=cotα
cot(π2-α)=tanα
sin(3π2+α)=-cosα
cos(3π2+α)=sinα
tan(3π2+α)=-cotα
cot(3π2+α)=-tanα
sin(3π2-α)=-cosα
cos(3π2-α)=-sinα
tan(3π2-α)=cotα
cot(3π2-α)=tanα
(以上k∈Z)
正弦定理是指在三角形中, 各边和它所对的角的正弦的比相等,即
asinA=bsinB=csinC=2R .(其中R为外接圆的半径)
余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两 边与它
们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc cosA
角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即sinA=角A的对边斜边
斜边与邻边夹角a
sin=yr
无论y>x或y≤x
无论a多大多小可以任意大小
正弦的最大值为1 最小值为-1


三角恒等式



对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有t anA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则(tanA+tanB)(1-tanAtanB)=(tanπ- tanC)(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
诱导公式记忆口诀

※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为:
对于k·π2±α(k∈Z)的个三角函数值,
①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;
②当k是奇数时,得到α相应的 余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
(奇变偶不变)
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
(符号看象限)
上述的记忆口诀是:
奇变偶不变,符号看象限。
公 式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变;符号看象限。
各种三 角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四
余弦”.
这十二字口诀的意思就是说:
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;
第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;
第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”;
第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

类似地,我们同样也可以求证 :当α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
向量计算
设a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。


向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB- AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向
线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)
上伸长为 原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0 )
上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且
λa=μa,那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。
定义:两个向量的数量 积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不
共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a ,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率
a·b=b·a(交换率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。


a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a ·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
记得数量积不能写成X,否则就错了,那个是差积

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